16.3: Convergencia de Secuencias de Vectores

Convergencia de vectores

Ahora discutimos la convergencia puntual y norma de vectores. También existen otros tipos de convergencia, y uno en particular, la convergencia uniforme (Sección 16.4), también se puede estudiar. Para esta discusión, asumiremos que los vectores pertenecen a un espacio vectorial normado (Sección 15.3).

Convergencia puntual

Una secuencia (Sección 16.2)\(\left.\left\{g_{n}\right\}\right|_{n=1} ^{\infty}\) converge puntualmente al límite\(\boldsymbol{g}\) si cada elemento de\(g_n\) converge al elemento correspondiente en\(\boldsymbol{g}\). A continuación se presentan algunos ejemplos para tratar de ayudar a ilustrar esta idea.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\ [g_ {n} =\ left (\ begin {array} {l}
g_ {n} [1]\\
g_ {n} [2]
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {c}
1+\ frac {1} {n}\\
2-\ frac {1} {n}
\ end {array}\ right)\ nonumber\]

Primero encontramos los siguientes límites para nuestros dos\(g_n\):

\ [\ begin {array} {l}
\ nombreoperador {límite} _ {n\ fila derecha\ infty} g_ {n} [1] =1\\
\ nombreoperador {límite} _ {n\ fila derecha\ infty} g_ {n} [2] =2
\ end {array}\ nonumber\]

Por lo tanto tenemos lo siguiente,

\[\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty} g_{n}=\boldsymbol{g} \nonumber \]

puntual, donde\ (\ negridsymbol {g} =\ left (\ begin {array} {l}
1\\
2
\ end {array}\ right)\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

\[g_{n}(t)=\frac{t}{n}, t \in \mathbb{R} \nonumber \]

Como se hizo anteriormente, primero queremos examinar el límite

\[\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty} g_{n}\left(t_{0}\right)=\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty} \frac{t_{0}}{n}=0 \nonumber \]

donde\(t_{0} \in \mathbb{R}\). Así\(\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty} g_{n}=g\) puntualmente donde\(g(t)=0\) para todos\(t \in \mathbb{R}\).

Convergencia Norm

La secuencia (Sección 16.2)\(\left.\left\{g_{n}\right\}\right|_{n=1} ^{\infty}\) converge a\(\boldsymbol{g}\) en norma si\(\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty}\left\|g_{n}-g\right\|=0\). Aquí\(\|\cdot\|\) está la norma\(Section 15.3) of the corresponding vector space of \(g_n\). Intuitivamente esto significa la distancia entre vectores\(g_n\) y\(\boldsymbol{g}\) disminuye a\(0\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

\ [g_ {n} =\ left (\ begin {array} {c}
1+\ frac {1} {n}\\
2-\ frac {1} {n}
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Vamos\ (\ boldsymbol {g} =\ left (\ begin {array} {l}
1\\
2
\ end {array}\ right)\)

\ [\ begin {alineado}
\ izquierda\ |g_ {n} -\ negridsymbol {g}\ derecha\ | &=\ sqrt {\ izquierda (1+\ frac {1} {n} -1\ derecha) ^ {2} +\ izquierda (2-\ frac {1} {n}\ derecha) ^ {2}}\
&=\ sqrt {\ frac {1} {^ {2}} +\ frac {1} {n^ {2}}}\\
&=\ frac {\ sqrt {2}} {n}
\ end {alineado}\ nonumber\]

Así\(\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty}\left\|g_{n}-\boldsymbol{g}\right\|=0\). Por lo tanto\(g_{n} \rightarrow \boldsymbol{g}\) en norma.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

\ [g_ {n} (t) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
\ frac {t} {n} &\ text {if} 0\ leq t\ leq 1\\
0 &\ text {de lo contrario}
\ end {array}\ right. \ nonumber\]

Dejemos\(g(t)=0\) para todos\(t\).

\ [\ begin {alineado}
\ izquierda\ |g_ {n} (t) -g (t)\ derecha\ | &=\ int_ {0} ^ {1}\ frac {t^ {2}} {n^ {2}}\ mathrm {d} t\\
&=\ izquierda. \ frac {t^ {3}} {3 n^ {2}}\ derecha|_ {n=0} ^ {1}\\
&=\ frac {1} {3 n^ {2}}
\ end {alineado}\ nonumber\]

Así\(\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty}\left\|g_{n}(t)-g(t)\right\|=0\) pues,\(g_{n}(t) \rightarrow g(t)\) en norma.

Convergencia puntual frente a norma

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Porque\(\mathbb{R}^m\), la convergencia puntual y la norma son equivalentes.

Prueba: Punto-wise ⇒ Norma

\[g_{n}[i] \rightarrow g[i] \nonumber \]

Suponiendo lo anterior, entonces

\[\left(\left\|g_{n}-\boldsymbol{g}\right\|\right)^{2}=\sum_{i=1}^{m}\left(g_{n}[i]-g[i]\right)^{2} \nonumber \]

Por lo tanto,

\ [\ begin {aligned}
\ operatorname {limit} _ {n\ rightarrow\ infty}\ left (\ left\ |g_ {n} -\ boldsymbol {g}\ right\ |\ right) ^ {2} &=\ operatorname {limit} _ {n\ rightarrow\ infty}\ suma_ {i=1} ^ {m} 2\\
&=\ sum_ _ {i=1} ^ {m}\ nombreoperador {límite} _ {n\ fila derecha\ infty} 2\\
&=0
\ end {alineado}\ nonumber\]

Prueba: Norma ⇒ Punto-wise

\[\left\|g_{n}-\boldsymbol{g}\right\| \rightarrow 0 \nonumber \]

\ begin {alineado}
\ nombreoperador {límite} _ {n\ fila derecha\ infty}\ suma_ {i=1} ^ {m} 2 &=\ suma_ {i=1} ^ {m}\ nombre_operador {límite} _ {n\ fila derecha\ infty} 2\\
&=0
\ end {alineado}

Dado que cada término es mayor o igual a cero, todos los términos\(m\) '' deben ser cero. Por lo tanto,

\[\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty} 2=0 \nonumber \]

para todos\(i\). Por lo tanto,

\[g_n \rightarrow \boldsymbol{g} \quad \text{ pointwise } \nonumber \]

Nota

En espacios dimensionales infinitos el teorema anterior ya no es cierto. Demostramos esto con ejemplos de contador que se muestran a continuación.

Ejemplos de Contadores

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Pointwise \(\nRightarrow\) Norm

Se nos da la siguiente función:

\ [g_ {n} (t) =\ left\ {\ begin {array} {l}
n\ text {if} 0<t<\ frac {1} {n}\\
0\ text {de lo contrario}
\ end {array}\ derecha. \ nonumber\]

Entonces\(\operatorname{limit}_{n \rightarrow \infty} g_{n}(t)=0\). Esto significa que,

\[g_{n}(t) \rightarrow g(t) \nonumber \]

donde para todos\(t\)\(g(t)=0\).

Ahora,

\ [\ comenzar {alineado}
\ izquierda (\ izquierda\ |g_ {n}\ derecha\ |\ derecha) ^ {2} &=\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ izquierda (\ izquierda|g_ {n} (t)\ derecha|\ derecha) ^ {2}\ mathrm {d} t\
&=\ int_ {0} ^ {\ frac {1} {n}} n^ {2}\ mathrm {d} t\\
&=n\ fila derecha\ infty
\ final {alineado}\ nonumber\]

Dado que las normas de función explotan, no pueden converger a ninguna función con norma finita.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Norm \(\nRightarrow\) Pointwise

Se nos da la siguiente función:

\[g_{n}(t)=\left\{\begin{array}{l}1 \text { if } 0<t<\frac{1}{n} \text { if } n \text { is even } \\ 0 \text { otherwise }\end{array}\right. \nonumber \]

\[g_{n}(t)=\left\{\begin{array}{l}-1 \text { if } 0<t<\frac{1}{n} \text { if } n \text { is odd } \\ 0 \text { otherwise }\end{array}\right. \nonumber \]

Entonces,

\[\left\|g_{n}-g\right\|=\int_{0}^{\frac{1}{n}} 1 \mathrm{d} t=\frac{1}{n} \rightarrow 0 \nonumber \]

donde\(g(t)=0\) para todos\(t\). Por lo tanto,

\[g_n \rightarrow g \quad \text{in norm} \nonumber \]

Sin embargo\(t=0\), at,\(g_n(t)\) oscila entre -1 y 1, y así no converge. Por lo tanto,\(g_n(t)\) no converge puntualmente.