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LibreTexts Español

15.13: Teoremas de Plancharel y Parseval

  • Page ID
    86575
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    Teorema de Parseval

    La serie de tiempo continuo de Fourier conserva la energía de la señal

    es decir:

    \[\int_{0}^{T}|f(t)|^{2} d t=T \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|C_{n}\right|^{2} \quad \text { with unnormalized basis } e^{j \frac{2 \pi}{T} n t} \nonumber \]

    \[\int_{0}^{T}|f(t)|^{2} d t=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|C_{n}\right|^{2} \quad \text { with unnormalized basis } \frac{e^{j \frac{2 \pi}{T} n t}}{\sqrt{T}} \nonumber \]

    \[\underbrace{\|f\|_{2}^{2}}_{L^{2}[0, T) e n e r g y}=\underbrace{\left\|C_{n}^{\prime}\right\|_{2}^{2}}_{l^{2}(Z) e n e r g y} \nonumber \]

    Demostrar: Teorema de Plancherel

    \ [\ begin {alineado}
    \ text {dado} f (t) &\ stackrel {\ text {CTFS}} {\ longrightarrow} c_ {n}\\
    g (t) &\ stackrel {\ texto {CTFS}} {\ larightarrow} d_ {n}
    \ end {alineado}\ nonumber\]

    \[\text { Then } \int_{0}^{T} f(t) g^{*}(t) d t=T \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} d_{n}^{*} \text { with unnormalized basis } e^{j \frac{2 \pi}{T} n t} \nonumber \]

    \[\int_{0}^{T} f(t) g^{*}(t) d t=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}^{\prime}\left(d_{n}^{\prime}\right)^{*} \text { with normalized basis } \frac{e^{j \frac{2 \pi}{T} n t}}{\sqrt{T}} \nonumber \]

    \[\langle f, g\rangle_{L_{2}(0, T]}=\langle c, d\rangle_{l_{2}(\mathbb{Z})} \nonumber \]

    Potencia de señales periódicas

    \[\text { Energy }=\|f\|^{2}=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2} d t=\infty \nonumber \]

    \ [\ begin {alineado}
    \ text {Poder} &=\ lim _ {T\ fila derecha\ infty}\ frac {\ text {Energía en} [0, T)} {T}\\
    &=\ lim _ {T\ fila derecha\ infty}\ frac {T\ sum_ {n}\ izquierda|c_ {n}\ derecha|^ {2}} {T}\\
    &=\ sum_ {n\ in\ mathbb {Z}}\ izquierda|c_ {n}\ derecha|^ {2} (\ texto {no normalizado}\ mathrm {FS})
    \ end {alineado}\ nonumber\]

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Fourier Series of Square Pulse III - Compute the Energy

    Figura\(\PageIndex{1}\)

    \[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{j \frac{2 \pi}{T} n t} \stackrel{\mathbb{F}\mathbb{S}}{\rightarrow} c_{n}=\frac{1}{2} \frac{\sin \frac{\pi}{2} n}{\frac{\pi}{2} n} \nonumber \]

    \[\text { energy in time domain: }\|f\|_{2}^{2}=\int_{0}^{T}|f(t)|^{2} d t=\frac{T}{2} \nonumber \]

    Aplicar el Teorema de Parseval:

    \[\quad T \sum_{n}\left|c_{n}\right|^{2} \nonumber \]
    \ [\ begin {array} {l}
    =\ frac {T} {4}\ sum_ {n}\ izquierda (\ frac {\ sin\ frac {\ pi} {2} n} {\ frac {\ pi} {2} n}\ derecha) ^ {2}\\
    =\ frac {T} {4}\ frac {4} {\ pi^ {2}} sum_ {n}\ frac {\ left (\ sin\ frac {\ pi} {2} n\ derecha) ^ {2}} {n^ {2}}\\
    =\ frac {T} {\ pi^ {2}}\ izquierda [\ frac {\ pi^ {2}} { 4} +\ underbrackets {\ suma_ {n}\ nombreoperador {impar}\ frac {1} {n^ {2}}} _ {\ frac {\ pi^ {2}} {4}}\ derecha]\\
    =\ frac {T} {2}\ cuadrado
    \ final {array}\ nonumber\]

    Teorema de Plancharel

    Teorema\(\PageIndex{1}\): Plancharel Theorem

    El producto interno de dos vectores/señales es el mismo que el producto\(\ell^2\) interno de sus coeficientes de expansión.

    Dejar\(\left\{b_{i}\right\}\) ser una base ortonormal para un Espacio Hilbert\(H\). \(x \in H\),\(y \in H\)

    \ [\ begin {array} {l}
    x=\ suma_ {i}\ alpha_ {i} b_ {i}\\
    y=\ suma_ {i}\ beta_ {i} b_ {i}
    \ end {array}\ nonumber\]

    entonces

    \[\langle x, y\rangle_{H}=\sum_{i} \alpha_{i} \overline{\beta_{i}} \nonumber \]

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Aplicando la Serie de Fourier, podemos ir de\(f(t)\) a\(\left\{c_{n}\right\}\) y\(g(t)\) a\(\left\{d_{n}\right\}\)

    \[\int_{0}^{T} f(t) \overline{g(t)} \mathrm{d} t=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \overline{d_{n}} \nonumber \]

    producto interno en el dominio del tiempo = producto interno de los coeficientes de Fourier.

    Prueba:

    \ [\ begin {array} {l}
    x=\ suma_ {i}\ alpha_ {i} b_ {i}\\
    y=\ suma_ {j}\ beta_ {j} b_ {j}
    \ end {array}\ nonumber\]

    \[\langle x, y\rangle_{H}=\left\langle\sum_{i} \alpha_{i} b_{i}, \sum_{j} \beta_{j} b_{j}\right\rangle=\sum_{i} \alpha_{i}\left\langle\left(b_{i}, \sum_{j} \beta_{j} b_{j}\right)\right\rangle=\sum_{i} \alpha_{i} \sum_{j} \bar{\beta}_{j}\left\langle\left(b_{i}, b_{j}\right)\right\rangle=\sum_{i} \alpha_{i} \bar{\beta}_{i} \nonumber \]

    mediante el uso de reglas internas del producto (Sección 15.4)

    Nota

    \(\left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle=0\)cuándo\(i \neq j\) y\(\left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle=1\) cuándo\(i=j\)

    Si Hilbert space H tiene un ONB, entonces los productos internos son equivalentes a los productos internos en\(\ell^2\).

    Todos los H con ONB son de alguna manera equivalentes a\(\ell^2\).

    Punto de Interés

    Las secuencias sumables al cuadrado son importantes

    Demostración del Teorema de Plancharels

    PlanCharelsTeoremDemo
    Figura\(\PageIndex{2}\): Interactuar (cuando esté en línea) con un CDF de Mathematica demostrando visualmente el Teorema de Plancharels. Para Descargar, haga clic con el botón derecho y guarde el destino como .cdf.

    Teorema de Parseval: un enfoque diferente

    Teorema\(\PageIndex{2}\): Parseval's Theorem

    Energía de una señal = suma de cuadrados de sus coeficientes de expansión

    Vamos\(x \in H\),\(\left\{b_{i}\right\}\) ONB

    \[x=\sum_{i} \alpha_{i} b_{i} \nonumber \]

    Entonces

    \[\left(\|x\|_{H}\right)^{2}=\sum_{i}\left(\left|\alpha_{i}\right|\right)^{2} \nonumber \]

    Prueba:

    Directamente desde Plancharel

    \[\left(\|x\|_{H}\right)^{2}=\langle x, x\rangle_{H}=\sum_{i} \alpha_{i} \overline{\alpha_{i}}=\sum_{i}\left(\left|\alpha_{i}\right|\right)^{2} \nonumber \]

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Serie de Fourier\(\frac{1}{\sqrt{T}} e^{j w_{0} n t}\)

    \ [\ begin {array} {c}
    f (t) =\ frac {1} {\ sqrt {T}}\ suma_ {n} c_ {n}\ frac {1} {\ sqrt {T}} e^ {j w_ {0} n t}\
    \ int_ {0} ^ {T} (|f (t) |) ^ {2} d t=\ suma_ {n=-\ infty} ^ {\ infty}\ izquierda (\ izquierda|c_ {n}\ derecha|\ derecha) ^ {2}
    \ end {array}\ nonumber\]


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