0.4: Propiedades del álgebra
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En álgebra, a menudo necesitaremos simplificar una expresión. Hay tres formas básicas de simplificación que discutiremos en esta sección.
El término “Álgebra” proviene de la palabra árabe al-jabr que significa “reunión”. Fue utilizado por primera vez en Irak en 830 dC por Mohammad Ibn-Musa al-Khwarizmi.
Una expresión algebraica consiste en coeficientes, variables y términos. Dada una expresión algebraica, un
- coeficiente es el número delante de la variable.
- variable es una letra que representa cualquier número.
- término es un producto de un coeficiente y variable (s).
Por ejemplo,\[t \qquad 2x \qquad 3st \qquad 7x^2 \qquad 5ab^3c \nonumber\] son todos ejemplos de términos porque cada uno es producto de un coeficiente y variable (s).
Evaluar expresiones
La primera forma de simplificar expresiones es evaluar expresiones. Dados valores particulares para cada variable, podemos simplificar la expresión reemplazando las variables con sus valores correspondientes.
Evaluar\(p(q + 6)\) cuándo\(p = 3\) y\(q = 5\).
Solución
\[\begin{array}{rl} p (q + 6) & \text{Replace }p\text{ with }3\text{ and }q\text{ with }5 \\ (3) ((5) + 6) & \text{Evaluate parenthesis} \\ (3) (11) & \text{Multiply} \\ 33 & \text{Result} \end{array}\nonumber\]
Siempre que reemplacemos una variable, pondremos el nuevo número dentro de un conjunto de paréntesis. Observe que los 3 y 5 en Ejemplo\(\PageIndex{1}\) están entre paréntesis. Esto es para preservar operaciones que a veces se pierden en un simple reemplazo. A veces el paréntesis no va a marcar la diferencia, pero es un buen hábito utilizarlos siempre para evitar posibles errores aritméticos futuros.
Evaluar\(x + z x (3 - z) \left( \dfrac{x}{3} \right)\) cuándo\(x = - 6\) y\(z = - 2\).
Solución
\[\begin{array}{rl} x + z x (3 - z) \left(\dfrac{x}{3} \right) & \text{Replace }x\text{ with }6\text{ and }z\text{ with }2 \\ && \\ (- 6) + (- 2) (- 6) (3 - (- 2)) \left( \dfrac{(- 6)}{3} \right) & \text{Evaluate parenthesis} \\ && \\ - 6 + (5) (- 2) & \text{Multiply left to right} \\ - 6 + {12 (5)} (- 2) & \text{Multiply left to right} \\ - 6 + {60 (- 2)} & \text{Multiply} \\ {- 6 - 120} & \text{Subtract} \\ - 126 & \text{Result} \end{array}\nonumber\]
Términos de Me gusta
Es común en el estudio de Álgebra que se desconozcan los valores de las variables. En este caso, simplificamos combinando términos similares.
Dos términos son como términos si la (s) variable (s) base (s) y el exponente en cada variable son idénticos.
Por ejemplo,\(3 x^2 y \text{and} - 7 x^2 y\) son como términos porque ambos contienen las mismas variables base,\(x\) y\(y\), y los exponentes on\(x\) (el\(x\) es cuadrado en ambos términos) y\(y\) son los mismos.
Si dos términos son como términos, sumamos (o restamos) los coeficientes, luego mantenemos las variables (y los exponentes en la variable correspondiente) iguales.
Simplificar:\(5 x - 2 y - 8 x + 7 y\)
Solución
\[\begin{array}{rl} 5 x - 2 y - 8 x + 7 y & \text{Combine like terms }5x-8x\text{ and }-2y+7y \\ - 3 x + 5 y & \text{Result} \end{array}\nonumber\]
Simplificar:\(8 x^2 - 3 x + 7 - 2 x^2 + 4 x - 3\)
Solución
\[\begin{array}{rl} 8 x^2 - 3 x + 7 - 2 x^2 + 4 x - 3 & \text{Combine like terms }8x^2-2x^2\text{ and }-3x+4x\text{ and} \\ &7-3 \\ 6 x^2 + x + 4 & \text{Result} \end{array}\nonumber\]
Al combinar términos similares, interpretamos los signos de resta como parte del siguiente término. De ahí que si vemos un signo de resta, tratamos el siguiente término como un término negativo.
Observe, cuando escribimos el resultado simplificado, es práctica común escribir la expresión en forma estándar, términos escritos con exponentes descendentes. Por ejemplo, mirando el resultado en Ejemplo\(\PageIndex{4}\), escribimos\(6 x^2 + x + 4\), donde el\(x^2\) término se escribe primero ya que es el mayor exponente y luego el\(x\) término. Siempre escribimos el término con solo el coeficiente al final, e.g\(4\).,.
Distribución
El método final para simplificar las expresiones algebraicas es la distribución. Muchas veces se nos dan expresiones algebraicas con conjuntos de paréntesis y términos directamente frente a las expresiones (como producto). Mediante el uso de la propiedad distributiva, podemos reescribir la expresión sin paréntesis.
Propiedad. La propiedad distributiva es un producto entre un término y una suma o diferencia de dos o más términos:\[a(b + d) = a\cdot b + a \cdot d\nonumber \]
Simplificar:\(4 (2 x - 7)\)
Solución
\[\begin{array}{rl} 4 (2 x - 7) & \text{Multiply each term by }4 \\ \textcolor{blue}{4} \cdot 2x - \textcolor{blue}{4} \cdot 7 & \text{Simplify} \\ 8 x - 28 & \text{Result} \end{array}\nonumber\]
Simplificar:\(- 7 (5 x - 6)\)
Solución
\[\begin{array}{rl} - 7 (5 x - 6) & \text{Multiply each term by }-7 \\ \textcolor{blue}{(-7)} \cdot 5x - \textcolor{blue}{(-7)} \cdot 6 & \text{Simplify} \\ - 35x+ 42 & \text{Result} \end{array}\nonumber\]
En el ejemplo anterior, utilizamos el hecho de que el signo se adjunta con el número, es decir, tratamos el\(- 6\) como un número negativo:\((-7)(-6) = 42\), un número positivo. El error más común al usar la propiedad distributiva es un error de signo (negativos). ¡Ten mucho cuidado con tus señales!
Es posible distribuir un negativo a través de paréntesis. Cuando hay un negativo delante de paréntesis, podemos pensar en lo negativo como un\(- 1\). No siempre lo escribimos, pero sabemos que está ahí. Después distribuimos el\(- 1\) como de costumbre.
Simplificar\(- (4 x - 5 y + 6)\)
Solución
\[\begin{array}{rl} - (4 x - 5 y + 6) & \text{Negative can be thought of as }-1 \\ \textcolor{blue}{-1} (4 x - 5 y + 6) & \text{Multiply each term by } \textcolor{blue}{- 1} \\ \textcolor{blue}{(-1)}4x - \textcolor{blue}{(- 1)} 5y + \textcolor{blue}{(- 1)} 6 & \text{Simplify} \\ \textcolor{blue}{-} 4 x \textcolor{blue}{+} 5 y \textcolor{blue}{-} 6 & \text{Result} \end{array}\nonumber\]
Poniéndolo todo junto
Distribuir entre paréntesis y combinar términos similares se puede combinar en un solo problema. El orden de las operaciones implica multiplicar (distribuir) primero, luego sumar o restar (combinar términos similares). Así, primero distribuimos y luego combinamos términos similares.
Simplificar:\(5 + 3 (2 x - 4)\)
Solución
\[\begin{array}{rl} 5 + 3 (2 x - 4) & \text{Distribute} \\ 5 + 6 x - 12 & \text{Combine like terms} \\ - 7 + 6 x & \text{Rewrite in standard form} \\ 6x - 7 & \text{Result} \\ \end{array}\nonumber\]
Simplificar:\(3 x - 2 (4 x - 5)\)
Solución
\[\begin{array}{rl} 3 x - 2 (4 x - 5) & \text{Distribute} \\ 3 x - 8 x + 10 & \text{Combine like terms} \\ - 5 x + 10 & \text{Result} \end{array}\nonumber\]
Simplificar:\(2 (5 x - 8) - 6 (4 x + 3)\)
Solución
\[\begin{array}{rl} 2 (5 x - 8) - 6 (4 x + 3) & \text{Distribute} \\ 10 x - 16 - 24 x - 18 & \text{Combine like terms} \\ - 14 x - 34 & \text{Result} \end{array}\nonumber\]
Simplificar:\(4 (3 x - 8) - (2 x - 7)\)
Solución
\[\begin{array}{rl} 4 (3 x - 8) - (2 x - 7) & \text{Treat the negative as a } \textcolor{blue}{- 1} \\ 4 (3 x - 8) \textcolor{blue}{- 1} (2 x - 7) & \text{Distribute} \\ 12 x - 32 - 2 x + 7 & \text{Combine like terms} \\ 10 x - 25 & \text{Result} \end{array}\nonumber\]
Propiedades de Algebra Tareas
Evaluar cada expresión dados los valores para cada variable.
\(p + 1 + q − m;\quad m = 1, p = 3, q = 4\)
\(p − \frac{pq}{6};\quad p = 6\text{ and }q = 5\)
\(c^2 − (a − 1);\quad a = 3\text{ and }c = 5\)
\(5j + \frac{kh}{2};\quad h = 5, j = 4, k = 2\)
\(\frac{4 − (p − m)}{2} + q;\quad m = 4, p = 6, q = 6\)
\(m + n + m + \frac{n}{2};\quad m = 1\text{ and }n = 2\)
\(q − p − (q − 1 − 3);\quad p = 3, q = 6\)
\(y^2 + y − z;\quad y = 5, z = 1\)
\(\frac{6 + z − y}{3};\quad y = 1, z = 4\)
\(x + 6z − 4y;\quad x = 6, y = 4, z = 4\)
\(5(b + a) + 1 + c;\quad a = 2, b = 6, c = 5\)
\(z + x − (1^2)^3;\quad x = 5, z = 4\)
\(3 + z − 1 + y − 1;\quad y = 5, z = 4\)
\(p + (q − r)(6 − p);\quad p = 6, q = 5, r = 5\)
\(y − [4 − y − (z − x)];\quad x = 3, y = 1, z = 6\)
\(4z − (x + x − (z − z))\quad x = 3, z = 2\)
\(k \times 3^2 − (j + k) − 5;\quad j = 4, k = 5\)
\(zx −\left(z-\frac{4+x}{6}\right);\quad x = 2, z = 6\)
\(a^3 (c^2 − c);\quad a = 3, c = 2\)
\(5 + qp + pq − q;\quad p = 6, q =3\)
Simplificar.
\(r − 9 + 10\)
\(n+n\)
\(8v + 7v\)
\(−7x − 2x\)
\(k − 2 + 7\)
\(x − 10 − 6x + 1\)
\(m − 2m\)
\(9n − 1 + n + 4\)
\(−4x + 2 − 4\)
\(4b + 6 + 1 + 7b\)
\(−x + 8x\)
\(−7a − 6 + 5\)
\(−8p + 5p\)
\(1 − 10n − 10\)
\(1 − r − 6\)
\(−4b + 9b\)
\(−8(x − 4)\)
\(8n(n + 9)\)
\(7k(−k + 6)\)
\(−6(1 + 6x)\)
\(8m(5 − m)\)
\(−9x(4 − x)\)
\(−9b(b − 10)\)
\(−8n(5 + 10n)\)
\(3(8v + 9)\)
\(−(−5 + 9a)\)
\(10x(1 + 2x)\)
\(−2(n + 1)\)
\(−2p(9p − 1)\)
\(4(8n − 2)\)
\(−4(1 + 7r)\)
\(2x(8x − 10)\)
\(9(b + 10) + 5b\)
\(−3x(1 − 4x) − 4x^2\)
\(−4k^2 − 8k(8k + 1)\)
\(1 − 7(5 + 7p)\)
\(−10 − 4(n − 5)\)
\(4(x + 7) + 8(x + 4)\)
\(−8(n + 6) − 8n(n + 8)\)
\(7(7 + 3v) + 10(3 − 10v)\)
\(2n(−10n + 5) − 7(6 − 10n)\)
\(5(1 − 6k) + 10(k − 8)\)
\((8n^2 − 3n) − (5 + 4n^2)\)
\((5p − 6) + (1 − p)\)
\((2 − 4v^2) + (3v^2 + 2v)\)
\((4 − 2k^2) + (8 − 2k^2)\)
\((x^2 − 8) + (2x^2 − 7)\)
\(4v − 7(1 − 8v)\)
\(−8x + 9(−9x + 9)\)
\(−9 − 10(1 + 9a)\)
\(−10(x − 2) − 3\)
\(−6(5 − m) + 3m\)
\(−2r(1 + 4r) + 8r(−r + 4)\)
\(9(6b + 5) − 4b(b + 3)\)
\(−7(4x − 6) + 2(10x − 10)\)
\(−3(4 + a) + 6a(9a + 10)\)
\(−7(4x + 3) − 10(10x + 10)\)
\((7x^2 − 3) − (5x^2 + 6x)\)
\((3x^2 − x) − (7 − 8x)\)
\((2b − 8) + (b − 7b^2)\)
\((7a^2 + 7a) − (6a^2 + 4a)\)
\((3 − 7n^2) + (6n^2 + 3)\)