8.4: Simplificar exponentes racionales

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

• Simplifique las expresiones con\(a^{\frac{1}{n}}\)
• Simplifique las expresiones con\(a^{\frac{m}{n}}\)
• Utilizar las propiedades de los exponentes para simplificar expresiones con exponentes racionales

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Agregar:\(\frac{7}{15}+\frac{5}{12}\).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 1.28.
2. Simplificar:\((4x^{2}y^{5})^{3}\).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.18.
3. Simplificar:\(5^{−3}\).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.14.

Simplifique las expresiones con\(a^{\frac{1}{n}}\)

Los exponentes racionales son otra forma de escribir expresiones con radicales. Cuando usamos exponentes racionales, podemos aplicar las propiedades de los exponentes para simplificar expresiones.

La Propiedad de Poder para Exponentes dice que\(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\) cuando\(m\) y\(n\) son números enteros. Supongamos que ahora no estamos limitados a números enteros.

Supongamos que queremos encontrar un número\(p\) tal que\(\left(8^{p}\right)^{3}=8\). Utilizaremos la Propiedad de Poder de los Exponentes para encontrar el valor de\(p\).

\(\left(8^{p}\right)^{3}=8\)

Multiple los exponentes a la izquierda.

\(8^{3p}=8\)

Escribe el exponente\(1\) a la derecha.

\(8^{3p}=8^{1}\)

Dado que las bases son las mismas, los exponentes deben ser iguales.

\(3p=1\)

Resolver para\(p\).

\(p=\frac{1}{3}\)

Entonces\(\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=8\). Pero también lo sabemos\((\sqrt[3]{8})^{3}=8\). Entonces debe ser eso\(8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}\).

Esta misma lógica se puede utilizar para cualquier exponente entero positivo\(n\) para mostrar eso\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).

Definición\(\PageIndex{1}\): Rational Exponent \(a^{\frac{1}{n}}\)

Si\(\sqrt[n]{a}\) es un número real y\(n \geq 2\), entonces

\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)

El denominador del exponente racional es el índice del radical.

Habrá momentos en los que trabajar con expresiones será más fácil si usas exponentes racionales y momentos en los que será más fácil si usas radicales. En los primeros ejemplos, practicarás la conversión de expresiones entre estas dos notaciones.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Escribe como una expresión radical:

1. \(x^{\frac{1}{2}}\)
2. \(y^{\frac{1}{3}}\)
3. \(z^{\frac{1}{4}}\)

Solución:

Queremos escribir cada expresión en la forma\(\sqrt[n]{a}\).

a.

\(x^{\frac{1}{2}}\)

El denominador del exponente racional es\(2\), así es el índice del radical\(2\). No mostramos el índice cuando es\(2\).

\(\sqrt{x}\)

b.

\(y^{\frac{1}{3}}\)

El denominador del exponente es\(3\), entonces el índice es\(3\).

\(\sqrt[3]{y}\)

c.

\(z^{\frac{1}{4}}\)

El denominador del exponente es\\(4\), entonces el índice es\(4\).

\(\sqrt[4]{z}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Escribe como una expresión radical:

1. \(t^{\frac{1}{2}}\)
2. \(m^{\frac{1}{3}}\)
3. \(r^{\frac{1}{4}}\)

Responder

1. \(\sqrt{t}\)
2. \(\sqrt[3]{m}\)
3. \(\sqrt[4]{r}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Escribe como una expresión radical:

1. \(b^{\frac{1}{6}}\)
2. \(z^{\frac{1}{5}}\)
3. \(p^{\frac{1}{4}}\)

Responder

1. \(\sqrt[6]{b}\)
2. \(\sqrt[5]{z}\)
3. \(\sqrt[4]{p}\)

En el siguiente ejemplo, escribiremos cada radical usando un exponente racional. Es importante usar paréntesis alrededor de toda la expresión en el radicando ya que toda la expresión se eleva al poder racional.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Escribe con un exponente racional:

1. \(\sqrt{5y}\)
2. \(\sqrt[3]{4 x}\)
3. \(3 \sqrt[4]{5 z}\)

Solución:

Queremos escribir cada radical en la forma\(a^{\frac{1}{n}}\)

a.

\(\sqrt{5y}\)

No se muestra ningún índice, así es\(2\).

El denominador del exponente será\(2\).

Ponga paréntesis alrededor de toda la expresión\(5y\).

\((5 y)^{\frac{1}{2}}\)

b.

\(\sqrt[3]{4 x}\)

El índice es\(3\), por lo que el denominador del exponente lo es\(3\). Incluir paréntesis\((4x)\).

\((4 x)^{\frac{1}{3}}\)

c.

\(3 \sqrt[4]{5 z}\)

El índice es\(4\), por lo que el denominador del exponente lo es\(4\). Poner paréntesis solo alrededor de la\(5z\) ya que 3 no está bajo el signo radical.

\(3(5 z)^{\frac{1}{4}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Escribe con un exponente racional:

1. \(\sqrt{10m}\)
2. \(\sqrt[5]{3 n}\)
3. \(3 \sqrt[4]{6 y}\)

Contestar

1. \((10 m)^{\frac{1}{2}}\)
2. \((3 n)^{\frac{1}{5}}\)
3. \(3(6 y)^{\frac{1}{4}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Escribe con un exponente racional:

1. \(\sqrt[7]{3 k}\)
2. \(\sqrt[4]{5 j}\)
3. \(8 \sqrt[3]{2 a}\)

Contestar

1. \((3 k)^{\frac{1}{7}}\)
2. \((5 j)^{\frac{1}{4}}\)
3. \(8(2 a)^{\frac{1}{3}}\)

En el siguiente ejemplo, puede resultarle más fácil simplificar las expresiones si las reescribe primero como radicales.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Simplificar:

1. \(25^{\frac{1}{2}}\)
2. \(64^{\frac{1}{3}}\)
3. \(256^{\frac{1}{4}}\)

Solución:

a.

\(25^{\frac{1}{2}}\)

Reescribir como una raíz cuadrada.

\(\sqrt{25}\)

Simplificar.

\(5\)

b.

\(64^{\frac{1}{3}}\)

Reescribir como una raíz cubo.

\(\sqrt[3]{64}\)

Reconocer\(64\) es un cubo perfecto.

\(\sqrt[3]{4^{3}}\)

Simplificar.

\(4\)

c.

\(256^{\frac{1}{4}}\)

Reescribir como una cuarta raíz.

\(\sqrt[4]{256}\)

Reconocer\(256\) es un perfecto cuarto poder.

\(\sqrt[4]{4^{4}}\)

Simplificar.

\(4\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Simplificar:

1. \(36^{\frac{1}{2}}\)
2. \(8^{\frac{1}{3}}\)
3. \(16^{\frac{1}{4}}\)

Contestar

1. \(6\)
2. \(2\)
3. \(2\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Simplificar:

1. \(100^{\frac{1}{2}}\)
2. \(27^{\frac{1}{3}}\)
3. \(81^{\frac{1}{4}}\)

Contestar

1. \(10\)
2. \(3\)
3. \(3\)

Tenga cuidado con la colocación de los signos negativos en el siguiente ejemplo. Tendremos que usar la propiedad\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\) en un solo caso.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Simplificar:

1. \((-16)^{\frac{1}{4}}\)
2. \(-16^{\frac{1}{4}}\)
3. \((16)^{-\frac{1}{4}}\)

Solución:

a.

\((-16)^{\frac{1}{4}}\)

Reescribir como una cuarta raíz.

\(\sqrt[4]{-16}\)

\(\sqrt[4]{(-2)^{4}}\)

Simplificar.

Sin solución real

b.

\(-16^{\frac{1}{4}}\)

El exponente sólo aplica a la\(16\). Reescribir como una cuarta raíz.

\(-\sqrt[4]{16}\)

Reescribir\(16\) como\(2^{4}\)

\(-\sqrt[4]{2^{4}}\)

Simplificar.

\(-2\)

c.

\((16)^{-\frac{1}{4}}\)

Reescribir usando la propiedad\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\).

\(\frac{1}{(16)^{\frac{1}{4}}}\)

Reescribir como una cuarta raíz.

\(\frac{1}{\sqrt[4]{16}}\)

Reescribir\(16\) como\(2^{4}\).

\(\frac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}}\)

Simplificar.

\(\frac{1}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Simplificar:

1. \((-64)^{-\frac{1}{2}}\)
2. \(-64^{\frac{1}{2}}\)
3. \((64)^{-\frac{1}{2}}\)

Contestar

1. Sin solución real
2. \(-8\)
3. \(\frac{1}{8}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Simplificar:

1. \((-256)^{\frac{1}{4}}\)
2. \(-256^{\frac{1}{4}}\)
3. \((256)^{-\frac{1}{4}}\)

Contestar

1. Sin solución real
2. \(-4\)
3. \(\frac{1}{4}\)

Simplifique las expresiones con\(a^{\frac{m}{n}}\)

Podemos mirar de dos\(a^{\frac{m}{n}}\) maneras. Recuerda que la Propiedad de Poder nos dice multiplicar los exponentes y así\(\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}\) y\(\left(a^{m}\right)^{\frac{1}{n}}\) ambos iguales\(a^{\frac{m}{n}}\). Si escribimos estas expresiones en forma radical, obtenemos

\(a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}=(\sqrt[n]{a})^{m} \quad \text { and } \quad a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{m}\right)^{^{\frac{1}{n}}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)

Esto nos lleva a la siguiente definición.

Definición\(\PageIndex{2}\): Rational Exponent \(a^{\frac{m}{n}}\)

Para cualquier número entero positivo\(m\) y\(n\),

\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \quad \text { and } \quad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)

¿Qué forma utilizamos para simplificar una expresión? Normalmente echamos la raíz primero, de esa manera mantenemos los números en el radical más pequeños, antes de elevarlo al poder indicado.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Escribe con un exponente racional:

1. \(\sqrt{y^{3}}\)
2. \((\sqrt[3]{2 x})^{4}\)
3. \(\sqrt{\left(\frac{3 a}{4 b}\right)^{3}}\)

Solución:

Queremos usar para\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\) escribir cada radical en la forma\(a^{\frac{m}{n}}\)

a.

Figura 8.3.1

b.

Figura 8.3.2

c.

Figura 8.3.3

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Escribe con un exponente racional:

1. \(\sqrt{x^{5}}\)
2. \((\sqrt[4]{3 y})^{3}\)
3. \(\sqrt{\left(\frac{2 m}{3 n}\right)^{5}}\)

Contestar

1. \(x^{\frac{5}{2}}\)
2. \((3 y)^{\frac{3}{4}}\)
3. \(\left(\frac{2 m}{3 n}\right)^{\frac{5}{2}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Escribe con un exponente racional:

1. \(\sqrt[5]{a^{2}}\)
2. \((\sqrt[3]{5 a b})^{5}\)
3. \(\sqrt{\left(\frac{7 x y}{z}\right)^{3}}\)

Contestar

1. \(a^{\frac{2}{5}}\)
2. \((5 a b)^{\frac{5}{3}}\)
3. \(\left(\frac{7 x y}{z}\right)^{\frac{3}{2}}\)

Recuerden eso\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\). El signo negativo en el exponente no cambia el signo de la expresión.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Simplificar:

1. \(125^{\frac{2}{3}}\)
2. \(16^{-\frac{3}{2}}\)
3. \(32^{-\frac{2}{5}}\)

Solución:

Vamos a reescribir la expresión como un radical primero usando la definición,\(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m}\). Esta forma nos permite tomar la raíz primero y así mantenemos los números en el radical más pequeños que si usáramos la otra forma.

a.

\(125^{\frac{2}{3}}\)

El poder del radical es el numerador del exponente,\(2\). El índice del radical es el denominador del exponente,\(3\).

\((\sqrt[3]{125})^{2}\)

Simplificar.

\((5)^{2}\)

\(25\)

b. Primero reescribiremos cada expresión usando\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\) y luego cambiaremos a forma radical.

\(16^{-\frac{3}{2}}\)

Reescribir usando\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)

\(\frac{1}{16^{\frac{3}{2}}}\)

Cambio a forma radical. El poder del radical es el numerador del exponente,\(3\). El índice es el denominador del exponente,\(2\).

\(\frac{1}{(\sqrt{16})^{3}}\)

Simplificar.

\(\frac{1}{4^{3}}\)

\(\frac{1}{64}\)

c.

\(32^{-\frac{2}{5}}\)

Reescribir usando\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)

\(\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}\)

Cambio a forma radical.

\(\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^{2}}\)

Reescribir el radicando como un poder.

\(\frac{1}{\left(\sqrt[5]{2^{5}}\right)^{2}}\)

Simplificar.

\(\frac{1}{2^{2}}\)

\(\frac{1}{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Simplificar:

1. \(27^{\frac{2}{3}}\)
2. \(81^{-\frac{3}{2}}\)
3. \(16^{-\frac{3}{4}}\)

Contestar

1. \(9\)
2. \(\frac{1}{729}\)
3. \(\frac{1}{8}\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Simplificar:

1. \(4^{\frac{3}{2}}\)
2. \(27^{-\frac{2}{3}}\)
3. \(625^{-\frac{3}{4}}\)

Contestar

1. \(8\)
2. \(\frac{1}{9}\)
3. \(\frac{1}{125}\)

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Simplificar:

1. \(-25^{\frac{3}{2}}\)
2. \(-25^{-\frac{3}{2}}\)
3. \((-25)^{\frac{3}{2}}\)

Solución:

a.

\(-25^{\frac{3}{2}}\)

Reescribir en forma radical.

\(-(\sqrt{25})^{3}\)

Simplifica lo radical.

\(-(5)^{3}\)

Simplificar.

\(-125\)

b.

\(-25^{-\frac{3}{2}}\)

Reescribir usando\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\).

\(-\left(\frac{1}{25^{\frac{3}{2}}}\right)\)

Reescribir en forma radical.

\(-\left(\frac{1}{(\sqrt{25})^{3}}\right)\)

Simplifica lo radical.

\(-\left(\frac{1}{(5)^{3}}\right)\)

Simplificar.

\(-\frac{1}{125}\)

c.

\((-25)^{\frac{3}{2}}\)

Reescribir en forma radical.

\((\sqrt{-25})^{3}\)

No hay un número real cuya raíz cuadrada sea\(-25\).

No es un número real.

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Simplificar:

1. \(-16^{\frac{3}{2}}\)
2. \(-16^{-\frac{3}{2}}\)
3. \((-16)^{-\frac{3}{2}}\)

Contestar

1. \(-64\)
2. \(-\frac{1}{64}\)
3. No es un número real

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Simplificar:

1. \(-81^{\frac{3}{2}}\)
2. \(-81^{-\frac{3}{2}}\)
3. \((-81)^{-\frac{3}{2}}\)

Contestar

1. \(-729\)
2. \(-\frac{1}{729}\)
3. No es un número real

Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar expresiones con exponentes racionales

Las mismas propiedades de los exponentes que ya hemos utilizado también se aplican a los exponentes racionales. Vamos a enumerar las Propiedades de los Exponentes aquí para tenerlos como referencia a medida que simplificamos las expresiones.

Propiedades de los Exponentes

Si\(a\) y\(b\) son números reales y\(m\) y\(n\) son números racionales, entonces

Propiedad del producto

\(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\)

Propiedad de energía

\(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\)

Producto a una potencia

\((a b)^{m}=a^{m} b^{m}\)

Propiedad del cociente

\(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, a \neq 0\)

Definición de exponente cero

\(a^{0}=1, a \neq 0\)

Cociente a una propiedad de energía

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0\)

Propiedad de exponente negativo

\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, a \neq 0\)

Aplicaremos estas propiedades en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Simplificar:

1. \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{6}}\)
2. \(\left(z^{9}\right)^{\frac{2}{3}}\)
3. \(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\)

Solución

a. La Propiedad del Producto nos dice que cuando multiplicamos la misma base, agregamos los exponentes.

\(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{6}}\)

Las bases son las mismas, por lo que sumamos los exponentes.

\(x^{\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}\)

Añadir las fracciones.

\(x^{\frac{8}{6}}\)

Simplifica el exponente.

\(x^{\frac{4}{3}}\)

b. La Propiedad del Poder nos dice que cuando elevamos una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes.

\(\left(z^{9}\right)^{\frac{2}{3}}\)

Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes.

\(z^{9 \cdot \frac{2}{3}}\)

Simplificar.

\(z^{6}\)

c. La Propiedad Cociente nos dice que cuando dividimos con la misma base, restamos los exponentes.

\(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\)

Para dividir con la misma base, restamos los exponentes.

\(\frac{1}{x^{\frac{5}{3}-\frac{1}{3}}}\)

Simplificar.

\(\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Simplificar:

1. \(x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{4}{3}}\)
2. \(\left(x^{6}\right)^{\frac{4}{3}}\)
3. \(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\)

Contestar

1. \(x^{\frac{3}{2}}\)
2. \(x^{8}\)
3. \(\frac{1}{x}\)

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Simplificar:

1. \(y^{\frac{3}{4}} \cdot y^{\frac{5}{8}}\)
2. \(\left(m^{9}\right)^{\frac{2}{9}}\)
3. \(\frac{d^{\frac{1}{5}}}{d^{\frac{6}{5}}}\)

Contestar

1. \(y^{\frac{11}{8}}\)
2. \(m^{2}\)
3. \(\frac{1}{d}\)

A veces necesitamos usar más de una propiedad. En el siguiente ejemplo, usaremos tanto el Producto a una Propiedad de Potencia como luego la Propiedad de Potencia.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Simplificar:

1. \(\left(27 u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)
2. \(\left(m^{\frac{2}{3}} n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)

Solución:

a.

\(\left(27 u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

Primero usamos el Producto a una Propiedad de Potencia.

\((27)^{\frac{2}{3}}\left(u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

Reescribir\(27\) como un poder de\(3\).

\(\left(3^{3}\right)^{\frac{2}{3}}\left(u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes.

\(\left(3^{2}\right)\left(u^{\frac{1}{3}}\right)\)

Simplificar.

\(9 u^{\frac{1}{3}}\)

b.

\(\left(m^{\frac{2}{3}} n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)

Primero usamos el Producto a una Propiedad de Potencia.

\(\left(m^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}\left(n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)

Para elevar una potencia a una potencia, multiplicamos los exponentes.

\(m n^{\frac{3}{4}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Simplificar:

1. \(\left(32 x^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{3}{5}}\)
2. \(\left(x^{\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

Contestar

1. \(8 x^{\frac{1}{5}}\)
2. \(x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{3}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Simplificar:

1. \(\left(81 n^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{3}{2}}\)
2. \(\left(a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{4}{3}}\)

Contestar

1. \(729 n^{\frac{3}{5}}\)
2. \(a^{2} b^{\frac{2}{3}}\)

Utilizaremos tanto la Propiedad del Producto como la Propiedad del Cociente en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Simplificar:

1. \(\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}\)
2. \(\left(\frac{16 x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{5}{6}}}{x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Solución:

a.

\(\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}\)

Utilice la Propiedad del Producto en el numerador, agregue los exponentes.

\(\frac{x^{\frac{2}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}\)

Usa la Propiedad Cociente, resta los exponentes.

\(x^{\frac{8}{4}}\)

Simplificar.

\(x^{2}\)

b.

\(\left(\frac{16 x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{5}{6}}}{x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Usa la Propiedad Cociente, resta los exponentes.

\(\left(\frac{16 x^{\frac{6}{3}}}{y^{\frac{6}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Simplificar.

\(\left(\frac{16 x^{2}}{y}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Usa el Producto a una Propiedad de Potencia, multiplica los exponentes.

\(\frac{4 x}{y^{\frac{1}{2}}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

Simplificar:

1. \(\frac{m^{\frac{2}{3}} \cdot m^{-\frac{1}{3}}}{m^{-\frac{5}{3}}}\)
2. \(\left(\frac{25 m^{\frac{1}{6}} n^{\frac{11}{6}}}{m^{\frac{2}{3}} n^{-\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

Contestar

1. \(m^{2}\)
2. \(\frac{5 n}{m^{\frac{1}{4}}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Simplificar:

1. \(\frac{u^{\frac{4}{5}} \cdot u^{-\frac{2}{5}}}{u^{-\frac{13}{5}}}\)
2. \(\left(\frac{27 x^{\frac{4}{5}} y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{5}} y^{-\frac{5}{6}}}\right)^{\frac{1}{3}}\)

Contestar

1. \(u^{3}\)
2. \(3 x^{\frac{1}{5}} y^{\frac{1}{3}}\)

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción y práctica adicionales con exponentes racionales simplificadores.

• Revision-Exponentes racionales
• Uso de leyes de exponentes sobre radicales: propiedades de exponentes racionales

Conceptos clave

• Exponente racional\(a^{\frac{1}{n}}\)
  • Si\(\sqrt[n]{a}\) es un número real y\(n≥2\), entonces\(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).
• Exponente racional\(a^{\frac{m}{n}}\)
  • Para cualquier número entero positivo\(m\) y\(n\),
    \(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \text { and } a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)
• Propiedades de los Exponentes
  • Si\(a, b\) son números reales y\(m, n\) son números racionales, entonces
    • Propiedad del producto\(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\)
    • Propiedad Power\(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\)
    • Producto a una potencia\((a b)^{m}=a^{m} b^{m}\)
    • Propiedad del cociente\(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, a \neq 0\)
    • Definición de exponente cero\(a^{0}=1, a \neq 0\)
    • Cociente a una propiedad de energía\(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0\)
    • Propiedad de exponente negativo\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, a \neq 0\)