4.5: Un Método Sucesivo - Relajación Numérica

En muchos casos, la geometría y las condiciones de contorno son irregulares por lo que las soluciones de forma cerrada no son posibles. Entonces se hace necesario resolver la ecuación de Poisson mediante un procedimiento computacional. En esta sección nos limitamos a la dependencia de sólo dos coordenadas cartesianas.

4-5-1 Expansiones de Diferencia Finita

La expansión de la serie Taylor a segundo orden del potencial V, en puntos a una distancia a cada\(\Delta_{x}\) lado de la coordenada (x, y), es

\[V(x + \Delta x, y) \approx V(x,y) + \frac{\partial V}{\partial x} \bigg|_{x, y} \: \Delta x + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}} \bigg|_{x,y} \: ( \Delta x)^{2} \\ V(x-\Delta x, y) \approx V (x,y) - \frac{\partial V}{\partial x} \bigg|_{x,y} \Delta x + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} V}{\partial x ^{2}} \bigg|_{x,y} \: (\Delta x)^{2} \nonumber \]

Si sumamos estas dos ecuaciones y resolvemos para la segunda derivada, tenemos

\[\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}} \approx \frac{V(x + \Delta x, y) + V(x-\Delta x, y) - 2 V (x,y)}{(\Delta x)^{2}} \nonumber \]

Realizar operaciones similares para pequeñas variaciones de y rendimientos

\[\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}} \approx \frac{V(x,y + \Delta y) + V(x,y - \Delta y) - 2 V (x,y)}{(\Delta y)^{2}} \nonumber \]

Si sumamos (2) y (3) y además dejamos\(\Delta x = \Delta y\), la ecuación de Poisson se puede aproximar como

\[\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}} \approx \frac{1}{(\Delta x)^{2}} [ V (x + \Delta x, y) + V(x - \Delta x, y) \\ + V(x,y + \Delta y) + V (x,y - \Delta y) - 4 V (x,y)] = - \frac{\partial_{f}(x,y)}{\varepsilon} \nonumber \]

de manera que el potencial en (x, y) sea igual al potencial promedio de sus cuatro vecinos más cercanos más una contribución debido a cualquier cargo por volumen ubicado en (x, y):

\[V(x,y) = \frac{1}{4} [V (x + \Delta x, y) + V(x- \Delta x, y) \\ + V (x,y + \Delta y) + V (x,y - \Delta y)] + \frac{\rho_{f} (x,y) (\Delta x)^{2}}{4 \varepsilon} \nonumber \]

Los componentes del campo eléctrico se obtienen tomando la diferencia de las dos expresiones en (1)

\[\frac{E_{x}(x,y) = = \frac{\partial V}{\partial x} \bigg|_{x,y} \approx - \frac{1}{2 \Delta x} [V (x + \Delta x, y) - V(x - \Delta x, y)] \\ E_{y}(x,y) = - \frac{\partial V}{\partial y} \bigg|_{x,y} \approx - \frc{1}{2 \Delta y} [V (x,y + \Delta y) - \V (x,y - \Delta y)] \nonumber \]

4-5-2 Potencial dentro de una caja cuadrada

Considere la caja conductora cuadrada cuyos lados están restringidos a diferentes potenciales, como se muestra en la Figura (4-15). Discretizamos el sistema dibujando una cuadrícula cuadrada con cuatro

Figura 4-15 Los potenciales en los cuatro puntos interiores de una caja conductora cuadrada con potenciales impuestos en sus superficies se encuentran por relajación numérica sucesiva. El potencial en cualquier punto de rejilla interior libre de carga es igual al potencial promedio de los cuatro puntos adyacentes.

puntos interiores. Debemos abastecer los potenciales a lo largo de los límites como se demuestra en la Sección 4-1:

\[V_{1} = \sum_{I = 1}^{4} V (I, J = 1) =1, \: \: \: \: V_{3} = \sum_{I = 1}^{4} V (I, J = 4) = 3 \\ V_{2} = \sum_{J=1}^{4} V(I = 4, J) = 2, \: \: \: \: V_{4} = \sum_{J=1}^{4} V(I = 1, J) = 4 \nonumber \]

Observe la discontinuidad en el potencial en las esquinas.

Podemos escribir la versión discretizada sin cargo de (5) como

\[V(I, J) = \frac{1}{4} [ V (I + 1, J ) + V(I-1, J) + V(I, J + 1) + V( I, J -1)] \nonumber \]

Luego adivinamos cualquier valor inicial de potencial para todos los puntos de cuadrícula interiores que no estén en el límite. Los potenciales límite deben permanecer inalterados. Tomando los puntos interiores uno a la vez, luego mejoramos nuestra suposición inicial calculando el potencial promedio de los cuatro puntos circundantes.

Tomamos nuestra suposición inicial para que todos los puntos interiores sean cero dentro de la caja:

\[V(2,2) = 0, \: \: \: \: V(3,3) = 0 \\ V(3,2) = 0, \: \: \: \: V(2, 3) = 0 \nonumber \]

Entonces nuestra primera estimación mejorada para V (2, 2) es

\[V(2,2) = \frac{1}{4}[V (2,1) + V(2,3) + V(1,2) + V(3,2)] \\ \frac{1}{4} [1 + 0 + 4 + 0] = 1.25 \nonumber \]

Usando este valor de V (2, 2) mejoramos nuestra estimación para V (3, 2) como

\[V(3,2) = \frac{1}{4} [V (2,2) + V(4,2) + V (3,1) + V(3,3)] \\ \frac{1}{4}[1.25 + 2 + 1 + 0] = 1.0625 \nonumber \]

De manera similar para V (3, 3),

\[V(3,3) = \frac{1}{4}[V(3,2) + V(3,4) + V(2,3) + V(4,3)] \\ = \frac{1}{4}[ 1.0625 + 3 + 0 + 2] = 1.5156 \nonumber \]

y V (2, 3)

\[V(2,3) = \frac{1}{4} [ V(2,2) + V(2,4) + V(1,3) + V(3,3)] \\ = \frac{1}{4}[1.25 + 3 + 4 + 1.5156] = 2.4414 \nonumber \]

Luego continuamos y repetimos el procedimiento para los cuatro puntos interiores, siempre utilizando los últimos valores de potencial. A medida que aumenta el número de iteraciones, los valores potenciales interiores se acercan a las soluciones correctas. El Cuadro 4-2 muestra las diez primeras iteraciones y debe compararse con la solución exacta a cuatro decimales, obtenidos por superposición de la solución armónica rectangular en la Sección 4-2-5 (ver problema 4-4):

\[V(x,y) = \sum_{n=1 \\ n \textrm{ odd}} ^{\infty} \frac{4}{n \pi \sinh n \pi} \bigg[ \sin \frac{n \pi y }{d} \bigg(V_{3} \sinh \frac{n \pi x}{d} - V_{1} \sinh \frac{n \pi(x-d)}{d} \bigg) \\ + \sin \frac{n \pi x}{d} \bigg(V_{2} \sinh \frac{n \pi y}{d} - V_{4} \sinh \frac{n \pi (y-d)}{d} \bigg) \bigg] \nonumber \]

donde V ₁, V ₂, V ₃ y V ₄ son los potenciales límite que para este caso son

\[V_{1} = 1, \: \: \: V_{2} = 2, \: \: \: V_{3}=3, \: \: \: V_{4} = 4 \nonumber \]

A cuatro decimales las soluciones numéricas permanecen sin cambios para las iteraciones posteriores a las diez.

Tabla 4-2 Valores potenciales para los cuatro puntos interiores de la Figura 4-15 obtenidos por relajación sucesiva para las diez primeras iteraciones

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Exacto
V 1	0	1.2500	2.1260	2.3777	2.4670	2.4911	2.4975	2.4993	2.4998	2.4999	2.5000	2.5000
V 2	0	1.0625	1.6604	1.9133	1.9770	1.9935	1.9982	1.9995	1.9999	2.0000	2.0000	1.9771
V 3	0	1.5156	2.2755	2.4409	2.4829	2.4952	2.4987	2.4996	2.4999	2.5000	2.5000	2.5000
V 4	0	2.4414	2.8504	2.9546	2.9875	2.9966	2.9991	2.9997	2.9999	3.0000	3.0000	3.0229

Los resultados son sorprendentemente buenos considerando la rejilla gruesa de solo cuatro puntos interiores. Este procedimiento de relajación se puede utilizar para cualquier valor de potenciales de límite, para cualquier número de puntos de rejilla interior, y se puede aplicar a otras formas de contorno. Cuantos más puntos se utilicen, mayor será la precisión. El método se implementa fácilmente como un algoritmo informático para realizar las operaciones repetitivas.