1.3: Ecuaciones literales
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Una ecuación literal es sinónimo de fórmula y similar a resolver ecuaciones lineales generales porque aplicamos el mismo método. Nosotros decimos, los métodos nunca cambian, solo los problemas. La única diferencia es que tenemos varias variables en la ecuación e intentaremos resolver para una variable específica de la fórmula. Por ejemplo, podemos tener una fórmula como\(A = πr^2 +πrs\), la fórmula para el área superficial de un cono circular derecho, y podemos estar interesados en resolver para la variable\(s\). Esto significa que queremos aislar la variable para\(s\) que la ecuación tenga s aislada en un lado, y todo lo demás en el otro. Esto parece\[s=\frac{A-\pi r^2}{\pi r}\nonumber\]
Esta segunda ecuación da la misma información que la primera, lo que significa que son algebraicamente equivalentes. Sin embargo, la fórmula original da área, mientras que la otra da\(s\), la altura inclinada del cono. En esta sección, discutimos el proceso en el que partimos de la primera ecuación y damos como resultado la segunda ecuación.
Echemos un vistazo a estos dos ejemplos a continuación, uno al lado del otro. La ecuación de la izquierda es una ecuación familiar de un paso y la ecuación de la derecha también es una ecuación de un solo paso, esta vez una ecuación literal (o fórmula).
\[\begin{array}{rcl} 3x=12 & wx=z &\text{Both have coefficients} \\ &&\text{Multiply by the reciprocal of }3\text{ and }w\text{, respectively} \\ \color{blue}{\frac{1}{3}}\color{black}{}\cdot 3x=\color{blue}{\frac{1}{3}}\color{black}{}\cdot 12 & \color{blue}{\frac{1}{w}}\color{black}{}\cdot wx=z\cdot\color{blue}{\frac{1}{w}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ x=4& x=\frac{z}{w}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Utilizamos el mismo proceso para resolver\(3x = 12\) para\(x\) como lo hicimos para resolver\(wx = z\) para\(x\). Debido a que estamos resolviendo para\(x\), tratamos todas las demás variables de la misma manera que trataríamos los números o coeficientes. Así, aplicamos la propiedad de multiplicación y multiplicamos por el recíproco de\(3\) y\(w\) para aislar\(x\).
Resolver para una variable con ecuaciones de uno y dos pasos
Resolver la ecuación\(m + n = p\) para\(n\).
Solución
\[\begin{array}{rl} m+n=p&\text{Add the opposite of }m \\ m+n+\color{blue}{(-m)}\color{black}{}=p+\color{blue}{(-m)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ n=p-m&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Ya que\(p\) y no\(m\) son como términos, no se pueden combinar. De ahí,\(n = p − m\).
Resolver la ecuación\(a(x − y) = b\) para\(x\).
Solución
\[\begin{array}{rl} a(x-y)=b&\text{Distribute} \\ ax-ay=b&\text{Add the opposite of }ay \\ ax+ay+\color{blue}{(-ay)}\color{black}{}=b+\color{blue}{(-ay)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ ax=b-ay &\text{Isolate }x\text{ by multiplying by the reciprocal of }a \\ \color{blue}{\frac{1}{a}}\color{black}{}\cdot ax=(b-ay)\cdot\color{blue}{\frac{1}{a}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ x=\frac{b-ay}{a}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Equivalentemente, se\(x\) puede escribir como\(\frac{b}{a} − y\) simplificando la fracción. No obstante, es una práctica común dejarla como una fracción.
Resolver la ecuación\(y = mx + b\) para\(m\).
Solución
\[\begin{array}{rl}y=mx+b&\text{Isolate the variable term by adding the opposite of }b \\ y+\color{blue}{(-b)}\color{black}{}=mx+b+\color{blue}{(-b)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ y-b=mx&\text{Isolate }m\text{ by multiplying by the reciprocal of }x \\ \color{blue}{\frac{1}{x}}\color{black}{}\cdot (y-b)=mx\cdot\color{blue}{\frac{1}{x}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ \frac{y-b}{x}=m&\text{Rewrite with }m\text{ on the left side} \\ m=\frac{y-b}{x}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Resolver para una variable en múltiples pasos
Resolver la ecuación\(A = πr^2 + πrs\) para\(s\). Esto debería recordarte la ecuación al inicio de la sección.
Solución
\[\begin{array}{rl}A=\pi r^2+\pi rs&\text{Isolate the variable term by adding the opposite of }\pi r^2 \\ A+\color{blue}{(-\pi r^2)}\color{black}{}=\pi r^2+\pi rs+\color{blue}{(-\pi r^2)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ A-\pi r^2=\pi rs&\text{Isolate }s\text{ by multiplying by the reciprocal of }\pi r \\ \color{blue}{\frac{1}{\pi r}}\color{black}{}\cdot(A-\pi r^2)=\pi rs\cdot\color{blue}{\frac{1}{\pi r}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ \frac{A-\pi r^2}{\pi r}=s&\text{Rewrite with }s\text{ on the left side} \\ s=\frac{A-\pi r^2}{\pi r}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Resolviendo para una Variable con Fracciones
Las fórmulas suelen incluir fracciones y podemos resolver con el mismo método que se utilizó anteriormente. Primero, identifique la pantalla LCD, y luego multiplique cada término por la LCD. Después de borrar los denominadores, obtenemos una ecuación general y resolvemos como de costumbre.
Resolver la ecuación\(h = \frac{2m}{n}\) para\(m\).
Solución
\[\begin{array}{rl}h=\frac{2m}{n}&\text{Multiply by the LCD=}n \\ \color{blue}{n}\color{black}{}\cdot h=\frac{2m}{n}\cdot\color{blue}{n}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ nh=2m&\text{Multiply by the reciprocal of }2 \\ \color{blue}{\frac{1}{2}}\color{black}{}\cdot nh=2m\cdot\color{blue}{\frac{1}{2}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ \frac{nh}{2}=m&\text{Rewrite with }m\text{ on the left side} \\ m=\frac{nh}{2}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Resolver la ecuación\(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=e\) para\(a\).
Solución
\[\begin{array}{rl}\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=e&\text{Multiply each term by the LCD=}b \\ \color{blue}{b}\color{black}{}\cdot\frac{a}{b}+\color{blue}{b}\color{black}{}\cdot\frac{c}{b}=e\cdot\color{blue}{b}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ a+c=eb&\text{Add the opposite of }c \\ a+c+\color{blue}{(-c)}\color{black}{}=eb+\color{blue}{(-c)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ a=eb-c&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Resolver la ecuación\(a=\frac{A}{2-b}\) para\(b\).
Solución
\[\begin{array}{rl}a=\frac{A}{2-b}&\text{Multiply each term by the LCD}=(2-b) \\ \color{blue}{(2-b)}\color{black}{}\cdot a=\frac{A}{2-b}\cdot\color{blue}{(2-b)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ a(2-b)=A&\text{Distribute} \\ 2a-2b=A&\text{Isolate the variable term by adding the opposite of }2a \\ 2a-2b+\color{blue}{(-2a)}\color{black}{}=A+\color{blue}{(-2a)}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ -2b=A-2a&\text{Multiply by the reciprocal of }-2 \\ \color{blue}{-\frac{1}{2}}\color{black}{}\cdot -2b=(A-2a)\cdot\color{blue}{-\frac{1}{2}}\color{black}{}&\text{Simplify} \\ b=-\frac{(A-2a)}{2}&\text{Distribute the negative} \\ b=\frac{-A+2a}{2}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Tenga en cuenta, también podríamos escribir la solución como\(b = \frac{2a − A}{2}\), donde el término positivo se escribe primero en el numerador. No es necesario, pero por razones estéticas, podemos escribir de\(b\) esta manera.
El padre del álgebra, matemático persa, Muhammad ibn Musa Khwarizmi, introdujo la idea fundamental de equilibrar restando el mismo término del otro lado de la ecuación. Llamó a este proceso al-jabr, que más tarde se convirtió en el Álgebra mundial.
Tareas de ecuaciones literales
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones para la variable indicada.
\(ab = c\)para\(b\)
\(\frac{f}{g}x = b\)para\(x\)
\(3x = \frac{a}{b}\)para\(x\)
\(E = mc^2\)para\(m\)
\(V = \frac{4}{3} πr^3\)para\(π\)
\(a + c = b\)para\(c\)
\(c = \frac{4y}{m + n}\)para\(y\)
\(V = \frac{πDn}{12}\)para\(D\)
\(P = n(p − c)\)para\(n\)
\(T = \frac{D − d}{L}\)para\(D\)
\(L = L_0(1 + at)\)para\(L_0\)
\(2m + p = 4m + q\)para\(m\)
\(\frac{k − m}{r} = q\)para\(k\)
\(h = vt − 16t^2\)para\(v\)
\(Q_1 = P(Q_2 − Q_1)\)para\(Q_2\)
\(R = \frac{kA(T_1 + T_2)}{d}\)para\(T_1\)
\(ax + b = c\)para\(a\)
\(lwh = V\)para\(w\)
\(\frac{1}{a} + b = \frac{c}{a}\)para\(a\)
\(at − bw = s\)para\(t\)
\(ax + bx = c\)para\(a\)
\(x + 5y = 3\)para\(y\)
\(3x + 2y = 7\)para\(y\)
\(5a − 7b = 4\)para\(b\)
\(4x − 5y = 8\)para\(y\)
\(g = \frac{h}{i}\)para\(h\)
\(p = \frac{3y}{q}\)para\(y\)
\(\frac{ym}{b} = \frac{c}{d}\)para\(y\)
\(DS = ds\)para\(D\)
\(E = \frac{mv^2}{2}\)para\(m\)
\(x − f = g\)para\(x\)
\(\frac{rs}{a − 3} = k\)para\(r\)
\(F = k(R − L)\)para\(k\)
\(S = L + 2B\)para\(L\)
\(I = \frac{E_a − E_q}{R}\)para\(E_a\)
\(ax + b = c\)para\(x\)
\(q = 6(L − p)\)para\(L\)
\(R = aT + b\)para\(T\)
\(S = πrh + πr^2\)para\(h\)
\(L = π(r_1 + r_2) + 2d\)para\(r_1\)
\(P = \frac{V_1(V_2 − V_1)}{g}\)para\(V_2\)
\(rt = d\)para\(r\)
\(V = \frac{πr^2h}{3}\)para\(h\)
\(\frac{1}{a} + b = \frac{c}{a}\)para\(b\)
\(at − bw = s\)para\(w\)
\(x + 5y = 3\)para\(x\)
\(3x + 2y = 7\)para\(x\)
\(5a − 7b = 4\)para\(a\)
\(4x − 5y = 8\)para\(x\)
\(C = \frac{5}{9} (F − 32)\)para\(F\)