16.4: Convergencia uniforme de secuencias de funciones

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 86292

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Convergencia uniforme de secuencias de funciones

Para esta discusión, solo consideraremos funciones con\(g_n\) donde

\[\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \nonumber \]

Definición: Convergencia Uniforme

La secuencia (Sección 16.2)\(\left.\left\{g_{n}\right\}\right|_{n=1} ^{\infty}\) converge uniformemente para funcionar\(g\) si por cada\(\varepsilon > 0\) hay un entero\(N\) tal que\(n \geq N\) implica

\[\left|g_{n}(t)-g(t)\right| \leq \epsilon \label{16.11} \]

para todos\(t \in \mathbb{R}\).

Obviamente, cada secuencia uniformemente convergente es convergente puntual (Sección 16.3). La diferencia entre convergencia puntual y uniforme es la siguiente: Si\(\left\{g_{n}\right\}\) converge puntualmente a\(g\), entonces para cada\(\varepsilon> 0\) y para cada\(t \in \mathbb{R}\) hay un entero\(N\) dependiendo de\(\varepsilon\) y\(t\) tal que Ecuación\ ref {16.11} mantiene if\(n≥N\). Si\(\left\{g_{n}\right\}\) converge uniformemente a\(g\), es posible que cada\(\varepsilon>0\) uno encuentre un entero\(N\) que servirá para todos\(t \in \mathbb{R}\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\[g_{n}(t)=\frac{1}{n}, t \in \mathbb{R} \nonumber \]

Dejemos\(\varepsilon > 0\) que se den. Entonces elige\(N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\). Obviamente,

\[\left|g_{n}(t)-0\right| \leq \epsilon, \quad n \geq N \nonumber \]

para todos\(t\). Así,\(g_n(t)\) converge de manera uniforme a\(0\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

\[g_{n}(t)=\frac{t}{n}, t \in \mathbb{R} \nonumber \]

Obviamente para cualquiera no\(\varepsilon > 0\) podemos encontrar una sola función\(g_n(t)\) para la que la Ecuación\ ref {16.11} se mantenga con\(g(t)=0\) para todos\(t\). Por lo tanto, no\(g_n\) es uniformemente convergente. Sin embargo sí tenemos:

\[g_{n}(t) \rightarrow g(t) \text{ pointwise }\nonumber \]

Conclusión

La convergencia uniforme siempre implica convergencia puntual, pero la convergencia puntual no garantiza una convergencia uniforme.