2: Derivados
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El cálculo se basa en dos operaciones: la diferenciación, que se utiliza para analizar la tasa instantánea de cambio, y la integración, que se utiliza para analizar áreas. Comprender la diferenciación y utilizarla para computar derivadas de funciones es uno de los principales objetivos de este curso.
Se vislumbró derivados en el capítulo anterior sobre límites —en particular las Secciones 1.1 y 1.2 sobre tangentes y velocidades introdujeron derivadas disfrazadas. Una de las principales razones por las que enseñamos los límites es entender los derivados. Afortunadamente, como veremos, si bien se necesita entender los límites para entender correctamente los derivados, no se necesita toda la maquinaria de límites para computar y trabajar con derivados. La otra parte principal del cálculo, la integración, nos vamos (en su mayoría) hasta un curso posterior.
El derivado encuentra muchas aplicaciones en muchas áreas diferentes de las ciencias. En efecto, la razón por la que tantos estudiantes universitarios toman el cálculo es para que puedan entonces utilizar las ideas tanto en cursos posteriores de matemáticas como en otros campos. En casi cualquier campo en el que estudies datos cuantitativos puedes encontrar cálculos acechando en algún lugar cercano.
Su desarrollo 1 se produjo a lo largo de un tiempo muy largo, comenzando por los antiguos geometros griegos. Matemáticos indios, persas y árabes hicieron contribuciones significativas de alrededor del\(6^{th}\) siglo. Pero el cálculo moderno realmente comienza con Newton y Leibniz en el\(17^{th}\) siglo que se desarrollaron independientemente a partir de ideas de otros incluyendo Descartes. Newton aplicó su obra a muchos problemas físicos (incluyendo órbitas de lunas y planetas) pero no publicó su obra. Cuando Leibniz publicó posteriormente su “cálculo”, Newton lo acusó de plagio —esto provocó una enorme grieta entre matemáticos británicos y continental-europeos que no estuvo cerrada en otro siglo.
- 2.1: Revisando Líneas Tangentes
- A modo de motivación para la definición de la derivada, volvemos a la discusión de líneas tangentes que iniciamos en el capítulo anterior sobre límites. Consideramos, en los Ejemplos 2.1.2 y 2.1.5, a continuación, el problema de encontrar la pendiente de la línea tangente a una curva en un punto. Pero comencemos recordando, en el Ejemplo 2.1.1, lo que se entiende por la pendiente de una línea recta.
- 2.2: Definición del Derivado
- Ahora definimos la “derivada” explícitamente, con base en las ideas de pendiente limitante de la sección anterior. Entonces vemos cómo calcular algunas derivadas simples.
- 2.3: Interpretaciones de la Derivada
- En las secciones anteriores definimos la derivada como la pendiente de una línea tangente, utilizando un límite particular. Esto nos permite calcular “la pendiente de una curva” 1 y nos proporciona una interpretación de la derivada. Sin embargo, la importancia principal de los derivados no proviene de esta aplicación. En cambio, (posiblemente) proviene de la interpretación de la derivada como la tasa instantánea de cambio de una cantidad.
- 2.4: Aritmética de derivados - una caja de herramientas de diferenciación
- Hasta el momento, hemos evaluado derivados únicamente aplicando la Definición 2.2.1 a la función en cuestión y luego calculando los límites requeridos directamente. Es bastante obvio que a medida que la función que se está diferenciando se vuelve incluso un poco complicada, este procedimiento rápidamente se vuelve extremadamente difícil de manejar.
- 2.5: Pruebas de la Aritmética de Derivados
- Los teoremas de la sección anterior no son demasiado difíciles de probar a partir de la definición de la derivada (que conocemos) y la aritmética de límites (que también conocemos). En esta sección mostramos cómo construir estas reglas.
- 2.6: Uso de la Aritmética de Derivadas — Ejemplos
- En esta sección ilustramos el cálculo de derivados utilizando la aritmética de derivados — Teoremas 2.4.2, 2.4.3 y 2.4.5. Para dejar claro qué reglas estamos usando durante los ejemplos notaremos qué teorema estamos usando:
- 2.7: Derivadas de Funciones Exponenciales
- Ahora que entendemos cómo los derivados interactúan con productos y cocientes, somos capaces de calcular derivadas de polinomios, funciones racionales y poderes y raíces de funciones racionales.
- 2.8: Derivadas de las Funciones Trigonométricas
- Ahora vamos a calcular las derivadas de las diversas funciones trigonométricas,\(\sin x\text{,}\)\(\cos x\) y así sucesivamente. Los cómputos están más involucrados que los demás que hemos hecho hasta ahora y darán varios pasos. Afortunadamente, las respuestas finales serán muy sencillas.
- 2.9: Una herramienta más: la regla de la cadena
- Hemos construido la mayoría de las herramientas que necesitamos para expresar derivadas de funciones complicadas en términos de derivadas de funciones conocidas más simples. Comenzamos aprendiendo a evaluar derivados de sumas, productos y cocientes derivados de constantes y monomios
- 2.10: El logaritmo natural
- La regla de la cadena abre el camino para entender derivados de funciones más complicadas. No sólo composiciones de funciones conocidas como hemos visto los ejemplos de la sección anterior, sino también funciones que se definen implícitamente.
- 2.11: Diferenciación implícita
- La diferenciación implícita es un truco simple que se usa para calcular derivadas de funciones ya sea cuando no conoces una fórmula explícita para la función, pero conoces una ecuación que la función obedece o incluso cuando tienes una fórmula explícita, pero complicada, para la función, y la función obedece a una ecuación simple.
- 2.12: Funciones trigonométricas inversas
- Una aplicación muy útil de la diferenciación implícita es encontrar las derivadas de funciones inversas. Ya hemos utilizado este enfoque para encontrar la derivada de la inversa de la función exponencial — el logaritmo.
- 2.13: El teorema del valor medio
- Considera la siguiente situación. Dos pueblos están separados por un tramo de carretera de 120km de largo.
- 2.14: Derivados de orden superior
- La operación de diferenciación toma como entrada una función,\(f(x)\text{,}\) y produce como salida otra función,\(f'(x)\text{.}\) Ahora\(f'(x)\) es una vez más una función. Entonces podemos diferenciarlo de nuevo, asumiendo que es diferenciable, para crear una tercera función, llamada la segunda derivada de\(f\text{.}\) Y podemos volver a diferenciar la segunda derivada para crear una cuarta función, llamada la tercera derivada de\(f\text{.}\) Y así sucesivamente.