12.5: Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas
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A pesar de que ya discutimos resolver algunas ecuaciones exponenciales y logarítmicas, todavía tenemos que discutir la resolución de ecuaciones exponenciales y logaritmos con bases poco comunes, y aplicar todas las propiedades. Comenzamos con una propiedad básica de logaritmos similar a la propiedad de ecuaciones exponenciales con bases comunes. Dado que el logaritmo es uno a uno, obtenemos lo siguiente.
Resolver ecuaciones logarítmicas usando las propiedades de logaritmos
Si\(a\),\(M\),\(N>0\), y\(a\neq 1\), entonces
\[\log_a M=\log_a N\quad\text{implies}\quad M=N\nonumber\]
Resolver para\(x:\: 2\log_7x=\log_7 16\)
Solución
Dado que la base en ambos lados del signo igual es\(7\), entonces podemos reescribir la ecuación con\(\log_7\) en cada lado sin coeficientes frente a los logaritmos.
\[\begin{array}{rl} \color{blue}{2}\color{black}{\log_7}x=\log_7 16 &\text{Apply the power property of logarithms} \\ \log_7 x^{\color{blue}{2}}\color{black}{=}\log_7 16&\text{Common base, no coefficients, equate values} \\ x^2=16 &\text{Solve for }x \\ x^2-16=0&\text{Factor} \\ (x+4)(x-4)=0 &\text{Apply zero product rule} \\ x+4=0\quad\text{or}\quad x-4=0 &\text{Isolate }x \\ \cancel{x=-4 }\quad\text{or}\quad x=4 &\text{STOP Recall the domain of logarithms}\end{array}\nonumber\]
Dado que el dominio de las funciones logarítmicas son todos valores mayores a cero, entonces eliminamos\(x = −4\) como solución y tenemos\(x = 4\) como única solución a la ecuación. Así,\(x = 4\) es la solución.
Resolver para\(x:\:\log_4 (x+6)+\log_4 x=2\).
Solución
Tendremos que utilizar las propiedades de logaritmos, como se ve en el apartado anterior, y la definición de un logaritmo para resolver este problema. Hay muchos pasos, pero mientras estemos organizados, podremos obtener la solución. Primero, utilizamos la propiedad product de logaritmos para reescribir el lado izquierdo como producto:
\[\log_4 (x+6)+\log_4 x=\log_4((x+6)\cdot x)=\log_4 (x^2+6x)\nonumber\]
A continuación, reescribimos la ecuación usando lo anterior y la definición de un logaritmo:
\[\begin{array}{rl} \log_4(x+6)+\log_4x=2 &\text{Apply the product property of logarithms} \\ \log_4(x^2+6x)=2 &\text{Rewrite in exponential form} \\ x^2+6x=4^2 & \text{Simplify }4^2 \\ x^2+6x=16 &\text{Solve for }x \\ x^2+6x-16=0 &\text{Factor} \\ (x+8)(x-2)=0 & \text{Apply the zero product rule} \\ x+8=0\quad\text{or}\quad x-2=0 &\text{Isolate }x \\ \cancel{x=-8}\quad\text{or}\quad x=2 &\text{STOP Recall the domain of logarithms}\end{array}\nonumber\]
Observe,\(x = −8\) no puede ser una solución a la ecuación ya que el valor de los logaritmos no puede ser negativo. Así,\(x = 2\) es la solución a la ecuación
Resolver ecuaciones exponenciales
Para resolver ecuaciones exponenciales con bases poco comunes, reescribimos las ecuaciones en su forma logarítmica. En general, debemos igualar exponentes cuando podamos, pero luego la forma logarítmica de lo contrario.
Resolver\(2^x = 7\). Da la respuesta exacta y luego usa una calculadora para aproximar la respuesta exacta a cuatro decimales.
Solución
Cuando\(x\) está en el exponente, la única manera de\(x\) bajar a la posición base es usar la definición de un logaritmo. Usamos esta definición a menudo cuando queremos alternar entre forma logarítmica y exponencial.
\[\begin{array}{rl}2^x =7 &\text{Uncommon bases, rewrite in logarithmic form} \\ \log_2 7=x &\text{Exact answer}\end{array}\nonumber\]
La respuesta exacta es\(x = \log_2 7\). Para aproximar este valor, debemos usar la fórmula Cambio de Base (COB):
\[\log_2 7=\dfrac{\log 7}{\log 2}\nonumber\]
Poniendo esto en la calculadora, obtenemos\(\dfrac{\log 7}{\log 2}\approx 2.8074\). Así, la respuesta exacta es\(x=\log_2 7\), y la respuesta aproximada es\(x=2.8074\).
Resolver\(2e^{ x+5 }= 5\). Da la respuesta exacta y luego usa una calculadora para aproximar la respuesta exacta a cuatro decimales.
Solución
Como vemos que la base de la ecuación exponencial es\(e\), entonces esta es una bombilla para que usemos la función logarítmica natural al usar la definición de un logaritmo. Primero, aislamos la ecuación exponencial dividiendo cada lado por\(2\), luego reescribimos la sentencia usando la definición de un logaritmo.
\[\begin{array}{rl} 2e^{x+5}=5 &\text{Divide each side by a factor }2 \\ e^{x+5}=\dfrac{5}{2}&\text{Uncommon bases, rewrite in logarithmic form} \\ \log_e\left(\dfrac{5}{2}\right)=x+5 &\text{Rewrite }\log_e\text{ as }\ln \\ \ln\left(\dfrac{5}{2}\right)=x+5 &\text{Isolate }x \\ \ln\left(\dfrac{5}{2}\right)-5=x &\text{Exact answer}\end{array}\nonumber\]
Tenga en cuenta,\(x=\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)-5\) es la solución exacta. Para aproximar este valor, lo ponemos directamente en la calculadora. Entonces, conseguimos\(\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)-5\approx -4.0837\). Así, la respuesta exacta es\(x=\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)-5\), y la respuesta aproximada es\(x = −4.0837\).
En Example 12.5.4 , no estábamos obligados a usar la fórmula COB ya que el\(\boxed{\ln}\) está integrado directamente en la calculadora científica. Si la base es cualquier número que no sea\(e\), tendríamos que usar COB antes de poner el valor en la calculadora. Hoy en día, algunas calculadoras tienen un\(\boxed{\log}\) botón en el que se\(e\) pueden ingresar diferentes bases distintas a\(10\) y. Es solo cuestión de marca de calculadora e identificación de esa característica.
También podemos tomar el logaritmo de cada lado de una ecuación exponencial, como hicimos al desarrollar el Cambio de Fórmula Base, para resolver ecuaciones exponenciales.
Resolver\(4^{7x} = 15\). Da la respuesta exacta y luego usa una calculadora para aproximar la respuesta exacta a cuatro decimales.
Solución
Podemos tomar el logaritmo común de cada lado y resolver la ecuación.
\[\begin{array}{rl} 4^{7x}=15 &\text{Take common logarithm of each side} \\ \log 4^{7x}=\log 15 &\text{Apply power rule of logarithms} \\ 7x\log 4=\log 15&\text{Isolate }x\text{ by dividing each side by }7\log 4 \\ x=\dfrac{\log 15}{7\log 4}&\text{Exact answer}\end{array}\nonumber\]
Tenga en cuenta,\(x = \dfrac{\log 15}{ 7 \log 4}\) es la solución exacta. Para aproximar este valor, lo ponemos directamente en la calculadora. Entonces, conseguimos\(\dfrac{\log 15}{7\log 4}\approx 0.2971\). Así, la respuesta exacta es\(x=\dfrac{\log 15}{7\log 4}\), y la respuesta aproximada es\(x = 0.2791\).
Aplicaciones con funciones exponenciales
La vida media para el plutonio-239 es de 24,360 años. La cantidad\(A\) (en gramos) de plutonio-239 después de\(t\) años para una muestra de un gramo es dada por\(A(t) = 1\cdot 0.5^{t/24,360}\). ¿Cuánto tiempo pasará antes de que\(239\) quede\(0.6\) gramo de plutonio?
Solución
Observe que la pregunta indica cuánto tiempo. De ahí que tengamos que encontrar tiempo\(t\), por una cantidad determinada\(A\). En particular,\(A = 0.6\). Plug-n-chug\(A = 0.6\) en la función dada que obtenemos
\[\begin{array}{rl} A(t)=1\cdot 0.5^{t/24,360}&\text{Replace }A(t)=0.6 \\ 0.6=1\cdot 0.5^{t/24,360}&\text{Simplify} \\ 0.6=0.5^{t/24,360}&\text{Rewrite in logarithmic form} \\ \log_{0.5}0.6=\dfrac{t}{24,360} &\text{Isolate }t \\ t=24,360\cdot\log_{0.5}0.6 &\text{Rewrite using COB} \\ t=24,360\cdot\dfrac{\log 0.6}{\log 0.5}&\text{Exact time} \\ t\approx 17,952 &\text{Approximate time}\end{array}\nonumber\]
De esta manera, tomará alrededor de 17,952 años para que el plutonio-239 alcance los\(0.6\) gramos.
Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Resuelve la ecuación.
\(\log_5 (x+2)-\log_5 (x-3)=3\)
\(\ln 60-\ln x=\ln (x-4)\)
\(\log_8 x=\log_8 6\)
\(\log x+\log (x+1)=\log 72\)
\(\log x+\log (x-1)=\log 72\)
\(\log (3x-8)-\log 9x=2\)
\(\log_11 (5x-6)+\log_11 x=1\)
Resuelve la ecuación. Dar una solución exacta y una solución aproximada a cuatro decimales.
\(3^{x+7}=7\)
\(2^{8x}=3.6\)
\(10\cdot 2^x=11\)
\(\dfrac{1}{8}\cdot 5^{9x}=4.9\)
La vida media para torio-227 es de 18.72 días. La cantidad\(A\) (en gramos) de torio-239 después de\(t\) años para una muestra de\(10\) -gramo viene dada por
\[A(t)=10\cdot 0.5^{\dfrac{t}{18.72}}\nonumber\]
¿Cuánto tiempo pasará antes de que queden 4 gramos de torio-227 en la muestra? Redondea tu respuesta al lugar centésimas.
Según la Oficina del Censo de Estados Unidos, la población de Estados Unidos en 2008 era de 304 millones de personas. Además, la población de Estados Unidos estaba creciendo a un ritmo\(1.1\%\) anual. Suponiendo que esta tasa de crecimiento es continua, el modelo
\[P(t)=304\cdot (1.011)^{t-2008}\nonumber\]
representa a la población\(P\) (en millones de personas) en el año\(t\). Según el modelo, ¿cuándo será la población 404 millones de personas? Asegúrate de redondear tu respuesta al año entero más cercano.
La fórmula\(y = 1 + 1.5 \ln(x + 1)\) modela el promedio de tiros libres que un jugador de basquetbol puede realizar consecutivamente durante la práctica en función del tiempo, donde\(x\) está el número de días consecutivos que el basquetbolista ha practicado durante dos horas. ¿Después de cuántos días de práctica puede el basquetbolista hacer un promedio de 8 tiros libres consecutivos?
La Ley de Enfriamiento de Newton establece que la temperatura de un objeto calentado disminuye exponencialmente con el tiempo hacia la temperatura del medio circundante. Supongamos que un café se sirve a una temperatura de\(143^{\circ}\text{F}\) y se coloca en una habitación cuya temperatura es\(70^{\circ}\text{F}\). La temperatura\(µ\) (in\(^{\circ}\text{F}\)) del café a la hora\(t\) (en minutos) puede ser modelada por\(µ(t) = 70 + 73e^{−0.07t}\). ¿Cuándo será la temperatura\(105^{\circ}\text{F}\)?