8.1: Reducir expresiones racionales
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Una expresión racional es una relación de dos polinomios, es decir, una fracción donde el numerador y el denominador son polinomios.
Evaluar expresiones racionales
Evaluar\(\dfrac{x^2-4}{x^2+6x+8}\) cuándo\(x=-6\).
Solución
\[\begin{array}{rl}\dfrac{x^2-4}{x^2+6x+8}&\text{Plug-n-chug }x=-6 \\ \dfrac{\color{blue}{(-6)}\color{black}{^2}-4}{\color{blue}{(-6)}\color{black}{^2}+6\color{blue}{(-6)}\color{black}{}+8}&\text{Simplify each numerator and denominator} \\ \dfrac{36-4}{36-36+8}&\text{Simplify} \\ \dfrac{32}{8}&\text{Reduce} \\ 4&\text{Evaluated value}\end{array}\nonumber\]
Buscar valores excluidos de expresiones racionales
Las expresiones racionales son tipos especiales de fracciones, pero aún mantienen las mismas propiedades aritméticas. Una propiedad de las fracciones que recordamos es que la fracción es indefinida cuando el denominador es cero.
Una expresión racional es indefinida donde el denominador es cero.
Paso 1. Establecer el denominador de la expresión racional igual a cero.
Paso 2. Resolver la ecuación para la variable dada.
Paso 3. Los valores encontrados en el paso anterior son los valores excluidos de la expresión.
Encuentra el valor (s) excluido (s) de la expresión:\(\dfrac{-3z}{z+5}\)
Solución
Paso 1. Establezca el denominador de la expresión racional igual a cero:\[z+5=0\nonumber\]
Paso 2. Resuelve la ecuación para\(z\):\[\begin{aligned}z+5&=0 \\ z&=-5\end{aligned}\]
Paso 3. Los valores encontrados en el paso anterior son los valores excluidos de la expresión. De ahí que el valor excluido sea\(z = −5\).
Encuentra el valor (s) excluido (s) de la expresión:\(\dfrac{x^2-1}{3x^2+5x}\)
Solución
Paso 1. Establezca el denominador de la expresión racional igual a cero:\[3x^2+5x=0\nonumber\]
Paso 2. Resuelve la ecuación para\(x\):\[\begin{aligned} 3x^2+5x&=0 \\ x(3x+5)&=0 \\ x=0\quad &\text{or}\quad 3x+5=0 \\ x=0\quad &\text{or}\quad 3x=-5 \\ x=0\quad &\text{or} \quad x=-\dfrac{5}{3}\end{aligned}\]
Paso 3. Los valores encontrados en el paso anterior son los valores excluidos de la expresión. De ahí que los valores excluidos son\(x = 0\) y\(x = −5\).
Recordemos, los valores excluidos son valores en los que hacen que la expresión sea indefinida. Por lo tanto, al evaluar expresiones racionales, podemos evaluar las expresiones para cualquier valor excepto los valores excluidos.
El número cero no fue ampliamente aceptado en el pensamiento matemático en todo el mundo durante muchos años. Fueron los mayas de Centroamérica quienes primero utilizaron el cero para ayudar en el uso de su sistema base-20 como colocador.
Reducir expresiones racionales con monomios
Las expresiones racionales se reducen, al igual que en la aritmética, incluso sin conocer el valor de la variable. Cuando reducimos, dividimos los factores comunes como discutimos con la división polinómica con monomios. Ahora, utilizamos técnicas de factorización y propiedades exponentes para reducir las expresiones racionales.
Si\(P,\: Q,\: K\) son polinomios distintos de cero y\(\dfrac{PK}{QK}\) es una expresión racional, entonces\[\dfrac{P\cdot\cancel{K}}{Q\cdot\cancel{K}}=\dfrac{P}{Q}\nonumber\] llamamos a una expresión racional irreducible si no hay más factores comunes entre el numerador y denominador.
Simplificar:\(\dfrac{15x^4y^2}{25x^2y^6}\)
Solución
Como el denominador es un monomio, entonces reducimos como de costumbre y aplicamos reglas de exponente:
\[\begin{array}{rl}\dfrac{15x^4y^2}{25x^2y^6}&\text{Reduce by applying exponent rules} \\ \dfrac{3x^2}{5y^4}&\text{Reduced expression}\end{array}\nonumber\]
Reducir expresiones racionales con polinomios
Sin embargo, si hay una suma o diferencia en el numerador o denominador, primero factorizamos el numerador y denominador para obtener un producto de factores, luego reducimos.
Simplificar:\(\dfrac{28}{8x^2-16}\)
Solución
Como tenemos una diferencia en el denominador, factorizamos el denominador y luego reducimos.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{28}{8x^2-16}&\text{Factor a GCF }8\text{ from the denominator} \\ \dfrac{\cancel{4}\cdot 7}{2\cdot\cancel{4}(x^2-2)}&\text{Reduce by a factor of }4 \\ \dfrac{7}{2(x^2-2)}&\text{Reduced expression}\end{array}\nonumber\]
Simplificar:\(\dfrac{9x-3}{18x-6}\)
Solución
Como tenemos una diferencia en el denominador y el numerador, factorizamos el denominador y el numerador, y luego reducimos.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{9x-3}{18x-6}&\text{Factor the GCF from numerator and denominator} \\ \dfrac{3\color{blue}{(3x-1)}}{6\color{blue}{(3x-1)}}&\color{black}{\text{Reduce by a factor of }}3(3x-1) \\ \dfrac{\cancel{3}\color{blue}{\cancel{(3x-1)}}}{2\cdot\cancel{3}\cdot\color{blue}{\cancel{(3x-1)}}}&\color{black}{\text{Rewrite the expression}} \\ \dfrac{1}{2}&\text{Reduced expression}\end{array}\nonumber\]
Simplificar:\(\dfrac{x^2-25}{x^2+8x+15}\)
Solución
Como tenemos una suma y diferencia de términos en el denominador y numerador, factorizamos el denominador y numerador, y luego reducimos.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{x^2-25}{x^2+8x+15}&\text{Factor using factoring techniques} \\ \dfrac{\color{blue}{(x+5)}\color{black}{}(x-5)}{(x+3)\color{blue}{(x+5)}}&\color{black}{\text{Reduce by a factor of }}(x+5) \\ \dfrac{\color{blue}{\cancel{(x+5)}}\color{black}{}(x-5)}{(x+3)\color{blue}{\cancel{(x+5)}}}&\color{black}{\text{Rewrite the expression}} \\ \dfrac{x-5}{x+3}&\text{Reduced expression}\end{array}\nonumber\]
No podemos reducir términos, solo factores. Esto significa que no podemos reducir nada con una\(+\) o\(−\) entre las partes. En Example 8.1.7 , obtuvimos la expresión reducida\(\dfrac{x−5}{x+3}\). Tenga en cuenta, no se nos permite dividir los\(x\)'s porque son términos (separados por\(+\) o\(−\)) no factores (separados por multiplicación).
Reduzca las expresiones racionales
Evaluar la expresión para el valor dado.
\(\dfrac{4v+2}{6}\)cuando\(v=4\)
\(\dfrac{x-3}{x^2-4x+3}\)cuando\(x=-4\)
\(\dfrac{b+2}{b^2+4b+4}\)cuando\(b=0\)
\(\dfrac{b-3}{3b-9}\)cuando\(b=-2\)
\(\dfrac{a+2}{a^2+3a+2}\)cuando\(a=-1\)
\(\dfrac{n^2-n-6}{n-3}\)cuando\(n=4\)
Encuentra los valores excluidos.
\(\dfrac{3k^2+30k}{k+10}\)
\(\dfrac{15n^2}{10n+25}\)
\(\dfrac{10m^2+8m}{10m}\)
\(\dfrac{r^2+3r+2}{5r+10}\)
\(\dfrac{b^2+12b+32}{b^2+4b-32}\)
\(\dfrac{27p}{18p^2-36p}\)
\(\dfrac{x+10}{8x^2+80x}\)
\(\dfrac{10x+16}{6x+20}\)
\(\dfrac{6n^2-21n}{6n^2+3n}\)
Simplifica cada expresión.
\(\dfrac{21x^2}{18x}\)
\(\dfrac{24a}{40a^2}\)
\(\dfrac{32x^3}{8x^4}\)
\(\dfrac{18m-24}{60}\)
\(\dfrac{20}{4p+2}\)
\(\dfrac{x+1}{x^2+8x+7}\)
\(\dfrac{32x^2}{28x^2+28x}\)
\(\dfrac{n^2+4n-12}{n^2-7n+10}\)
\(\dfrac{9v+54}{v^2-4v-60}\)
\(\dfrac{12x^2-42x}{30x^2-42x}\)
\(\dfrac{6a-10}{10a+4}\)
\(\dfrac{2n^2+19n-10}{9n+90}\)
\(\dfrac{21k}{24k^2}\)
\(\dfrac{90x^2}{20x}\)
\(\dfrac{10}{81n^3+36n^2}\)
\(\dfrac{n-9}{9n-81}\)
\(\dfrac{28m+12}{36}\)
\(\dfrac{49r+56}{56r}\)
\(\dfrac{b^2+14b+48}{b^2+15b+56}\)
\(\dfrac{30x-90}{50x+40}\)
\(\dfrac{k^2-12k+32}{k^2-64}\)
\(\dfrac{9p+18}{p^2+4p+4}\)
\(\dfrac{3x^2-29x+40}{5x^2-30x-80}\)
\(\dfrac{8m+16}{20m-12}\)
\(\dfrac{2x^2-10x+8}{3x^2-7x+4}\)
\(\dfrac{7n^2-32n+16}{4n-16}\)
\(\dfrac{n^2-2n+1}{6n+6}\)
\(\dfrac{7a^2-26a-45}{6a^2-34a+20}\)
\(\dfrac{56x-48}{24x^2+56x+32}\)
\(\dfrac{50b-80}{50b+20}\)
\(\dfrac{35v+35}{21v+7}\)
\(\dfrac{56x-48}{24x^2+56x+32}\)
\(\dfrac{4k^3-2k^2-2k}{9k^3-18k^2+9k}\)