9.1: Ecuaciones racionales
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Al resolver ecuaciones racionales, podemos resolver usando la misma estrategia que usamos para resolver ecuaciones lineales con fracciones: denominadores de compensación. Sin embargo, primero debemos revisar los valores excluidos.
Valores Excluidos
Una expresión racional es indefinida donde el denominador es cero. Recordemos, no podemos dividir por cero, por lo que es crítico que encontremos estos valores y los excluyamos de la solución.
Encuentra los valores excluidos de la expresión:\(\dfrac{-3z}{z+5}\)
Solución
Paso 1. Establezca el denominador de la expresión racional igual a cero:\[z+5=0\nonumber\]
Paso 2. Resuelve la ecuación para\(z\):\[\begin{aligned}z+5&=0 \\ z&=-5\end{aligned}\]
Paso 3. Los valores encontrados en el paso anterior son los valores excluidos de la expresión. De ahí que el valor excluido sea\(z = −5\).
Encuentra los valores excluidos de la expresión:\(\dfrac{x^2-1}{3x^2+5x}\)
Solución
Paso 1. Establezca el denominador de la expresión racional igual a cero:\[3x^2+5x=0\nonumber\]
Paso 2. Resuelve la ecuación para\(x\):\[\begin{aligned}3x^2+5x&=0 \\ x(3x+5)&=0 \\ x=0\quad &\text{or}\quad 3x+5=0 \\ x=0\quad &\text{or}\quad 3x=-5 \\ x=0\quad &\text{or}\quad x=-\dfrac{5}{3}\end{aligned}\]
Paso 3. Los valores encontrados en el paso anterior son los valores excluidos de la expresión. De ahí que los valores excluidos son\(x = 0\) y\(x = −5\).
Recordemos, los valores excluidos son valores en los que hacen que la expresión sea indefinida. De ahí que al resolver una ecuación racional, la (s) solución (es) sea (n) cualquier valor (s) excepto los valores excluidos. Si obtenemos una solución que es un valor excluido, llamamos a esto una solución ajena.
Denominadores de compensación usando la pantalla LCD
Recordemos un ejemplo de resolver ecuaciones lineales con fracciones. Recordemos el proceso para borrar denominadores a la hora de resolver ecuaciones. En esta sección, resolvemos ecuaciones racionales utilizando el mismo proceso.
Resolver para\(x\):\(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{6}=\dfrac{3}{4}\)
Solución
Este es un problema similar al resolver ecuaciones lineales con fracciones. Limpiaremos denominadores multiplicando cada término por la LCD.
\[\begin{array}{rl}\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{6}=\dfrac{3}{3}&\text{Multiply each term by LCD = }12 \\ \color{blue}{12}\color{black}{}\cdot\dfrac{2}{3}x-\color{blue}{12}\color{black}{}\cdot\dfrac{5}{6}=\color{blue}{12}\color{black}{}\cdot\dfrac{3}{4}&\text{Clear denominators} \\ 8x-10=9&\text{Isolate the variable term} \\ 8x=19&\text{Solve for }x \\ x=\dfrac{19}{8}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Paso 1. Determinar los valores excluidos de la ecuación.
Paso 2. Borrar denominadores multiplicando cada término por el mínimo común denominador.
Paso 3. Resuelve la ecuación.
Paso 4. Verificar que las soluciones obtenidas no sean un valor excluido.
Resolver para\(x\):\(\dfrac{5x+5}{x+2}+3x=\dfrac{x^2}{x+2}\)
Solución
Podemos resolver siguiendo los pasos anteriores.
Paso 1. Determinar los valores excluidos de la ecuación. \[\begin{aligned}x+2&=0 \\ x&=-2\end{aligned}\]El valor excluido es\(x = −2\). Esto significa que podemos obtener cualquier solución excepto para\(x = −2\).
Paso 2. Borrar denominadores multiplicando cada término por el mínimo común denominador. \[\begin{array}{rl}\dfrac{5x+5}{x+2}+3x=\dfrac{x^2}{x+2}&\text{Multiply each term by LCD }=(x+2) \\ \color{blue}{(x+2)}\color{black}{}\cdot\dfrac{(5x+5)}{x+2}+\color{blue}{(x+2)}\color{black}{}\cdot 3x=\color{blue}{(x+2)}\color{black}{}\cdot\dfrac{x^2}{x+2}&\text{Clear denominators} \\ 5x+5+3x(x+2)=x^2\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Resuelve la ecuación. \[\begin{array}{rl} 5x+5+3x(x+2)=x^2&\text{Distribute} \\ 5x+5+3x^2+6x=x^2&\text{Combine like terms} \\ 3x^2+11x+5=x^2&\text{Notice the term }x^2\text{; we solve by factoring} \\ 2x^2+11x+5=0&\text{Zero on one side and factor the other side} \\ (2x+1)(x+5)=0&\text{Apply the zero product rule} \\ 2x+1=0\text{ or }x+5=0&\text{Isolate variable terms} \\ 2x=-1\text{ or }x=-5&\text{Solve for }x \\ x=-\dfrac{1}{2}\text{ or }x=-5&\text{Solutions}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Verificar que las soluciones obtenidas no sean un valor excluido. Ya que el valor excluido es\(x = −2\), y las soluciones que obtuvimos son\(x = −\dfrac{1}{2}\) y\(x = −5\), entonces podemos concluir que\(x = −\dfrac{1}{2}\) y\(x = −5\) son, de hecho, las soluciones.
Resolver para\(x\):\(\dfrac{x}{x+2}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{5}{(x+1)(x+2)}\)
Solución
Podemos resolver siguiendo los pasos anteriores.
Paso 1. Determinar los valores excluidos de la ecuación. \[\begin{array}{rl}x+2=0&x+1=0 \\ x=-2&x=-1\end{array}\nonumber\]Los valores excluidos son\(x = −2\) y\(x = −1\). Esto significa que podemos obtener cualquier solución excepto\(x = −2\) y\(x = −1\).
Paso 2. Borrar denominadores multiplicando cada término por el mínimo común denominador. \[\dfrac{x}{x+2}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{5}{(x+1)(x+2)}\quad\text{Multiply each term by LCD }=(x+2)(x+1)\nonumber\]Denominadores claros:\[\begin{aligned} \color{blue}{(x+2)(x+1)}\color{black}{}\cdot\dfrac{x}{x+2}+\color{blue}{(x+2)(x+1)}\color{black}{}\cdot\dfrac{1}{x+1}&=\color{blue}{(x+2)(x+1)}\color{black}{}\cdot\dfrac{5}{(x+1)(x+2)} \\ x(x+1)+1(x+2)&=5\end{aligned}\]
Paso 3. Resuelve la ecuación. \[\begin{array}{rl}x(x+1)+1(x+2)=5&\text{Distribute} \\ x^2+x+x+2=5&\text{Combine like terms} \\ x^2+2x+2=5&\text{Notice the term }x^2\text{; we solve by factoring} \\ x^2+2x-3=0&\text{Zero on one side and factor the other side} \\ (x+3)(x-1)=0&\text{Apply the zero product rule} \\ x+3=0\text{ or }x-1=0&\text{Isolate variable terms} \\ x=-3\text{ or }x=1&\text{Solutions}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Verificar que las soluciones obtenidas no sean un valor excluido. Ya que los valores excluidos son\(x = −2\) y\(x = −1\), y las soluciones que obtuvimos son\(x = −3\) y\(x = 1\), entonces podemos concluir que\(x = −2\) y\(x = −1\) son, de hecho, las soluciones.
Denominadores de Factoraje
En Ejemplo 9.1.5 , se factorizan los denominadores, pero no siempre es así. A menudo necesitaremos factorizar los denominadores antes de encontrar el LCD.
Resolver para\(t\):\(\dfrac{t}{t-1}-\dfrac{1}{t-2}=\dfrac{11}{t^2-3t+2}\)
Solución
Podemos resolver siguiendo los pasos anteriores.
Paso 1. Determinar los valores excluidos de la ecuación. Como tenemos tres denominadores diferentes, encontramos valores excluidos para todos los diferentes denominadores. \[\begin{array}{rllr} t-1=0&t-2=0&\quad &t^2-3t+2=0 \\ t=1&t=2&\quad & (t-2)(t-1)=0 \\ &&& t-2=0\quad t-1=0 \\ &&&t=2\quad t=1\end{array}\nonumber\]Los valores excluidos son\(t = 1\) y\(t = 2\). Esto significa que podemos obtener cualquier solución excepto\(t = 1\) y\(t = 2\). A pesar de que obtuvimos valores repetidos, aún debemos encontrar los valores excluidos para cada denominador para verificar la (s) solución (es) en el último paso.
Paso 2. Borrar denominadores multiplicando cada término por el mínimo común denominador. \[\begin{array}{rl}\dfrac{t}{t-1}-\dfrac{1}{t-2}=\dfrac{11}{t^2-3t+2}&\text{Factor denominator} \\ \dfrac{t}{t-1}-\dfrac{1}{t-2}=\dfrac{11}{(t-2)(t-1)}&\text{Multiply each term by LCD }=(t-2)(t-1)\end{array}\nonumber\]Denominadores claros:\[\begin{aligned}\color{blue}{(t-2)(t-1)}\color{black}{}\cdot\dfrac{t}{t-1}-\color{blue}{(t-2)(t-1)}\color{black}{}\cdot\dfrac{1}{t-2}&=\color{blue}{(t-2)(t-1)}\color{black}{}\cdot\dfrac{11}{(t-2)(t-1)} \\ t(t-2)-1(t-1)&=11\end{aligned}\]
Paso 3. Resuelve la ecuación. \[\begin{array}{rl}t(t-2)-1(t-1)=11&\text{Distribute} \\ t^2-2t-t+1=11&\text{Combine like terms} \\ t^2-3t+1=11&\text{Notice the term }t^2\text{; we solve by factoring} \\ t^2-3t-10=0&\text{Zero on one side and factor the other side}\end{array}\nonumber\]
\[\begin{array}{rl}(t+2)(t-5)=0&\text{Apply the zero product rule} \\ t+2=0\text{ or }t-5=0&\text{Isolate variable terms} \\ t=-2\text{ or }t=5&\text{Solutions}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Verificar que las soluciones obtenidas no sean un valor excluido. Ya que los valores excluidos son\(t = 1\) y\(t = 2\), y las soluciones que obtuvimos son\(t = −2\) y\(t = 5\), entonces podemos concluir que\(t = −2\) y\(t = 5\) son, de hecho, las soluciones.
Las funciones racionales se utilizan para aproximar o modelar ecuaciones más complejas en ciencia e ingeniería, incluyendo física, química, bioquímica, óptica y fotografía, y acústica.
Resolver ecuaciones racionales con soluciones extrañas
Resolver para\(n\):\(\dfrac{n}{n+5}-\dfrac{2}{n-9}=\dfrac{-11n+15}{n^2-4n-45}\)
Solución
Podemos resolver siguiendo los pasos anteriores.
Paso 1. Determinar los valores excluidos de la ecuación. Dado que\(n^2−4n−45\) los factores en\((n+5)(n−9)\), que son los factores de los denominadores del lado izquierdo, tomamos factores\((n+5)\)\((n−9)\) y encontramos los valores excluidos. \[\begin{array}{rl}n+5=0&n-9=0 \\ n=-5&n=9\end{array}\nonumber\]Los valores excluidos son\(n = −5\) y\(n = 9\). Esto significa que podemos obtener cualquier solución excepto\(n = −5\) y\(n = 9\).
Paso 2. Borrar denominadores multiplicando cada término por el mínimo común denominador. \[\begin{array}{rl}\dfrac{n}{n+5}-\dfrac{2}{n-9}=\dfrac{-11n+15}{n^2-4n-45}&\text{Factor denominator} \\ \dfrac{n}{n+5}-\dfrac{2}{n-9}=\dfrac{-11n+15}{(n+5)(n-9)}&\text{Multiply each term by LCD }=(n+5)(n-9)\end{array}\nonumber\]Denominadores claros:\[\begin{aligned}\color{blue}{(n+5)(n-9)}\color{black}{}\cdot\dfrac{n}{n+5}-\color{blue}{(n+5)(n-9)}\color{black}{}\cdot\dfrac{2}{n-9}&=\color{blue}{(n+5)(n-9)}\color{black}{}\cdot\dfrac{-11n+15}{(n+5)(n-9)} \\ n(n-9)-2(n+5)&=-11n+15\end{aligned}\]
Paso 3. Resuelve la ecuación. \[\begin{array}{rl}n(n-9)-2(n+5)=-11n+15&\text{Distribute} \\ n^2-9n-2n-10=-11n+15&\text{Combine like terms} \\ n^2-11n-10=-11n+15&\text{Notice the term }n^2\text{; we solve by factoring} \\ n^2-25=0&\text{Zero on one side and factor the other side} \\ (n+5)(n-5)=0&\text{Apply the zero product rule} \\ n+5=0\text{ or }n-5=0&\text{Isolate variable terms} \\ n=-5\text{ or }n=5&\text{Solutions}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Verificar que las soluciones obtenidas no sean un valor excluido. Ya que los valores excluidos son\(n = −5\) y\(n = 9\), y las soluciones que obtuvimos son\(n = −5\) y\(n = 5\), entonces\(n = −5\) es una solución ajera y omitimos\(n = −5\). De ahí que podamos concluir que la solución es\(n = 5\).
Tareas de ecuaciones racionales
Resolver. Asegúrese de verificar todas las soluciones.
\(3x-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{x}=0\)
\(x+\dfrac{20}{x-4}=\dfrac{5x}{x-4}-2\)
\(x+\dfrac{6}{x-3}=\dfrac{2x}{x-3}\)
\(\dfrac{2x}{3x-4}=\dfrac{4x+5}{6x-1}-\dfrac{3}{3x-4}\)
\(\dfrac{3m}{2m-5}-\dfrac{7}{3m+1}=\dfrac{3}{2}\)
\(\dfrac{4-x}{1-x}=\dfrac{12}{3-x}\)
\(\dfrac{7}{y-3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{y-2}{y-4}\)
\(\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{2-x}=\dfrac{3x+8}{x^2-4}\)
\(\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{5}{6}\)
\(\dfrac{3}{2x+1}+\dfrac{2x+1}{1-2x}=1-\dfrac{8x^2}{4x^2-1}\)
\(\dfrac{x-2}{x+3}-\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{1}{x^2+x-6}\)
\(\dfrac{3}{x+2}+\dfrac{x-1}{x+5}=\dfrac{5x+20}{6x+24}\)
\(\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{4x^2}{x^2-1}\)
\(\dfrac{2x}{x+1}-\dfrac{3}{x+5}=\dfrac{-8x^2}{x^2+6x+5}\)
\(\dfrac{x-5}{x-9}+\dfrac{x+3}{x-3}=\dfrac{-4x^2}{x^2-12x+27}\)
\(\dfrac{x-3}{x-6}+\dfrac{x+5}{x+3}=\dfrac{-2x^2}{x^2-3x-18}\)
\(\dfrac{4x+1}{x+3}+\dfrac{5x-3}{x-1}=\dfrac{8x^2}{x^2+2x-3}\)
\(\dfrac{6x+5}{2x^2-2x}-\dfrac{2}{1-x^2}=\dfrac{3x}{x^2-1}\)
\(x+1=\dfrac{4}{x+1}\)
\(\dfrac{x^2+6}{x-1}+\dfrac{x-2}{x-1}=2x\)
\(\dfrac{x-4}{x-1}=\dfrac{12}{3-x}+1\)
\(\dfrac{4x}{2x-6}-\dfrac{4}{5x-15}=\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{7}{3-x}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4-x}\)
\(\dfrac{2}{3-x}-\dfrac{6}{8-x}=1\)
\(\dfrac{x+2}{3x-1}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{3x-3}{3x^2-x}\)
\(\dfrac{x-1}{x-3}+\dfrac{x+2}{x+3}=\dfrac{3}{4}\)
\(\dfrac{3x-5}{5x-5}+\dfrac{5x-1}{7x-7}-\dfrac{x-4}{1-x}=2\)
\(\dfrac{x-1}{x-2}+\dfrac{x+4}{2x+1}=\dfrac{1}{2x^2-3x-2}\)
\(\dfrac{x}{x+3}-\dfrac{4}{x-2}=\dfrac{-5x^2}{x^2+x-6}\)
\(\dfrac{2x}{x+2}+\dfrac{2}{x-4}=\dfrac{3x}{x^2-2x-8}\)
\(\dfrac{x}{x+1}-\dfrac{3}{x+3}=\dfrac{-2x^2}{x^2+4x+3}\)
\(\dfrac{x-3}{x+6}+\dfrac{x-2}{x-3}=\dfrac{x^2}{x^2+3x-18}\)
\(\dfrac{x+3}{x-2}+\dfrac{x-2}{x+1}=\dfrac{9x^2}{x^2-x-2}\)
\(\dfrac{3x-1}{x+6}-\dfrac{2x-3}{x-3}=\dfrac{-3x^2}{x^2+3x-18}\)