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LibreTexts Español

Capítulo 10 Ejercicios de revisión

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ejercicios de revisión de capítulos

    Búsqueda de funciones compuestas e inversas

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\) Find and Evaluate Composite Functions

    En los siguientes ejercicios, para cada par de funciones, encuentra

    1. \((f \circ g)(x)\)
    2. \((g \circ f)(x)\)
    3. \((f \cdot g)(x)\)

    1. \(f(x)=7 x-2\)y\(g(x)=5 x+1\)

    2. \(f(x)=4 x\)y\(g(x)=x^{2}+3 x\)

    Responder

    2.

    1. \(4 x^{2}+12 x\)
    2. \(16 x^{2}+12 x\)
    3. \(4 x^{3}+12 x^{2}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{2}\) Find and Evaluate Composite Functions

    En los siguientes ejercicios, evaluar la composición.

    1. Para funciones\(f(x)=3 x^{2}+2\) y\(g(x)=4 x-3\), encontrar
      1. \((f \circ g)(-3)\)
      2. \((g \circ f)(-2)\)
      3. \((f \circ f)(-1)\)
    2. Para funciones\(f(x)=2 x^{3}+5\) y\(g(x)=3 x^{2}-7\), encontrar
      1. \((f \circ g)(-1)\)
      2. \((g \circ f)(-2)\)
      3. \((g \circ g)(1)\)
    Responder

    2.

    1. \(-123\)
    2. \(356\)
    3. \(41\)
    Ejercicio\(\PageIndex{3}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    En los siguientes ejercicios, para cada conjunto de pares ordenados, determinar si representa una función y si es así, es la función uno a uno.

    1. \(\begin{array}{l}{\{(-3,-5),(-2,-4),(-1,-3),(0,-2)} , {(-1,-1),(-2,0),(-3,1) \}}\end{array}\)
    2. \(\begin{array}{l}{\{(-3,0),(-2,-2),(-1,0),(0,1)} , {(1,2),(2,1),(3,-1) \}}\end{array}\)
    3. \(\begin{array}{l}{\{(-3,3),(-2,1),(-1,-1),(0,-3)} , {(1,-5),(2,-4),(3,-2) \}}\end{array}\)
    Responder

    2. Función; no uno a uno

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\) Determine Whether a Function is One-to-One

    En los siguientes ejercicios, determine si cada gráfica es la gráfica de una función y si es así, es uno a uno.


      1. Esta figura muestra una línea desde (negativo 6, negativo 2) hasta (negativo 1, 3) y luego hacia abajo de ahí hasta (6, negativo 4).
        Figura 10.E.1

      2. Esta figura muestra una línea de (6, 5) abajo a (0, negativo 1) y luego abajo de ahí a (5, negativo 6).
        Figura 10.E.2

      1. Esta figura muestra una línea curva desde (negativo 6, negativo 2) hasta el origen y luego continuando desde allí hasta (6, 2).
        Figura 10.E.3

      2. Esta figura muestra un círculo de radio 2 con el centro en el origen.
        Figura 10.E.4
    Responder

    1.

    1. Función; no uno a uno
    2. No es una función
    Ejercicio\(\PageIndex{5}\) Find the Inverse of a Function

    En el siguiente ejercicio, encuentra la inversa de la función. Determinar el dominio y rango de la función inversa.

    1. \(\{(-3,10),(-2,5),(-1,2),(0,1)\}\)
    Responder

    1. Función inversa:\(\{(10,-3),(5,-2),(2,-1),(1,0)\}\). Dominio:\(\{1,2,5,10\}\). Rango:\(\{-3,-2,-1,0\}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\) Find the Inverse of a Function

    En el siguiente ejercicio, grafica la inversa de la función uno-a-uno mostrada.

    Esta figura muestra un segmento de línea desde (negativo 4, negativo 2) hasta (negativo 2, 1) luego hasta (2, 2) y luego hasta (3, 4).
    Figura 10.E.5
    Responder

    Resuelve por tu cuenta

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\) Find the Inverse of a Function

    En los siguientes ejercicios, verificar que las funciones son funciones inversas.

    1. \(\begin{array}{l}{f(x)=3 x+7 \text { and }} {g(x)=\frac{x-7}{3}}\end{array}\)
    2. \(\begin{array}{l}{f(x)=2 x+9 \text { and }} {g(x)=\frac{x+9}{2}}\end{array}\)
    Responder

    1. \(g(f(x))=x,\)y\(f(g(x))=x,\) así son inversos.

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\) Find the Inverse of a Function
    1. \(f(x)=6 x-11\)
    2. \(f(x)=x^{3}+13\)
    3. \(f(x)=\frac{1}{x+5}\)
    4. \(f(x)=\sqrt[5]{x-1}\)
    Responder

    1. \(f^{-1}(x)=\frac{x+11}{6}\)

    3. \(f^{-1}(x)=\frac{1}{x}-5\)

    Evaluar y Graficar Funciones Exponenciales

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\) Graph Exponential Functions

    En los siguientes ejercicios, grafica cada una de las siguientes funciones.

    1. \(f(x)=4^{x}\)
    2. \(f(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\)
    3. \(g(x)=(0.75)^{x}\)
    4. \(g(x)=3^{x+2}\)
    5. \(f(x)=(2.3)^{x}-3\)
    6. \(f(x)=e^{x}+5\)
    7. \(f(x)=-e^{x}\)
    Responder

    1.

    Esta figura muestra una línea exponencial que pasa por los puntos (negativo 1, 1 sobre 4), (0, 1) y (1, 4).
    Figura 10.E.6

    3.

    Esta figura muestra una línea exponencial que pasa por los puntos (negativo 1, 4 sobre 3), (0, 1) y (1, 3 sobre 4).
    Figura 10.E.7

    5.

    Esta figura muestra una línea exponencial que pasa por los puntos (negativo 1, negativo 59 sobre 23), (0, negativo 2) y (1, negativo7 sobre 10).
    Figura 10.E.8

    7.

    Esta figura muestra una línea exponencial que pasa por los puntos (negativo 1, negativo 1 sobre e), (0, negativo 1) y (1, negativo e).
    Figura 10.E.9
    Ejercicio\(\PageIndex{10}\) Solve Exponential Equations

    En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación.

    1. \(3^{5 x-6}=81\)
    2. \(2^{x^{2}}=16\)
    3. \(9^{x}=27\)
    4. \(5^{x^{2}+2 x}=\frac{1}{5}\)
    5. \(e^{4 x} \cdot e^{7}=e^{19}\)
    6. \(\frac{e^{x^{2}}}{e^{15}}=e^{2 x}\)
    Responder

    2. \(x=-2, x=2\)

    4. \(x=-1\)

    6. \(x=-3, x=5\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\) Use Exponential Models in Applications

    En los siguientes ejercicios, resuelve.

    1. Félix invirtió $\(12,000\) en una cuenta de ahorros. Si la tasa de interés es\(4\)% ¿cuánto habrá en la cuenta en\(12\) años por cada método de capitalización?
      1. compuesto trimestral
      2. compuesto mensual
      3. compuesto continuamente
    2. Depósitos pagados $\(20,000\) en una cuenta de inversión. ¿Cuál será el valor de su inversión en\(30\) años si la inversión está ganando\(7\)% anual y se complica continuamente?
    3. Un investigador del Centro para el Control y la Prevención de Enfermedades está estudiando el crecimiento de una bacteria. Ella inicia su experimento con\(150\) de la bacteria que crece a una tasa de\(15\)% por hora. Ella revisará la bacteria cada\(24\) hora. ¿Cuántas bacterias encontrará en\(24\) horas?
    4. En los últimos cinco años la población de Estados Unidos ha crecido a una tasa de\(0.7\)% anual a aproximadamente\(318,900,000\). Si esta tasa continúa, ¿cuál será la población en\(5\) más años?
    Responder

    2. \(\$ 163,323.40\)

    4. \(330,259,000\)

    Evaluar y graficar funciones logarítmicas

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\) Convert Between Exponential and Logarithmic Form

    En los siguientes ejercicios, convertir de forma exponencial a logarítmica.

    1. \(5^{4}=625\)
    2. \(10^{-3}=\frac{1}{1,000}\)
    3. \(63^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{63}\)
    4. \(e^{y}=16\)
    Responder

    2. \(\log \frac{1}{1,000}=-3\)

    4. \(\ln 16=y\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\) Convert Between Exponential and Logarithmic Form

    En los siguientes ejercicios, convierta cada ecuación logarítmica a forma exponencial.

    1. \(7=\log _{2} 128\)
    2. \(5=\log 100,000\)
    3. \(4=\ln x\)
    Responder

    2. \(100000=10^{5}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\) Evaluate Logarithmic Functions

    En los siguientes ejercicios, resuelve para\(x\).

    1. \(\log _{x} 125=3\)
    2. \(\log _{7} x=-2\)
    3. \(\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{16}=x\)
    Responder

    1. \(x=5\)

    3. \(x=4\)

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\) Evaluate Logarithmic Functions

    En los siguientes ejercicios, encuentra el valor exacto de cada logaritmo sin usar una calculadora.

    1. \(\log _{2} 32\)
    2. \(\log _{8} 1\)
    3. \(\log _{3} \frac{1}{9}\)
    Responder

    2. \(0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\) Graph Logarithmic Functions

    En los siguientes ejercicios, grafica cada función logarítmica.

    1. \(y=\log _{5} x\)
    2. \(y=\log _{\frac{1}{4}} x\)
    3. \(y=\log _{0.8} x\)
    Responder

    1.

    Esta figura muestra una línea logarítmica que pasa por los puntos (1 sobre 5, negativo 1), (1, 0) y (5, 1).
    Figura 10.E.10

    3.

    Esta figura muestra una línea logarítmica que pasa por los puntos (4 sobre 5, 1), (1, 0) y (5 sobre 4, negativo 1).
    Figura 10.E.11
    Ejercicio\(\PageIndex{17}\) Solve Logarithmic Equations

    En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación logarítmica.

    1. \(\log _{a} 36=5\)
    2. \(\ln x=-3\)
    3. \(\log _{2}(5 x-7)=3\)
    4. \(\ln e^{3 x}=24\)
    5. \(\log \left(x^{2}-21\right)=2\)
    Responder

    2. \(x=e^{-3}\)

    4. \(x=8\)

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\) Use Logarithmic Models in Applications

    ¿Cuál es el nivel de decibelios de un silbato de tren con intensidad\(10^{−3}\) vatios por pulgada cuadrada?

    Responder

    \(90\)dB

    Utilizar las propiedades de logaritmos

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\) Use the Properties of Logarithms

    En los siguientes ejercicios, utilizar las propiedades de logaritmos para evaluar.

      1. \(\log _{7} 1\)
      2. \(\log _{12} 12\)
      1. \(5^{\log _{5} 13}\)
      2. \(\log _{3} 3^{-9}\)
      1. \(10^{\log \sqrt{5}}\)
      2. \(\log 10^{-3}\)
      1. \(e^{\ln 8}\)
      2. \(\ln e^{5}\)
    Responder

    2.

    1. \(13\)
    2. \(-9\)

    4.

    1. \(8\)
    2. \(5\)
    Ejercicio\(\PageIndex{20}\) Use the Properties of Logarithms

    En los siguientes ejercicios, utilice la Propiedad Producto de logaritmos para escribir cada logaritmo como una suma de logaritmos. Simplificar si es posible.

    1. \(\log _{4}(64 x y)\)
    2. \(\log 10,000 m\)
    Responder

    2. \(4+\log m\)

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\) Use the Properties of Logarithms

    En los siguientes ejercicios, utilice la Propiedad Cociente de logaritmos para escribir cada logaritmo como una suma de logaritmos. Simplificar, si es posible.

    1. \(\log _{7} \frac{49}{y}\)
    2. \(\ln \frac{e^{5}}{2}\)
    Responder

    2. \(5-\ln 2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\) Use the Properties of Logarithms

    En los siguientes ejercicios, utilice la Propiedad de Poder de los Logaritmos para expandir cada logaritmo. Simplificar, si es posible.

    1. \(\log x^{-9}\)
    2. \(\log _{4} \sqrt[7]{z}\)
    Responder

    2. \(\frac{1}{7} \log _{4} z\)

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\) Use the Properties of Logarithms

    En los siguientes ejercicios, use propiedades de logaritmos para escribir cada logaritmo como una suma de logaritmos. Simplificar si es posible.

    1. \(\log _{3}\left(\sqrt{4} x^{7} y^{8}\right)\)
    2. \(\log _{5} \frac{8 a^{2} b^{6} c}{d^{3}}\)
    3. \(\ln \frac{\sqrt{3 x^{2}-y^{2}}}{z^{4}}\)
    4. \(\log _{6} \sqrt[3]{\frac{7 x^{2}}{6 y^{3} z^{5}}}\)
    Responder

    2. \(\begin{array}{l}{\log _{5} 8+2 \log _{5} a+6 \log _{5} b} {+\log _{5} c-3 \log _{5} d}\end{array}\)

    4. \(\begin{array}{l}{\frac{1}{3}\left(\log _{6} 7+2 \log _{6} x-1-3 \log _{6} y\right.} {-5 \log _{6} z )}\end{array}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\) Use the Properties of Logarithms

    En los siguientes ejercicios, utilice las Propiedades de logaritmos para condensar el logaritmo. Simplificar si es posible.

    1. \(\log _{2} 56-\log _{2} 7\)
    2. \(3 \log _{3} x+7 \log _{3} y\)
    3. \(\log _{5}\left(x^{2}-16\right)-2 \log _{5}(x+4)\)
    4. \(\frac{1}{4} \log y-2 \log (y-3)\)
    Responder

    2. \(\log _{3} x^{3} y^{7}\)

    4. \(\log \frac{\sqrt[4]{y}}{(y-3)^{2}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\) Use the Change-of-Base Formula

    En los siguientes ejercicios, redondeando a tres decimales, aproximar cada logaritmo.

    1. \(\log _{5} 97\)
    2. \(\log _{\sqrt{3}} 16\)
    Responder

    2. \(5.047\)

    Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\) Solve Logarithmic Equations Using the Properties of Logarithms

    En los siguientes ejercicios, resuelve para\(x\).

    1. \(3 \log _{5} x=\log _{5} 216\)
    2. \(\log _{2} x+\log _{2}(x-2)=3\)
    3. \(\log (x-1)-\log (3 x+5)=-\log x\)
    4. \(\log _{4}(x-2)+\log _{4}(x+5)=\log _{4} 8\)
    5. \(\ln (3 x-2)=\ln (x+4)+\ln 2\)
    Responder

    2. \(x=4\)

    4. \(x=3\)

    Ejercicio\(\PageIndex{27}\) Solve Exponential Equations Using Logarithms

    En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación exponencial. Encuentra la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.

    1. \(2^{x}=101\)
    2. \(e^{x}=23\)
    3. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}=7\)
    4. \(7 e^{x+3}=28\)
    5. \(e^{x-4}+8=23\)
    Responder

    1. \(x=\frac{\log 101}{\log 2} \approx 6.658\)

    3. \(x=\frac{\log 7}{\log \frac{1}{3}} \approx-1.771\)

    5. \(x=\ln 15+4 \approx 6.708\)

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\) Use Exponential Models in Applications
    1. Jerome invierte $\(18,000\) a la edad\(17\). Espera que las inversiones valgan $\(30,000\) cuando dé la vuelta\(26\). Si el interés se agrava continuamente, aproximadamente ¿qué tasa de crecimiento necesitará para lograr su objetivo? ¿Es esa una expectativa razonable?
    2. Elise invierte $\(4500\) en una cuenta que compone intereses mensuales y gana\(6\)%. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse su dinero?
    3. Los investigadores registraron que cierta población de bacterias creció de\(100\) a\(300\) en\(8\) horas. A este ritmo de crecimiento, ¿cuántas bacterias habrá en\(24\) horas?
    4. Las poblaciones de ratones pueden duplicarse en\(8\) meses\(\left(A=2 A_{0}\right)\). ¿Cuánto tiempo tardará en triplicarse una población de ratones?
    5. La vida media del yodo radiactivo es de\(60\) días. ¿Cuánto de una muestra de\(50\) mg quedará en\(40\) días?
    Responder

    2. \(11.6\)años

    4. \(12.7\)meses

    Prueba de práctica

    Ejercicio\(\PageIndex{29}\)
    1. Para las funciones,\(f(x)=6x+1\) y\(g(x)=8x−3\), encontrar
      1. \((f \circ g)(x)\)
      2. \((g \circ f)(x)\)
      3. \((f \cdot g)(x)\)
    2. Determine si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función y si es así, es la función uno a uno. \(\{(-2,2),(-1,-3),(0,1),(1,-2),(2,-3)\}\)
    3. Determinar si cada gráfica es la gráfica de una función y si es así, es uno a uno.

      1. Esta figura muestra una parábola que se abre a la derecha con vértice (negativo 3, 0).
        Figura 10.E.12

      2. Esta figura muestra una línea exponencial que pasa por los puntos (negativo 1, 1 sobre 2), (0, 1) y (1, 2).
        Figura 10.E.13
    4. Gráfica, en el mismo sistema de coordenadas, la inversa de la función uno-a-uno que se muestra.
    Esta figura muestra un segmento de línea que pasa del punto (negativo 3, 3) a (negativo 1, 2) a (0, negativo 2) a (2, negativo 4).
    Figura 10.E.14

    5. Encuentra la inversa de la función\(f(x)=x^{5}−9\).

    6. Grafica la función\(g(x)=2^{x-3}\).

    7. Resuelve la ecuación\(2^{2 x-4}=64\).

    8. Resuelve la ecuación\(\frac{e^{x^{2}}}{e^{4}}=e^{3 x}\).

    9. Megan invirtió $\(21,000\) en una cuenta de ahorros. Si la tasa de interés es\(5\)%, ¿cuánto habrá en la cuenta en\(8\) años por cada método de capitalización?

    1. compuesto trimestral
    2. compuesto mensual
    3. compuesto continuamente

    10. Convertir la ecuación de forma exponencial a logarítmica:\(10^{-2}=\frac{1}{100}\).

    11. Convertir la ecuación de ecuación logarítmica a forma exponencial:\(3=\log _{7} 343\).

    12. Resolver para\(x\):\(\log _{5} x=-3\)

    13. Evaluar registro\(_{11} 1\).

    14. Evaluar\(\log _{4} \frac{1}{64}\).

    15. Grafica la función\(y=\log _{3} x\).

    16. Resolver para\(x\):\(\log \left(x^{2}-39\right)=1\)

    17. ¿Cuál es el nivel de decibelios de un ventilador pequeño con intensidad\(10^{−8}\) vatios por pulgada cuadrada?

    18. Evaluar cada uno.

    1. \(6^{\log _{6} 17}\)
    2. \(\log _{9} 9^{-3}\)
    Responder

    1.

    1. \(48 x-17\)
    2. \(48 x+5\)
    3. \(48 x^{2}-10 x-3\)

    3.

    1. No es una función
    2. Función uno a uno

    5. \(f^{-1}(x)=\sqrt[5]{x+9}\)

    7. \(x=5\)

    9.

    1. $\(31,250.74\)
    2. $\(31,302.29\)
    3. $\(31,328.32\)

    11. \(343=7^{3}\)

    13. \(0\)

    15.

    Esta figura muestra una línea logarítmica que pasa a través (1 sobre 3, 1), (1, 0) y (3, 1).
    Figura 10.E.15

    17. \(40\)dB

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

    En los siguientes ejercicios, usa propiedades de logaritmos para escribir cada expresión como una suma de logaritmos, simplificando si es posible.

    1. \(\log _{5} 25 a b\)
    2. \(\ln \frac{e^{12}}{8}\)
    3. \(\log _{2} \sqrt[4]{\frac{5 x^{3}}{16 y^{2} z^{7}}}\)
    Responder

    1. \(2+\log _{5} a+\log _{5} b\)

    3. \(\begin{array}{l}{\frac{1}{4}\left(\log _{2} 5+3 \log _{2} x-4-2 \log _{2} y\right.} {-7 \log _{2} z )}\end{array}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

    En los siguientes ejercicios, utilice las Propiedades de logaritmos para condensar el logaritmo, simplificando si es posible.

    1. \(5 \log _{4} x+3 \log _{4} y\)
    2. \(\frac{1}{6} \log x-3 \log (x+5)\)
    3. Redondeo a tres decimales, aproximado\(\log _{4} 73\).
    4. Resolver para\(x\):\(\log _{7}(x+2)+\log _{7}(x-3)=\log _{7} 24\)
    Responder

    2. \(\log \frac{\sqrt[6]{x}}{(x+5)^{3}}\)

    4. \(x=6\)

    Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

    En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación exponencial. Encuentra la respuesta exacta y luego aproximarla a tres decimales.

    1. \(\left(\frac{1}{5}\right)^{x}=9\)
    2. \(5 e^{x-4}=40\)
    3. Jacob invierte $\(14,000\) en una cuenta que compone los intereses trimestralmente y gana\(4\)%. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse su dinero?
    4. Los investigadores registraron que cierta población de bacterias creció de\(500\) a\(700\) en\(5\) horas. A este ritmo de crecimiento, ¿cuántas bacterias habrá en\(20\) horas?
    5. Cierta población de escarabajos puede duplicarse en\(3\) meses\(\left(A=2 A_{0}\right)\). ¿Cuánto tiempo tardará en triplicarse esa población de escarabajos?
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    2. \(x=\ln 8+4 \approx 6.079\)

    4. \(1,921\)bacterias

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