8.5: Expresiones racionales compuestas
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Las fracciones compuestas tienen fracciones ya sea en el numerador, o denominador, o generalmente en ambos, es decir, fracciones sobre fracciones. Estas expresiones se simplifican por una de dos formas.
- Simplifique primero el numerador y el denominador, luego divídalo como de costumbre usando técnicas de esta sección.
- Simplifica multiplicando cada término en la expresión por el mínimo denominador común. Después simplificar como de costumbre utilizando técnicas de la sección anterior.
Echemos un vistazo a algunos ejemplos que demuestran ambos métodos. Comenzaremos con un problema de la aritmética y luego pasaremos a las expresiones algebraicas.
Simplificar\(\dfrac{\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}}{\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{2}}\).
Solución
Simplificamos primero el numerador y el denominador, luego dividimos como de costumbre usando técnicas de esta sección.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}}{\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{2}}&\text{Rewrite each numerator and denominator in terms of the LCD} \\ \dfrac{\dfrac{8}{12}-\dfrac{3}{12}}{\dfrac{5}{6}+\dfrac{3}{6}}&\text{Simplify each numerator and denominator} \\ \dfrac{\dfrac{5}{12}}{\dfrac{8}{6}}&\text{Rewrite with the division sign} \\ \dfrac{5}{12}\div\dfrac{8}{6}&\text{Rewrite with multiplication by reciprocating the second fraction} \\ \dfrac{5}{12}\cdot \dfrac{6}{8}&\text{Multiply across numerators and denominators} \\ \dfrac{30}{96}&\text{Reduce by a factor of }6 \\ \dfrac{5}{16}&\text{Result}\end{array}\nonumber\]
Así, la fracción compuesta se reduce a\(\dfrac{5}{16}\).
Simplificar\(\dfrac{1-\dfrac{1}{x^2}}{1-\dfrac{1}{x}}\).
Solución
Simplificamos multiplicando cada término en la expresión por el mínimo denominador común. Después simplificar como de costumbre utilizando técnicas de la sección anterior.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{1-\dfrac{1}{x^2}}{1-\dfrac{1}{x}}&\text{Multiply each term by the LCD}=x^2 \\ \dfrac{1\cdot\color{blue}{x^2}\color{black}{}-\dfrac{1}{x^2}\cdot\color{blue}{x^2}}{1\color{blue}{x^2}\color{black}{}-\dfrac{1}{x}\cdot\color{blue}{x^2}}&\color{black}{\text{Simplify each term}} \\ \dfrac{x^2-1}{x^2-x}&\text{Factor the numerator and denominator} \\ \dfrac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)}&\text{Reduce by a factor of }(x-1) \\ \dfrac{(x+1)\color{blue}{\cancel{(x-1)}}}{x\color{blue}{\cancel{(x-1)}}}&\color{black}{\text{Rewrite}} \\ \dfrac{x+1}{x}&\text{Result} \end{array}\nonumber\]
Así, la fracción compuesta se reduce a\(\dfrac{x+1}{x}\).
Como mejor práctica, utilizamos el segundo método, donde multiplicamos cada término en la expresión por el mínimo denominador común porque esta técnica redujo la fracción a un denominador y un numerador. El primer método mantuvo la fracción compuesta hasta que reescribimos es como dos expresiones con división. En el futuro, los estudiantes deben aplicar siempre el segundo método, multiplicando cada término en la expresión por el mínimo denominador común.
Simplificar\(\dfrac{\dfrac{3}{x+4}-2}{5+\dfrac{2}{x+4}}\)
Solución
Simplificamos multiplicando cada término en la expresión por el mínimo denominador común. Después simplificar como de costumbre utilizando técnicas de la sección anterior.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{\dfrac{3}{x+4}-2}{5+\dfrac{2}{x+4}}&\text{Multiply each term by the LCD}=(x+4) \\ \dfrac{\dfrac{3}{x+4}\cdot\color{blue}{(x+4)}\color{black}{}-2\cdot\color{blue}{(x+4)}}{5\cdot\color{blue}{(x+4)}\color{black}{}+\dfrac{2}{x+4}\cdot\color{blue}{(x+4)}}&\color{black}{\text{Simplify each term}} \\ \dfrac{3-2(x+4)}{5(x+4)+2}&\text{Simplify} \\ \dfrac{3-2x-8}{5x+20+2}&\text{Combine like terms} \\ \dfrac{-2x-5}{5x+22}&\text{Result}\end{array}\nonumber\]
Así, la fracción compuesta se reduce a\(\dfrac{-2x-5}{5x+22}\).
Sophie Germain es una de las mujeres más famosas en matemáticas. Muchos números primos, que son importantes para encontrar una pantalla LCD, llevan su nombre. Los primos de Germain son números primos donde uno más del doble del número primo también es primo. Por ejemplo,\(3\) es primo y así es\(2\cdot 3 + 1 = 7\). El mayor prime conocido de Germain (en el momento de la impresión) es el\(183027 \cdot 2^{265440} − 1\) que tiene\(79,911\) dígitos.
Expresiones racionales compuestas Testo
Simplificar.
\(\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x^2}}\)
\(\dfrac{a-2}{\dfrac{4}{a}-a}\)
\(\dfrac{\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{a}}{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a}}\)
\(\dfrac{2-\dfrac{4}{x+2}}{5-\dfrac{10}{x+2}}\)
\(\dfrac{\dfrac{3}{2a-3}+2}{\dfrac{-6}{2a-3}-4}\)
\(\dfrac{\dfrac{x}{x+1}-\dfrac{1}{x}}{\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{1}{x}}\)
\(\dfrac{\dfrac{3}{x}}{\dfrac{9}{x^2}}\)
\(\dfrac{\dfrac{a^2-b^2}{4a^2b}}{\dfrac{a+b}{16ab^2}}\)
\(\dfrac{1-\dfrac{3}{x}-\dfrac{10}{x^2}}{1+\dfrac{11}{x}+\dfrac{18}{x^2}}\)
\(\dfrac{1-\dfrac{2x}{3x-4}}{x-\dfrac{32}{3x-4}}\)
\(\dfrac{x-1+\dfrac{2}{x-4}}{x+3+\dfrac{6}{x-4}}\)
\(\dfrac{\dfrac{1}{y^2}-1}{1+\dfrac{1}{y}}\)
\(\dfrac{\dfrac{25}{a}-a}{5+a}\)
\(\dfrac{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{2}}{\dfrac{4}{b^2-1}}\)
\(\dfrac{4+\dfrac{12}{2x-3}}{5+\dfrac{15}{2x-3}}\)
\(\dfrac{\dfrac{-5}{b-5}-3}{\dfrac{10}{b-5}+6}\)
\(\dfrac{\dfrac{2a}{a-1}-\dfrac{3}{a}}{\dfrac{-6}{a-1}-4}\)
\(\dfrac{\dfrac{x}{3x-2}}{\dfrac{x}{9x^2-4}}\)
\(\dfrac{1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{6}{x^2}}{1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2}}\)
\(\dfrac{\dfrac{15}{x^2}-\dfrac{2}{x}-1}{\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{5}{x}+4}\)
\(\dfrac{1-\dfrac{12}{3x+10}}{x-\dfrac{8}{3x+10}}\)
\(\dfrac{x-5-\dfrac{18}{x+2}}{x+7+\dfrac{6}{x+2}}\)
\(\dfrac{x-4+\dfrac{9}{2x+3}}{x+3-\dfrac{5}{2x+3}}\)
\(\dfrac{\dfrac{2}{b}-\dfrac{5}{b+3}}{\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{b+3}}\)
\(\dfrac{\dfrac{2}{b^2}-\dfrac{5}{ab}-\dfrac{3}{a^2}}{\dfrac{2}{b^2}+\dfrac{7}{ab}+\dfrac{3}{a^2}}\)
\(\dfrac{\dfrac{y}{y+2}-\dfrac{y}{y-2}}{\dfrac{y}{y+2}+\dfrac{y}{y-2}}\)
\(\dfrac{\dfrac{1}{a}-\dfrac{3}{a-2}}{\dfrac{2}{a}+\dfrac{5}{a-2}}\)
\(\dfrac{\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}-\dfrac{2}{x^2}}{\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{3}{xy}+\dfrac{2}{x^2}}\)
\(\dfrac{\dfrac{x-1}{x+1}-\dfrac{x+1}{x-1}}{\dfrac{x-1}{x+1}+\dfrac{x+1}{x-1}}\)
\(\dfrac{\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{1-x}{1+x}}{\dfrac{1}{(x+1)^2}+\dfrac{1}{(x-1)^2}}\)