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8.4: Simplifique los exponentes racionales

  • Page ID
    51755
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje

    Al final de esta sección, usted será capaz de:

    • Simplifique expresiones con \(a^{\frac{1}{n}}\)
    • Simplifique expresiones con \(a^{\frac{m}{n}}\)
    • Utilizar las propiedades de los exponentes para simplificar expresiones con exponentes racionales

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Añadir: \(\frac{7}{15}+\frac{5}{12}\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 1.28.
    2. Simplificar: \((4x^{2}y^{5})^{3}\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.18.
    3. Simplificar: \(5^{−3}\).
      Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 5.14.

    Simplifique expresiones con \(a^{\frac{1}{n}}\)

    Los exponentes racionales son otra forma de escribir expresiones con radicales. Cuando utilizamos exponentes racionales, podemos aplicar las propiedades de los exponentes para simplificar expresiones.

    La Propiedad de Poder para Exponentes dice que \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\) cuando \(m\) y \(n\) son números enteros. Supongamos que ahora no estamos limitados a números enteros.

    Supongamos que queremos encontrar un número \(p\) tal que \(\left(8^{p}\right)^{3}=8\). Utilizaremos la Propiedad de Poder de los Exponentes para encontrar el valor de \(p\).

    \(\left(8^{p}\right)^{3}=8\)

    Múltiples los exponentes de la izquierda.

    \(8^{3p}=8\)

    Escribe el exponente \(1\) a la derecha.

    \(8^{3p}=8^{1}\)

    Dado que las bases son las mismas, los exponentes deben ser iguales.

    \(3p=1\)

    Resolver para \(p\).

    \(p=\frac{1}{3}\)

    Por lo que \(\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=8\). Pero también lo sabemos \((\sqrt[3]{8})^{3}=8\). Entonces debe ser eso \(8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}\).

    Esta misma lógica se puede usar para que cualquier exponente entero positivo \(n\) lo demuestre \(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).

    Definición \(\PageIndex{1}\): Exponente racional \(a^{\frac{1}{n}}\)

    Si \(\sqrt[n]{a}\) es un número real y \(n \geq 2\), entonces

    \(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\)

    El denominador del exponente racional es el índice de lo radical.

    Habrá momentos en los que trabajar con expresiones será más fácil si usas exponentes racionales y momentos en los que será más fácil si usas radicales. En los primeros ejemplos, practicarás la conversión de expresiones entre estas dos notaciones.

    Ejemplo \(\PageIndex{1}\)

    Escribir como una expresión radical:

    1. \(x^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(y^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(z^{\frac{1}{4}}\)

    Solución:

    Queremos escribir cada expresión en la forma \(\sqrt[n]{a}\).

    a.

    \(x^{\frac{1}{2}}\)

    El denominador del exponente racional es \(2\), así es el índice del radical \(2\). No mostramos el índice cuando lo es \(2\).

    \(\sqrt{x}\)

    b.

    \(y^{\frac{1}{3}}\)

    El denominador del exponente es \(3\), por lo que el índice lo es \(3\).

    \(\sqrt[3]{y}\)

    c.

    \(z^{\frac{1}{4}}\)

    El denominador del exponente es\\(4\), por lo que el índice lo es \(4\).

    \(\sqrt[4]{z}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{1}\)

    Escribir como una expresión radical:

    1. \(t^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(m^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(r^{\frac{1}{4}}\)
    Contestar
    1. \(\sqrt{t}\)
    2. \(\sqrt[3]{m}\)
    3. \(\sqrt[4]{r}\)
    Ejercicio \(\PageIndex{2}\)

    Escribir como una expresión radical:

    1. \(b^{\frac{1}{6}}\)
    2. \(z^{\frac{1}{5}}\)
    3. \(p^{\frac{1}{4}}\)
    Contestar
    1. \(\sqrt[6]{b}\)
    2. \(\sqrt[5]{z}\)
    3. \(\sqrt[4]{p}\)

    En el siguiente ejemplo, escribiremos cada radical utilizando un exponente racional. Es importante utilizar paréntesis alrededor de toda la expresión en la radicanda ya que toda la expresión se eleva al poder racional.

    Ejemplo \(\PageIndex{2}\)

    Escribir con un exponente racional:

    1. \(\sqrt{5y}\)
    2. \(\sqrt[3]{4 x}\)
    3. \(3 \sqrt[4]{5 z}\)

    Solución:

    Queremos escribir cada radical en la forma \(a^{\frac{1}{n}}\)

    a.

    \(\sqrt{5y}\)

    No se muestra ningún índice, así es \(2\).

    El denominador del exponente será \(2\).

    Poner paréntesis alrededor de toda la expresión \(5y\).

    \((5 y)^{\frac{1}{2}}\)

    b.

    \(\sqrt[3]{4 x}\)

    El índice es \(3\), por lo que es el denominador del exponente \(3\). Incluir paréntesis \((4x)\).

    \((4 x)^{\frac{1}{3}}\)

    c.

    \(3 \sqrt[4]{5 z}\)

    El índice es \(4\), por lo que es el denominador del exponente \(4\). Poner paréntesis sólo alrededor del \(5z\) puesto que 3 no está bajo el signo radical.

    \(3(5 z)^{\frac{1}{4}}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{3}\)

    Escribir con un exponente racional:

    1. \(\sqrt{10m}\)
    2. \(\sqrt[5]{3 n}\)
    3. \(3 \sqrt[4]{6 y}\)
    Responder
    1. \((10 m)^{\frac{1}{2}}\)
    2. \((3 n)^{\frac{1}{5}}\)
    3. \(3(6 y)^{\frac{1}{4}}\)
    Ejercicio \(\PageIndex{4}\)

    Escribir con un exponente racional:

    1. \(\sqrt[7]{3 k}\)
    2. \(\sqrt[4]{5 j}\)
    3. \(8 \sqrt[3]{2 a}\)
    Responder
    1. \((3 k)^{\frac{1}{7}}\)
    2. \((5 j)^{\frac{1}{4}}\)
    3. \(8(2 a)^{\frac{1}{3}}\)

    En el siguiente ejemplo, puede que te resulte más fácil simplificar las expresiones si las reescribes como radicales primero.

    Ejemplo \(\PageIndex{3}\)

    Simplificar:

    1. \(25^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(64^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(256^{\frac{1}{4}}\)

    Solución:

    a.

    \(25^{\frac{1}{2}}\)

    Reescribir como raíz cuadrada.

    \(\sqrt{25}\)

    Simplificar.

    \(5\)

    b.

    \(64^{\frac{1}{3}}\)

    Reescribir como raíz cubica.

    \(\sqrt[3]{64}\)

    Reconocer \(64\) es un cubo perfecto.

    \(\sqrt[3]{4^{3}}\)

    Simplificar.

    \(4\)

    c.

    \(256^{\frac{1}{4}}\)

    Reescribir como cuarta raíz.

    \(\sqrt[4]{256}\)

    Reconocer \(256\) es un cuarto poder perfecto.

    \(\sqrt[4]{4^{4}}\)

    Simplificar.

    \(4\)

    Ejercicio \(\PageIndex{5}\)

    Simplificar:

    1. \(36^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(8^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(16^{\frac{1}{4}}\)
    Responder
    1. \(6\)
    2. \(2\)
    3. \(2\)
    Ejercicio \(\PageIndex{6}\)

    Simplificar:

    1. \(100^{\frac{1}{2}}\)
    2. \(27^{\frac{1}{3}}\)
    3. \(81^{\frac{1}{4}}\)
    Responder
    1. \(10\)
    2. \(3\)
    3. \(3\)

    Tenga cuidado con la colocación de los signos negativos en el siguiente ejemplo. Tendremos que utilizar la propiedad \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\) en un caso.

    Ejemplo \(\PageIndex{4}\)

    Simplificar:

    1. \((-16)^{\frac{1}{4}}\)
    2. \(-16^{\frac{1}{4}}\)
    3. \((16)^{-\frac{1}{4}}\)

    Solución:

    a.

    \((-16)^{\frac{1}{4}}\)

    Reescribir como cuarta raíz.

    \(\sqrt[4]{-16}\)

    \(\sqrt[4]{(-2)^{4}}\)

    Simplificar.

    No hay solución real

    b.

    \(-16^{\frac{1}{4}}\)

    El exponente sólo se aplica al \(16\). Reescribir como cuarta raíz.

    \(-\sqrt[4]{16}\)

    Reescribir \(16\) como \(2^{4}\)

    \(-\sqrt[4]{2^{4}}\)

    Simplificar.

    \(-2\)

    c.

    \((16)^{-\frac{1}{4}}\)

    Reescribir usando la propiedad \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\).

    \(\frac{1}{(16)^{\frac{1}{4}}}\)

    Reescribir como cuarta raíz.

    \(\frac{1}{\sqrt[4]{16}}\)

    Reescribir \(16\) como \(2^{4}\).

    \(\frac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}}\)

    Simplificar.

    \(\frac{1}{2}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{7}\)

    Simplificar:

    1. \((-64)^{-\frac{1}{2}}\)
    2. \(-64^{\frac{1}{2}}\)
    3. \((64)^{-\frac{1}{2}}\)
    Responder
    1. No hay solución real
    2. \(-8\)
    3. \(\frac{1}{8}\)
    Ejercicio \(\PageIndex{8}\)

    Simplificar:

    1. \((-256)^{\frac{1}{4}}\)
    2. \(-256^{\frac{1}{4}}\)
    3. \((256)^{-\frac{1}{4}}\)
    Responder
    1. No hay solución real
    2. \(-4\)
    3. \(\frac{1}{4}\)

    Simplifique expresiones con \(a^{\frac{m}{n}}\)

    Podemos mirar \(a^{\frac{m}{n}}\) de dos maneras. Recuerde que la Propiedad de Poder nos dice multiplicar los exponentes y así \(\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}\) y \(\left(a^{m}\right)^{\frac{1}{n}}\) ambos iguales \(a^{\frac{m}{n}}\). Si escribimos estas expresiones en forma radical, obtenemos

    \(a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^{m}=(\sqrt[n]{a})^{m} \quad \text { and } \quad a^{\frac{m}{n}}=\left(a^{m}\right)^{^{\frac{1}{n}}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)

    Esto nos lleva a la siguiente definición.

    Definición \(\PageIndex{2}\): Exponente racional \(a^{\frac{m}{n}}\)

    Para cualquier número entero positivo \(m\) y \(n\),

    \(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \quad \text { and } \quad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)

    ¿Qué forma usamos para simplificar una expresión? Solemos echar la raíz primero, de esa manera mantenemos los números en el radicand más pequeños, antes de elevarlo a la potencia indicada.

    Ejemplo \(\PageIndex{5}\)

    Escribir con un exponente racional:

    1. \(\sqrt{y^{3}}\)
    2. \((\sqrt[3]{2 x})^{4}\)
    3. \(\sqrt{\left(\frac{3 a}{4 b}\right)^{3}}\)

    Solución:

    Queremos utilizar \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\) para escribir cada radical en la forma \(a^{\frac{m}{n}}\)

    a.

    .
    Figura 8.3.1

    b.

    .
    Figura 8.3.2

    c.

    .
    Figura 8.3.3
    Ejercicio \(\PageIndex{9}\)

    Escribir con un exponente racional:

    1. \(\sqrt{x^{5}}\)
    2. \((\sqrt[4]{3 y})^{3}\)
    3. \(\sqrt{\left(\frac{2 m}{3 n}\right)^{5}}\)
    Responder
    1. \(x^{\frac{5}{2}}\)
    2. \((3 y)^{\frac{3}{4}}\)
    3. \(\left(\frac{2 m}{3 n}\right)^{\frac{5}{2}}\)
    Ejercicio \(\PageIndex{10}\)

    Escribir con un exponente racional:

    1. \(\sqrt[5]{a^{2}}\)
    2. \((\sqrt[3]{5 a b})^{5}\)
    3. \(\sqrt{\left(\frac{7 x y}{z}\right)^{3}}\)
    Responder
    1. \(a^{\frac{2}{5}}\)
    2. \((5 a b)^{\frac{5}{3}}\)
    3. \(\left(\frac{7 x y}{z}\right)^{\frac{3}{2}}\)

    Recuerda eso \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\). El signo negativo en el exponente no cambia el signo de la expresión.

    Ejemplo \(\PageIndex{6}\)

    Simplificar:

    1. \(125^{\frac{2}{3}}\)
    2. \(16^{-\frac{3}{2}}\)
    3. \(32^{-\frac{2}{5}}\)

    Solución:

    Reescribiremos la expresión como una primicia radical usando la definción, \(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m}\). Esta forma nos permite echar la raíz primero y así mantenemos los números en el radicand más pequeños que si usáramos la otra forma.

    a.

    \(125^{\frac{2}{3}}\)

    El poder del radical es el numerador del exponente, \(2\). El índice del radical es el denominador del exponente, \(3\).

    \((\sqrt[3]{125})^{2}\)

    Simplificar.

    \((5)^{2}\)

    \(25\)

    b. Reescribiremos cada expresión primero usando \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\) y luego cambiaremos a forma radical.

    \(16^{-\frac{3}{2}}\)

    Reescribir usando \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)

    \(\frac{1}{16^{\frac{3}{2}}}\)

    Cambio a forma radical. El poder del radical es el numerador del exponente, \(3\). El índice es el denominador del exponente, \(2\).

    \(\frac{1}{(\sqrt{16})^{3}}\)

    Simplificar.

    \(\frac{1}{4^{3}}\)

    \(\frac{1}{64}\)

    c.

    \(32^{-\frac{2}{5}}\)

    Reescribir usando \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)

    \(\frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}\)

    Cambio a forma radical.

    \(\frac{1}{(\sqrt[5]{32})^{2}}\)

    Reescribir el radicando como un poder.

    \(\frac{1}{\left(\sqrt[5]{2^{5}}\right)^{2}}\)

    Simplificar.

    \(\frac{1}{2^{2}}\)

    \(\frac{1}{4}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{11}\)

    Simplificar:

    1. \(27^{\frac{2}{3}}\)
    2. \(81^{-\frac{3}{2}}\)
    3. \(16^{-\frac{3}{4}}\)
    Responder
    1. \(9\)
    2. \(\frac{1}{729}\)
    3. \(\frac{1}{8}\)
    Ejercicio \(\PageIndex{12}\)

    Simplificar:

    1. \(4^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(27^{-\frac{2}{3}}\)
    3. \(625^{-\frac{3}{4}}\)
    Responder
    1. \(8\)
    2. \(\frac{1}{9}\)
    3. \(\frac{1}{125}\)
    Ejemplo \(\PageIndex{7}\)

    Simplificar:

    1. \(-25^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(-25^{-\frac{3}{2}}\)
    3. \((-25)^{\frac{3}{2}}\)

    Solución:

    a.

    \(-25^{\frac{3}{2}}\)

    Reescribir en forma radical.

    \(-(\sqrt{25})^{3}\)

    Simplifica lo radical.

    \(-(5)^{3}\)

    Simplificar.

    \(-125\)

    b.

    \(-25^{-\frac{3}{2}}\)

    Reescribir usando \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\).

    \(-\left(\frac{1}{25^{\frac{3}{2}}}\right)\)

    Reescribir en forma radical.

    \(-\left(\frac{1}{(\sqrt{25})^{3}}\right)\)

    Simplifica lo radical.

    \(-\left(\frac{1}{(5)^{3}}\right)\)

    Simplificar.

    \(-\frac{1}{125}\)

    c.

    \((-25)^{\frac{3}{2}}\)

    Reescribir en forma radical.

    \((\sqrt{-25})^{3}\)

    No hay un número real cuya raíz cuadrada sea \(-25\).

    No es un número real.

    Ejercicio \(\PageIndex{13}\)

    Simplificar:

    1. \(-16^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(-16^{-\frac{3}{2}}\)
    3. \((-16)^{-\frac{3}{2}}\)
    Responder
    1. \(-64\)
    2. \(-\frac{1}{64}\)
    3. No es un número real
    Ejercicio \(\PageIndex{14}\)

    Simplificar:

    1. \(-81^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(-81^{-\frac{3}{2}}\)
    3. \((-81)^{-\frac{3}{2}}\)
    Responder
    1. \(-729\)
    2. \(-\frac{1}{729}\)
    3. No es un número real

    Utilizar las propiedades de los exponentes para simplificar expresiones con exponentes racionales

    Las mismas propiedades de los exponentes que ya hemos utilizado también se aplican a los exponentes racionales. Aquí enumeraremos las Propiedades de los Exponentes para tenerlas como referencia a medida que simplificamos las expresiones.

    Propiedades de Exponentes

    Si \(a\) y \(b\) son números reales y \(m\) y \(n\) son números racionales, entonces

    Propiedad del producto

    \(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\)

    Propiedad de energía

    \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\)

    Producto a una potencia

    \((a b)^{m}=a^{m} b^{m}\)

    Propiedad de cociente

    \(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, a \neq 0\)

    Definición de exponente cero

    \(a^{0}=1, a \neq 0\)

    Cociente a una propiedad de poder

    \(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0\)

    Propiedad de exponente negativo

    \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, a \neq 0\)

    Aplicaremos estas propiedades en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo \(\PageIndex{8}\)

    Simplificar:

    1. \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{6}}\)
    2. \(\left(z^{9}\right)^{\frac{2}{3}}\)
    3. \(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\)

    Solución

    a. La Propiedad del Producto nos dice que cuando múltiples la misma base, sumamos los exponentes.

    \(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{6}}\)

    Las bases son las mismas, por lo que sumamos los exponentes.

    \(x^{\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}\)

    Agrega las fracciones.

    \(x^{\frac{8}{6}}\)

    Simplifica el exponente.

    \(x^{\frac{4}{3}}\)

    b. La Propiedad del Poder nos dice que cuando elevamos un poder a un poder, múltiples los exponentes.

    \(\left(z^{9}\right)^{\frac{2}{3}}\)

    Para elevar un poder a un poder, múltiples los exponentes.

    \(z^{9 \cdot \frac{2}{3}}\)

    Simplificar.

    \(z^{6}\)

    c. La Propiedad Cociente nos dice que cuando dividimos con la misma base, restamos los exponentes.

    \(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\)

    Para dividir con la misma base, restamos los exponentes.

    \(\frac{1}{x^{\frac{5}{3}-\frac{1}{3}}}\)

    Simplificar.

    \(\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{15}\)

    Simplificar:

    1. \(x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{4}{3}}\)
    2. \(\left(x^{6}\right)^{\frac{4}{3}}\)
    3. \(\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{5}{3}}}\)
    Responder
    1. \(x^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(x^{8}\)
    3. \(\frac{1}{x}\)
    Ejercicio \(\PageIndex{16}\)

    Simplificar:

    1. \(y^{\frac{3}{4}} \cdot y^{\frac{5}{8}}\)
    2. \(\left(m^{9}\right)^{\frac{2}{9}}\)
    3. \(\frac{d^{\frac{1}{5}}}{d^{\frac{6}{5}}}\)
    Responder
    1. \(y^{\frac{11}{8}}\)
    2. \(m^{2}\)
    3. \(\frac{1}{d}\)

    A veces necesitamos usar más de una propiedad. En el siguiente ejemplo, utilizaremos tanto el Producto a una Propiedad de Energía como luego la Propiedad de Energía .

    Ejemplo \(\PageIndex{9}\)

    Simplificar:

    1. \(\left(27 u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)
    2. \(\left(m^{\frac{2}{3}} n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)

    Solución:

    a.

    \(\left(27 u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

    Primero usamos el Producto a una Propiedad de Energía.

    \((27)^{\frac{2}{3}}\left(u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

    Reescribir \(27\) como un poder de \(3\).

    \(\left(3^{3}\right)^{\frac{2}{3}}\left(u^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)

    Para elevar un poder a un poder, múltiples los exponentes.

    \(\left(3^{2}\right)\left(u^{\frac{1}{3}}\right)\)

    Simplificar.

    \(9 u^{\frac{1}{3}}\)

    b.

    \(\left(m^{\frac{2}{3}} n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)

    Primero usamos el Producto a una Propiedad de Energía.

    \(\left(m^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}\left(n^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\)

    Para elevar un poder a un poder, multiplicamos los exponentes.

    \(m n^{\frac{3}{4}}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{17}\)

    Simplificar:

    1. \(\left(32 x^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{3}{5}}\)
    2. \(\left(x^{\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}\)
    Responder
    1. \(8 x^{\frac{1}{5}}\)
    2. \(x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{3}}\)
    Ejercicio \(\PageIndex{18}\)

    Simplificar:

    1. \(\left(81 n^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{3}{2}}\)
    2. \(\left(a^{\frac{3}{2}} b^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{4}{3}}\)
    Responder
    1. \(729 n^{\frac{3}{5}}\)
    2. \(a^{2} b^{\frac{2}{3}}\)

    Utilizaremos tanto la Propiedad del Producto como la Propiedad Cociente en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo \(\PageIndex{10}\)

    Simplificar:

    1. \(\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}\)
    2. \(\left(\frac{16 x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{5}{6}}}{x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

    Solución:

    a.

    \(\frac{x^{\frac{3}{4}} \cdot x^{-\frac{1}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}\)

    Usa la Propiedad del Producto en el numerador, suma los exponentes.

    \(\frac{x^{\frac{2}{4}}}{x^{-\frac{6}{4}}}\)

    Utilizar la Propiedad Cociente, restar los exponentes.

    \(x^{\frac{8}{4}}\)

    Simplificar.

    \(x^{2}\)

    b.

    \(\left(\frac{16 x^{\frac{4}{3}} y^{-\frac{5}{6}}}{x^{-\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

    Utilizar la Propiedad Cociente, restar los exponentes.

    \(\left(\frac{16 x^{\frac{6}{3}}}{y^{\frac{6}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)

    Simplificar.

    \(\left(\frac{16 x^{2}}{y}\right)^{\frac{1}{2}}\)

    Utilice el Producto a una Propiedad de Potencia, multiplique los exponentes.

    \(\frac{4 x}{y^{\frac{1}{2}}}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{19}\)

    Simplificar:

    1. \(\frac{m^{\frac{2}{3}} \cdot m^{-\frac{1}{3}}}{m^{-\frac{5}{3}}}\)
    2. \(\left(\frac{25 m^{\frac{1}{6}} n^{\frac{11}{6}}}{m^{\frac{2}{3}} n^{-\frac{1}{6}}}\right)^{\frac{1}{2}}\)
    Responder
    1. \(m^{2}\)
    2. \(\frac{5 n}{m^{\frac{1}{4}}}\)
    Ejercicio \(\PageIndex{20}\)

    Simplificar:

    1. \(\frac{u^{\frac{4}{5}} \cdot u^{-\frac{2}{5}}}{u^{-\frac{13}{5}}}\)
    2. \(\left(\frac{27 x^{\frac{4}{5}} y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{5}} y^{-\frac{5}{6}}}\right)^{\frac{1}{3}}\)
    Responder
    1. \(u^{3}\)
    2. \(3 x^{\frac{1}{5}} y^{\frac{1}{3}}\)

    Acceda a estos recursos en línea para instrucción y práctica adicionales con la simplificación de exponentes racionales.

    • Revisión-Exponentes Racionales
    • Uso de leyes de exponentes sobre radicales: propiedades de exponentes racionales

    Conceptos Clave

    • Exponente racional \(a^{\frac{1}{n}}\)
      • Si \(\sqrt[n]{a}\) es un número real y \(n≥2\), entonces \(a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\).
    • Exponente racional \(a^{\frac{m}{n}}\)
      • Para cualquier número entero positivo \(m\) y \(n\),
        \(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m} \text { and } a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)
    • Propiedades de Exponentes
      • Si \(a, b\) son números reales y \(m, n\) son números racionales, entonces
        • Propiedad del producto \(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\)
        • Propiedad de energía \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m \cdot n}\)
        • Producto a una potencia \((a b)^{m}=a^{m} b^{m}\)
        • Propiedad de cociente \(\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, a \neq 0\)
        • Definición de exponente cero \(a^{0}=1, a \neq 0\)
        • Cociente a una propiedad de poder \(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0\)
        • Propiedad de exponente negativo \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}, a \neq 0\)

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