0.3: Orden de Operaciones
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A la hora de simplificar las expresiones, es importante que las simplifiquemos en el orden correcto. Considere el siguiente problema hecho de dos maneras diferentes:
\[\begin{array}{ccccc}\underbrace{2+5}\cdot 3&\text{Add first}&\qquad&2+\underbrace{5\cdot 3}&\text{Multiply} \\ \underbrace{7\cdot 3}&\text{Multiply}&\qquad&\underbrace{2+15}&\text{Add} \\ 21&\text{Result}&\qquad&17&\text{Result}\end{array}\nonumber\]
El ejemplo anterior ilustra que si el mismo problema se hace de dos maneras diferentes, llegaremos a dos resultados diferentes. Sin embargo, sólo un método es correcto. Podemos pensar en escribir una oración: importa donde pongamos puntuación, mayúscula, etc. Bueno, las matemáticas son muy similares y debemos seguir un orden. Resulta que el segundo método, 17, es el método correcto. El orden de las operaciones termina con la más básica de las operaciones, suma (o resta). Antes de que se complete la suma, debemos hacer multiplicación (o división). Antes de que se complete la multiplicación, debemos hacer exponentes. Cuando queremos hacer algo fuera de este orden, usamos símbolos de agrupación, por ejemplo, paréntesis, corchetes, valor absoluto, radical, etc.
Podemos usar la palabra PEMDAS para recordar el orden de las operaciones, ya que la primera letra de cada operación crea la palabra PEMDAS. Otra forma de recordar el orden de las operaciones es pensar en una frase como “P lease E xcuse M y D ear A unt S ally”, donde cada palabra comienza con la misma letra que la operación. Sin embargo, es sugerencia del autor pensar en PEMDAS como una palabra vertical escrita como
\[\begin{array}{rl}\mathbf{P}&\text{Parenthesis}\\ \mathbf{E}&\text{Exponents} \\ \mathbf{MD}&\text{Multiplication & Division} \\ \mathbf{AS}&\text{Addition & Subtraction} \end{array}\nonumber\]
Multiplicar y dividir se hacen en el mismo paso porque son la misma operación (la división es simplemente multiplicar por lo recíproco). Esto significa que la multiplicación y división deben hacerse en orden, de izquierda a derecha. Entonces, algunos problemas los dividiremos primero, otros los multiplicaremos primero. Para sumar y restar (restar es solo sumar lo contrario), tenemos un caso similar.
El primer uso de símbolos de agrupación se encuentra en 1646 del libro de texto del matemático holandés, de Franciscus van Schooten, Vieta. La parte de la expresión primero en ser evaluada estuvo representada por una barra. Entonces problemas como\(2 (3 + 5)\) fueron escritos como\(2 \cdot \overline{3 + 5}\).
Simplifica completamente la expresión:\(2 + 3 (9 - 4)^2\)
Solución
\[\begin{array}{rl} 2 + 3 (\underbrace{9 - 4})^2 & \text{Parenthesis} \\ 2 + 3 \underbrace{(5)^2} & \text{Exponents} \\ 2 + \underbrace{3 (25)} & \text{Multiply} \\ \underbrace{2 + 75} & \text{Add} \\ 77 & \text{Result} \end{array}\nonumber\]
Simplifica completamente la expresión:\(30 \div 3 \cdot 2\)
Solución
\[\begin{array}{rl} \underbrace{30 \div 3} \cdot 2 & \text{Divide} \\ \underbrace{10 \cdot 2} & \text{Multiply} \\ 20 & \text{Result} \end{array}\nonumber\]
¡Es muy importante recordar multiplicar y dividir de izquierda a derecha! En Ejemplo\(\PageIndex{2}\), si hubiéramos multiplicado primero, habríamos obtenido 5 como respuesta, lo cual es incorrecto.
Agrupar símbolos\((\quad ), \{\quad \}, [\quad ]\)
Si hay varios paréntesis en un problema, comenzaremos con el paréntesis más interno y trabajaremos nuestra salida a medida que aplicamos orden de operaciones a la expresión. Para evitar confusiones con paréntesis múltiples, utilizamos diferentes tipos de símbolos de agrupación como {} y [] y (). Todos estos símbolos de agrupación significan lo mismo e implican que la expresión interior debe evaluarse primero.
Simplifica completamente la expresión:\(2 \bigl\{8^2 - 7 [32 - 4 (3^2 + 1)] (- 1)\bigr\}\)
Solución
\[\begin{array}{rl} 2 \bigl\{8^2 - 7 [32 - 4 (\underbrace{3^2} + 1)] (- 1) \bigr\} & \text{Innermost parenthesis; exponents} \\ 2 \{8^2 - 7 [32 - 4 (\underbrace{9 + 1})] (- 1)\} & \text{Add} \text{ inside } \text{those } \text{parenthesis} \\ 2 \{8^2 - 7 [32 \underbrace{- 4 (10)}] (- 1)\} & \text{Multiply } \text{inside } \text{inner } \text{most } \text{parenthesis} \\ 2 \{8^2 - 7 [\underbrace{32 - 40}] (- 1)\} & \text{Subtract inside those parenthesis }\\ 2 \{ \underbrace{8^2} - 7 [- 8] (- 1)\} & \text{Exponents next}\\ 2 \{64 \underbrace{- 7 [- 8]} (- 1)\} & \text{Multiply left to right, sign with the number}\\ 2 \{64 + \underbrace{56 (- 1)} \} & \text{Finish multiplying}\\ 2 \{ \underbrace{64 - 56} \} & \text{Subtract inside parenthesis}\\ \underbrace{2 \{8\}} & \text{Multiply}\\ 16 & \text{Result} \end{array}\nonumber\]
Ejemplo\(\PageIndex{3}\) ilustra que puede tomar varios pasos para completar un problema. La clave para simplificar con éxito al aplicar orden de operaciones es tomarse el tiempo para mostrar su trabajo y hacer un paso a la vez. Esto reducirá la posibilidad de cometer un error en el camino.
Agrupación de símbolos: barra de fracciones
Existen varios tipos de símbolos de agrupación que se pueden usar además de paréntesis. Un tipo es una barra de fracción. Si tenemos una fracción, todo el numerador y todo el denominador deben ser evaluados antes de reducir la fracción. En estos casos, podemos simplificar el numerador y el denominador simultáneamente.
Simplifica completamente la expresión:\(\dfrac{2^4 - (- 8) \cdot 3}{15 \div 5 - 1}\)
Solución
\[\begin{array}{rl} \dfrac{\underbrace{2^4} - (- 8) \cdot 3}{\underbrace{15 \div 5} - 1} & \text{Exponent } \text{in } \text{the } \text{numerator, } \text{divide } \text{in } \text{denominator} \\ & & \\ \dfrac{16 - \underbrace{(- 8) \cdot 3}}{\underbrace{3 - 1}} & \text{Multiply } \text{in } \text{the } \text{numerator, } \text{subtract } \text{in } \text{denominator} \\ & & \\ \dfrac{\underbrace{16 - (- 24)}}{2} & \text{Add } \text{the } \text{opposite } \text{to } \text{simplify } \text{numerator} \\ & & \\ \dfrac{40}{2} & \text{Reduce} \\ & & \\ 20 & \text{Result} \end{array}\nonumber\]
Agrupar símbolos: valor absoluto\(|\quad |\)
Otro tipo de símbolo de agrupación que también tiene una operación es el valor absoluto. Cuando hay valor absoluto, primero evaluamos la expresión dentro del valor absoluto, como si se tratara de un paréntesis normal. Entonces toma el valor absoluto.
Recordar. El valor absoluto de un número es la distancia desde cero; de ahí que el valor absoluto de un número sea siempre positivo porque la distancia es siempre positiva. Por ejemplo, no hay tal cosa como correr\(-3\) millas, solo 3 millas.
Simplifica completamente la expresión:\(1 + 3|-4^2 - (- 8) | + 2 |3 + (- 5)^2|\)
Solución
\[\begin{array}{rl} 1 + 3| - \underbrace{4^2} - (- 8) | + 2 |3 + \underbrace{(- 5)^2} | & \text{Evaluate absolute values first, exponents}\\ 1 + 3 | \underbrace{- 16 - (- 8)} | + 2 | \underbrace{3 + 25} | & \text{Add inside absolute values}\\ 1 + 3 \underbrace{| - 8|} + 2 \underbrace{|28|} & \text{Evaluate absolute values}\\ 1 + \underbrace{3 (8)} + 2 (28) & \text{Multiply left to right}\\ 1 + 24 + \underbrace{2 (28)} & \text{Finish multiplying}\\ \underbrace{1 + 24} + 56 & \text{Add left to right}\\ \underbrace{25 + 56} & \text{Add}\\ 81 & \text{Our Solution} \end{array}\nonumber\]
Ejemplo\(\PageIndex{5}\) ilustra un punto importante sobre los exponentes. Los exponentes se adjuntan únicamente a su número base. Esto significa que cuando vemos\(- 4^2\), sólo el 4 es cuadrado, dándonos\(- (4^2)\) o\(-16\), pero cuando el negativo está entre paréntesis, como\((- 5)^2\) el negativo es parte del número base y también es cuadrado, dándonos una solución positiva, 25. Asegúrese de conocer la diferencia para minimizar futuros errores.
Orden de Operaciones Testo
Simplifica completamente las expresiones.
\(-6\cdot 4(-1)\)
\(3+(8)\div |4|\)
\(8\div 4\cdot 2\)
\([−9 − (2 − 5)] \div (−6)\)
\(-6+(-3-3)^2\div |3|\)
\(4-2|3^2-16|\)
\([−1 − (−5)]|3 + 2|\)
\(\frac{2+4|7+2^2|}{4\cdot 2+5\cdot 3}\)
\([6\cdot 2+2-(-6)]\left(-5+\left|\frac{-18}{6}\right|\right)\)
\(\frac{-13-2}{2-(-1)^3+(-6)-[-1-(-3)]}\)
\(6\cdot\frac{-8-4+(-4)-[-4-(-3)]}{(4^2+3^2)\div 5}\)
\(\frac{2^3+4}{-18-6+(-4)-[-5(-1)(-5)]}\)
\(\frac{5+3^2-24\div 6\cdot 2}{[5+3(2^2-5)]+|2^2-5|^2}\)
\((-6\div 6)^3\)
\(5(-5+6)\cdot 6^2\)
\(7-5+6\)
\((-2\cdot 2^3\cdot 2)\div (-4)\)
\((-7-5)\div [-2-2-(-6)]\)
\(\frac{-10-6}{(-2)^2}-5\)
\(−3 − \{3 − [−3(2 + 4) − (−2)]\}\)
\(-4-[2+4(-6)-4-|2^2-5\cdot 2|]\)
\(2\cdot (-3)+3-6[-2-(-1-3)]\)
\(\frac{-5^2+(-5)^2}{|4^2-2^5|-2\cdot 3}\)
\(\frac{-9\cdot 2-(3-6)}{1-(-2+1)-(-3)}\)
\(\frac{13+(-3)^2+4(-3)+1-[-10-(-6)]}{\{[4+5]\div [4^2-3^2(4-3)-8]\}+12}\)