8.4: Multiplicar y dividir expresiones racionales

Multiplicación de expresiones racionales

Las expresiones racionales se multiplican juntas de la misma manera que las fracciones aritméticas se multiplican juntas. Para multiplicar números racionales, hacemos lo siguiente:

Método para multiplicar números racionales

1. Reduzca cada fracción a los términos más bajos.
2. Multiplique los numeradores juntos.
3. Multiplique los denominadores juntos.

Las expresiones racionales se multiplican juntas usando exactamente los mismos tres pasos. Dado que las expresiones racionales tienden a ser más largas que las fracciones aritméticas, podemos simplificar el proceso de multiplicación agregando un paso más.

Método para multiplicar expresiones racionales

1. Factorizar todos los numeradores y denominadores.
2. Reducir a términos más bajos primero dividiendo todos los factores comunes. (Es perfectamente legítimo cancelar el numerador de una fracción con el denominador de otra.)
3. Multiplicar numeradores juntos.
4. Multiplicar denominadores. A menudo es conveniente, pero no necesario, dejar denominadores en forma factorizada.

Conjunto de Muestras A

Realiza las siguientes multiplicaciones.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

$\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3 \cdot 1 } { 4 \cdot 2} = \dfrac{3}{8}$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

$\dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{_\cancel{8}^{4}}{9} \cdot \dfrac{1}{^\cancel{6}_{3}}=\dfrac{4 \cdot 1}{9 \cdot 3}=\dfrac{4}{27}$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

$\dfrac{3x}{5y} \cdot \dfrac{7}{12y} = \dfrac{_\cancel{3}^{1}x}{5y} \cdot \dfrac{7}{^\cancel{12}_{4}y} = \dfrac{x \cdot 7}{5y \cdot 4y} = \dfrac{7x}{20y^2}$

Ejemplo$\PageIndex{4}$

$\dfrac{x+4}{x-2} \cdot \dfrac{x+7}{x+4}$Dividir el factor común$x + 4$.

$\dfrac{\cancel{x+4}}{x-2} \cdot \dfrac{x+7}{\cancel{x+4}}$Multiplique los numeradores y denominadores juntos.

$\dfrac{x+7}{x-2}$

Ejemplo$\PageIndex{5}$

$\dfrac{x^2 + x - 6}{x^2 - 4x + 3} \cdot \dfrac{x^2 - 2x - 3}{x^2 + 4x - 12}$. Factor.

$\dfrac{(x+3)(x-2)}{(x-3)(x-1)} \cdot \dfrac{(x-3)(x+1)}{(x+6)(x-2)}$. Dividir los factores comunes$x-2$ y$x-3$.

$\dfrac{(x+3)\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-3)}(x-1)} \cdot \dfrac{\cancel{(x-3)}(x+1)}{(x+6)\cancel{(x-2)}}$Multiplicar.

$\dfrac{(x+3)(x+1)}{(x-1)(x+6)}$o$\dfrac{(x62 + 4x + 3}{(x-1)(x+6)}$ o$\dfrac{(x^2 + 4x + 3}{x^2 + 5x - 6}$

Cada una de estas tres formas es una forma aceptable de la misma respuesta.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

$\dfrac{2x+6}{6x-16} \cdot \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - x - 12}$. Factor.

$\dfrac{2(x+3)}{8(x-2)} \cdot \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-4)(x+3)}$. Dividir los factores comunes$2, x+3$ y$x-2$.

$\dfrac{\cancel{2}\cancel{(x+3)}}{\cancel{8}\cancel{(x-2)}} \cdot \dfrac{(x+2)\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x+3)}(x-4)}$Multiplicar.

$\dfrac{x+2}{4(x-4)}$o$\dfrac{x+2}{4x - 16}$

Ambas formas son formas aceptables de la misma respuesta.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

$3x^2 \cdot \dfrac{x+7}{x-5}$. Reescribir$3x^2$ como$\dfrac{3x^2}{1}$.

$\dfrac{3x^2}{1} \cdot \dfrac{x+7}{x-5}$. Multiplicar.

$\dfrac{3x^2(x+7)}{x-5}$

Ejemplo$\PageIndex{8}$

$(x-3) \cdot \dfrac{4x-9}{x^2 - 6x + 9}$

$\dfrac{\cancel{(x-3)}}{1} \cdot \dfrac{4x-9}{\cancel{(x-3)}(x-3)}$

$\dfrac{4x-9}{x-3}$

Ejemplo$\PageIndex{9}$

$\dfrac{-x^2 - 3x - 2}{x^2 + 8x + 15} \cdot \dfrac{4x + 20}{x^2 + 2x}$. Factor$-1$ desde el primer numerador.

$\dfrac{-(x^2 + 3x + 2)}{x^2 + 8x + 15} \cdot \dfrac{4x + 20}{x^2 + 2}$. Factor.

$\dfrac{-(x+1)\cancel{(x+2)}}{(x+3)\cancel{(x+5)}} \cdot \dfrac{4 \cancel{(x+5)}}{x \cancel{(x+2)}}$Multiplicar.

$\dfrac{-4(x + 1)}{x(x+3)} = \dfrac{-4x - 1}{x(x+3)}$o$\dfrac{-4x - 1}{x^2 + 3x}$

Conjunto de práctica A

Realiza cada multiplicación.

Problema de práctica$\PageIndex{1}$

$\dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{6}{7}$

Contestar

$\dfrac{10}{7}$

Problema de práctica$\PageIndex{2}$

$\dfrac{a^3}{b^2c^2} \cdot \dfrac{c^5}{a^5}$

Contestar

$\dfrac{c^3}{a^2b^2}$

Problema de práctica$\PageIndex{3}$

$\dfrac{y-1}{y^2+1} \cdot \dfrac{y+1}{y^2-1}$

Contestar

$\dfrac{1}{y^2 + 1}$

Problema de práctica$\PageIndex{4}$

$\dfrac{x^2 - x - 12}{x^2 + 7x + 6} \cdot \dfrac{x^2 - 4x - 5}{x^2 - 9x + 20}$

Contestar

$\dfrac{x+3}{x+6}$

Problema de práctica$\PageIndex{5}$

$\dfrac{x^2 + 6x + 8}{x^2 - 6x + 8} \cdot \dfrac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + 2x - 8}$

Contestar

$\dfrac{(x+2)^2}{(x-2)^2}$

División de expresiones racionales

Para dividir una expresión racional por otra, primero invertimos el divisor y luego multiplicamos las dos expresiones. Simbólicamente, si dejamos$P,Q,R,$ y$S$ representamos polinomios, podemos escribir

$$\dfrac{P}{Q} \div \dfrac{R}{S} = \dfrac{P}{Q} \cdot \dfrac{S}{R} = \dfrac{P \cdot S}{Q \cdot R}$$

Conjunto de Muestras B

Realizar las siguientes divisiones.

Ejemplo$\PageIndex{10}$

$\dfrac{6x^2}{5a} \div \dfrac{2x}{10a^3}$Invertir el divisor y multiplicar

$\dfrac{_\cancel{6}^{3} x^{\not 2}}{\not 5 \not a} \cdot \dfrac{_\cancel{10}^{2} a^{_\cancel{3}^{2}}}{\not 2 \not x} = \dfrac{3x \cdot 2a^2}{1} = 6a^2x$

Ejemplo$\PageIndex{11}$

$\dfrac{x^2 + 3x - 10}{2x - 2} \div \dfrac{x^2 + 9x + 20}{x^2 + 3x - 4}$Invertir y Multiplicar.

$\dfrac{x^2 + 3x - 10}{2x - 2} \cdot \dfrac{x^2 + 3x - 4}{x^2 + 9x + 20}$. Factor

$\dfrac{\cancel{(x+5)}(x-2)}{2\cancel{(x-2)}} \cdot \dfrac{\cancel{(x+4)}\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x+5)}\cancel{(x+4)}}$

$\dfrac{x-2}{2}$

Ejemplo$\PageIndex{12}$

$(4x + 7) \div \dfrac{12x + 21}{x-2}$. Escribir$4x + 7$ como$\dfrac{4x + 7}{1}$.

$\dfrac{4x + 7}{1} \div \dfrac{12x + 21}{x-2}$Invertir y multiplicar.

$\dfrac{4x + 7}{1} \div \dfrac{x-2}{12x + 21}$. Factor.

$\dfrac{\cancel{4x + 7}}{1} \cdot \dfrac{x-2}{3 \cancel{(4x+7)}} = \dfrac{x-2}{3}$

Set de práctica B

Realizar cada división.

Problema de práctica$\PageIndex{6}$

$\dfrac{8m^2n}{3a^5b^2} \div \dfrac{2m}{15a^7b^2}$

Contestar

$20a^2mn$

Problema de práctica$\PageIndex{7}$

$\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + x - 6} \div \dfrac{x^2 + x - 2}{x^2 + 4x + 3}$

Contestar

$\dfrac{x+1}{x - 1}$

Problema de práctica$\PageIndex{8}$

$\dfrac{6a^2 + 17a + 12}{3a + 2} \div (2a + 3)$

Contestar

$\dfrac{3a + 4}{3a + 2}$

Ejercicios

Para los siguientes problemas, realizar la multiplicación y divisiones.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

$\dfrac{4a^3}{5b} \cdot \dfrac{3b}{2a}$

Contestar

$\dfrac{6a^2}{5}$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

$\dfrac{9x^4}{4y^3} \cdot \dfrac{10y}{x^2}$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{a}$

Contestar

$1$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

$\dfrac{2x}{5y} \cdot \dfrac{5y}{2x}$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

$\dfrac{12a^3}{7} \cdot \dfrac{28}{15a}$

Contestar

$\dfrac{16a^2}{5}$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

$\dfrac{39m^4}{16} \cdot \dfrac{4}{13m^2}$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

$\dfrac{18x^6}{7} \cdot \dfrac{1}{4x^2}$

Contestar

$\dfrac{9x^4}{14}$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

$\dfrac{34a^6}{21} \cdot \dfrac{42}{17a^5}$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

$\dfrac{16x^6y^3}{15x^2} \cdot \dfrac{25x}{4y}$

Contestar

$\dfrac{20x^5y^2}{3}$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

$\dfrac{27a^7b^4}{39b} \cdot \dfrac{13a^4b^2}{16a^5}$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

$\dfrac{10x^2y^3}{7y^5} \cdot \dfrac{49y}{15x^6}$

Contestar

$\dfrac{14}{3x^4y}$

Ejercicio$\PageIndex{12}$

$\dfrac{22m^3n^4}{11m^6n} \cdot \dfrac{33mn}{4mn^3}$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

$\dfrac{-10p^2q}{7a^3b^2} \cdot \dfrac{21a^5b^3}{2p}$

Contestar

$-15a^2bpq$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

$\dfrac{-25m^4n^3}{14r^3s^3} \cdot \dfrac{21rs^4}{10mn}$

Ejercicio$\PageIndex{15}$

$\dfrac{9}{a} \div \dfrac{3}{a^2}$

Contestar

$3a$

Ejercicio$\PageIndex{16}$

$\dfrac{10}{b^2} \div \dfrac{4}{b^3}$

Ejercicio$\PageIndex{17}$

$\dfrac{21a^4}{5b^2} \div \dfrac{14a}{15b^3}$

Contestar

$\dfrac{9a^3b}{2}$

Ejercicio$\PageIndex{18}$

$\dfrac{42x^5}{16y^4} \div \dfrac{21x^4}{8y^3}$

Ejercicio$\PageIndex{19}$

$\dfrac{39x^2y^2}{55p^2} \div \dfrac{13x^3y}{15p^6}$

Contestar

$\dfrac{9p^4y}{11x}$

Ejercicio$\PageIndex{20}$

$\dfrac{14mn^3}{25n^6} \div \dfrac{6a^2}{15x^2}$

Contestar

$\dfrac{-6b^3x}{y^4}$

Ejercicio$\PageIndex{21}$

$\dfrac{24p^3q}{9mn^3} \div \dfrac{10pq}{-21n^2}$

Ejercicio$\PageIndex{22}$

$\dfrac{x+8}{x+1} \cdot \dfrac{x+2}{x+8}$

Contestar

$\dfrac{x+2}{x+1}$

Ejercicio$\PageIndex{23}$

$\dfrac{x+10}{x-4} \cdot \dfrac{x-4}{x-1}$

Ejercicio$\PageIndex{24}$

$\dfrac{2x + 5}{x+8} \cdot \dfrac{x+8}{x-2}$

Contestar

$\dfrac{2x + 5}{x - 2}$

Ejercicio$\PageIndex{25}$

$\dfrac{y + 2}{2y - 1} \cdot \dfrac{2y - 1}{y-2}$

Ejercicio$\PageIndex{26}$

$\dfrac{x-5}{x-1} \div \dfrac{x-5}{4}$

Contestar

$\dfrac{4}{x-1}$

Ejercicio$\PageIndex{27}$

$\dfrac{x}{x-4} \div \dfrac{2x}{5x + 1}$

Ejercicio$\PageIndex{28}$

$\dfrac{a + 2b}{a-1} \div \dfrac{4a + 8b}{3a - 3}$

Contestar

$\dfrac{3}{4}$

Ejercicio$\PageIndex{29}$

$\dfrac{6m + 2}{m - 1} \div \dfrac{4m - 4}{m - 1}$

Ejercicio$\PageIndex{30}$

$x^3 \cdot \dfrac{4ab}{x}$

Contestar

$4abx^2$

Ejercicio$\PageIndex{31}$

$y^4 \cdot \dfrac{3x^2}{y^2}$

Ejercicio$\PageIndex{32}$

$2a^5 \div \dfrac{6a^2}{4b}$

Contestar

$\dfrac{4a^3b}{3}$

Ejercicio$\PageIndex{33}$

$16x^2y^3 \div \dfrac{10xy}{3}$

Ejercicio$\PageIndex{34}$

$21m^4n^2 \div \dfrac{3mn^2}{7n}$

Contestar

$49m^3n$

Ejercicio$\PageIndex{35}$

$(x+8) \cdot \dfrac{x+2}{x+8}$

Ejercicio$\PageIndex{36}$

$(x-2) \cdot \dfrac{x-1}{x-2}$

Contestar

$x−1$

Ejercicio$\PageIndex{37}$

$(a-6)^3 \cdot \dfrac{(a+2)^2}{a-6}$

Ejercicio$\PageIndex{38}$

$(b+1)^4 \cdot \dfrac{(b-7)^3}{b+1}$

Contestar

$(b+1)^3(b-7)^3$

Ejercicio$\PageIndex{39}$

$(b^2 + 2)^3 \cdot \dfrac{b-3}{(b^2 + 2)^2}$

Ejercicio$\PageIndex{40}$

$(x^3 - 7)^4 \cdot \dfrac{x^2 - 1}{(x^3-7)^2}$

Contestar

$(x^3-7)^2(x+1)(x-1)$

Ejercicio$\PageIndex{41}$

$(x-5) \div \dfrac{x-5}{x-2}$

Ejercicio$\PageIndex{42}$

$(y-2) \div \dfrac{y-2}{y-1}$

Contestar

$(y−1)$

Ejercicio$\PageIndex{43}$

$(y + 6)^3 \div \dfrac{(y+6)^2}{y-6}$

Ejercicio$\PageIndex{44}$

$(a-2b)^4 \div \dfrac{(a-2b)^2}{a+b}$

Contestar

$(a-2b)^2(a+b)$

Ejercicio$\PageIndex{45}$

$\dfrac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 4x + 3} \cdot \dfrac{x^2 - 2x - 3}{2x + 2}$

Ejercicio$\PageIndex{46}$

$\dfrac{6x - 42}{x^2 - 2x - 3} \cdot \dfrac{x^2 - 1}{x - 7}$

Contestar

$\dfrac{6(x-1)}{(x-3)}$

Ejercicio$\PageIndex{47}$

$\dfrac{3a + 3b}{a^2 - 4a - 5} \div \dfrac{9a + 9b}{a^2 - 3a - 10}$

Ejercicio$\PageIndex{48}$

$\dfrac{a^2 - 4a - 12}{a^2 - 9} \div \dfrac{a^2 - 5a - 6}{a^2 + 6a + 9}$

Contestar

$\dfrac{(a+2)(a+3)}{(a-3)(a+1)}$

Ejercicio$\PageIndex{49}$

$\dfrac{b^2 - 5b + 6}{b^2 - b - 2} \cdot \dfrac{b^2 - 2b - 3}{b^2 - 9b + 20}$

Ejercicio$\PageIndex{50}$

$\dfrac{m^2 - 4m + 3}{m^2 + 5m - 6} \cdot \dfrac{m^2 + 4m - 12}{m^2 - 5m + 6}$

Contestar

$1$

Ejercicio$\PageIndex{51}$

$\dfrac{r^2 + 7r + 10}{r^2 - 2r - 8} \div \dfrac{r^2 + 6r + 5}{r^2 - 3r - 4}$

Ejercicio$\PageIndex{52}$

$\dfrac{2a^2 + 7a + 3}{3a^2 - 5a - 2} \cdot \dfrac{a^2 - 5a + 6}{a^2 + 2a - 3}$

Contestar

$\dfrac{(2a + 1)(a - 6)(a + 1)}{(3a + 1)(a - 1)(a - 2)}$

Ejercicio$\PageIndex{53}$

$\dfrac{6x^2 + x - 2}{2x^2 + 7x - 4} \cdot \dfrac{x^2 + 2x - 12}{3x^2 - 4x - 4}$

Ejercicio$\PageIndex{54}$

$\dfrac{x^3y - x^2y^2}{x^2y - y^2} \cdot \dfrac{x^2 - y}{x - xy}$

Contestar

$\dfrac{x(x-y)}{1-y}$

Ejercicio$\PageIndex{55}$

$\dfrac{4a^3b - 4a^2b^2}{15a - 10} \cdot \dfrac{3a - 2}{4ab - 2b^2}$

Ejercicio$\PageIndex{56}$

$\dfrac{x+3}{x - 4} \cdot \dfrac{x - 4}{x + 1} \cdot \dfrac{x - 2}{x + 3}$

Contestar

$\dfrac{x - 2}{x + 1}$

Ejercicio$\PageIndex{57}$

$\dfrac{x - 7}{x + 8} \cdot \dfrac{x + 1}{x - 7} \cdot \dfrac{x + 8}{x - 2}$

Ejercicio$\PageIndex{58}$

$\dfrac{2a - b}{a + b} \cdot \dfrac{a + 3b}{a - 5b} \cdot \dfrac{a - 5b}{2a - b}$

Contestar

$\dfrac{a + 3b}{a + b}$

Ejercicio$\PageIndex{59}$

$\dfrac{3a(a + 1)^2}{a - 5} \cdot \dfrac{6(a - 5)^2}{5a + 5} \cdot \dfrac{15a + 30}{4a - 20}$

Ejercicio$\PageIndex{60}$

$\dfrac{-3a^2}{4b} \cdot \dfrac{-8b^3}{15a}$

Contestar

$\dfrac{2ab^2}{5}$

Ejercicio$\PageIndex{61}$

$\dfrac{-6x^3}{5y^2} \cdot \dfrac{20y}{-2x}$

Ejercicio$\PageIndex{62}$

$\dfrac{-8x^2y^3}{-5x} \div \dfrac{4}{-15xy}$

Contestar

$-6x^2y^4$

Ejercicio$\PageIndex{63}$

$\dfrac{-4a^3}{3b} \div \dfrac{2a}{6b^2}$

Ejercicio$\PageIndex{64}$

$\dfrac{-3a - 3}{2a + 2} \cdot \dfrac{a^2 - 3a + 2}{a^2 - 5a - 6}$

Contestar

$\dfrac{-3(a-2)(a-1)}{2(a-6)(a+1)}$

Ejercicio$\PageIndex{65}$

$\dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 - 3x - 4} \cdot \dfrac{-x^2 + 2x + 3}{-4x - 8}$

Ejercicio$\PageIndex{66}$

$\dfrac{-5x - 10}{x^2 - 4x + 3} \cdot \dfrac{x^2 + 4x + 1}{x^2 + x - 2}$

Contestar

$\dfrac{-5(x^2 + 4x + 1)}{(x-3)(x-1)^2}$

Ejercicio$\PageIndex{67}$

$\dfrac{-a^2 - 2a + 15}{-6a - 12} \div \dfrac{a^2 - 2a - 8}{-2a - 10}$

Ejercicio$\PageIndex{68}$

$\dfrac{-b^2 - 5b + 14}{3b - 6} \div \dfrac{-b^2 - 9b - 14}{-b + 8}$

Contestar

$\dfrac{-(b - 8)}{3(b + 2)}$

Ejercicio$\PageIndex{69}$

$\dfrac{3a + 6}{4a - 24} \cdot \dfrac{6 - a}{3a + 15}$

Ejercicio$\PageIndex{70}$

$\dfrac{4x + 12}{x- 7} \cdot \dfrac{7 - x}{2x - 2}$

Contestar

$\dfrac{-2(x+3)}{(x+1)}$

Ejercicio$\PageIndex{71}$

$\dfrac{-2x - 2}{b^2 + b - 6} \cdot \dfrac{-b +2}{b +5}$

Ejercicio$\PageIndex{72}$

$\dfrac{3x^2 - 6x - 9}{2x^2 - 6x - 4} \div \dfrac{3x^2 - 5x - 2}{6x^2 - 7x - 3}$

Contestar

$\dfrac{3(x-3)(x+1)(2x-3)}{2(x^2-3x-2)(x-2)}$

Ejercicio$\PageIndex{73}$

$\dfrac{-2b^2 - 2b + 4}{8b^2 - 28b - 16} \div \dfrac{b^2 - 2b + 1}{2b^2 - 5b - 3}$

Ejercicio$\PageIndex{74}$

$\dfrac{x^2 + 4x + 3}{x^2 + 5x + 4} \div (x + 3)$

Contestar

$\dfrac{(x+4)(x-1)}{(x+3)(x^2 - 4x - 3)}$

Ejercicio$\PageIndex{75}$

$\dfrac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4x + 3} \div (x-3)$

Ejercicio$\PageIndex{76}$

$\dfrac{3x^2 - 21x + 18}{x^2 + 5x + 6} \div (x + 2)$

Contestar

$\dfrac{3(x - 6)(x - 1)}{(x+2)^2(x+3)}$

Ejercicios para revisión

Ejercicio$\PageIndex{77}$

Si$a < 0$, entonces$|a| =$.

Ejercicio$\PageIndex{78}$

Clasificar el polinomio$4xy+2y$ como monomio, binomio o trinomio. Exponer su grado y escribir el coeficiente numérico de cada término.

Contestar

binomio; 2; 4, 2

Ejercicio$\PageIndex{79}$

Encuentra el producto:$y^2(2y - 1)(2y + 1)$

Ejercicio$\PageIndex{80}$

Traducir la frase “cuatro menos de dos veces algún número es dos más que el número” en una ecuación.

Contestar

$2x−4=x+2$

Ejercicio$\PageIndex{81}$

Reducir la fracción$\dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}$