1.2: Ecuaciones de Valor Absoluto
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Al resolver ecuaciones con valor absoluto, la solución puede resultar en más de una respuesta posible porque, recuerde, el valor absoluto es solo la distancia de cero. Dado que el entero\(−4\) tiene\(4\) unidades de distancia desde cero, y 4 tiene distancia 4 unidades desde cero, entonces hay dos enteros que tienen distancia\(4\) desde cero,\(−4,\: 4\). Extendemos este concepto a ecuaciones algebraicas de valores absolutos. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.
Resolver para\(x\):\(|x|=7\)
Solución
\[\begin{array}{rl}|x|=7&\text{Expression in the absolute value can be positive or negative} \\ x=7\text{ or }x=-7&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Pensemos en el conjunto de soluciones. La ecuación es pedir todos los números en los que se encuentre la distancia desde cero\(7\). Bueno, hay dos enteros que tienen una distancia\(7\) de cero,\(−7\) y\(7\). De ahí, el conjunto de soluciones\(\{−7, 7\}\).
El primer conjunto de reglas para trabajar con números negativos provino de la India\(7^{\text{th}}\) del siglo. Sin embargo, en 1758, más de mil años después, el matemático británico Francis Maseres afirmó que los negativos “oscurecen las doctrinas muy enteras de las ecuaciones y oscurecen las cosas que en su naturaleza son excesivamente obvias y simples”.
El valor absoluto para ecuaciones lineales en una variable viene dado por\[\text{If }|x|=a,\text{ then }x=a\text{ or }x=-a\nonumber\] donde\(a\) es un número real.
Cuando tenemos una ecuación con valor absoluto, es importante aislar primero el valor absoluto, luego eliminar el valor absoluto aplicando la definición.
Resolver para\(x\):\(5+|x|=8\)
Solución
\[\begin{array}{rl}5+|x|=8&\text{Isolate the absolute value by subtracting }5\text{ from each side} \\ |x|=3&\text{Rewrite as two linear equations} \\ x=3\text{ or }x=-3&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Así, el conjunto de soluciones es\(\{-3,3\}\).
Resolver para\(x\):\(-4|x|=-20\)
Solución
\[\begin{array}{rl}-4|x|=-20&\text{Isolate the absolute value} \\ \frac{-4|x|}{-4}=\frac{-20}{-4}&\text{Divide each side by }-4 \\ |x|=5&\text{Rewrite as two linear equations} \\ x=5\text{ or }x=-5&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Así, el conjunto de soluciones es\(\{-5,5\}\).
Nunca combine el interior del valor absoluto con factores o términos de fuera del valor absoluto. Siempre tenemos que aislar primero el valor absoluto, luego aplicar la definición para obtener dos ecuaciones sin el valor absoluto.
Resolver para\(y\):\(5|y| − 4 = 26\)
Solución
\[\begin{array}{rl}5|y|-4=26&\text{Isolate the absolute value term by adding }4\text{ to each side} \\ 5|y|=30&\text{Divide each side by }5 \\ \\ |y|=6&\text{Rewrite as two linear equations} \\ y=6\quad\text{or}\quad y=-6&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Así, el conjunto de soluciones es\(\{-6,6\}\).
Ecuaciones de Valor Absoluto con Diferentes Soluciones
A menudo, tendremos argumentos lineales dentro del valor absoluto que cambia la solución. Anteriormente, todos los conjuntos de soluciones han sido enteros opuestos, pero en estos casos, los conjuntos de soluciones contienen números de diferentes tamaños.
Resolver para\(t\):\(|2t − 1| = 7\)
Solución
\[\begin{array}{rl} |2t-1|=7&\text{The absolute value term is isolated. Rewrite as two linear equations.} \\ 2t-1=7\quad\text{or}\quad 2t-1=-7&\text{Solve each equation.}\end{array}\nonumber\]
Observe que tenemos dos ecuaciones para resolver donde cada ecuación da como resultado una solución diferente. En cualquier caso, resolvemos como de costumbre.
\[\begin{array}{lll} 2t-1=7&& 2t-1=-7 \\ 2t=8&\text{or}& 2t=-6 \\ t=4&&t=-3\end{array}\nonumber\]
Así, el conjunto de soluciones es\(\{-3,4\}\).
Ecuaciones de valores absolutos de varios pasos
Resolver para\(x\):\(2 − 4|2x + 3| = −18\)
Solución
Para aislar el valor absoluto, primero aplicamos la regla de suma para las ecuaciones. A continuación, aplicar la regla de multiplicación para las ecuaciones.
\[\begin{array}{rl}2-4|2x+3|=-18&\text{Isolate the absolute value term by subtracting }2\text{ from each side} \\ -4|2x+3|=-20&\text{Divide each side by }-4 \\ |2x+3|=5&\text{Rewrite as two linear equations.} \\ 2x+3=5\quad\text{or}\quad 2x+3=-5\end{array}\nonumber\]
Resuelve cada ecuación.
\[\begin{array}{lll}2x+3=5&&2x+3=-5 \\ 2x=2&\text{or}& 2x=-8 \\ x=1&&x=-4\end{array}\nonumber\]
Ahora hemos obtenido dos soluciones,\(x = 1\) y\(x = −4\). Así, el conjunto de soluciones es\(\{−4, 1\}\).
Ecuaciones con dos valores absolutos
En este caso, tenemos un valor absoluto a cada lado del signo igual. Sin embargo, a pesar de que hay dos valores absolutos, aplicamos el mismo proceso. Recordemos, los métodos nunca cambian, solo los problemas.
Resolver para\(m\):\(|2m-7|=|4m+6|\)
Solución
Para aplicar la definición, reescribimos esta ecuación como dos ecuaciones lineales, pero con el lado izquierdo como su valor positivo y negativo:\[\begin{array}{rl}|2m-7|=|4m+6|&\text{Rewrite as two linear equations} \\ 2m-7=\color{blue}{4m+6}\color{black}{}\quad\text{or}\quad 2m-7=\color{blue}{-(4m+6)}\color{black}{}\end{array}\nonumber\]
Ahora, podemos resolver como de costumbre. Asegúrese de distribuir el negativo para la ecuación de la derecha.
\[\begin{array}{lll} &&2m-7=\color{blue}{-}\color{black}{}(4m+6) \\ 2m-7=4m+6&&2m-7=\color{blue}{-}\color{black}{}4m\color{blue}{-}\color{black}{}6 \\ -13=2m&&6m-7=-6 \\ -\frac{13}{2}=m&\text{or}&6m=1 \\ &&m=\frac{1}{6}\end{array}\nonumber\]
Así da las soluciones,\(m=-\frac{13}{2}\) o\(m=\frac{1}{6}\). Así, el conjunto de soluciones es\(\left\{-\frac{13}{2},\frac{1}{6}\right\}\).
En Ejemplo\(\PageIndex{7}\), debido a que hay expresiones de valor absoluto en ambos lados de la ecuación, podríamos haber aplicado fácilmente la definición al lado izquierdo y obtenido\[\color{blue}{2m-7}\color{black}{}=4m-6\quad\text{or}\quad\color{blue}{-(2m-7)}\color{black}{}=4m-6\nonumber\]
Después resolvió cada ecuación lineal como de costumbre y obtuvo los mismos resultados.
Casos Especiales
A medida que estamos resolviendo ecuaciones de valor absoluto, es importante estar al tanto de casos especiales. Recuerde, el resultado después de evaluar el valor absoluto debe ser siempre no negativo.
Resolver para\(x\):\(7 + |2x − 5| = 4\)
Solución
\[\begin{array}{rl}7+|2x-5|=4&\text{Isolate the absolute value term by subtracting }7\text{ from each side} \\ |2x-5|=-3&X\text{ False}\end{array}\nonumber\]
¡Cuidado! Observe el valor absoluto de\(2x − 5\) es un número negativo. Esto es imposible con el valor absoluto porque el resultado después de evaluar el valor absoluto siempre debe ser no negativo. Así, decimos que esta ecuación no tiene solución.
Ecuaciones de Valor Absoluto
Resuelve cada ecuación.
\(|x| = 8\)
\(|b| = 1\)
\(|5 + 8a| = 53\)
\(|3k + 8| = 2\)
\(|9 + 7x| = 30\)
\(|8 + 6m| = 50\)
\(|6 − 2x| = 24\)
\(−7| − 3 − 3r| = −21\)
\(7| − 7x − 3| = 21\)
\(\frac{|−4b − 10|}{8} = 3\)
\(8|x + 7| − 3 = 5\)
\(5|3 + 7m| + 1 = 51\)
\(3 + 5|8 − 2x| = 63\)
\(|6b − 2| + 10 = 44\)
\(−7 + 8| − 7x − 3| = 73\)
\(|5x + 3| = |2x − 1|\)
\(|3x − 4| = |2x + 3|\)
\(\left|\frac{4x-2}{5}\right|=\left|\frac{6x+3}{2}\right|\)
\(|n| = 7\)
\(|x| = 2\)
\(|9n + 8| = 46\)
\(|3 − x| = 6\)
\(|5n + 7| = 23\)
\(|9p + 6| = 3\)
\(|3n − 2| = 7\)
\(|2 + 2b| + 1 = 3\)
\(\frac{|-4-3n|}{4}=2\)
\(8|5p + 8| − 5 = 11\)
\(3 − |6n + 7| = −40\)
\(4|r + 7| + 3 = 59\)
\(5 + 8| − 10n − 2| = 101\)
\(7|10v − 2| − 9 = 5\)
\(8|3 − 3n| − 5 = 91\)
\(|2 + 3x| = |4 − 2x|\)
\(\left|\frac{2x-5}{3}\right|=\left|\frac{3x+4}{2}\right|\)
\(\frac{|-n+6|}{6}=0\)