4.2: Vectores

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Para nuestros propósitos, un vector es una colección de números reales en una matriz unidimensional. ¹ Normalmente pensamos que la matriz está dispuesta en una columna y escribimos

\[x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ | \\ x_n \end{bmatrix} \nonumber \]

Observe que indicamos un vector con negritas y los elementos constitutivos con subíndices. Un número real por sí mismo se llama escalar, en distinción de un vector o una matriz. Decimos que\(x\) es un n-vector, es decir, que\(x\) tiene\(n\) elementos. Para indicar que\(x_1\) es un número real, escribimos

\[x_1 \;∈ \;\mathbb{R} \nonumber \]

es decir, que\(x_1\) está contenido en\(\mathbb{R}\), el conjunto de números reales. Para indicar que\(x\) es un vector de números\(n\) reales, escribimos

\[x\;∈\;\mathbb{R}^n \nonumber \]

es decir, que\(x\) está contenido en\(R^n\), el conjunto de n-tuplas reales. Geométricamente,\(R^n\) es espacio n-dimensional, y la notación\(x\;∈\;\mathbb{R}^n\) significa que\(x\) es un punto en ese espacio, especificado por las\(n\) coordenadas\(x_1,x_2,...,x_n\). La figura muestra un vector en\(R^3\), dibujado como una flecha desde el origen hasta el punto\(x\). Nuestra intuición geométrica comienza a fallar por encima de tres dimensiones, pero el álgebra lineal es completamente general.

La figura uno muestra un vector en R^3, una gráfica tridimensional. El eje que apunta hacia la pantalla está etiquetado como x_1, el eje que apunta a la derecha está etiquetado como x_2 y el eje que apunta hacia arriba está etiquetado como x_3. Una flecha apunta hacia la dirección positiva de los tres ejes, hacia arriba, hacia la pantalla y hacia la derecha. Su punto final está etiquetado como x, y los segmentos de línea discontinua se dibujan de nuevo desde este punto hasta los puntos respectivos en los ejes y en el plano x_1 x_2, mostrando su ubicación.

A veces nos resulta útil bosquejar vectores con más de tres dimensiones de la misma manera que el vector tridimensional de la figura. Luego consideramos que cada eje representa más de una dimensión, un hiperplano, en nuestro espacio n-dimensional. No podemos mostrar todos los detalles de lo que está sucediendo en el espacio n sobre una figura tridimensional, pero a menudo podemos mostrar características importantes y obtener una visión geométrica.

Adición de vectores

Los vectores con el mismo número de elementos se pueden sumar y restar de una manera muy natural:

\[x+y = \begin{bmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ x_3+y_3 \\ | \\ x_n+y_n \end{bmatrix}; x−y = \begin{bmatrix} x_1−y_1 \\ x_2−y_2 \\ x_3−y_3 \\ | \\ x_n−y_n \end{bmatrix} \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

La diferencia entre el vector\(x=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) y el vector\(y=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\) es el vector\(z=x−y=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\). Estos vectores se ilustran en la Figura. Se puede ver que este resultado es consistente con la definición de resta vectorial en la Ecuación. También puedes imaginar la resta en la Figura invirtiendo mentalmente la dirección del vector\(y\) para obtener\(−y\) y luego agregarlo\(x\) deslizándolo a la posición donde su cola coincide con la cabeza del vector\(x\). (La cabeza es el final con la flecha.) Cuando desliza un vector a una nueva posición para agregarlo a otro vector, no debe cambiar su longitud o dirección.

La figura dos es una gráfica tridimensional que contiene tres vectores. El eje que apunta hacia la pantalla está etiquetado como x_1, el eje que apunta a la derecha está etiquetado como x_2 y el eje que apunta hacia arriba está etiquetado como x_3. Un vector y apunta hacia arriba a lo largo del eje x_3 y está etiquetado con una matriz de 3 por 1, 0 0 1. Un vector z apunta en la dirección positiva x_2 y x_1 en el plano x_2 x_1, y se etiqueta con una matriz de 3 por 1, 1, 1, 0. Un vector final x apunta en la dirección positiva x_1, x_2 y x_3, y se etiqueta con una matriz de 3 por 1, 1 1. — Figura\(\PageIndex{2}\): Resta de vectores

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Calcular y trazar x+y y x−y para cada uno de los siguientes casos:

\(x=\begin{bmatrix}1\\3\\2\end{bmatrix},y=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\)
\(x=\begin{bmatrix}−1\\3\\−2\end{bmatrix},y=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\)
\(x=\begin{bmatrix}1\\−3\\2\end{bmatrix},y=\begin{bmatrix}1\\3\\2\end{bmatrix}\)

Producto Escalar

Se definen varios tipos diferentes de multiplicación de vectores. ² Comenzamos con el producto escalar. La multiplicación escalar se define para escalar\(a\) y vector\(x\) como

\[ax=\begin{bmatrix}ax_1 \\ ax_2 \\ ax_3 \\ | \\ ax_n\end{bmatrix} \nonumber \]

Si\(|a|<1\), entonces el vector\(ax\) es “más corto” que el vector\(x\); si\(|a|>1\), entonces el vector\(ax\) es “más largo” que\(x\). Esto se ilustra para un vector 2 en la Figura.

La figura tres es una gráfica cartesiana bidimensional con eje horizontal etiquetado x_1 y eje vertical etiquetado x_2. Una línea desde el tercer cuadrante se mueve a través del origen hacia el primer cuadrante con una pendiente positiva poco profunda. El extremo inferior en el tercer cuadrante tiene una flecha que apunta lejos del origen, y está etiquetada -2x. Una flecha en el primer cuadrante apunta lejos del origen y está etiquetada 1/2 x. — Figura\(\PageIndex{3}\): El producto escalar\(ax\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Calcular y trazar el hacha del producto escalar cuando\(x=\begin{bmatrix}1 \\ 1/2 \\ l/4 \end{bmatrix}\) para cada uno de los siguientes escalares:

\(a=1\)
\(a=−1\)
\(a=−1/4\)
\(a=2\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Dados los vectores\(x,y,z∈\mathbb{R}^n\) y el escalar\(a∈\mathbb{R}\), prueban las siguientes identidades:

\(x+y=y+x\). ¿La adición de vectores es conmutativa?
\((x+y)+z=x+(y+z)\). ¿La adición de vectores es asociativa?
\(a(x+y)=ax+ay\). ¿La multiplicación escalar es distributiva sobre la adición de vectores?

Notas al pie

En un desarrollo formal del álgebra lineal, el concepto abstracto de un espacio vectorial juega un papel fundamental. Dejaremos dichos conceptos a un curso completo de álgebra lineal e introduciremos únicamente las técnicas funcionales necesarias para resolver los problemas que nos planteamos.
La división de dos vectores es indefinida, aunque tres diferentes ‚Äúdivisions‚Äù se definen en MATLAB.