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# 4.6E: Ejercicios

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## La práctica hace la perfección

Escribir la Matriz Aumentada para un Sistema de Ecuaciones

En los siguientes ejercicios, escriba cada sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada.

$$\left\{ \begin{array} {l} 3x−y=−1\\ 2y=2x+5\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array} {l} 4x+3y=−2\\ x−2y−3z=7 \\ 2x−y+2z=−6 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array} {l} 2x+4y=−5\\ 3x−2y=2\end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array} {l} 3x−2y−z=−2\\ −2x+y=5 \\ 5x+4y+z=−1 \end{array} \right.$$

Contestar

$$\left[ \begin{matrix} 2 &4 &−5 \\ 3 &−2 &2 \end{matrix} \right]$$
$$\left[ \begin{matrix} 3 &−2 &−1 &−2 \\ −2 &1 &0 &5 \\ 5 &4 &1 &−1 \end{matrix} \right]$$

$$\left\{ \begin{array} {l} 3x−y=−4 \\ 2x=y+2 \end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array} {l} x−3y−4z=−2 \\ 4x+2y+2z=5 \\ 2x−5y+7z=−8 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array} {l} 2x−5y=−3 \\ 4x=3y−1 \end{array} \right.$$
$$\left\{ \begin{array} {l} 4x+3y−2z=−3 \\ −2x+y−3z=4 \\ −x−4y+5z=−2 \end{array} \right.$$

Contestar

$$\left[ \begin{matrix} 2 &−5 &−3 \\ 4 &−3 &−1 \end{matrix} \right]$$
$$\left[ \begin{matrix} 4 &3 &−2 &−3 \\ −2 &1 &−3 &4 \\ −1 &−4 &5 &−2 \end{matrix} \right]$$

Escribir el sistema de ecuaciones que corresponda a la matriz aumentada.

$$\left[ \begin{array} {cc|c} 2 &−1 &4 \\ 1 &−3 &2 \end{array} \right]$$

$$\left[ \begin{array} {cc|c} 2 &−4 &-2 \\ 3 &−3 &-1 \end{array} \right]$$

Contestar

$$\left\{ \begin{array} {l} 2x−4y=−2 \\ 3x−3y=−1 \end{array} \right.$$

$$\left[ \begin{array} {ccc|c} 1 &0 &−3 &-1 \\ 1 &−2 &0 &-2 \\ 0 &−1 &2 &3 \end{array} \right]$$

$$\left[ \begin{array} {ccc|c} 2 &−2 &0 &-1 \\ 0 &2 &−1 &2 \\ 3 &0 &−1 &-2 \end{array} \right]$$

Contestar

$$\left\{ \begin{array} {l} 2x−2y=−1 \\ 2y−z=2 \\ 3x−z=−2 \end{array} \right.$$

Usar operaciones de fila en una matriz

En los siguientes ejercicios, realizar las operaciones indicadas sobre las matrices aumentadas.

$$\left[ \begin{array} {cc|c} 6 &−4 &3 \\ 3 &−2 &1 \end{array} \right]$$

ⓐ Intercambiadores de filas 1 y 2

ⓑ Multiplicar fila 2 por 3

ⓒ Multiplica la fila 2 por$$−2$$ y agrega la fila 1 a ella.

$$\left[ \begin{array} {cc|c} 4 &−6 &-3 \\ 3 &2 &1 \end{array} \right]$$

ⓐ Intercambiadores de filas 1 y 2

ⓑ Multiplicar fila 1 por 4

ⓒ Multiplica la fila 2 por 3 y agrega la fila 1 a ella.

Contestar

$$\left[ \begin{matrix} 3 &2 &1 \\ 4 &−6 &−3 \end{matrix} \right]$$
$$\left[ \begin{matrix} 12 &8 &4 \\ 4 &−6 &−3 \end{matrix} \right]$$
$$\left[ \begin{matrix} 12 &8 &4 \\ 24 &−10 &−5 \end{matrix} \right]$$

$$\left[ \begin{array} {ccc|c} 4 &−12 &−8 &16 \\ 4 &−2 &−3 &-1 \\ −6 &2 &−1 &-1 \end{array} \right]$$

$$\left[ \begin{array} {ccc|c} 6 &−5 &2 &3 \\ 2 &1 &−4 &5 \\ 3 &−3 &1 &-1 \end{array} \right]$$

Contestar

$$\left[ \begin{matrix} 2 &1 &−4 &5 \\ 6 &−5 &2 &3 \\ 3 &−3 &1 &−1 \end{matrix} \right]$$
$$\left[ \begin{matrix} 2 &1 &−4 &5 \\ 6 &−5 &2 &3 \\ 3 &−3 &1 &−1 \end{matrix} \right]$$
$$\left[ \begin{matrix} 2 &1 &−4 &5 \\ 6 &−5 &2 &3 \\ −4 &7 &−6 &7 \end{matrix} \right]$$

Realice la operación de fila necesaria que hará que la primera entrada en la fila 2 sea cero en la matriz aumentada:$$\left[ \begin{array} {cc|c} 1 &2 &5 \\ −3 &−4 &-1 \end{array} \right]$$

Realice las operaciones de fila necesarias que harán que la primera entrada tanto en la fila 2 como en la fila 3 sea cero en la matriz aumentada:$$\left[ \begin{array} {ccc|c} 1 &−2 &3 &-4 \\ 3 &−1 &−2 &5 \\ 2 &−3 &−4 &1 \end{array} \right]$$

Contestar

$$\left[ \begin{matrix} 1 &−2 &3 &−4 \\ 0 &5 &−11 &17 \\ 0 &1 &−10 &7 \end{matrix} \right]$$

Resolver Sistemas de Ecuaciones Usando Matrices

En los siguientes ejercicios, resuelve cada sistema de ecuaciones utilizando una matriz.

$$\left\{ \begin{array} {l} 2x+y=2 \\ x−y=−2 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array} {l} 3x+y=2 \\ x−y=2 \end{array} \right.$$

Contestar

$$(1,−1)$$

$$\left\{ \begin{array} {l} −x+2y=−2 \\ x+y=−4 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array} {l} −2x+3y=3 \\ x+3y=12 \end{array} \right.$$

Contestar

$$(3,3)$$

En los siguientes ejercicios, resuelve cada sistema de ecuaciones utilizando una matriz.

$$\left\{ \begin{array} {l} 2x−3y+z=19 \\ −3x+y−2z=−1 \\ 5x+y+z=0 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array} {l} 2x−y+3z=−3 \\ −x+2y−z=10 \\ x+y+z=5 \end{array} \right.$$

Contestar

$$(−2,5,2)$$

$$\left\{ \begin{array} {l} 2x−6y+z=3 \\ 3x+2y−3z=2 \\ 2x+3y−2z=3 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array} {l} 4x−3y+z=7 \\ 2x−5y−4z=3 \\ 3x−2y−2z=−7 \end{array} \right.$$

Contestar

$$(−3,−5,4)$$

$$\left\{ \begin{array} {l} x+2z=0 \\ 4y+3z=−2 \\ 2x−5y=3 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array} {l} 2x+5y=4 \\ 3y−z=3 \\ 4x+3z=−3 \end{array} \right.$$

Contestar

$$(−3,2,3)$$

$$\left\{ \begin{array} {l} 2y+3z=−1 \\ 5x+3y=−6 \\ 7x+z=1 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array} {l} 3x−z=−3 \\ 5y+2z=−6 \\ 4x+3y=−8 \end{array} \right.$$

Contestar

$$(−2,0,−3)$$

$$\left\{ \begin{array} {l} 2x+3y+z=1 \\ 2x+y+z=9 \\ 3x+4y+2z=20 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array} {l} x+2y+6z=5 \\ −x+y−2z=3 \\ x−4y−2z=1 \end{array} \right.$$

Contestar

no hay solución

$$\left\{ \begin{array} {l} x+2y−3z=−1 \\ x−3y+z=1 \\ 2x−y−2z=2 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array} {l} 4x−3y+2z=0 \\ −2x+3y−7z=1 \\ 2x−2y+3z=6 \end{array} \right.$$

Contestar

no hay solución

$$\left\{ \begin{array} {l} x−y+2z=−4 \\ 2x+y+3z=2 \\ −3x+3y−6z=12 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array} {l} −x−3y+2z=14 \\ −x+2y−3z=−4 \\ 3x+y−2z=6 \end{array} \right.$$

Contestar

infinitamente muchas soluciones$$(x,y,z)$$ donde$$x=12z+4;\space y=12z−6;\space z$$ está cualquier número real

$$\left\{ \begin{array} {l} x+y−3z=−1 \\ y−z=0 \\ −x+2y=1 \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array} {l} x+2y+z=4 \\ x+y−2z=3 \\ −2x−3y+z=−7 \end{array} \right.$$

Contestar

infinitamente muchas soluciones$$(x,y,z)$$ donde$$x=5z+2;\space y=−3z+1;\space z$$ está cualquier número real

## Ejercicios de escritura

Resuelve el sistema de ecuaciones$$\left\{ \begin{array} {l} x+y=10 \\ x−y=6\end{array} \right.$$ ⓐ graficando y ⓑ por sustitución. ⓒ ¿Qué método prefieres? ¿Por qué?

Resuelve el sistema de ecuaciones$$\left\{ \begin{array} {l} 3x+y=1 \\ 2x=y−8 \end{array} \right.$$ por sustitución y explica todos tus pasos en palabras.

Contestar

Las respuestas variarán.

## Autocomprobación

ⓐ Después de completar los ejercicios, usa esta lista de verificación para evaluar tu dominio de los objetivos de esta sección.

ⓑ Después de mirar la lista de verificación, ¿crees que estás bien preparado para la siguiente sección? ¿Por qué o por qué no?

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