8.5: Convolución de Tiempo Continuo y el CTFT

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Introducción

Este módulo analiza la convolución de señales continuas en los dominios de tiempo y frecuencia.

Transformada de Fourier de Tiempo Continuo

El CTFT transforma una señal continua de longitud infinita en el dominio del tiempo en una señal continua de longitud infinita en el dominio de la frecuencia.

CTFT

\[\mathcal{F}(\Omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-(j \Omega t)} d t \nonumber \]

CTFT Inverso

\[f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}(\Omega) e^{j \Omega t} d \Omega \nonumber \]

Convolución Integral

La integral de convolución expresa la salida de un sistema LTI basado en una señal de entrada\(x(t)\), y la respuesta de impulso del sistema,\(h(t)\). La integral de convolución se expresa como

\[ y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d \tau \nonumber \]

La convolución es una herramienta tan importante que está representada por el símbolo *, y puede escribirse como

\[y(t)=x(t) * h(t) \nonumber \]

La convolución es conmutativa. Para mayor información sobre las características de la integral de convolución, lea sobre las Propiedades de Convolución (Sección 3.4).

Demostración

CTFTDenoiseDemo — Figura\(\PageIndex{1}\): Interactuar (cuando esté en línea) con un CDF de Mathematica demostrando el uso del CTFT en la eliminación de ruido de señales. Para Descargar, haga clic con el botón derecho y guarde el destino como .cdf.

Teorema de convolución

Dejar\(f\) y\(g\) ser dos funciones con convolución\(f*g\). Dejar\(F\) ser el operador de transformada de Fourier. Entonces

\[F(f * g)=F(f) \cdot F(g) \nonumber \]

\[F(f \cdot g)=\frac{1}{2 \pi} F(f) * F(g) \nonumber \]

Al aplicar la transformada inversa de Fourier\(F^{−1}\), podemos escribir:

\[f * g=F^{-1}(F(f) \cdot F(g)) \nonumber \]

Conclusión

La transformada de Fourier de una convolución es el producto puntual de las transformadas de Fourier. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo, el dominio del tiempo) corresponde a la multiplicación por puntos en el otro dominio (por ejemplo, el dominio de la frecuencia).