1.1: Ecuaciones Lineales
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Una ecuación lineal es una ecuación donde el exponente más alto en las variables dadas es uno. Una ecuación lineal en una variable es una ecuación con una variable con exponente uno, por ejemplo,\[ax+b=c,\nonumber\] donde\(a\) se llama el coeficiente de\(x\),\(b\) y\(c\) son coeficientes constantes.
Resolver ecuaciones lineales es una habilidad importante y fundamental en álgebra. En álgebra, a menudo se nos presenta un problema donde se desconoce la respuesta. Esto suele estar representado por una variable. Habrá momentos en los que hay múltiples incógnitas y utilizamos técnicas de álgebra para resolver para la variable.
Asegúrese de entender la diferencia entre una expresión y una ecuación.
Recordar. Simplificamos expresiones y resolvemos ecuaciones. De ahí que las expresiones no contengan un signo igual,\(=\), y solo distribuimos y combinamos términos similares. Las ecuaciones contienen un signo igual\(=\),, y resolvemos para la variable además de distribuir y combinar términos similares.
El resultado a una expresión es una expresión y el resultado a una ecuación es un número (con la excepción de cuando el resultado es infinitamente muchas soluciones o ninguna solución).
Verificación de Soluciones
¿Es\(x = −5\) una solución a la ecuación\(4x + 16 = −4\)?
Solución
Sustituimos\(x = −5\) en la ecuación y determinamos si el lado izquierdo es igual al lado derecho.
\[\begin{array}{rl}4(-5)+16\stackrel{?}{=}-4&\text{Multiply }4(-5) \\ -20+16\stackrel{?}{=}-4&\text{Add }-20+16 \\ -4=-4&\checkmark\text{ True}\end{array}\nonumber\]
De ahí\(x = −5\) que sea una solución a la ecuación\(4x + 16 = −4\).
¿Es\(x = 3\) una solución a la ecuación\(4x + 16 = −4\)?
Solución
Sustituimos\(x = 3\) en la ecuación y determinamos si el lado izquierdo es igual al lado derecho.
\[\begin{array}{rl}4(3)+16\stackrel{?}{=}-4&\text{Multiply }4(3) \\ 12+16\stackrel{?}{=}-4&\text{Add }12+16 \\ 28\neq -4&X\text{ False}\end{array}\nonumber\]
De ahí\(x = 3\) que no sea una solución a la ecuación\(4x + 16 = −4\).
Ejemplo\(\PageIndex{2}\) reitera que la solución a cada ecuación es única. Una vez que vemos que en una solución hace que la ecuación sea cierta, entonces no buscamos más. La excepción es cuando tenemos una identidad, que discutimos más adelante en este capítulo.
Ecuaciones de un solo paso
Dependiendo de la complejidad del problema, este método de “adivinar y verificar” no es muy eficiente. Así, tomamos un enfoque más algebraico para resolver ecuaciones. Aquí nos enfocaremos en ecuaciones que solo requieren un paso para resolverlas. Si bien estas ecuaciones suelen parecer muy fundamentales, es importante dominar el patrón para resolver estos problemas para que podamos resolver problemas más complejos.
Dada una ecuación,\(a = b\), la siguiente es una declaración equivalente:\[a+c=b+c\nonumber\] es decir, podemos agregar cualquier número a un lado de la ecuación siempre que agreguemos el mismo número al otro lado. A menudo, usamos esta propiedad para aislar la variable.
Resolver para\(x\):\(x + 7 = −5\)
Solución
\[\begin{array}{rl}x+7=-5&\text{Isolate }y\text{ by adding the opposite of }7 \\ x+7+\color{blue}{(-7)}\color{black}{}=-5+\color{blue}{(-7)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ x=-12&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Recordemos, se recomienda que el alumno verifique la respuesta obtenida verificando la solución:
\[\begin{array}{rl}\color{blue}{(-12)}\color{black}{}+7\stackrel{?}{=}-5 \\ -5=-5&\checkmark\text{ True}\end{array}\nonumber\]
Resolver para\(y\):\(4 + y = 8\)
Solución
\[\begin{array}{rl}4+y=8&\text{Isolate }y\text{ by adding the opposite of }4 \\ 4+y+\color{blue}{(-4)}\color{black}{}=8+\color{blue}{(-4)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=4&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Resolver para\(y\):\(7 = y + 9\)
Solución
\[\begin{array}{rl}7=y+9&\text{Isolate }y\text{ by adding the opposite of }9 \\ 7+\color{blue}{(-9)}\color{black}{}=y+9+\color{blue}{(-9)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ -2=y&\text{Rewrite with }y\text{ on the left side} \\ y=-2&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Resolver para\(x\):\(5 = 8 + x\)
Solución
\[\begin{array}{rl}5=8+x&\text{Isolate }x\text{ by adding the opposite of }8 \\ 5+\color{blue}{(-8)}\color{black}{}=8+x+\color{blue}{(-8)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ -3=x&\text{Rewrite with }x\text{ on the left side} \\ x=-3&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
¡Asegúrate de verificar tu respuesta verificando la solución! Solo toma unos segundos y te ahorrará tiempo y futuros errores comunes a la larga.
Resolver para\(y\):\(y − 5 = 4\)
Solución
\[\begin{array}{rl}y-5=4&\text{Isolate }y\text{ by adding the opposite of }-5 \\ y-5+\color{blue}{(5)}\color{black}{}=4+\color{blue}{(5)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=9&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Resolver para\(y\):\(−10 = y − 7\)
Solución
\[\begin{array}{rl}-10=y-7&\text{Isolate }y\text{ by adding the opposite of }-7 \\ -10+\color{blue}{(7)}\color{black}{}=y-7+\color{blue}{(7)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=-3&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Dada una ecuación,\(a = b\), la siguiente es una declaración equivalente:\[ac=bc,\nonumber\] donde\(c\neq 0\), es decir, podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por un número distinto de cero. A menudo, usamos esta propiedad para aislar la variable cuando hay un coeficiente delante de la variable.
Resolver para\(y\):\(4y = 20\)
Solución
\[\begin{array}{rl}4y=20&\text{Isolate }y\text{ by multiplying by the reciprocal of }4 \\ \color{blue}{\frac{1}{4}}\color{black}{}\cdot 4y=20\cdot\color{blue}{\frac{1}{4}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=5&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
En Ejemplo\(\PageIndex{9}\), multiplicamos por el recíproco. El producto de un número y su recíproco es uno, es decir, si\(c\) es un número, entonces su recíproco es\(\frac{1}{c}\) porque\[c\cdot\frac{1}{c}=1\nonumber\]
Resolver para\(y\):\(−5y = 30\)
Solución
\[\begin{array}{rl}-5y=30&\text{Isolate }y\text{ by multiplying by the reciprocal of }-5 \\ \color{blue}{-\frac{1}{5}}\color{black}{}\cdot -5y=30\cdot\color{blue}{-\frac{1}{5}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=-6&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Resolver para\(x\):\(−42 = −7x\)
Solución
\[\begin{array}{rl}-42=-7x&\text{Isolate }x\text{ by multiplying by the reciprocal of }-7 \\ \color{blue}{-\frac{1}{7}}\color{black}{}\cdot -42=-7x\cdot\color{blue}{-\frac{1}{7}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ 6=x&\text{Rewrite with }x\text{ on the left side} \\ x=6&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Resolver para\(x\):\(\frac{x}{-7}=-2\)
Solución
\[\begin{array}{rl}\frac{x}{-7}=-2&\text{Isolate }x\text{ by multiplying by the reciprocal of }-\frac{1}{7} \\ \color{blue}{-7}\color{black}{}\cdot\frac{x}{-7}=-2\cdot\color{blue}{-7}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ x=14&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Resolver para\(x\):\(\frac{x}{5}=-3\)
Solución
\[\begin{array}{rl}\frac{x}{5}=-3&\text{Isolate }x\text{ by multiplying by the reciprocal of }\frac{1}{5} \\ \color{blue}{5}\color{black}{}\cdot\frac{x}{5}=-3\cdot\color{blue}{5}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ x=-15&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Los procesos descritos anteriormente son fundamentales para resolver ecuaciones. Una vez dominados estos procesos, se nos dan problemas que involucran múltiples pasos. Estos problemas pueden parecer más complejos, pero los procesos y patrones son los mismos.
El estudio del álgebra se llamaba originalmente “Arte Cossic” del latín, es decir, el estudio de las “cosas”, que ahora llamamos variables.
Ecuaciones de dos pasos
Después de dominar las técnicas para resolver ecuaciones de un solo paso, estamos listos para considerar ecuaciones de dos pasos. A medida que resolvemos ecuaciones de dos pasos, lo importante a recordar es que todo funciona a la inversa. Al trabajar con ecuaciones de un solo paso aprendimos que para borrar un “más cinco” en la ecuación, restaríamos cinco (o sumaríamos su opuesto) de ambos lados. Aprendimos que para despejar “dividido por siete”, multiplicamos por siete (o multiplicamos por su recíproco) en ambos lados. Al resolver para nuestra variable, utilizamos orden de operaciones a la inversa. Esto significa que aplicaremos primero la propiedad de suma, luego la propiedad de multiplicación en segundo lugar (luego exponentes y, finalmente, cualquier paréntesis o símbolos de agrupación, pero esa es otra lección).
Resolver para\(y\):\(4y − 20 = −8\)
Solución
Tenemos un término extra en el mismo lado que el término variable,\(4y\). Primero aislaremos el término variable, luego aislaremos la variable aplicando las propiedades de las ecuaciones:\[\begin{array}{rl}4y-20=-8&\text{Add the opposite of }-20\text{ to each side} \\ 4y-20+\color{blue}{20}\color{black}{}=-8+\color{blue}{20}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ 4y=12&\text{Multiply by the reciprocal of }4 \\ \color{blue}{\frac{1}{4}}\color{black}{}\cdot 4y=12\cdot\color{blue}{\frac{1}{4}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=3&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Verifiquemos la solución:\[\begin{array}{rl}4\color{blue}{(3)}\color{black}{}-20\stackrel{?}{=}-8 \\ 12-20\stackrel{?}{=}-8 \\ -8=-8&\checkmark\text{ True}\end{array}\nonumber\]
Así,\(y = 3\) es la solución a la ecuación.
El mismo proceso se utiliza para resolver cualquier ecuación de dos pasos. Sumar o restar primero, luego multiplicar o dividir. Recordemos, el método nunca cambia, solo los problemas sí.
Resolver para\(w\):\(5w + 7 = 7\)
Solución
\[\begin{array}{rl}5w+7=7&\text{Add the opposite of }7\text{ to each side} \\ 5w+7+\color{blue}{(-7)}\color{black}{}=7+\color{blue}{(-7)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ 5w=0&\text{Multiply by the reciprocal of }5 \\ \color{blue}{\frac{1}{5}}\color{black}{}\cdot 5w=0\cdot\color{blue}{\frac{1}{5}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ w=0&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Observe en Ejemplo\(\PageIndex{15}\) los siete cancelados por completo. Muchos estudiantes se quedan atascados en este punto. No olvidemos que el producto de un número y cero es cero. De ahí que el cero sea la solución a la ecuación.
Un error común que cometen los estudiantes con ecuaciones de dos pasos es con signos negativos. Recuerda, el signo siempre se queda con el coeficiente.
Resolver para\(t\):\(4-2t=10\)
Solución
\[\begin{array}{rl}4-2t=10&\text{Add the opposite of }4\text{ to each side} \\ 4-2t+\color{blue}{(-4)}\color{black}{}=10+\color{blue}{(-4)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ -2t=6&\text{Multiply by the reciprocal of }-2 \\ \color{blue}{-\frac{1}{2}}\color{black}{}\cdot -2t=6\cdot\color{blue}{-\frac{1}{2}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ t=-3&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Resolver para\(n\):\(8 − n = 2\)
Solución
\[\begin{array}{rl}8-n=2&\text{Add the opposite of }8\text{ to each side} \\ 8-n+\color{blue}{(-8)}\color{black}{}=2+\color{blue}{(-8)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ -n=-6&\text{Rewrite }-n\text{ as }-1n \\ -1n=-6&\text{Multiply by the reciprocal of }-1 \\ \color{blue}{-1}\color{black}{}\cdot -1n=-6\cdot\color{blue}{-1}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ n=6&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Resolver para\(y\):\(−3y + 7 = −8\)
Solución
\[\begin{array}{rl}-3y+7=-8&\text{Add the opposite of }7\text{ to each side} \\ -3y+7+\color{blue}{(-7)}\color{black}{}=-8+\color{blue}{(-7)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ -3y=-15&\text{Multiply by the reciprocal of }-3 \\ \color{blue}{-\frac{1}{3}}\color{black}{}\cdot -3y=-15\cdot\color{blue}{-\frac{1}{3}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=5&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Resolver para\(x\):\(−3 = \frac{x}{5} − 4\)
Solución
Observe que el término variable está en el lado derecho de la ecuación. Sin embargo, seguimos el método como de costumbre:\[\begin{array}{rl}-3=\frac{x}{5}-4&\text{Add the opposite of }-4\text{ to each side} \\ -3+\color{blue}{4}\color{black}{}=\frac{x}{5}-4+\color{blue}{4}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ 1=\frac{x}{5}&\text{Multiply by the reciprocal of }\frac{1}{5} \\ \color{blue}{5}\color{black}{}\cdot 1=\frac{x}{5}\cdot\color{blue}{5}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ 5=x&\text{Rewrite the solution with the variable on the left side} \\ x=5&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
A medida que los problemas en álgebra se vuelven más complejos, el método sigue siendo el mismo. De hecho, a medida que resolvamos problemas como los del siguiente ejemplo, cada uno de ellos tendrá varios pasos por resolver, pero los dos últimos pasos son una ecuación de dos pasos. Esta es una razón crítica para dominar ecuaciones de dos pasos.
\[3x^2+4=y+6\qquad \frac{1}{x-8}+\frac{1}{x}=\frac{1}{3}\qquad \sqrt{5y-5}+1=y\qquad\log _5(2y-4)=1\nonumber\]
El matemático persa Omar Khayyam resolvería problemas algebraicos geométricamente cruzando gráficos en lugar de resolverlos algebraicamente.
Ecuaciones Generales
A menudo como estamos resolviendo ecuaciones lineales, tendremos que hacer algunos trabajos preliminares para que nos resulte más familiar resolverlo. Esta sección se centrará en manipular una ecuación de tal manera que podamos usar nuestro método para resolver ecuaciones de dos pasos para obtener la solución.
Uno de esos temas que hay que abordar son los paréntesis. A veces el paréntesis puede interponerse en la forma de resolver una ecuación. Como cabría esperar, podemos reescribir una ecuación sin paréntesis mediante el uso de la propiedad distributiva.
La siguiente es una declaración equivalente:\[c(a+b)=ca+cb\nonumber\] donde\(c\neq 0\), es decir, podemos multiplicar cada término entre paréntesis por un número distinto de cero.
Resolver para\(y\):\(4(2y − 6) = 16\)
Solución
Observe que el primer paso es distribuir, luego se resuelve como cualquier otra ecuación de dos pasos.
\[\begin{array}{rl}4(2y-6)=16&\text{Distribute} \\ 8y-24=16&\text{Add the opposite of }-24\text{ to each side} \\ 8y-24+\color{blue}{24}\color{black}{}=16+\color{blue}{24}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ 8y=40&\text{Multiply by the reciprocal of }8 \\ \color{blue}{\frac{1}{8}}\color{black}{}\cdot 8y=40\cdot\color{blue}{\frac{1}{8}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=5&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Resolver para\(p\):\(3(2p − 4) + 9 = 15\)
Solución
Observe que el primer paso es distribuir, luego se resuelve como cualquier otra ecuación de dos pasos.
\[\begin{array}{rl}3(2p-4)+9=15&\text{Distribute} \\ 6p-12+9=15&\text{Combine like terms} \\ 6p-3=15&\text{Add the opposite of }-3\text{ to each side} \\ 6p-3+\color{blue}{3}\color{black}{}=15+\color{blue}{3}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ 6p=18&\text{Multiply by the reciprocal of }6 \\ \color{blue}{\frac{1}{6}}\color{black}{}\cdot 6p=18\cdot\color{blue}{\frac{1}{6}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ p=3&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Resolver para\(a\):\(3(4a − 5) = 4(2a + 1) + 5\)
Solución
Observe que tenemos términos variables en cada lado de la ecuación. No solo distribuiremos primero, sino que también aislaremos el término variable antes de aplicar el método de dos pasos:\[\begin{array}{rl} 3(4a − 5) = 4(2a + 1) + 5 &\text{Distribute} \\ 12a-15=8a+4+5&\text{Combine like terms} \\ 12a-15=8a+9&\text{Isolate the variable term by adding the opposite of }8a \\ &\text{to each side} \\ 12a-15+\color{blue}{(-8a)}\color{black}{}=8a+9+\color{blue}{(-8a)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ 4a-15=9&\text{Add the opposite of }-15\text{ to each side} \\ 4a-15+\color{blue}{15}\color{black}{}=9+\color{blue}{15}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ 4a=24&\text{Multiply by the reciprocal of }4 \\ \color{blue}{\frac{1}{4}}\color{black}{}\cdot 4a=24\cdot\color{blue}{\frac{1}{4}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ a=6&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
En general, hay un proceso de 5 pasos para resolver cualquier ecuación lineal. Si bien los cinco pasos no siempre son necesarios, esto puede servir como guía para resolver ecuaciones.
Paso 1. Aplicar la propiedad distributiva para reescribir la ecuación sin paréntesis.
Paso 2. Combina términos similares en cada lado de la ecuación.
Paso 3. Aísle el término variable aplicando la propiedad de suma.
Paso 4. Resolver la ecuación aplicando la propiedad de multiplicación.
Paso 5. \(✓\)Verificar la solución.
Los chinos desarrollaron un método para resolver ecuaciones que implicaba encontrar cada dígito uno a la vez hace unos 2,000 años.
Hay dos casos especiales a la hora de resolver ecuaciones lineales. El primero se ilustra en los dos ejemplos siguientes. Observe que comenzamos distribuyendo y moviendo las variables todas al mismo lado.
Resolver para\(y\):\(3(2y − 5) = 6y − 15\)
Solución
\[\begin{array}{rl} 3(2y − 5) = 6y − 15 &\text{Distribute} \\ 6y-15=6y-15&\text{Isolate the variable term by adding the opposite of }6y \\ &\text{to each side} \\ 6y-15+\color{blue}{(-6y)}\color{black}{}=6y+15+\color{blue}{(-6y)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ -15\stackrel{?}{=}-15&\text{Is this true? }\color{blue}{\text{Yes }\checkmark} \color{black}{} \\ -15=-15\end{array}\nonumber\]
Observe todas las variables canceladas y nos quedamos con solo una declaración con números. En este caso, la afirmación que nos queda es una afirmación verdadera, es decir,\(−15\) hace igual\(−15\), y así hay infinitamente muchas soluciones a esta ecuación. En este caso especial, cuando obtenemos infinitamente muchas soluciones, entonces la solución son todos números reales. Cuando la solución es toda números reales, llamamos a esta ecuación una identidad.
Resolver para\(n\):\(2(3n − 5) − 4n = 2n + 7\)
Solución
\[\begin{array}{rl} 2(3n-5)-4n=2n+7&\text{Distribute} \\ 6n-10-4n=2n+7&\text{Combine like terms} \\ 2n-10=2n+7&\text{Isolate the variable term by adding the opposite of }2n \\ &\text{to each side} \\ -10\stackrel{?}{=}7 &\text{Is this true?}\color{blue}{\text{ No }X} \color{black}{} \\ -10\neq 7\end{array}\nonumber\]
Observe todas las variables canceladas y nos quedamos con solo una declaración con números. En este caso, la afirmación que nos queda es una declaración falsa, es decir,\(−10\) no es igual\(7\), y así no hay solución a esta ecuación. En este caso especial, cuando obtenemos una declaración falsa, entonces la solución no es solución y llamamos a esta ecuación una contradicción.
Hay tres tipos de ecuaciones que vimos en los ejemplos y en Ejemplos\(\PageIndex{24}\) y \(\PageIndex{25}\):
- Una ecuación es una ecuación condicional cuando hay una solución única, es decir,\(x =\text{ number}\).
- Una ecuación es una identidad cuando obtenemos infinitamente muchas soluciones, como en Ejemplo\(\PageIndex{24}\), donde la solución a la ecuación son todos los números reales. De ahí que podamos elegir cualquier número para la variable y este número hará que la declaración sea verdadera.
- Una ecuación es una contradicción cuando la solución no es solución, como en Ejemplo\(\PageIndex{25}\). De ahí que no haya un número para la variable tal que la afirmación sea verdadera.
Resolver ecuaciones con fracciones
A menudo, al resolver ecuaciones lineales, trabajamos con una ecuación con coeficientes de fracción. Podemos resolver estos problemas como de costumbre. Recordemos, los métodos nunca cambian, solo problemas.
Resolver para\(y\):\(\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}=\frac{5}{6}\)
Solución
\[\begin{array}{rl}\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}=\frac{5}{6}&\text{Isolate the variable term by adding the opposite of }-\frac{7}{2} \\ \frac{3}{4}y-\frac{7}{2}+\color{blue}{\frac{7}{2}}\color{black}{}=\frac{5}{6}+\color{blue}{\frac{7}{2}}\color{black}{}&\text{Simplify}\end{array}\nonumber\]
Aviso, para poder agregar\(\frac{5}{6} + \frac{7}{2}\), necesitamos obtener el LCD. Desde el\(\text{LCD}(2, 6) = 6\), podemos reescribir el lado derecho con la pantalla LCD:\[\begin{array}{rl}\frac{3}{4}y=\frac{5}{6}+\frac{21}{6}&\text{Combine like terms} \\ \frac{3}{4}y=\frac{26}{6}&\text{Simplify }\frac{26}{6} \\ \frac{3}{4}y=\frac{13}{3}&\text{Solve by multiplying by the reciprocal of }\frac{3}{4} \\ \color{blue}{\frac{4}{3}}\color{black}{}\cdot\frac{3}{4}y=\frac{13}{3}\cdot\color{blue}{\frac{4}{3}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=\frac{52}{9}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Si bien este proceso sí nos ayuda a llegar a la solución correcta, las fracciones pueden dificultar bastante el proceso y estamos más inclinados a cometer errores. De ahí que tengamos un método alternativo llamado denominadores de compensación.
Podemos borrar fácilmente los denominadores en una ecuación multiplicando cada término por la LCD. Después de completar este paso, se borran las fracciones y podemos trabajar con un tipo de ecuación más familiar.
Vamos a intentar Ejemplo\(\PageIndex{26}\) otra vez, pero, ahora, limpiando denominadores primero, luego resolviendo.
Resolver para\(y\):\(\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}=\frac{5}{6}\)
Solución
\[\begin{array}{rl}\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}=\frac{5}{6}&\text{Multiply each term by the LCD}(2,4,6)=12 \\ \color{blue}{12}\color{black}{}\cdot\frac{3}{4}y-\color{blue}{12}\color{black}{}\cdot\frac{7}{2}=\color{blue}{12}\color{black}{}\cdot\frac{5}{6}&\text{Simplify} \\ \frac{36}{4}y-\frac{84}{2}=\frac{60}{6}&\text{Reduce the fractions} \\ 9y-42=10&\text{Add the opposite of }-42\text{ to each side} \\ 9y-42+\color{blue}{42}\color{black}{}=10+\color{blue}{42}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ 9y=52&\text{Multiply by the reciprocal of }9 \\ \color{blue}{\frac{1}{9}}\color{black}{}\cdot 9y=52\cdot\color{blue}{\frac{1}{9}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=\frac{52}{9}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Así, la solución es\(y = \frac{52}{9}\) y Ejemplo\(\PageIndex{26}\) es una ecuación condicional. Además, observamos que en cuanto multiplicamos cada término por la LCD, limpiamos los denominadores y la ecuación ya no contenía fracciones.
Resolver para\(t\):\(\frac{2}{3}t-2=\frac{3}{2}t+\frac{1}{6}\)
Solución
\[\begin{array}{rl}\frac{2}{3}t-2=\frac{3}{2}t+\frac{1}{6}&\text{Multiply each term by the LCD}(2,3,6)=6 \\ \color{blue}{6}\color{black}{}\cdot\frac{2}{3}t-\color{blue}{6}\color{black}{}\cdot 2=\color{blue}{6}\color{black}{}\cdot\frac{3}{2}t+\color{blue}{6}\color{black}{}\cdot\frac{1}{6}&\text{Simplify} \\ \frac{12}{3}t-12=\frac{18}{2}t+\frac{6}{6}&\text{Reduce the fractions} \\ 4t-12=9t+1&\text{Isolate the variable term by adding the opposite of }9t \\ &\text{to each side} \\ 4t-12+\color{blue}{(-9t)}\color{black}{}=9t+1+\color{blue}{(-9t)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ -5t-12=1&\text{Add the opposite of }-12\text{ to each side} \\ -5t-12+\color{blue}{12}\color{black}{}=1+\color{blue}{12}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ -5t=13&\text{Multiply by the reciprocal of }-5 \\ \color{blue}{-\frac{1}{5}}\color{black}{}\cdot -5t=13\cdot\color{blue}{-\frac{1}{5}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ t=-\frac{13}{5}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Así, la solución es\(t = − \frac{13}{5}\) y Ejemplo\(\PageIndex{28}\) es una ecuación condicional.
En Ejemplo\(\PageIndex{28}\), podríamos escribir la solución como se nos\(−2.6\) dio estábamos usando una calculadora. Una buena regla general es que si comienzas con fracciones, la solución también debería ser una fracción. De ahí que al haber fracciones en problema original, dejaremos la solución como una fracción.
Los egipcios estuvieron entre los primeros en estudiar fracciones y ecuaciones lineales. El documento matemático más famoso del Antiguo Egipto es el Papiro Rhéd, donde la variable desconocida se llamó “montón”.
Resolver ecuaciones con la distribución de fracciones
Podemos usar este mismo método si los paréntesis están en el problema dado. Primero distribuiremos el coeficiente delante del paréntesis, luego claros los denominadores.
Resolver para\(y\):\(\frac{3}{2}\left(\frac{5}{9}y+\frac{4}{27}\right)=3\)
Solución
\[\begin{array}{rl}\frac{3}{2}\left(\frac{5}{9}y+\frac{4}{27}\right)=3&\text{Distribute }\frac{3}{2}\text{ and reduce} \\ \frac{5}{6}y+\frac{2}{9}=3&\text{Multiply each term by the LCD}(6,9)=18 \\ \color{blue}{18}\color{black}{}\cdot\frac{5}{6}y+\color{blue}{18}\color{black}{}\cdot\frac{2}{9}=\color{blue}{18}\color{black}{}\cdot 3&\text{Multiply and simplify} \\ 15y+4=54&\text{Add the opposite of }4\text{ to each side} \\ 15y+4+\color{blue}{(-4)}\color{black}{}=54+\color{blue}{(-4)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ 15y=50&\text{Multiply by the reciprocal of }15 \\ \color{blue}{\frac{1}{15}}\color{black}{}\cdot 15y=50\cdot\color{blue}{\frac{1}{15}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y=\frac{50}{15}&\text{Reduce} \\ y=\frac{10}{3}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Así, la solución es\(y = \frac{10}{3}\) y Ejemplo\(\PageIndex{29}\) es una ecuación condicional.
Resolver para\(q\):\(\frac{1}{4}q-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{4}q+6\right)-\frac{7}{2}\)
Solución
\[\begin{array}{rl}\frac{1}{4}q-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{4}q+6\right)-\frac{7}{2}&\text{Distribute }\frac{1}{3}\text{ and reduce} \\ \frac{1}{4}q-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}q+2-\frac{7}{2}&\text{Multiply each term by the LCD}(2,4)=4 \\ \color{blue}{4}\color{black}{}\cdot\frac{1}{4}q-\color{blue}{4}\color{black}{}\cdot\frac{1}{2}=\color{blue}{4}\color{black}{}\cdot\frac{1}{4}q+\color{blue}{4}\color{black}{}\cdot 2-\color{blue}{4}\color{black}{}\cdot\frac{7}{2}&\text{Multiply and reduce} \\ q-2=q+8-14&\text{Combine like terms} \\ q-2=q-6&\text{Isolate the variable term by adding the opposite of }q \\ &\text{to each side} \\ q-2+\color{blue}{(-q)}\color{black}{}=q-6+\color{blue}{(-q)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ -2\stackrel{?}{=}-6&\text{Is this true? }\color{blue}{\text{No }X}\color{black}{} \\ -2\neq -6&\text{This implies there is no solution}\end{array}\nonumber\]
Ya que obtenemos una declaración falsa, no hay solución y esta ecuación se llama contradicción.
Tareas de Ecuaciones Lineales
Resuelve las ecuaciones de un solo paso.
\(v + 9 = 16\)
\(x − 11 = −16\)
\(30 = a + 20\)
\(x − 7 = −26\)
\(13 = n − 5\)
\(340 = −17x\)
\(−9 = \frac{n}{12}\)
\(20v = −160\)
\(340 = 20n\)
\(16x = 320\)
\(−16 + n = −13\)
\(p − 8 = −21\)
\(180 = 12x\)
\(20b = −200\)
\(\frac{r}{14}=\frac{5}{14}\)
\(−7 = a + 4\)
\(10 = x − 4\)
\(13a = −143\)
\(\frac{p}{20} = −12\)
\(9 + m = −7\)
\(14 = b + 3\)
\(−14 = x − 18\)
\(−1 + k = 5\)
\(−13 + p = −19\)
\(22 = 16 + m\)
\(4r = −28\)
\(\frac{5}{9} = \frac{b}{9}\)
\(−20x = −80\)
\(\frac{1}{2} = \frac{a}{8}\)
\(\frac{k}{13}= −16\)
\(21 = x + 5\)
\(m − 4 = −13\)
\(3n = 24\)
\(−17 = \frac{x}{12}\)
\(n + 8 = 10\)
\(v − 16 = −30\)
\(−15 = x − 16\)
\(-8k=120\)
\(-15=\frac{x}{9}\)
\(-19=\frac{n}{20}\)
Resuelve las ecuaciones de dos pasos.
\(5 + \frac{n}{4}= 4\)
\(102 = −7r + 4\)
\(−8n + 3 = −77\)
\(0 = −6v\)
\(−8 = \frac{x}{5}− 6\)
\(0 = −7 + \frac{k}{2}\)
\(−12 + 3x = 0\)
\(24 = 2n − 8\)
\(2 = −12 + 2r\)
\(\frac{b}{3} + 7 = 10\)
\(152 = 8n + 64\)
\(−16 = 8a + 64\)
\(56 + 8k = 64\)
\(−2x + 4 = 22\)
\(−20 = 4p + 4\)
\(−5 = 3 + \frac{n}{2}\)
\(\frac{r}{8} − 6 = −5\)
\(−40 = 4n − 32\)
\(87 = 3 − 7v\)
\(−x + 1 = −11\)
\(−2 = −2m + 12\)
\(27 = 21 − 3x\)
\(−4 − b = 8\)
\(−2 + \frac{x}{2} = 4\)
\(−5 = \frac{a}{4} − 1\)
\(−6 = 15 + 3p\)
\(−5m + 2 = 27\)
\(−37 = 8 + 3x\)
\(−8 + \frac{n}{12} = −7\)
\(\frac{x}{1} − 8 = −8\)
\(−11 = −8 + \frac{v}{2}\)
\(−2x − 3 = −29\)
\(−4 − 3n = −16\)
\(67 = 5m − 8\)
\(9 = 8 + \frac{x}{6}\)
\(\frac{m}{4} − 1 = −2\)
\(−80 = 4x − 28\)
\(33 = 3b + 3\)
\(3x − 3 = −3\)
\(4 + \frac{a}{3} = 1\)
Resolver.
\(2 − (−3a − 8) = 1\)
\(−5 (−4 + 2v) = −50\)
\(66 = 6 (6 + 5x)\)
\(0 = −8 (p − 5)\)
\(−2 + 2 (8x − 7) = −16\)
\(−21x + 12 = −6 − 3x\)
\(−1 − 7m = −8m + 7\)
\(1 − 12r = 29 − 8r\)
\(20 − 7b = −12b + 30\)
\(−32 − 24v = 34 − 2v\)
\(−2 − 5 (2 − 4m) = 33 + 5m\)
\(−4n + 11 = 2 (1 − 8n) + 3n\)
\(−6v − 29 = −4v − 5 (v + 1)\)
\(2 (4x − 4) = −20 − 4x\)
\(−a − 5 (8a − 1) = 39 − 7a\)
\(−57 = − (−p + 1) + 2 (6 + 8p)\)
\(−2 (m − 2) + 7 (m − 8) = −67\)
\(50 = 8 (7 + 7r) − (4r + 6)\)
\(−8 (n − 7) + 3 (3n − 3) = 41\)
\(−61 = −5 (5r − 4) + 4 (3r − 4)\)
\(−2 (8n − 4) = 8 (1 − n)\)
\(−3 (−7v + 3) + 8v = 5v − 4 (1 − 6v)\)
\(−7 (x − 2) = −4 − 6 (x − 1)\)
\(−6 (8k + 4) = −8 (6k + 3) − 2\)
\(−2 (1 − 7p) = 8 (p − 7)\)
\(2 (−3n + 8) = −20\)
\(2 − 8 (−4 + 3x) = 34\)
\(32 = 2 − 5 (−4n + 6)\)
\(−55 = 8 + 7 (k − 5)\)
\(− (3 − 5n) = 12\)
\(−3n − 27 = −27 − 3n\)
\(56p − 48 = 6p + 2\)
\(4 + 3x = −12x + 4\)
\(−16n + 12 = 39 − 7n\)
\(17 − 2x = 35 − 8x\)
\(−25 − 7x = 6 (2x − 1)\)
\(−7 (1 + b) = −5 − 5b\)
\(−8 (8r − 2) = 3r + 16\)
\(−8n − 19 = −2 (8n − 3) + 3n\)
\(−4 + 4k = 4 (8k − 8)\)
\(16 = −5 (1 − 6x) + 3 (6x + 7)\)
\(7 = 4 (n − 7) + 5 (7n + 7)\)
\(−8 (6 + 6x) + 4 (−3 + 6x) = −12\)
\(−76 = 5 (1 + 3b) + 3 (3b − 3)\)
\(−6 (x − 8) − 4 (x − 2) = −4\)
\(−4 (1 + a) = 2a − 8 (5 + 3a)\)
\(−6 (x − 3) + 5 = −2 − 5 (x − 5)\)
\(− (n + 8) + n = −8n + 2 (4n − 4)\)
\(−5 (x + 7) = 4 (−8x − 2)\)
\(8 (−8n + 4) = 4 (−7n + 8)\)
Resolver.
\(\frac{3}{5}(1+p)=\frac{21}{20}\)
\(0=-\frac{5}{4}\left(x-\frac{6}{5}\right)\)
\(\frac{3}{4}-\frac{5}{4}m=\frac{113}{24}\)
\(\frac{635}{72}=-\frac{5}{2}\left(-\frac{11}{4}+x\right)\)
\(2b+\frac{9}{5}=-\frac{11}{5}\)
\(\frac{3}{2}\left(\frac{7}{3}n+1\right)=\frac{3}{2}\)
\(-a-\frac{5}{4}\left(-\frac{8}{3}a+1\right)=-\frac{19}{4}\)
\(\frac{55}{6}=-\frac{5}{2}\left(\frac{3}{2}p-\frac{5}{3}\right)\)
\(\frac{16}{9}=-\frac{4}{3}\left(-\frac{4}{3}n-\frac{4}{3}\right)\)
\(-\frac{5}{8}=\frac{5}{4}\left(r-\frac{3}{2}\right)\)
\(-\frac{11}{3}+\frac{3}{2}b=\frac{5}{2}\left(b-\frac{5}{3}\right)\)
\(-\left(-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}\right)=-\frac{3}{2}+x\)
\(\frac{45}{16}+\frac{3}{2}n=\frac{7}{4}n-\frac{19}{16}\)
\(\frac{3}{2}\left(v+\frac{3}{2}\right)=-\frac{7}{4}v-\frac{19}{6}\)
\(\frac{47}{9}+\frac{3}{2}x=\frac{5}{3}\left(\frac{5}{2}x+1\right)\)
\(-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}k+\frac{3}{2}\)
\(\frac{3}{2}n-\frac{8}{3}=-\frac{29}{12}\)
\(\frac{11}{4}+\frac{3}{4}r=\frac{163}{32}\)
\(-\frac{16}{9}=-\frac{4}{3}\left(\frac{5}{3}+n\right)\)
\(\frac{3}{2}-\frac{7}{4}v=-\frac{9}{8}\)
\(\frac{41}{9}=\frac{5}{2}\left(x+\frac{2}{3}\right)-\frac{1}{3}x\)
\(\frac{1}{3}\left(-\frac{7}{4}k+1\right)-\frac{10}{3}k=-\frac{13}{8}\)
\(-\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}\right)-\frac{7}{2}x=-\frac{83}{24}\)
\(\frac{2}{3}\left(m+\frac{9}{4}\right)-\frac{10}{3}=-\frac{53}{18}\)
\(\frac{1}{12}=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}\left(x-\frac{7}{4}\right)\)
\(\frac{7}{6}-\frac{4}{3}n=-\frac{3}{2}n+2\left(n+\frac{3}{2}\right)\)
\(-\frac{149}{16}-\frac{11}{3}r=-\frac{7}{4}r-\frac{5}{4}\left(-\frac{4}{3}r+1\right)\)
\(-\frac{7}{2}\left(\frac{5}{3}a+\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{4}a+\frac{25}{8}\)
\(-\frac{8}{3}-\frac{1}{2}x=-\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}\left(-\frac{13}{4}x+1\right)\)
\(\frac{1}{3}n+\frac{29}{6}=2\left(\frac{4}{3}n+\frac{2}{3}\right)\)