1.4: Problemas verbales
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Ahora, vamos a aplicar las técnicas de este capítulo a algunos problemas verbales comunes. Los problemas de palabras pueden ser complejos. El objetivo es llegar a ser competente en la traducción de una oración en inglés en una oración matemática. En esta sección, nos enfocamos en problemas verbales modelados por una ecuación lineal y resolvemos. Discutimos problemas de geometría, incluyendo problemas de perímetro y triángulos, número y distancia.
Problemas con los números
Si\(28\) menos de cinco veces un número es\(232\), ¿cuál es el número?
Solución
Primero, deje\(n\) ser el número. Ahora, traduzca las palabras clave en la oración:\[\underset{\color{blue}{5n-28}}{\color{blue}{\underbrace{\color{black}{...28\text{ less than }\underset{5n}{\underbrace{\text{five times a number}}}}}}}\underset{=}{\underbrace{\text{is}}}\underset{232}{\underbrace{232}}...\nonumber\]
Observe, después de traducir, obtenemos la ecuación\[5n-28=232\nonumber\]
Vamos a resolver:\[\begin{array}{rl}5n-8=232&\text{Isolate the variable term }5n \\ 5n-28+\color{blue}{28}\color{black}{}=232+\color{blue}{28}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ 5n=260&\text{Multiply by the reciprocal of }5 \\ \color{blue}{\frac{1}{5}}\color{black}{}\cdot 5n=260\cdot\color{blue}{\frac{1}{5}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ n=52&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Así, el número es\(52\).
Quince más de tres veces un número es lo mismo que diez menos de seis veces el número. ¿Cuál es el número?
Solución
Observe, esta frase es un poco más desafiante que Ejemplo\(\PageIndex{1}\), pero seguimos el método. \(n\)Sea el número.
\[\underset{\color{blue}{3n+15}}{\color{blue}{\underbrace{\color{black}{\text{Fifteen more than }\underset{3n}{\underbrace{\text{three times a number }}} }}}}\underset{=}{\underbrace{\text{ is the same as }}}\underset{\color{blue}{6n-10}}{\color{blue}{\underbrace{\color{black}{\text{ ten less than }\underset{6n}{\underbrace{\text{ six times the number}}}}}}}\nonumber\]
Observe, después de traducir, obtenemos la ecuación\[3n+15=6n-10\nonumber\]
Vamos a resolver:\[\begin{array}{rl}3n+15=6n-10&\text{Combine like terms} \\ 3n+15+\color{blue}{(-6n)}\color{black}{}=6n-10+\color{blue}{(-6n)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ -3n+15=-10&\text{Isolate the variable term} \\ -3n+15+\color{blue}{(-15)}\color{black}{}=-10+\color{blue}{(-15)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ -3n=-25&\text{Multiply by the reciprocal of }-3 \\ \color{blue}{-\frac{1}{3}}\color{black}{}\cdot -3n=-25\cdot\color{blue}{-\frac{1}{3}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ n=\frac{25}{3}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Así, el número es\(\frac{25}{3}\).
Enteros consecutivos
Otro tipo de problema numérico involucra números enteros consecutivos.
Los enteros consecutivos son enteros que vienen uno tras otro (como\(3,\: 4,\: 5,\) o\(−3,\: −2,\: −1\)).
- Si estamos tratando de encontrar varios enteros consecutivos, es importante identificar el primer entero y luego asignar nombres a los siguientes enteros. Por ejemplo, si\(x\) es el primer entero, entonces\(x + 1\) será el siguiente, y\(x + 2\) será el siguiente, y así sucesivamente.
- Si estamos tratando de encontrar varios enteros consecutivos pares o impares, es importante identificar el primer entero y luego asignar nombres a los siguientes enteros pares o impares. Por ejemplo, si\(x\) es el primer entero, entonces\(x + 2\) será el siguiente entero impar o par, y\(x + 4\) será el siguiente, y así sucesivamente.
La suma de tres enteros positivos consecutivos es\(93\). ¿Cuáles son los enteros positivos?
Solución
Como queremos obtener tres enteros positivos consecutivos, entonces podemos asignar cada entero como lo siguiente:\[\begin{array}{rl}x&\text{is the first integer} \\ x+1&\text{is the second integer} \\ x+2&\text{is the third integer}\end{array}\nonumber\]
La suma de estos tres enteros se da para ser\(93\). Traduciendo esto en una ecuación, obtenemos\[x+(x+1)+(x+2)=93\nonumber\]
Vamos a resolver esta ecuación para\(x\). Entonces podemos obtener los otros dos enteros.
\[\begin{array}{rl}x+(x+1)+(x+2)=93&\text{Rewrite without the parenthesis} \\ x+x+1+x+2=93&\text{Combine like terms} \\ 3x+3=93&\text{Isolate the variable term} \\ 3x+3+\color{blue}{(-3)}\color{black}{}=93+\color{blue}{(-3)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ 3x=90&\text{Multiply by the reciprocal of }3 \\ \color{blue}{\frac{1}{3}}\color{black}{}\cdot 3x=90\cdot\color{blue}{\frac{1}{3}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ x=30&\text{First integer}\end{array}\nonumber\]
Como el primer entero es\(30\), los siguientes dos enteros serían\[\begin{array}{rl}30+1=31&\text{is the second even integer} \\ 30+2=32&\text{is the third even integer}\end{array}\nonumber\]
Así, los enteros son\(30,\: 31,\) y\(32\).
La suma de tres enteros consecutivos incluso positivos es\(246\). ¿Cuáles son los números?
Solución
Como queremos obtener tres enteros consecutivos incluso positivos, entonces podemos asignar cada entero como lo siguiente:\[\begin{array}{rl}x&\text{is the first odd integer} \\ x+2&\text{is the second odd integer} \\ x+4&\text{is the third odd integer}\end{array}\nonumber\]
La suma de estos tres enteros pares se da para ser\(246\). Traduciendo esto en una ecuación, obtenemos\[x+(x+2)+(x+4)=246\nonumber\]
Vamos a resolver esta ecuación para\(x\). Entonces podemos obtener los otros dos enteros.
\[\begin{array}{rl}x+(x+2)+(x+4)=246&\text{Rewrite without the parenthesis} \\ x+x+2+x+4=246&\text{Combine like terms} \\ 3x+6=246&\text{Isolate the variable term} \\ 3x+6+\color{blue}{(-6)}\color{black}{}=246+\color{blue}{(-6)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ 3x=240&\text{Multiply by the reciprocal of }3 \\ \color{blue}{\frac{1}{3}}\color{black}{}\cdot 3x=240\cdot\color{blue}{\frac{1}{3}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ x=80&\text{First integer}\end{array}\nonumber\]
Dado que el primer entero es 80, los siguientes dos enteros pares serían\[\begin{array}{rl}80+2=82&\text{is the second even integer} \\ 80+4=32&\text{is the third even integer}\end{array}\nonumber\]
Así, los enteros son\(80,\: 82,\) y\(84\).
Encuentra tres enteros positivos impares consecutivos para que la suma del doble del primer entero, el segundo entero y tres veces el tercer entero sea\(152\).
Solución
Como queremos obtener tres enteros positivos impares consecutivos, entonces podemos asignar cada entero como lo siguiente:\[\begin{array}{rl}x&\text{is the first odd integer} \\ x+2&\text{is the second integer} \\ x+4&\text{is the third odd integer}\end{array}\nonumber\]
La suma de dos veces el primer entero, el segundo entero, y tres veces el tercer entero se da para ser\(152\). Traduciendo esto en una ecuación, obtenemos\[2\cdot x+(x+2)+3\cdot (x+4)=152\nonumber\]
Vamos a resolver esta ecuación para\(x\). Entonces podemos obtener los otros dos enteros.
\[\begin{array}{rl}2\cdot x+(x+2)+3\cdot (x+4)=152&\text{Rewrite without the parenthesis} \\ 2x+x+2+3x+12=152&\text{Combine like terms} \\ 6x+14=152&\text{Isolate the variable term} \\ 6x+14+\color{blue}{(-14)}\color{black}{}=152+\color{blue}{(-14)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ 6x=138&\text{Multiply by the reciprocal of }6 \\ \color{blue}{\frac{1}{6}}\color{black}{}\cdot 6x=138\cdot\color{blue}{\frac{1}{6}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ x=23&\text{First integer}\end{array}\nonumber\]
Como el primer entero es\(23\), los siguientes dos enteros impares serían\[\begin{array}{rl}23+2=25&\text{is the second odd integer} \\ 23+4=27&\text{is the third odd integer}\end{array}\nonumber\]
Así, los enteros son\(23,\: 25,\) y\(27\).
Problemas perimetrales
Otro problema de la geometría implica el perímetro o la distancia alrededor de un objeto.
La fórmula para el perímetro de un rectángulo viene dada por\[P=2w+2\ell ,\nonumber\] donde\(w\) está el ancho y\(ℓ\) es la longitud del rectángulo.
El perímetro de un rectángulo es\(44\) cm. La longitud es\(5\) menor que el doble del ancho. Encuentra las dimensiones.
Solución
Dejar\(w\) ser el ancho del rectángulo. Entonces la longitud es\(2w − 5\). Ya que el perímetro es\(44\text{ cm}\), podemos usar la fórmula perimetral para obtener las dimensiones.
\[\begin{array}{rl}P=2w+2\ell &\text{Substitute in the width, length, and perimeter} \\ 44=2(w)+2(2w-5)&\text{Rewrite with no parenthesis} \\ 44=2w+4w-10&\text{Combine like terms} \\ 44=6w-10&\text{Isolate the variable term} \\ 54=6w&\text{Multiply by the reciprocal of }6 \\ 9=w&\text{Length of the rectangle}\end{array}\nonumber\]
Dado que el ancho es\(9\text{ cm}\), entonces el largo es\((2(9) − 5) = 13\text{ cm}\).
Triángulos
Dado un triángulo, la suma de los tres ángulos es\(180^{\circ}\). Es decir, si los ángulos en un triángulo son\(a^{\circ},\: b^{\circ},\) y\(c^{\circ}\), entonces\[a^{\circ}+b^{\circ}+c^{\circ}=180^{\circ}\nonumber\]
El matemático alemán Bernhart Thibaut en 1809 intentó demostrar que los ángulos de un triángulo se suman\(180\) sin usar el postulado paralelo de Euclides (un punto de mucho debate en la historia de las matemáticas). Creó una prueba, pero posteriormente se demostró que tenía un error en la prueba.
El segundo ángulo de un triángulo es el doble del primero. El tercer ángulo es\(40\) menor que el primero. Encuentra los tres ángulos.
Solución
Dejar\(x\) ser la medida del primer ángulo. Entonces\[\begin{array}{rl}2x&\text{is the measure of the second angle} \\ x-40&\text{is the measure of the third angle}\end{array}\nonumber\]
Como la suma de estos tres ángulos es\(180^{\circ}\), entonces podemos escribir la ecuación\[x+2x+(x-40)=180\nonumber\]
Vamos a resolver para el primer ángulo\(x\):
\[\begin{array}{rl}x + 2x + (x − 40) = 180 &\text{Rewrite without parenthesis} \\ x + 2x + x − 40 = 180 &\text{Combine like terms} \\ 4x − 40 = 180 &\text{Isolate the variable term} \\ 4x=220&\text{Multiply by the reciprocal of }4 \\ x=55&\text{Measure of the first angle}\end{array}\nonumber\]
Como la medida del primer ángulo es\(55^{\circ}\), entonces las medidas del segundo y tercer ángulo son
\[\begin{array}{rl} 2(55)=110^{\circ}&\text{is the measure of the second angle} \\ 55-40=15^{\circ}&\text{is the measure of the third angle}\end{array}\nonumber\]
Problemas de movimiento uniforme
Otra aplicación común de ecuaciones lineales son los problemas de movimiento uniforme. Al resolver problemas de movimiento uniforme, usamos la relación\(rt = d\) o\[\text{rate (speed)}\cdot\text{time}=\text{distance}\nonumber\]
Por ejemplo, si una persona viajara\(30\) millas por hora (mph) por\(4\) horas, para encontrar la distancia total multiplicaríamos tasa y el tiempo:\((30)(4) = 120\). De ahí que esta persona recorriera una distancia de\(120\) millas. Los problemas que resolvemos en esta sección son solo unos pasos más de los descritos. Para mantener organizada la información en el problema, utilizamos tablas.
Direcciones opuestas
Dos corredores comienzan desde extremos opuestos de un recorrido de una\(8\) milla corriendo uno hacia el otro. Un corredor corre a razón de\(4\) millas por hora, y el otro corre a una tasa de\(6\) millas por hora. ¿Después de cuánto tiempo se reunirán los joggers?
Solución
Primero, podemos hacer una tabla para organizar la información dada y luego crear una ecuación. Dejar\(t\) representar el tiempo hasta que los corredores se encuentran.
Mesa\(\PageIndex{1}\)
| tasa | tiempo | distancia | |
|---|---|---|---|
| Jogger 1 | \(4\) | \(t\) | \(4t\) |
| Jogger 2 | \(6\) | \(t\) | \(6t\) |
Ahora podemos configurar la ecuación. Si la distancia total es\(8\) millas, entonces\[4t=6t+8,\nonumber\] es decir, la suma de la distancia de Jogger 1 y la distancia de Jogger 2 es\(8\) millas. Vamos a resolver.
\[\begin{array}{rl}4t+6t=8&\text{Combine like terms} \\ 10t=8&\text{Multiply by the reciprocal of }10 \\ t=\frac{4}{5}&\text{Hours until they meet}\end{array}\nonumber\]
Pasarán\(\frac{4}{5}\) horas (o\(48\) minutos) hasta que se reúnan.
Bob y Fred parten desde el mismo punto y caminan en direcciones opuestas. Bob camina\(2\) millas por hora más rápido que Fred. Después de\(3\) horas están\(30\) a kilómetros de distancia. ¿Qué tan rápido caminó cada uno?
Solución
Primero, podemos hacer una tabla para organizar la información dada y luego crear una ecuación. Vamos a\(r\) representar la tasa de Fred.
Mesa\(\PageIndex{2}\)
| tasa | tiempo | distancia | |
|---|---|---|---|
| Bob | \(r+2\) | \(3\) | \(3(r+2)\) |
| Fred | \(r\) | \(3\) | \(3r\) |
Ahora podemos configurar la ecuación. Si la distancia total es\(30\) millas, entonces\[3(r+2)+3r=30,\nonumber\] es decir, la suma de la distancia de Bob y la distancia de Fred es\(30\) millas. Vamos a resolver.
\[\begin{array}{rl}3(r+2)+3r=30&\text{Distribute} \\ 3r+6+3r=30&\text{Combine like terms} \\ 6r+6=30&\text{Isolate the variable term} \\ 6r=24&\text{Multiply by the reciprocal of }6 \\ r=4&\text{Rate of Fred}\end{array}\nonumber\]
Dado que la tasa de Fred es\(4\) mph, entonces la tasa de Bob es\(6\) mph\((4 + 2 = 6)\).
Dos campistas salieron de su campamento en canoa y remaron río abajo a una velocidad promedio de\(12\) millas por hora. Se dieron la vuelta y remaron río arriba a una tasa promedio de\(4\) millas por hora. El viaje total tomó\(1\) hora. ¿Después de cuánto tiempo giraron los campistas río abajo?
Solución
Primero, podemos hacer una tabla para organizar la información dada y luego crear una ecuación. Vamos a\(t\) representar el tiempo que tardó en viajar río arriba.
Mesa\(\PageIndex{3}\)
| tasa | tiempo | distancia | |
|---|---|---|---|
| upstream | \(4\) | \(t\) | \(4t\) |
| aguas abajo | \(12\) | \(1-t\) | \(12(1-t)\) |
Ahora podemos configurar la ecuación. Si las distancias de las rutas aguas arriba y aguas abajo son las mismas, entonces\[4t=12(1-t)\nonumber\]
Vamos a resolver.
\[\begin{array}{rl}4t=12(1-t)&\text{Distribute} \\ 4t=12-12t&\text{Combine like terms} \\ 16t=12&\text{Multiply by the reciprocal of }16 \\ t=\frac{12}{16}&\text{Reduce} \\ t=\frac{3}{4}&\text{Time going upstream}\end{array}\nonumber\]
Dado que el tiempo que va aguas arriba es\(\frac{3}{4}\) horas, entonces el tiempo de aguas abajo es\(\frac{1}{4}\) horas\(\left( 1 −\frac{3}{4} = \frac{1}{4}\right)\). Así, los campistas pasaron\(15\) minutos yendo río abajo.
Catch-up
Mike sale de su casa viajando\(2\) millas por hora. Joy sale\(6\) horas después para alcanzarlo viajando\(8\) millas por hora. ¿Cuánto tiempo le tomará ponerse al día con él?
Solución
Primero, podemos hacer una tabla para organizar la información dada y luego crear una ecuación. Vamos a\(t\) representar el tiempo que Joy viajó.
Mesa\(\PageIndex{4}\)
| tasa | tiempo | distancia | |
|---|---|---|---|
| Mike | \(2\) | \(t+6\) | \(2(t+6)\) |
| Alegría | \(8\) | \(t\) | \(8t\) |
Ahora podemos configurar la ecuación. Si Joy alcanza a Mike, entonces Mike y Joy habrían recorrido la misma distancia. De ahí que dando la ecuación\[2(t+6)=8t,\nonumber\] es decir, la distancia de Mike y la distancia de Joy son las mismas. Vamos a resolver.
\[\begin{array}{rl}2(t+6)=8t&\text{Distribute} \\ 2t+12=8t&\text{Combine like terms} \\ 12=6t&\text{Multiply by the reciprocal of }6 \\ 2=t&\text{Time Joy traveled}\end{array}\nonumber\]
Ya que el tiempo que Joy viajó fueron\(2\) horas, entonces Mike viajó\(8\) horas\((2 + 6 = 8)\). Así, Joy tardó\(2\) horas en ponerse al día con Mike.
La carrera\(10,000\) -meter es el evento de pista estándar más largo. Los diez mil metros son aproximadamente\(6.2\) millas. El récord mundial actual (al momento de imprimirse) para esta carrera lo ostenta la etíope Kenenisa Bekele con un tiempo de\(26\) minutos,\(17.53\) segundos. Eso es una tasa de\(12.7\) millas por hora.
Tiempo Total
En un viaje de\(130\) -milla, un automóvil viajó a una velocidad promedio de\(55\) mph y luego redujo su velocidad a\(40\) mph durante el resto del viaje. El viaje tomó\(2.5\) horas. ¿Por cuánto tiempo viajó el auto\(40\) mph?
Solución
Primero, podemos hacer una tabla para organizar la información dada y luego crear una ecuación. Dejar\(t\) representar el tiempo que el auto viajó a la velocidad más rápida.
Mesa\(\PageIndex{5}\)
| tasa | tiempo | distancia | |
|---|---|---|---|
| Primera parte | \(55\) | \(t\) | \(55t\) |
| Segunda parte | \(40\) | \(2.5-t\) | \(40(2.5-t)\) |
Ahora podemos configurar la ecuación. Dado que la distancia total del viaje era\(130\) millas, entonces\[55t+40(2.5-t)=130,\nonumber\] es decir, la suma de la distancia de la primera parte y la distancia de la segunda parte es\(130\) millas. Vamos a resolver.
\[\begin{array}{rl} 55t + 40(2.5 − t) = 130 &\text{Distribute} \\ 55t + 100 − 40t = 130 &\text{Combine like terms} \\ 15t+100=130&\text{Isolate the variable term} \\ 15t=30&\text{Multiply by the reciprocal of }15 \\ t=2&\text{First part's travel time}\end{array}\nonumber\]
Dado que la primera parte del viaje tomó\(2\) horas, entonces el automóvil viajó\(0.5\) horas (o\(30\) minutos) a\(40\) mph.
Problemas con la Palabra Tareas
Cuando se agrega cinco a tres más de un cierto número, el resultado es\(19\). ¿Cuál es el número?
Si cinco se resta de tres veces un número determinado, el resultado es\(10\). ¿Cuál es el número?
Cuando\(18\) se resta de seis veces un número determinado, el resultado es\(−42\). ¿Cuál es el número?
Un cierto número agregado dos veces a sí mismo es igual\(96\). ¿Cuál es el número?
Un número más sí mismo, más el doble de sí mismo, más las\(4\) veces en sí mismo, es igual a\(−104\). ¿Cuál es el número?
Sesenta más de nueve veces un número es lo mismo que dos menos de diez veces el número. ¿Cuál es el número?
Once menos de siete veces un número es cinco más de seis veces el número. Encuentra el número.
Catorce menos de ocho veces un número es tres más de cuatro veces el número. ¿Cuál es el número?
La suma de tres enteros consecutivos es\(108\). ¿Cuáles son los enteros?
La suma de tres enteros consecutivos es\(−126\). ¿Cuáles son los enteros?
Encuentra tres enteros consecutivos de tal manera que la suma del primero, dos veces el segundo, y tres veces el tercero sea\(−76\).
La suma de dos enteros pares consecutivos es\(106\). ¿Cuáles son los enteros?
La suma de tres enteros impares consecutivos es\(189\). ¿Cuáles son los enteros?
La suma de tres enteros impares consecutivos es\(255\). ¿Cuáles son los enteros?
Encuentra tres enteros impares consecutivos de tal manera que la suma del primero, dos veces el segundo, y tres veces el tercero sea\(70\).
El segundo ángulo de un triángulo es del mismo tamaño que el primer ángulo. El tercer ángulo es\(12\) grados mayor que el primer ángulo. ¿Qué tan grandes son los ángulos?
Dos ángulos de un triángulo son del mismo tamaño. El tercer ángulo es\(12\) grados más pequeños que el primer ángulo. Encuentra la medida de los ángulos.
Dos ángulos de un triángulo son del mismo tamaño. El tercer ángulo es\(3\) veces más grande que el primero. ¿Qué tan grandes son los ángulos?
El tercer ángulo de un triángulo es del mismo tamaño que el primero. El segundo ángulo es\(4\) por el tercero. Encuentra la medida de los ángulos.
El segundo ángulo de un triángulo es\(3\) veces más grande que el primer ángulo. El tercer ángulo es\(30\) grados más que el primer ángulo. Encuentra la medida de los ángulos.
El segundo ángulo de un triángulo es dos veces más grande que el primero. La medida del tercer ángulo es\(20\) grados mayor que el primero. ¿Qué tan grandes son los ángulos?
El segundo ángulo de un triángulo es tres veces más grande que el primero. La medida del tercer ángulo es\(40\) grados mayor que la del primer ángulo. ¿Qué tan grandes son los tres ángulos?
El segundo ángulo de un triángulo es cinco veces más grande que el primero. La medida del tercer ángulo es\(12\) grados mayor que la del primer ángulo. ¿Qué tan grandes son los ángulos?
El segundo ángulo de un triángulo es tres veces el primero, y el tercero es\(12\) grados menos del doble del primero. Encuentra las medidas de los ángulos.
El segundo ángulo de un triángulo es cuatro veces el primero y el tercero es\(5\) grados más del doble del primero. Encuentra las medidas de los ángulos.
El perímetro de un rectángulo es\(150\) cm. El largo es\(15\) cm mayor que el ancho. Encuentra las dimensiones.
El perímetro de un rectángulo es\(304\) cm. El largo es\(40\) cm más largo que el ancho. Encuentra el largo y ancho.
El perímetro de un rectángulo es de\(152\) metros. El ancho es\(22\) metros menor que el largo. Encuentra el largo y ancho.
El perímetro de un rectángulo es de\(280\) metros. El ancho es\(26\) metros menor que el largo. Encuentra el largo y ancho.
El perímetro de una cancha de basquetbol universitario es de\(96\) metros y la longitud es de\(14\) metros más que el ancho. ¿Cuáles son las dimensiones?
A está\(60\) a millas de B. Un automóvil en A comienza por B a razón de\(20\) millas por hora al mismo tiempo que un automóvil en B arranca por A a razón de\(25\) millas por hora. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que los automóviles se reúnan?
Dos automóviles están\(276\) a millas de distancia y comienzan al mismo tiempo a viajar uno hacia el otro. Viajan a tarifas que difieren en\(5\) millas por hora. Si se reúnen fuera del\(6\) horario de atención, encuentra cada tarifa.
Dos trenes viajan uno hacia el otro desde puntos que están\(195\) a millas de distancia. Viajan a razón de\(25\) y\(40\) millas por hora, respectivamente. Si empiezan a viajar al mismo tiempo, ¿cuánto tiempo antes de que se reúnan los trenes?
El auto A y el auto B comienzan a viajar uno hacia el otro al mismo tiempo desde puntos a\(150\) millas de distancia. Si el Auto A fue a razón de\(20\) millas por hora, ¿a qué tasa debe viajar B si se reúnen en\(5\) horas?
Un pasajero y un tren de carga comienzan uno hacia el otro al mismo tiempo desde dos puntos\(300\) a millas de distancia. Si la tarifa del tren de pasajeros supera la tarifa del tren de carga por\(15\) millas por hora, y cumplen fuera del\(4\) horario de atención, ¿cuáles son las tarifas del pasajero y del tren?
Dos automóviles arrancaron al mismo tiempo desde un punto, pero viajaron en direcciones opuestas. Sus tarifas fueron\(25\) y\(35\) millas por hora, respectivamente. ¿Después de cuántas horas estaban\(180\) a kilómetros de distancia?
Un hombre que tenía diez horas a su disposición hizo una excursión, cabalgando a razón de\(10\) millas por hora y regresando a pie a razón de\(3\) millas por hora. Encuentra la distancia que recorrió.
Un hombre camina a razón de\(4\) millas por hora. ¿Hasta dónde puede entrar al campo y regresar en un carro que recorre a razón de\(20\) millas por hora si debe estar de regreso a casa\(3\) horas desde el momento en que comenzó?
Un niño se aleja de su casa en un automóvil a razón de\(28\) millas por hora y camina de regreso a razón de\(4\) millas por hora. El viaje de ida y vuelta requiere\(2\) horas. ¿Qué tan lejos viaja en el automóvil?
Una lancha a motor sale de un puerto y viaja a una velocidad promedio de\(15\) mph hacia una isla. La velocidad promedio en el viaje de regreso fue de\(10\) mph. ¿A qué distancia estaba la isla del puerto si el viaje total tardaba\(5\) horas?
Una familia condujo a un resort a una velocidad promedio de\(30\) mph y luego regresó por la misma carretera a una velocidad promedio de\(50\) mph. Encuentra la distancia al resort si el tiempo total de manejo fue de\(8\) horas.
Como parte de su entrenamiento de vuelo, se requirió que un estudiante piloto volara a un aeropuerto y luego regresara. La velocidad promedio al aeropuerto fue de\(90\) mph, y la velocidad promedio de regreso fue de\(120\) mph. Encuentra la distancia entre los dos aeropuertos si el tiempo total de vuelo fue de\(7\) horas.
Annie, quien viaja\(4\) millas por hora parte de cierto lugar\(2\) horas antes de Brandie, quien recorre\(5\) millas por hora en la misma dirección. ¿Cuántas horas debe viajar Brandie para adelantar a Annie?
Un hombre viaja\(5\) millas por hora. Después de viajar por\(6\) horas otro hombre inicia en el mismo lugar siguiendo al primer hombre a razón de\(8\) millas por hora. ¿Cuándo adelantará el segundo hombre al primer hombre?
Una lancha a motor sale de un puerto y viaja a una velocidad promedio de\(8\) mph hacia una pequeña isla. Dos horas después un crucero de cabina sale del mismo puerto y viaja a una velocidad promedio de\(16\) mph hacia la misma isla. ¿En cuántas horas después de que salga el crucero de cabina estará el crucero de cabina junto a la lancha motora?
Un corredor de larga distancia comenzó en un campo corriendo a una velocidad promedio de\(6\) mph. Una hora después, un segundo corredor comenzó el mismo recorrido a una velocidad promedio de\(8\) mph. ¿Cuánto tiempo después de que comenzara el segundo corredor alcanzará el segundo corredor al primer corredor?
Un automóvil que viaja a\(48\) mph supera a un ciclista que, cabalgando a\(12\) mph, ha tenido una\(3\) ventaja de -hora. ¿A qué distancia del punto de partida el auto supera al ciclista?
Un avión a reacción que viaja a\(600\) mph supera a un avión impulsado por propulsor que ha tenido una\(2\) ventaja de -hora. El avión impulsado por propulsor viaja a\(200\) mph. ¿A qué distancia del punto de partida supera el avión impulsado por propulsor?
Dos hombres viajan en direcciones opuestas a razón de\(20\) y\(30\) millas por hora al mismo tiempo y desde el mismo lugar. ¿En cuántas horas estarán a\(300\) kilómetros de distancia?
Corriendo a una tasa promedio de\(8\) metros por segundo, un velocista corrió hasta el final de una pista y luego corrió de regreso al punto de partida a una tasa promedio de\(3\) metros por segundo. El velocista tardó\(55\) segundos en correr hasta el final de la pista y retroceder. Encuentra la longitud de la pista.
Una lancha a motor sale de un puerto y viaja a una velocidad promedio de\(18\) mph hasta una isla. La velocidad promedio en el viaje de regreso fue de\(12\) mph. ¿A qué distancia estaba la isla del puerto si el viaje total tardaba\(5\) horas?
Una lancha a motor sale de un puerto y viaja a una velocidad promedio de\(9\) mph hacia una pequeña isla. Dos horas después un crucero de cabina sale del mismo puerto y viaja a una velocidad promedio de\(18\) mph hacia la misma isla. ¿En cuántas horas después de que salga el crucero de cabina estará el crucero de cabina junto a la lancha motora?
Un avión a reacción que viaja a\(570\) mph supera a un avión impulsado por propulsor que ha tenido una\(2\) ventaja de -hora. El avión impulsado por propulsor viaja a\(190\) mph. ¿A qué distancia del punto de partida supera el avión impulsado por propulsor?
Dos trenes parten al mismo tiempo desde el mismo lugar y viajan en direcciones opuestas. Si la tasa de una es\(6\) millas por hora más que la tasa de la otra y están a\(168\) millas de distancia al final de las\(4\) horas, ¿cuál es cada tarifa?
Como parte del entrenamiento de vuelo, se requirió que un estudiante piloto volara a un aeropuerto y luego regresara. La velocidad promedio en el camino al aeropuerto era de\(100\) mph, y la velocidad promedio de regreso fue\(150\) mph. Encuentra la distancia entre los dos aeropuertos si el tiempo total de vuelo fue de\(5\) horas.
Dos ciclistas parten desde el mismo punto y circulan en direcciones opuestas. Un ciclista cabalga el doble de rápido que el otro. En tres horas están\(72\) a kilómetros de distancia. Encuentra la tarifa de cada ciclista.
Un automóvil que viaja a\(56\) mph supera a un ciclista que, cabalgando a\(14\) mph, ha tenido una\(3\) ventaja de -hora. ¿A qué distancia del punto de partida el auto supera al ciclista?
Dos pequeños aviones parten del mismo punto y vuelan en direcciones opuestas. El primer avión está volando\(25\) mph más lento que el segundo avión. En dos horas, los aviones están\(430\) a kilómetros de distancia. Encuentra la tarifa de cada avión.
Un autobús que viaja a una velocidad de\(60\) mph supera a un automóvil que viaja a una velocidad de\(45\) mph. Si el auto tenía una\(1\) ventaja de -hora, ¿a qué distancia del punto de partida el autobús supera al auto?
Dos pequeños aviones parten del mismo punto y vuelan en direcciones opuestas. El primer avión está volando\(25\) mph más lento que el segundo avión. En\(2\) horas, los aviones están a\(470\) mi distancia. Encuentra la tarifa de cada avión.
Un camión sale de un depósito a la\(11\) mañana y viaja a una velocidad de\(45\) mph. Al mediodía, una camioneta sale del mismo lugar y recorre la misma ruta a una velocidad de\(65\) mph. ¿A qué hora la camioneta adelanta a la camioneta?
Una familia condujo a un resort a una velocidad promedio de\(25\) mph y luego regresó por la misma carretera a una velocidad promedio de\(40\) mph. Encuentra la distancia al resort si el tiempo total de manejo fue de\(13\) horas.
Tres campistas salieron de su campamento en canoa y remaron río abajo a una tasa promedio de\(10\) mph. Luego se dieron la vuelta y remaron río arriba a una tasa promedio de\(5\) mph para regresar a su campamento. ¿Cuánto tiempo tardaron los campistas en canoa río abajo si el viaje total tardó\(1\) hora?
Una motocicleta se descompone y el piloto tiene que caminar el resto del camino al trabajo. La motocicleta estaba siendo conducida a\(45\) mph, y el piloto camina a una velocidad de\(6\) mph. La distancia del hogar al trabajo es de\(25\) millas, y el tiempo total para el viaje fue de\(2\) horas. ¿Hasta dónde llegó la motocicleta antes de que se averiara?
Un estudiante camina y corre a la universidad todos los días. El estudiante promedia\(5\) kilómetros por hora caminando y\(9\) kilómetros por hora de trote. La distancia de casa a la universidad es de\(8\) kilómetros, y el estudiante realiza el viaje en una hora. ¿Hasta dónde trota el alumno?
En un viaje de\(130\) -milla, un automóvil viajó a una velocidad promedio de\(55\) mph y luego redujo su velocidad a\(40\) mph durante el resto del viaje. El viaje duró un total de\(2.5\) horas. ¿Por cuánto tiempo viajó el auto a\(40\) mph?
En un viaje de\(220\) -milla, un automóvil viajó a una velocidad promedio de\(50\) mph y luego redujo su velocidad promedio a\(35\) mph durante el resto del viaje. El viaje duró un total de\(5\) horas. ¿Cuánto tiempo viajó el auto a cada velocidad?
Un ejecutivo condujo desde su casa a una velocidad promedio de\(40\) mph hasta un aeropuerto donde estaba esperando un helicóptero. El ejecutivo abordó el helicóptero y voló a las oficinas corporativas a una velocidad promedio de\(60\) mph. Toda la distancia era de\(150\) millas. Todo el viaje tomó\(3\) horas. Encuentra la distancia desde el aeropuerto hasta las oficinas corporativas.