8.4: Multiplicar y dividir expresiones racionales
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Multiplicación de expresiones racionales
Las expresiones racionales se multiplican juntas de la misma manera que las fracciones aritméticas se multiplican juntas. Para multiplicar números racionales, hacemos lo siguiente:
- Método para multiplicar números racionales
- Reduzca cada fracción a los términos más bajos.
- Multiplique los numeradores juntos.
- Multiplique los denominadores juntos.
Las expresiones racionales se multiplican juntas usando exactamente los mismos tres pasos. Dado que las expresiones racionales tienden a ser más largas que las fracciones aritméticas, podemos simplificar el proceso de multiplicación agregando un paso más.
- Método para multiplicar expresiones racionales
- Factorizar todos los numeradores y denominadores.
- Reducir a términos más bajos primero dividiendo todos los factores comunes. (Es perfectamente legítimo cancelar el numerador de una fracción con el denominador de otra.)
- Multiplicar numeradores juntos.
- Multiplicar denominadores. A menudo es conveniente, pero no necesario, dejar denominadores en forma factorizada.
Conjunto de Muestras A
Realiza las siguientes multiplicaciones.
\(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3 \cdot 1 } { 4 \cdot 2} = \dfrac{3}{8}\)
\(\dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{_\cancel{8}^{4}}{9} \cdot \dfrac{1}{^\cancel{6}_{3}}=\dfrac{4 \cdot 1}{9 \cdot 3}=\dfrac{4}{27}\)
\(\dfrac{3x}{5y} \cdot \dfrac{7}{12y} = \dfrac{_\cancel{3}^{1}x}{5y} \cdot \dfrac{7}{^\cancel{12}_{4}y} = \dfrac{x \cdot 7}{5y \cdot 4y} = \dfrac{7x}{20y^2}\)
\(\dfrac{x+4}{x-2} \cdot \dfrac{x+7}{x+4}\)Dividir el factor común\(x + 4\).
\(\dfrac{\cancel{x+4}}{x-2} \cdot \dfrac{x+7}{\cancel{x+4}}\)Multiplique los numeradores y denominadores juntos.
\(\dfrac{x+7}{x-2}\)
\(\dfrac{x^2 + x - 6}{x^2 - 4x + 3} \cdot \dfrac{x^2 - 2x - 3}{x^2 + 4x - 12}\). Factor.
\(\dfrac{(x+3)(x-2)}{(x-3)(x-1)} \cdot \dfrac{(x-3)(x+1)}{(x+6)(x-2)}\). Dividir los factores comunes\(x-2\) y\(x-3\).
\(\dfrac{(x+3)\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-3)}(x-1)} \cdot \dfrac{\cancel{(x-3)}(x+1)}{(x+6)\cancel{(x-2)}}\)Multiplicar.
\(\dfrac{(x+3)(x+1)}{(x-1)(x+6)}\)o\(\dfrac{(x62 + 4x + 3}{(x-1)(x+6)}\) o\(\dfrac{(x^2 + 4x + 3}{x^2 + 5x - 6}\)
Cada una de estas tres formas es una forma aceptable de la misma respuesta.
\(\dfrac{2x+6}{6x-16} \cdot \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - x - 12}\). Factor.
\(\dfrac{2(x+3)}{8(x-2)} \cdot \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-4)(x+3)}\). Dividir los factores comunes\(2, x+3\) y\(x-2\).
\(\dfrac{\cancel{2}\cancel{(x+3)}}{\cancel{8}\cancel{(x-2)}} \cdot \dfrac{(x+2)\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x+3)}(x-4)}\)Multiplicar.
\(\dfrac{x+2}{4(x-4)}\)o\(\dfrac{x+2}{4x - 16}\)
Ambas formas son formas aceptables de la misma respuesta.
\(3x^2 \cdot \dfrac{x+7}{x-5}\). Reescribir\(3x^2\) como\(\dfrac{3x^2}{1}\).
\(\dfrac{3x^2}{1} \cdot \dfrac{x+7}{x-5}\). Multiplicar.
\(\dfrac{3x^2(x+7)}{x-5}\)
\((x-3) \cdot \dfrac{4x-9}{x^2 - 6x + 9}\)
\(\dfrac{\cancel{(x-3)}}{1} \cdot \dfrac{4x-9}{\cancel{(x-3)}(x-3)}\)
\(\dfrac{4x-9}{x-3}\)
\(\dfrac{-x^2 - 3x - 2}{x^2 + 8x + 15} \cdot \dfrac{4x + 20}{x^2 + 2x}\). Factor\(-1\) desde el primer numerador.
\(\dfrac{-(x^2 + 3x + 2)}{x^2 + 8x + 15} \cdot \dfrac{4x + 20}{x^2 + 2}\). Factor.
\(\dfrac{-(x+1)\cancel{(x+2)}}{(x+3)\cancel{(x+5)}} \cdot \dfrac{4 \cancel{(x+5)}}{x \cancel{(x+2)}}\)Multiplicar.
\(\dfrac{-4(x + 1)}{x(x+3)} = \dfrac{-4x - 1}{x(x+3)}\)o\(\dfrac{-4x - 1}{x^2 + 3x}\)
Conjunto de práctica A
Realiza cada multiplicación.
\(\dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{6}{7}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{10}{7}\)
\(\dfrac{a^3}{b^2c^2} \cdot \dfrac{c^5}{a^5}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{c^3}{a^2b^2}\)
\(\dfrac{y-1}{y^2+1} \cdot \dfrac{y+1}{y^2-1}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{y^2 + 1}\)
\(\dfrac{x^2 - x - 12}{x^2 + 7x + 6} \cdot \dfrac{x^2 - 4x - 5}{x^2 - 9x + 20}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{x+3}{x+6}\)
\(\dfrac{x^2 + 6x + 8}{x^2 - 6x + 8} \cdot \dfrac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + 2x - 8}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{(x+2)^2}{(x-2)^2}\)
División de expresiones racionales
Para dividir una expresión racional por otra, primero invertimos el divisor y luego multiplicamos las dos expresiones. Simbólicamente, si dejamos\(P,Q,R,\) y\(S\) representamos polinomios, podemos escribir
\[\dfrac{P}{Q} \div \dfrac{R}{S} = \dfrac{P}{Q} \cdot \dfrac{S}{R} = \dfrac{P \cdot S}{Q \cdot R}\]
Conjunto de Muestras B
Realizar las siguientes divisiones.
\(\dfrac{6x^2}{5a} \div \dfrac{2x}{10a^3}\)Invertir el divisor y multiplicar
\(\dfrac{_\cancel{6}^{3} x^{\not 2}}{\not 5 \not a} \cdot \dfrac{_\cancel{10}^{2} a^{_\cancel{3}^{2}}}{\not 2 \not x} = \dfrac{3x \cdot 2a^2}{1} = 6a^2x\)
\(\dfrac{x^2 + 3x - 10}{2x - 2} \div \dfrac{x^2 + 9x + 20}{x^2 + 3x - 4}\)Invertir y Multiplicar.
\(\dfrac{x^2 + 3x - 10}{2x - 2} \cdot \dfrac{x^2 + 3x - 4}{x^2 + 9x + 20}\). Factor
\(\dfrac{\cancel{(x+5)}(x-2)}{2\cancel{(x-2)}} \cdot \dfrac{\cancel{(x+4)}\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x+5)}\cancel{(x+4)}}\)
\(\dfrac{x-2}{2}\)
\((4x + 7) \div \dfrac{12x + 21}{x-2}\). Escribir\(4x + 7\) como\(\dfrac{4x + 7}{1}\).
\(\dfrac{4x + 7}{1} \div \dfrac{12x + 21}{x-2}\)Invertir y multiplicar.
\(\dfrac{4x + 7}{1} \div \dfrac{x-2}{12x + 21}\). Factor.
\(\dfrac{\cancel{4x + 7}}{1} \cdot \dfrac{x-2}{3 \cancel{(4x+7)}} = \dfrac{x-2}{3}\)
Set de práctica B
Realizar cada división.
\(\dfrac{8m^2n}{3a^5b^2} \div \dfrac{2m}{15a^7b^2}\)
- Contestar
-
\(20a^2mn\)
\(\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + x - 6} \div \dfrac{x^2 + x - 2}{x^2 + 4x + 3}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{x+1}{x - 1}\)
\(\dfrac{6a^2 + 17a + 12}{3a + 2} \div (2a + 3)\)
- Contestar
-
\(\dfrac{3a + 4}{3a + 2}\)
Ejercicios
Para los siguientes problemas, realizar la multiplicación y divisiones.
\(\dfrac{4a^3}{5b} \cdot \dfrac{3b}{2a}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{6a^2}{5}\)
\(\dfrac{9x^4}{4y^3} \cdot \dfrac{10y}{x^2}\)
\(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{a}\)
- Contestar
-
\(1\)
\(\dfrac{2x}{5y} \cdot \dfrac{5y}{2x}\)
\(\dfrac{12a^3}{7} \cdot \dfrac{28}{15a}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{16a^2}{5}\)
\(\dfrac{39m^4}{16} \cdot \dfrac{4}{13m^2}\)
\(\dfrac{18x^6}{7} \cdot \dfrac{1}{4x^2}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{9x^4}{14}\)
\(\dfrac{34a^6}{21} \cdot \dfrac{42}{17a^5}\)
\(\dfrac{16x^6y^3}{15x^2} \cdot \dfrac{25x}{4y}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{20x^5y^2}{3}\)
\(\dfrac{27a^7b^4}{39b} \cdot \dfrac{13a^4b^2}{16a^5}\)
\(\dfrac{10x^2y^3}{7y^5} \cdot \dfrac{49y}{15x^6}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{14}{3x^4y}\)
\(\dfrac{22m^3n^4}{11m^6n} \cdot \dfrac{33mn}{4mn^3}\)
\(\dfrac{-10p^2q}{7a^3b^2} \cdot \dfrac{21a^5b^3}{2p}\)
- Contestar
-
\(-15a^2bpq\)
\(\dfrac{-25m^4n^3}{14r^3s^3} \cdot \dfrac{21rs^4}{10mn}\)
\(\dfrac{9}{a} \div \dfrac{3}{a^2}\)
- Contestar
-
\(3a\)
\(\dfrac{10}{b^2} \div \dfrac{4}{b^3}\)
\(\dfrac{21a^4}{5b^2} \div \dfrac{14a}{15b^3}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{9a^3b}{2}\)
\(\dfrac{42x^5}{16y^4} \div \dfrac{21x^4}{8y^3}\)
\(\dfrac{39x^2y^2}{55p^2} \div \dfrac{13x^3y}{15p^6}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{9p^4y}{11x}\)
\(\dfrac{14mn^3}{25n^6} \div \dfrac{6a^2}{15x^2}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{-6b^3x}{y^4}\)
\(\dfrac{24p^3q}{9mn^3} \div \dfrac{10pq}{-21n^2}\)
\(\dfrac{x+8}{x+1} \cdot \dfrac{x+2}{x+8}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{x+2}{x+1}\)
\(\dfrac{x+10}{x-4} \cdot \dfrac{x-4}{x-1}\)
\(\dfrac{2x + 5}{x+8} \cdot \dfrac{x+8}{x-2}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{2x + 5}{x - 2}\)
\(\dfrac{y + 2}{2y - 1} \cdot \dfrac{2y - 1}{y-2}\)
\(\dfrac{x-5}{x-1} \div \dfrac{x-5}{4}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{4}{x-1}\)
\(\dfrac{x}{x-4} \div \dfrac{2x}{5x + 1}\)
\(\dfrac{a + 2b}{a-1} \div \dfrac{4a + 8b}{3a - 3}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{3}{4}\)
\(\dfrac{6m + 2}{m - 1} \div \dfrac{4m - 4}{m - 1}\)
\(x^3 \cdot \dfrac{4ab}{x}\)
- Contestar
-
\(4abx^2\)
\(y^4 \cdot \dfrac{3x^2}{y^2}\)
\(2a^5 \div \dfrac{6a^2}{4b}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{4a^3b}{3}\)
\(16x^2y^3 \div \dfrac{10xy}{3}\)
\(21m^4n^2 \div \dfrac{3mn^2}{7n}\)
- Contestar
-
\(49m^3n\)
\((x+8) \cdot \dfrac{x+2}{x+8}\)
\((x-2) \cdot \dfrac{x-1}{x-2}\)
- Contestar
-
\(x−1\)
\((a-6)^3 \cdot \dfrac{(a+2)^2}{a-6}\)
\((b+1)^4 \cdot \dfrac{(b-7)^3}{b+1}\)
- Contestar
-
\((b+1)^3(b-7)^3\)
\((b^2 + 2)^3 \cdot \dfrac{b-3}{(b^2 + 2)^2}\)
\((x^3 - 7)^4 \cdot \dfrac{x^2 - 1}{(x^3-7)^2}\)
- Contestar
-
\((x^3-7)^2(x+1)(x-1)\)
\((x-5) \div \dfrac{x-5}{x-2}\)
\((y-2) \div \dfrac{y-2}{y-1}\)
- Contestar
-
\((y−1)\)
\((y + 6)^3 \div \dfrac{(y+6)^2}{y-6}\)
\((a-2b)^4 \div \dfrac{(a-2b)^2}{a+b}\)
- Contestar
-
\((a-2b)^2(a+b)\)
\(\dfrac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 4x + 3} \cdot \dfrac{x^2 - 2x - 3}{2x + 2}\)
\(\dfrac{6x - 42}{x^2 - 2x - 3} \cdot \dfrac{x^2 - 1}{x - 7}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{6(x-1)}{(x-3)}\)
\(\dfrac{3a + 3b}{a^2 - 4a - 5} \div \dfrac{9a + 9b}{a^2 - 3a - 10}\)
\(\dfrac{a^2 - 4a - 12}{a^2 - 9} \div \dfrac{a^2 - 5a - 6}{a^2 + 6a + 9}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{(a+2)(a+3)}{(a-3)(a+1)}\)
\(\dfrac{b^2 - 5b + 6}{b^2 - b - 2} \cdot \dfrac{b^2 - 2b - 3}{b^2 - 9b + 20}\)
\(\dfrac{m^2 - 4m + 3}{m^2 + 5m - 6} \cdot \dfrac{m^2 + 4m - 12}{m^2 - 5m + 6}\)
- Contestar
-
\(1\)
\(\dfrac{r^2 + 7r + 10}{r^2 - 2r - 8} \div \dfrac{r^2 + 6r + 5}{r^2 - 3r - 4}\)
\(\dfrac{2a^2 + 7a + 3}{3a^2 - 5a - 2} \cdot \dfrac{a^2 - 5a + 6}{a^2 + 2a - 3}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{(2a + 1)(a - 6)(a + 1)}{(3a + 1)(a - 1)(a - 2)}\)
\(\dfrac{6x^2 + x - 2}{2x^2 + 7x - 4} \cdot \dfrac{x^2 + 2x - 12}{3x^2 - 4x - 4}\)
\(\dfrac{x^3y - x^2y^2}{x^2y - y^2} \cdot \dfrac{x^2 - y}{x - xy}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{x(x-y)}{1-y}\)
\(\dfrac{4a^3b - 4a^2b^2}{15a - 10} \cdot \dfrac{3a - 2}{4ab - 2b^2}\)
\(\dfrac{x+3}{x - 4} \cdot \dfrac{x - 4}{x + 1} \cdot \dfrac{x - 2}{x + 3}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{x - 2}{x + 1}\)
\(\dfrac{x - 7}{x + 8} \cdot \dfrac{x + 1}{x - 7} \cdot \dfrac{x + 8}{x - 2}\)
\(\dfrac{2a - b}{a + b} \cdot \dfrac{a + 3b}{a - 5b} \cdot \dfrac{a - 5b}{2a - b}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{a + 3b}{a + b}\)
\(\dfrac{3a(a + 1)^2}{a - 5} \cdot \dfrac{6(a - 5)^2}{5a + 5} \cdot \dfrac{15a + 30}{4a - 20}\)
\(\dfrac{-3a^2}{4b} \cdot \dfrac{-8b^3}{15a}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{2ab^2}{5}\)
\(\dfrac{-6x^3}{5y^2} \cdot \dfrac{20y}{-2x}\)
\(\dfrac{-8x^2y^3}{-5x} \div \dfrac{4}{-15xy}\)
- Contestar
-
\(-6x^2y^4\)
\(\dfrac{-4a^3}{3b} \div \dfrac{2a}{6b^2}\)
\(\dfrac{-3a - 3}{2a + 2} \cdot \dfrac{a^2 - 3a + 2}{a^2 - 5a - 6}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{-3(a-2)(a-1)}{2(a-6)(a+1)}\)
\(\dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 - 3x - 4} \cdot \dfrac{-x^2 + 2x + 3}{-4x - 8}\)
\(\dfrac{-5x - 10}{x^2 - 4x + 3} \cdot \dfrac{x^2 + 4x + 1}{x^2 + x - 2}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{-5(x^2 + 4x + 1)}{(x-3)(x-1)^2}\)
\(\dfrac{-a^2 - 2a + 15}{-6a - 12} \div \dfrac{a^2 - 2a - 8}{-2a - 10}\)
\(\dfrac{-b^2 - 5b + 14}{3b - 6} \div \dfrac{-b^2 - 9b - 14}{-b + 8}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{-(b - 8)}{3(b + 2)}\)
\(\dfrac{3a + 6}{4a - 24} \cdot \dfrac{6 - a}{3a + 15}\)
\(\dfrac{4x + 12}{x- 7} \cdot \dfrac{7 - x}{2x - 2}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{-2(x+3)}{(x+1)}\)
\(\dfrac{-2x - 2}{b^2 + b - 6} \cdot \dfrac{-b +2}{b +5}\)
\(\dfrac{3x^2 - 6x - 9}{2x^2 - 6x - 4} \div \dfrac{3x^2 - 5x - 2}{6x^2 - 7x - 3}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{3(x-3)(x+1)(2x-3)}{2(x^2-3x-2)(x-2)}\)
\(\dfrac{-2b^2 - 2b + 4}{8b^2 - 28b - 16} \div \dfrac{b^2 - 2b + 1}{2b^2 - 5b - 3}\)
\(\dfrac{x^2 + 4x + 3}{x^2 + 5x + 4} \div (x + 3)\)
- Contestar
-
\(\dfrac{(x+4)(x-1)}{(x+3)(x^2 - 4x - 3)}\)
\(\dfrac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4x + 3} \div (x-3)\)
\(\dfrac{3x^2 - 21x + 18}{x^2 + 5x + 6} \div (x + 2)\)
- Contestar
-
\(\dfrac{3(x - 6)(x - 1)}{(x+2)^2(x+3)}\)
Ejercicios para revisión
Si\(a < 0\), entonces\(|a| = \).
Clasificar el polinomio\(4xy+2y\) como monomio, binomio o trinomio. Exponer su grado y escribir el coeficiente numérico de cada término.
- Contestar
-
binomio; 2; 4, 2
Encuentra el producto:\(y^2(2y - 1)(2y + 1)\)
Traducir la frase “cuatro menos de dos veces algún número es dos más que el número” en una ecuación.
- Contestar
-
\(2x−4=x+2\)
Reducir la fracción\(\dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}\)