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4.7: Productos Binomiales Especiales

  • Page ID
    112248
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Tres productos binomiales ocurren con tanta frecuencia en álgebra que los designamos como productos binomiales especiales. Los hemos visto antes, pero los volveremos a estudiar por su importancia como dispositivos ahorradores de tiempo y en la resolución de ecuaciones (que estudiaremos en un capítulo posterior).

    Estos productos especiales se pueden mostrar como los cuadrados de un binomio

    \((a+b)^2\)y\(a-b)^2\)

    y como la suma y diferencia de dos términos.

    \((a+b)(a-b)\)

    Hay dos reglas simples que nos permiten expandir (multiplicar) fácilmente estos binomios. Bien vale la pena memorizarlos, ya que ahorrarán mucho tiempo en el futuro.

    Ampliando\((a+b)^2\) y\((a−b)^2\)

    Al cuadrado de un binomio

    Para cuadrar un binomio:

    1. Cuadrado el primer término.

    2. Toma el producto de los dos términos y duplicalo.

    3. Cuadrarse el último término.

    4. Sumar los tres resultados juntos

    \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

    \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

    Expansión (a+b) (a−b)

    Suma y Diferencia de Dos Términos.

    Para ampliar la suma y diferencia de dos términos: †

    1. Cuadrar el primer término y cuadrar el segundo término.
    2. Restar el cuadrado del segundo término del cuadrado del primer término.

    \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)

    Conjunto de Muestras A

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    \ (
    (x+4) ^ {2}
    \)
    Cuadrar el primer término:\(x^{2}\).
    El producto de ambos términos es\(4x\). Doblarlo:\(8x\).
    Cuadrar el último término: 16.

    Agréguelos juntos:\(x^{2}+8x+16\)

    \((x+4)^{2}=x^{2}+8 x+16\)

    Tenga en cuenta que\((x+4)^{2} \neq x^{2}+4^{2}\). ¡Falta el\(8x\) término!

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    \ (
    (a-8) ^ {2}
    \)
    Cuadrar el primer término:\(a^{2}\).
    El producto de ambos términos es\(-8a\). Doblarlo:\(-16a\).
    Cuadrar el último término: 64.

    Sumarlos juntos:\(a^2 + (-16a) + 64\)

    \((a-8)^2 = a^2 - 16a + 64\)

    Observe que el signo del último término en esta expresión es “\(+\).” Esto siempre sucederá ya que el último término resulta de que un número está al cuadrado. Cualquier número distinto de cero veces en sí mismo siempre es positivo.

    \((+)(+) = +\)y\((-)(-) = +\)

    El signo del segundo término en el trinomio siempre será el signo que ocurra dentro de los paréntesis.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    \ (
    (y-1) ^ {2}
    \)
    Cuadrar el primer término:\(y^{2}\).
    El producto de ambos términos es\(-y\). Doblarlo:\(-2y\).
    Cuadrar el último término: +1.

    Agréguelos juntos:\(y^2 + (-2y) + 1\)

    El cuadrado del binomio 'y menos uno' es igual a y al cuadrado menos dos y más uno. El signo dentro de los paréntesis y el signo del término medio del trinomio son los mismos, y se etiquetan como 'menos'. El signo del último término del trinomio se etiqueta como 'más'.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    \ (
    (5x+3) ^ {2}
    \)
    Cuadrar el primer término:\(25x^{2}\).
    El producto de ambos términos es\(15x\). Doblarlo:\(30x\).
    Cuadrar el último término: 9.

    Agréguelos juntos:\(25x^2 + 30x + 9\)

    El cuadrado del binomio 'cinco x más tres' es igual a veinticinco x cuadrado más treinta x más nueve. El signo dentro de los paréntesis y el signo del término medio del trinomio son los mismos, y se etiquetan como 'más'. El signo del último término del trinomio también se etiqueta como 'más'.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    \ (
    (7b-2) ^ {2}
    \)
    Cuadrar el primer término:\(49b^{2}\).
    El producto de ambos términos es\(-14b\). Doblarlo:\(-28b\).
    Cuadrar el último término: 4.

    Agréguelos juntos:\(49b^2 + (-28b) + 4\)

    El cuadrado del binomio 'siete b menos dos' es igual a cuarenta y nueve b al cuadrado menos veintiocho b más cuatro. El signo dentro de los paréntesis y el signo del término medio del trinomio son los mismos, y se etiquetan como 'menos'. El signo del último término del trinomio se etiqueta como 'más'.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    \ (
    (x+6) (x-6)
    \)
    Cuadrar el primer término:\(x^2\).
    Restar el cuadrado del segundo término (\(36\)) del cuadrado del primer término:\(x^2 - 36\)

    \((x+6)(x-6) = x^2 - 36\)

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    \ (
    (4a−12) (4a+12)
    \)
    Cuadrar el primer término:\(16a^2\).
    Restar el cuadrado del segundo término (\(144\)) del cuadrado del primer término:\(16a^2-144\)

    \((4a-12)(4a+12) = 16a^2 - 144\)

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    \ (
    (6x+8y) (6x−8y)
    \)
    Cuadrar el primer término:\(36x^2\).
    Restar el cuadrado del segundo término (\(64y^2\)) del cuadrado del primer término:\(36x^2 - 64y^2\)

    \((6x+8y)(6x-8y) = 36x^2 - 64y^2\)

    Conjunto de práctica A

    Encuentra los siguientes productos.

    Problema de práctica\(\PageIndex{1}\)

    \((x+5)^2\)

    Contestar

    \(x^2 + 10x + 25\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{2}\)

    \((x+7)^2\)

    Contestar

    \(x^2 + 14x + 49\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{3}\)

    \((y-6)^2\)

    Contestar

    \(y^2 - 12y + 36\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{4}\)

    \((3a+b)^2\)

    Contestar

    \(9a^2 + 6ab + b^2\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{5}\)

    \((9m-n)^2\)

    Contestar

    \(81m^2 - 18mn + n^2\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{6}\)

    \((10x - 2y)^2\)

    Contestar

    \(100x^2 - 40xy + 4y^2\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{7}\)

    \((12a - 7b)^2\)

    Contestar

    \(144a^2 - 168ab + 49b^2\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{8}\)

    \((5h - 15k)^2\)

    Contestar

    \(25h^2 - 150hk + 225k^2\)

    Ejercicios

    Para los siguientes problemas, encuentra los productos.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    \((x+3)^2\)

    Contestar

    \(x^2 + 6x + 9\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    \((x+5)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    \((x+8)^2\)

    Contestar

    \(x^2 + 16x + 64\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    \((x+6)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    \((y+9)^2\)

    Contestar

    \(y^2 + 18y + 81\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    \((y+1)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    \((a-4)^2\)

    Contestar

    \(a^2 - 8a + 16\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    \((a-6)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    \((a-7)^2\)

    Contestar

    \(a^2 - 14a + 49\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    \((b+10)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    \((b+15)^2\)

    Contestar

    \(b^2 + 30b + 225\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    \((a-10)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    \((x-12)^2\)

    Contestar

    \(x^2 - 24x + 144\)

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    \((x+20)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    \((y-20)^2\)

    Contestar

    \(y^2 - 40y + 400\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    \((3x + 5)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    \((4x + 2)^2\)

    Contestar

    \(16x^2 + 16x + 4\)

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    \((6x - 2)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    \((7x - 2)^2\)

    Contestar

    \(49x^2 - 28x + 4\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    \((5a - 6)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    \((3a - 9)^2\)

    Contestar

    \(9a^2 - 54a + 81\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    \((3w - 2z)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    \((5a - 3b)^2\)

    Contestar

    \(25a^2 - 30ab + 9b^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

    \((6t - 7s)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    \((2h - 8k)^2\)

    Contestar

    \(4h^2 - 32hk + 64k^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    \((a + \dfrac{1}{2})^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

    \((a + \dfrac{1}{3})^2\)

    Contestar

    \(a^2 + \dfrac{2}{3}a + \dfrac{1}{9}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

    \((x + \dfrac{3}{4})^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

    \((x + \dfrac{2}{5})^2\)

    Contestar

    \(x^2 + \dfrac{4}{5}x + \dfrac{4}{25}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

    \((x - \dfrac{2}{3})^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

    \((y-\dfrac{5}{6})^2\)

    Contestar

    \(y^2 - \dfrac{5}{3}y + \dfrac{25}{36}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

    \((y + \dfrac{2}{3})^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

    \((x + 1.3)^2\)

    Contestar

    \(x^2 + 2.6x + 1.69\)

    Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

    \((x + 5.2)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

    \((a + 0.5)^2\)

    Contestar

    \(a^2 + a + 0.25\)

    Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

    \((a + 0.08)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

    \((x - 3.1)^2\)

    Contestar

    \(x^2 - 6.2x + 9.61\)

    Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

    \((y - 7.2)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{39}\)

    \((b - 0.04)^2\)

    Contestar

    \(b^2 - 0.08b + 0.0016\)

    Ejercicio\(\PageIndex{40}\)

    \((f - 1.006)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{41}\)

    \((x + 5)(x - 5)\)

    Contestar

    \(x^2 - 25\)

    Ejercicio\(\PageIndex{42}\)

    \((x+6)(x-6)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{43}\)

    \((x+1)(x−1)\)

    Contestar

    \(x^2 - 1\)

    Ejercicio\(\PageIndex{44}\)

    \((t−1)(t+1)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{45}\)

    \((f+9)(f−9)\)

    Contestar

    \(f^2 - 81\)

    Ejercicio\(\PageIndex{46}\)

    \((y−7)(y+7)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{47}\)

    \((2y+3)(2y−3)\)

    Contestar

    \(4y^2 - 9\)

    Ejercicio\(\PageIndex{48}\)

    \((5x+6)(5x−6)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{49}\)

    \((2a−7b)(2a+7b)\)

    Contestar

    \(4a^2 - 49b^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{50}\)

    \((7x+3t)(7x−3t)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{51}\)

    \((5h−2k)(5h+2k)\)

    Contestar

    \(25h^2 - 4k^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{52}\)

    \((x + \dfrac{1}{3})(x - \dfrac{1}{3})\)

    Ejercicio\(\PageIndex{53}\)

    \((a + \dfrac{2}{9})(a - \dfrac{2}{9})\)

    Contestar

    \(a^2 - \dfrac{4}{81}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{54}\)

    \((x + \dfrac{7}{3})(x - \dfrac{7}{3})\)

    Ejercicio\(\PageIndex{55}\)

    \((2b + \dfrac{6}{7})(2b - \dfrac{6}{7})\)

    Contestar

    \(4b^2 - \dfrac{36}{49}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{56}\)

    \((a+b)^2\)Ampliar para demostrar que es igual a\(a^2 + 2ab + b^2\).

    Ejercicio\(\PageIndex{57}\)

    \((a-b)^2\)Ampliar para demostrar que es igual a\(a^2 - 2ab + b^2\).

    Contestar

    \((a-b)(a-b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{58}\)

    \((a+b)(a-b)\)Ampliar para demostrar que es igual a\(a^2-b^2\).

    Ejercicio\(\PageIndex{59}\)

    Rellena la etiqueta que falta en la siguiente ecuación.

    El cuadrado del binomio 'a más b' es igual a un cuadrado más dos ab más b al cuadrado. Rellene las etiquetas que faltan para la ecuación. Consulte el longdesc para una descripción completa.

    Contestar

    Primer trimestre al cuadrado

    Ejercicio\(\PageIndex{60}\)

    Etiquete las partes de la ecuación a continuación.

    El cuadrado del binomio 'a menos b' es igual a un cuadrado menos dos ab más b al cuadrado. Rellene las etiquetas que faltan para la ecuación. Consulte el longdesc para una descripción completa.

    Ejercicio\(\PageIndex{61}\)

    Etiquete las partes de la ecuación a continuación.

    El producto del binomio 'a más b' y del binomio 'a menos b' es igual a un cuadrado menos b cuadrado. Rellene las etiquetas que faltan para la ecuación. Consulte el longdesc para una descripción completa.

    Contestar

    a) Cuadrarse el primer término.

    b) Cuadrar el segundo término y restarlo del primer término.

    Ejercicios para la revisión

    Ejercicio\(\PageIndex{62}\)

    Simplificar\((x^3y^0z^4)^5\).

    Ejercicio\(\PageIndex{63}\)

    Encuentra el valor de\(10^{-1} \cdot 2^{-3}\)

    Contestar

    \(\dfrac{1}{80}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{64}\)

    Encuentra el producto.

    \((x+6)(x-7)\).

    Ejercicio\(\PageIndex{65}\)

    Encuentra el producto.

    \((5m - 3)(2m + 3)\)

    Contestar

    \(10m^2 + 9m - 9\)

    Ejercicio\(\PageIndex{66}\)

    Encuentra el producto.

    \((a+4)(a^2 - 2a + 3)\)


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