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LibreTexts Español

4.1: Introducción

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    82455
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    Utilizamos este capítulo para introducir a los estudiantes a la estructura algebraica de vectores y matrices y para introducirlos a los cálculos matriciales. Estos cálculos matriciales se utilizan en los capítulos “Gráficos vectoriales”, “Filtrado” y “Códigos binarios” para resolver problemas en gráficos vectoriales, filtrado y codificación binaria.

    Los vectores se introducen en la sección “Vectores”, junto con interpretaciones algebraicas y geométricas de algunas operaciones y propiedades fundamentales del vector. La sección “Producto Interior y Norma Euclidiana”, la sección “Cosenos de dirección” y la sección “Proyecciones” introducen los productos internos y sus aplicaciones, incluyendo norma, cosenos de dirección, ortogonalidad y proyecciones. Algunas alternativas importantes a la norma euclidiana se introducen en la sección “Otras Normas”. Las matrices son motivadas e introducidas en esta sección. La notación en estas secciones puede ser desalentadora para el principiante, así que procedemos con mucho cuidado, usando ejemplo tras ejemplo. En la sección “Resolver Sistemas Lineales de Ecuaciones” codificamos los procedimientos de eliminación que los alumnos han utilizado en la preparatoria para resolver sistemas lineales de ecuaciones. La demostración de MATLAB en Demo 2 muestra cómo usar MATLAB para resolver ecuaciones lineales. La sección “Análisis de circuitos” muestra cómo se pueden usar álgebra lineal y MATLAB para analizar circuitos de CC. El experimento numérico “Diseño de circuitos” brinda a los estudiantes práctica en la construcción de archivos de funciones en MATLAB y muestra cómo resolver una secuencia de ecuaciones lineales para diseñar un circuito con las propiedades deseadas.

    Ocasionalmente hemos puesto resultados importantes en los problemas. Sentimos que los estudiantes no deben perderse el material del Ejercicio 3 en “Vectores”, Ejercicio 3 en “Producto Interior y Norma Euclidiana”, Ejercicio 3 en “Proyecciones”, Ejercicio 1 en “Matrices” y Ejercicio 4 en “Matrices”.

    Introducción

    El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que es utilizada por ingenieros y científicos aplicados para diseñar y analizar sistemas complejos. Los ingenieros civiles utilizan álgebra lineal para diseñar y analizar estructuras portantes como puentes. Los ingenieros mecánicos utilizan álgebra lineal para diseñar y analizar sistemas de suspensión, y los ingenieros eléctricos lo utilizan para diseñar y analizar circuitos eléctricos. Los ingenieros eléctricos, biomédicos y aeroespaciales utilizan álgebra lineal para mejorar los rayos X, tomógrafos e imágenes del espacio. En este capítulo y en el siguiente estudiamos dos problemas comunes de la ingeniería eléctrica y utilizamos álgebra lineal para resolverlos. Los dos problemas son (i) análisis de circuitos eléctricos y (ii) transformaciones de coordenadas para gráficos por computadora. La primera de estas aplicaciones requiere que entendamos la solución de sistemas lineales de ecuaciones, y la segunda nos obliga a comprender la representación de operadores matemáticos con matrices.

    Gran parte del álgebra lineal se ocupa de técnicas sistemáticas para organizar y resolver ecuaciones lineales simultáneas por eliminación y sustitución. El siguiente ejemplo ilustra las ideas básicas que pretendemos desarrollar.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Una mujer entra en una acera en movimiento en un aeropuerto grande y se para mientras la acera en movimiento la mueve hacia adelante a 1.2 metros/segundos. Al mismo tiempo, un hombre comienza a caminar contra el movimiento de la acera desde el extremo opuesto a 1.5 metros/segundo (relativo a la acera). Si la acera móvil tiene 85 metros de largo, ¿qué tan lejos recorre cada persona (en relación con el suelo) antes de que se pasen entre sí?

    Para resolver este problema, primero asignamos una variable a cada cantidad desconocida. Que x1 sea la distancia recorrida por la mujer, y que x2 sea la distancia recorrida por el hombre. La suma de las dos distancias es de 85 metros, dándonos una ecuación:

    \[x_1+x_2=85 \nonumber \]

    Nuestra segunda ecuación se basa en el tiempo requerido antes de que pasen. El tiempo es igual a distancia dividido por tasa, y el tiempo es el mismo para ambas personas:

    \[\frac {x_1} {1.2} = \frac {x_2} {1.5−1.2} ⇒0.3x_1 − 1.2x_2 = 0 \nonumber \]

    Podemos sustituir la Ecuación por\(\PageIndex{2}\) la Ecuación\(\PageIndex{1}\) para obtener el resultado\(/frac {1.2} {0.3} x_2 + x_2 = 85\) o

    \[5x_2=85 ⇒ x_2=17 \nonumber \]

    Combinando el resultado de la Ecuación\(\PageIndex{3}\) con el de Ecuación\(\PageIndex{1}\), encontramos que

    \[x_1=68 \nonumber \]

    Entonces el hombre recorre 17 metros, y la mujer recorre 68 metros.

    Ecuación\(\PageIndex{1}\) y Ecuación\(\PageIndex{2}\) son las ecuaciones clave de Ecuación\(\PageIndex{1}\). Pueden organizarse en la “ecuación matricial”

    \[\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0.3 & -1.2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 85 \\ 0 \end{bmatrix} \nonumber \]

    Las reglas para la multiplicación matriz-vector son evidentemente

    \[(1)x_1+(1)x_2 = 85 \nonumber \]

    \[(0.3)x_1+(−1.2)x_2 = 0 \nonumber \]

    La ecuación\(\PageIndex{2}\) y la ecuación\(\PageIndex{3}\) pueden organizarse en la ecuación matricial

    \[\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0.3 & -1.2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 85 \\ 0 \end{bmatrix} \nonumber \]

    Esta ecuación representa una forma parcialmente resuelta de Ecuación\(\PageIndex{5}\), en la que hemos utilizado el llamado procedimiento de eliminación de Gauss para introducir un cero en la ecuación matricial con el fin de aislar una variable. El software MATLAB contiene procedimientos integrados para implementar la eliminación de Gauss en matrices mucho más grandes. Así MATLAB puede ser utilizado para resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales.

    Antes de poder aplicar álgebra lineal a problemas físicos más interesantes, necesitamos introducir las herramientas matemáticas que usaremos.


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