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8.5: Construyendo expresiones racionales y la pantalla LCD

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    112185
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    El Proceso

    Recordemos, de la Sección 8.2 la propiedad de igualdad de fracciones.

    Propiedad de Igualdad de Fracciones

    Si\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), entonces\(ad = bc\).

    Utilizando el hecho de que\(1 = \dfrac{b}{b}, b \not = 0\), y esa\(1\) es la identidad multiplicativa, se deduce que si\(\dfrac{P}{Q}\) es una expresión racional, entonces

    \(\dfrac{P}{Q} \cdot \dfrac{b}{b} = \dfrac{Pb}{Qb}, b \not = 0\)

    Esta ecuación afirma que una expresión racional puede transformarse en una expresión racional equivalente multiplicando tanto el numerador como el denominador por el mismo número distinto de cero.

    Proceso de Construcción de Expresiones Racionales

    Este proceso es conocido como el proceso de construcción de expresiones racionales y es exactamente lo contrario de reducir expresiones racionales. El proceso se muestra en estos ejemplos:

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    \(\dfrac{3}{4}\)se puede construir\(\dfrac{12}{16}\) desde:

    \(\dfrac{3}{4} \cdot 1 = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{4} = \dfrac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \dfrac{12}{16}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    \(\dfrac{-4}{5}\)se puede construir\(\dfrac{-8}{10}\) desde

    \(\dfrac{-4}{5} \cdot 1 = \dfrac{-4}{5} \cdot \dfrac{2}{2} = \dfrac{-4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \dfrac{-8}{10}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    \(\dfrac{3}{7}\)se puede construir\(\dfrac{3xy}{7xy}\) desde

    \(\dfrac{3}{7} \cdot 1 = \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{xy}{xy} = \dfrac{3xy}{7xy}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    \(\dfrac{4a}{3b}\)se puede construir\(\dfrac{4a^2(a+1)}{3ab(a+1)}\) desde:

    \(\dfrac{4a}{3b} \cdot 1 = \dfrac{4a}{3b} \cdot \dfrac{a(a + 1)}{a(a+1)} = \dfrac{4a^2(a + 1)}{3ab(a + 1)}\).

    Supongamos que se nos da una expresión racional\(\dfrac{P}{Q}\) y deseamos construirla en una expresión racional con denominador\(Qb^2\), es decir,

    \(\dfrac{P}{Q} \rightarrow \dfrac{?}{Qb^2}\)

    Ya que cambiamos el denominador, ciertamente debemos cambiar el numerador de la misma manera. Para determinar cómo cambiar el numerador necesitamos saber cómo se cambió el denominador. Dado que una expresión racional se construye en otra expresión equivalente por multiplicación por 1, el primer denominador debe haber sido multiplicado por alguna cantidad. Observación de

    \(\dfrac{P}{Q} \rightarrow \dfrac{?}{Qb^2}\)

    nos dice que\(Q\) se multiplicó por\(b^2\). De ahí que debemos multiplicar el numerador\(P\) por\(b^2\). Así

    \(\dfrac{P}{Q} \rightarrow \dfrac{Pb^2}{Qb^2}\)

    Muy a menudo una simple comparación del denominador original con el nuevo denominador nos dirá el factor que se está utilizando. Sin embargo, habrá momentos en que el factor no esté claro por simple observación. Necesitamos un método para encontrar el factor.

    Observe los siguientes ejemplos; luego intente especular sobre el método.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{?}{20}\)

    El denominador original 4 se multiplicó por 5 para dar 20. ¿Qué proceso aritmético dará 5 usando 4 y 20?

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    \(\dfrac{9}{10} = \dfrac{?}{10y}\)

    El denominador original 10 se multiplicó por\(y\) para rendir\(10y\).

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    \(dfrac{-6xy}{2a^3b} = \dfrac{?}{16a^5b^3}\)

    El denominador original\(2a^3b\) se multiplicó por\(8a^2b^2\) para dar\(16a^5b^3\)

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    \(\dfrac{5ax}{(a+1)^2} = \dfrac{?}{4(a+1)^2(a-2)}\)

    Para determinar la cantidad por la que se multiplicó el denominador original para dar el nuevo denominador, preguntamos: “¿Por qué multiplicé el denominador original para obtener el nuevo denominador?” Encontramos este factor dividiendo el denominador original en el nuevo denominador.

    Es precisamente esta cantidad por la que multiplicamos el numerador para construir la expresión racional.

    Conjunto de Muestras A

    Determinar N en cada uno de los siguientes problemas.

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

    \(\dfrac{8}{3} = \dfrac{N}{15}\)

    El denominador original es\(3\) y el nuevo denominador es\(15\). Divide el denominador original en el nuevo denominador y multiplica el numerador\(8\) por este resultado. \(15÷3=5\)Entonces,\(8 \cdot 5=40\). Entonces,

    \(\dfrac{8}{3} = \dfrac{40}{15}\)y\(N = 40\).

    Verificar reduciendo\(\dfrac{40}{15}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

    \(\dfrac{2x}{5b^2y} = \dfrac{N}{20b^5y^4}\)

    El denominador original es\(5b^2y\) y el nuevo denominador es\(20b^5y^4\). Divide el denominador original en el nuevo denominador y multiplica el numerador\(2x\) por este resultado.

    \(\dfrac{20b^5y^4}{5b^2y} = 4b^3y^3\)

    Entonces,\(2x \cdot 4b^3y^3 = 8b^3xy^3\). Así,

    \(\dfrac{2x}{5b^2y} = \dfrac{8b^3xy^3}{20b^5y^4}\)y\(N = 8b^3xy^3\).

    Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

    \(\dfrac{-6a}{a+2} = \dfrac{N}{(a+2)(a-7)}\)

    El nuevo denominador dividido por el denominador original es

    \(\dfrac{(a+2)(a-7)}{a+2} = a-7\)

    Multiplicar\(-6a\) por\(a-7\).

    \(-6a(a-7) = -6a^2 + 42a\)

    \(\dfrac{-6a}{a+2} = \dfrac{-6a^2 + 42a}{(a+2)(a-7)}\)y\(N = -6a^2 + 42a\)

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

    \(\dfrac{-3(a-1)}{a-4} = \dfrac{N}{a^2 - 16}\).

    El nuevo denominador dividido por el denominador original es

    \(\dfrac{a^2-16}{a-4} = \dfrac{(a+4)\cancel{(a-4)}}{\cancel{a-4}}\)

    Multiplicar\(-3(a-1)\) por\(a + 4\)

    \(-3(a-1)(a+4) = -3(a^2 + 3a - 4)\)

    \( = -3a^2 - 9a + 12\)

    \(\dfrac{-3(a-1)}{a-4} = \dfrac{-3a^2 - 9a + 12}{a^2 - 16}\)y\(N = -3a^2 - 9a + 12\)

    Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

    \ (\ begin {array} {flushleft}
    7x&=\ dfrac {N} {x^2y^3} &\ text {Escribir} 7x\ text {as}\ dfrac {7x} {1}\
    \ dfrac {7x} {1} &=\ dfrac {N} {x^2y^3} &\ text {Ahora podemos ver claramente eso el denominador original}\\
    && 1\ text {se multiplicó por} x^2y^3. \ text {Necesitamos multiplicar el}\\
    &&\ text {numerador} 7x\ text {por} x^2y^3\\
    7x&=\ dfrac {7x\ cdot x^2y^3} {x^2y^3}
    \ end {array}\)

    \(7x = \dfrac{7x^3y^3}{x^2y^3} \text{ and } N = 7x^3y^3\)

    Ejemplo\(\PageIndex{14}\)

    \ (\ begin {array} {flushleft}
    \ dfrac {5x} {x+3} &=\ dfrac {5x^2-20x} {N} &\ text {El mismo proceso funciona en este caso. Divide el original}\\
    &&\ text {numerador} 5x\ text {en el nuevo numerador} 5x^2 - 20x\
    \ dfrac {5x^2 - 20x} {5x} &=\ dfrac {\ cancel {5x} (x-4)} {\ cancel {5x}}\\
    &=x-4\
    \ end {array}\)

    \((x+3)(x-4) \text{ Multiply the denominator by } x-4\)

    \(\dfrac{5x}{x+3} = \dfrac{5x^2-20}{(x+3)(x-4)} \text{ and } N = 5x^2 - 20\)

    Ejemplo\(\PageIndex{15}\)

    \ (\ begin {array} {flushleft}
    \ dfrac {4x} {3-x} &=\ dfrac {N} {x-3} &\ text {Los dos denominadores tienen casi los mismos términos; cada uno tiene}\\
    &&\ text {El signo opuesto. Factor} -1\ texto {del denominador original}\\
    3-x &= -1 (-3+x)\\
    &=- (x-3)\\
    \ end {array}\)

    \(\dfrac{4x}{3-x} = \dfrac{4x}{-(x-3)} = \dfrac{-4x}{x-3} \text{ and } N = -4x\)

    Es importante señalar que factorizamos\(−1\) a partir del denominador original. No lo multiplicamos por\(−1\). Si hubiéramos multiplicado sólo el denominador por\(−1\) habríamos tenido que multiplicar el numerador por\(−1\) también.

    Conjunto de práctica A

    Determinar N.

    Problema de práctica\(\PageIndex{1}\)

    \(\dfrac{3}{8} = \dfrac{N}{48}\)

    Responder

    \(N=18\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{2}\)

    \(\dfrac{9a}{5b} = \dfrac{N}{35b^2x^3}\)

    Responder

    \(N = 63abx^3\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{3}\)

    \(\dfrac{-2y}{y-1} = \dfrac{N}{y^2 - 1}\)

    Responder

    \(N = -2y^2 - 2y\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{4}\)

    \(\dfrac{a+7}{a-5} = \dfrac{N}{a^2 - 3a - 10}\)

    Responder

    \(N = a^2 + 9a + 14\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{5}\)

    \(4a = \frac{N}{6a^3(a-1)}\)

    Responder

    \(N = 24a^4(a-1)\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{6}\)

    \(-2x = \dfrac{N}{8x^3y^3z^5}\)

    Responder

    \(N = -16x^4y^3z^5\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{7}\)

    \(\dfrac{6ab}{b+3} = \dfrac{N}{b^2 + 6b + 9}\)

    Responder

    \(N = 6ab^2 + 18ab\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{8}\)

    \(\dfrac{3m}{m+5} = \dfrac{3m^2 - 18m}{N}\)

    Responder

    \(N = m^2 - m - 30\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{9}\)

    \(\dfrac{-2r^2}{r-3} = \dfrac{-2r^3 + 8r^2}{N}\)

    Responder

    \(N = r^2 - 7r + 12\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{10}\)

    \(\dfrac{-8ab^2}{a-4} = \dfrac{N}{4-a}\)

    Responder

    \(N = 8ab^2\)

    La razón para construir expresiones racionales

    Construyendo expresiones racionales

    Normalmente, cuando escribimos una expresión racional, la escribimos en forma reducida. La razón para construir expresiones racionales es hacer que la suma y resta de expresiones racionales sea conveniente (más simple).

    Para sumar o restar dos o más expresiones racionales deben tener el mismo denominador.

    Construir expresiones racionales nos permite transformar fracciones en fracciones con los mismos denominadores (que luego podemos sumar o restar). El nuevo denominador más conveniente es el mínimo común denominador (LCD) de las fracciones dadas.

    El mínimo denominador común (LCD)

    En aritmética, el mínimo denominador común es la menor (menor) cantidad en la que se dividirá cada uno de los denominadores dados sin un resto. Para expresiones algebraicas, la LCD es el polinomio de menor grado divisible por cada denominador. A continuación se muestran algunos ejemplos.

    Ejemplo\(\PageIndex{16}\)

    \(\dfrac{3}{4}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{5}{12}\)

    El LCD es 12 ya que 12 es el número más pequeño en el que 4, 6 y 12 dividirán sin un resto.

    Ejemplo\(\PageIndex{17}\)

    \(\dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{6}, \dfrac{5}{8}, \dfrac{7}{12}\)

    El LCD es 24 ya que 24 es el número más pequeño en el que 3, 6, 8 y 12 dividirán sin un resto.

    Ejemplo\(\PageIndex{18}\)

    \(\dfrac{2}{x}, \dfrac{3}{x^2}\)

    El LCD es\(x^2\) ya que\(x^2\) es la cantidad más pequeña que\(x\) y\(x^2\) se dividirá en sin un resto.

    Ejemplo\(\PageIndex{19}\)

    \(\dfrac{5a}{6a^2b}, \dfrac{3a}{8ab^3}\)

    El LCD es\(24a^2b^3\) ya que\(24a^2b^3\) es la cantidad más pequeña que\(6a^2b\) y\(8ab^3\) se dividirá en sin un resto.

    Ejemplo\(\PageIndex{20}\)

    \(\dfrac{2y}{y-6}, \dfrac{4y^2}{(y-6)^3}, \dfrac{y}{y-1}\)

    El LCD es\((y-6)^3(y-1)\) ya que\((y-6)^3 \cdot (y-1)\) es la cantidad más pequeña que\(y-6, (y-6)^3\), y\(y-1\) se dividirá en sin un resto

    Ahora propondremos y demostraremos un método para obtener la LCD.

    Método para la obtención de la pantalla LCD
    1. Factorial cada denominador. Usa exponentes para factores repetidos. Por lo general, no es necesario factorizar las cantidades numéricas.
    2. Anote cada factor diferente que aparezca. Si un factor aparece más de una vez, use solo el factor con el exponente más alto.
    3. El LCD es producto de los factores escritos en el paso 2.

    Conjunto de Muestras B

    Encuentra la pantalla LCD

    Ejemplo\(\PageIndex{21}\)

    \(\dfrac{1}{x}, \dfrac{3}{x^3}, \dfrac{2}{4y}\)

    1. Los denominadores ya están factorizados.

    2. Tenga en cuenta que\(x\) aparece como\(x\) y\(x^3\). Utilice sólo el\(x\) con el exponenente más alto,\(x^3\). El término\(4y\) aparece, por lo que también debemos usar\(4y\).

    3. El LCD es\(4x^3y\).

    Ejemplo\(\PageIndex{22}\)

    \(\dfrac{5}{(x-1)^2}, \dfrac{2x}{(x-1)(x-4)}, \dfrac{-5x}{x^2 -4x + 2}\)

    1. Solo es necesario tener en cuenta el tercer denominador:

    \(x^2 - 3x + 2 = (x-2)(x-1)\)

    Ahora los tres denoinadores son\((x-1)^2, (x-1)(x-4)\), y\((x-2)(x-1)\).

    2. Tenga en cuenta que\(x-1\) aparece como\((x-1)^2, x-1\), y\(x-1\). Utilice sólo el\(x-1\) con el exponente más alto,\((x-1)^2\). También aparecen son\(x-4\) y\(x-2\).

    3. El LCD es\((x-1)^2(x-4)(x-2)\).

    Ejemplo\(\PageIndex{23}\)

    \(\dfrac{-1}{6a^4}, \dfrac{3}{4a^3b}, \dfrac{1}{3a^3(b+5)}\)

    1. Los denominadores ya están factorizados.

    2. Podemos ver que el LCD de los números\(6, 4\), y\(3\) es\(12\). También necesitamos\(a^4, b\), y\(b + 5\).

    3. El LCD es\(12a^4b(b+5)\).

    Ejemplo\(\PageIndex{24}\)

    \(\dfrac{9}{x}, \dfrac{4}{8y}\)

    1. Los denominadores ya están factorizados.

    2. \(x, 8y\).

    3. El LCD es\(8xy\).

    Set de práctica B

    Encuentra la pantalla LCD.

    Problema de práctica\(\PageIndex{11}\)

    \(\dfrac{3}{x^2}, \dfrac{4}{x^5}, \dfrac{-6}{xy}\)

    Responder

    \(x^5y\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{12}\)

    \(\dfrac{x+1}{x-4}, \dfrac{x-7}{(x-4)^2}, \dfrac{-6}{x+1}\)

    Responder

    \((x-4)^2(x+1)\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{13}\)

    \(\dfrac{2}{m-6}, \dfrac{-5n}{(m+1)^2(m-2)}, \dfrac{-3x}{x^2 - 6x + 9}\)

    Responder

    \((m-6)(m+1)^2(m-2)^3\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{14}\)

    \(\dfrac{1}{x^2 - 1}, \dfrac{2}{x^2 - 2x - 3}, \dfrac{-3x}{x^2-6x+9}\)

    Responder

    \((x+1)(x-1)(x-3)^2\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{15}\)

    \(\dfrac{3}{4y^2-8y}, \dfrac{8}{y^2-4y+4}, \dfrac{10y-1}{3y^3-6y^2}\)

    Responder

    \(12y^2(y-2)^2\)

    Conjunto de Muestras C

    Cambiar las expresiones racionales dadas en expresiones racionales que tengan el mismo denominador.

    Ejemplo\(\PageIndex{25}\)

    \ (\ begin {array} {flushleft}
    \ dfrac {3} {x^2},\ dfrac {4} {x} &\ text {La pantalla LCD, por inspección, es} x^2\ text {. Reescribe cada expresión con}\\
    &x^2\ text {como el nuevo denominador.}\\
    \ dfrac {?} {x^2},\ dfrac {?} {x^2} &\ text {Determinar los numeradores. En}\ dfrac {3} {x^2}\ text {, el denominador no era}\\
    &\ text {cambiado así que no necesitamos cambiar el numerador}\\
    &\ text {En la segunda fracción, el denominador original era} x\
    \ dfrac {3} {x^2},\ dfrac {?} {x^2} &\ text {Podemos ver que} x\ text {debe ser multiplicado por} x\ text {para construirlo a} x^2\\
    &\ text {Así que también debemos multiplicar el numerador} 4\ text {por} x\ text {. Así,} 4\ cdot x = 4x. \
    \ dfrac {3} {x^2},\ dfrac {4x} {x^2}
    \ end {array}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{26}\)

    \ (\ begin {array} {flushleft}
    \ dfrac {4b} {b-1},\ dfrac {-2b} {b+3} &\ text {Por inspección, la pantalla LCD es} (b-1) (b+3)\\
    \ dfrac {?} {(b-1) (b+3)},\ dfrac {?} {(b-1) (b+3)} &\ text {El denominador de la primera expresión racional se ha multiplicado}\\
    &\ text {por} b + 3\ text {, así que el numerador} 4b\ text {debe multiplicarse por} b + 3. \\
    4b (b + 3) = 4b^2 + 12b\
    \ dfrac {4b^2 + 12b} {(b-1) (b+3)},\ dfrac {?} {(b-1) (b+3)} &\ text {El denominador de la segunda expresión racional se ha multiplicado}\\
    &\ text {por} b-1\ text {, así que el numerador} -2b\ text {debe multiplicarse por} b-1. \\
    -2b (b-1) = -2b^2 + 2b\\
    \ dfrac {4b^2 + 12b} {(b-1) (b+3)},\ dfrac {-2b^2 + 2b} {(b-1) (b+3)}
    \ end {array}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{27}\)

    \ (\ begin {array} {flushleft}
    \ dfrac {6x} {x^2 - 8x + 15},\ dfrac {-2x^2} {x^2 - 7x + 12} &\ text {Primero encontramos la LCD. Factor.} \
    \ dfrac {6x} {(x-3) (x-5)},\ dfrac {-2x^2} {(x-3) (x-4)} &\ text {La LCD es} (x-3) (x-5) (x-4)\ text {. Reescribe cada una de estas}\\
    &\ texto {fracciones con nuevo denominador} (x-3) (x-5) (x-4)\\
    \ dfrac {?} {(x-3) (x-5) (x-4)},\ dfrac {?} {(x-3) (x-5) (x-4)} &\ text {Al comparar el denominador de la primera fracción con la LCD}\\
    &\ text {vemos que debemos multiplicar el numerador} 6x\ text {por} x-4\\
    6x (x-4) = 6x^2-24x\
    \ dfrac {6x^2 - 24x} {(x-3) (x-5) (x-5) (4)},\ dfrac {?} {(x-3) (x-5) (x-4)} &\ text {Al comparar el denominador de la segunda fracción con la LCD},
    &\ text {vemos que debemos multiplicar el numerador} -2x^2\ text {por} x - 5\
    -2x^2 (x-5) = -2x^3 + 10x^2\
    \ dfrac {6x^2 - 24x} {(x-3) (x-5) (x-4)},\ dfrac {-2x^3 + 10x^2 } {(x-3) (x-5) (x-4)}
    \ end {array}\)

    Estos ejemplos se han hecho paso a paso e incluyen explicaciones. Esto hace que el proceso parezca bastante largo. En la práctica, sin embargo, el proceso es mucho más rápido.

    Ejemplo\(\PageIndex{28}\)

    \ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
    \ dfrac {6ab} {a^2-5a+4},\ dfrac {a+b} {a^2-8a+16}
    \\ dfrac {6ab} {(a-1) (a-4)},\ dfrac {a+b} {(a-4) ^2} &\ texto {LCD} = (a-1) (a-4) ^2\\
    \ dfrac {6ab (a-4)} {(a-1) (a-4) ^2},\ dfrac {(a+b) (a-1)} {(a-1) (a-4) ^2}
    \ end {array}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{29}\)

    \ (\ begin {array} {lavado-izquierda}
    \ dfrac {x+1} {x^3 + 3x^2},\ dfrac {2x} {x^3 - 4x},\ dfrac {x-4} {x^2 - 4x + 4}\
    \ dfrac {x+1} {x^2 (x + 3)},\ dfrac {2x} {x (x+2) (x-2)},\ dfrac {x-4} {(x-2) ^2} &\ texto {LCD} = x^2 (x+3) (x+2) (x-2) ^2\
    \ dfrac {(x+1) (x+2) (x+2) (x-2) ^2} {x^2 (x+3) (x+2) (x-2) ^2},\ dfrac {2x^2 (x+3) (x-2)} {x^2 (x+3) (x+2) (x-2) ^2},\ dfrac {x^2 (x+3) (x+2) (x-4)} {x^2 (x+3) (x+2) (x-2) ^2}
    \ end {array}\)

    Set de práctica C

    Cambiar las expresiones racionales dadas en expresiones racionales con los mismos denominadores.

    Problema de práctica\(\PageIndex{16}\)

    \(\dfrac{4}{x^3}, \dfrac{7}{x^5}\)

    Responder

    \(\dfrac{4x^2}{x^5}, \dfrac{7}{x^5}\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{17}\)

    \(\dfrac{2x}{x+6}, \dfrac{x}{x-1}\)

    Responder

    \(\dfrac{2x(x-1)}{(x+6)(x-1)}, \dfrac{x(x+6)}{(x+6)(x-1)}\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{18}\)

    \(\dfrac{-3}{b^2-b}, \dfrac{4b}{b^2-1}\)

    Responder

    \(\dfrac{-3(b+1)}{b(b-1)(b+1)}, \dfrac{4b^2}{b(b-1)(b+1)}\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{19}\)

    \(\dfrac{8}{x^2-x-6}, \dfrac{-1}{x^2 + x - 2}\)

    Responder

    \(\dfrac{8(x-1)}{(x-3)(x+2)(x-1)}, \dfrac{-1(x-3)}{(x-3)(x+2)(x-1)}\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{20}\)

    \(\dfrac{10x}{x^2 + 8x + 16}, \dfrac{5x}{x^2 - 16}\)

    Responder

    \(\dfrac{10x(x-4)}{(x+4)^2(x-4)}, \dfrac{5x(x+4)}{(x+4)^2(x-4)}\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{21}\)

    \(\dfrac{-2ab^2}{a^3-6a^2}, \dfrac{6b}{a^4-2a^3}, \dfrac{-2a}{a^2 - 4a + 4}\)

    Responder

    \(\dfrac{2^2b^2(a-2)^2}{a^3(a-6)(a-2)^2}, \dfrac{6b(a-6)(a-2)}{a^3(a-6)(a-2)^2}, \dfrac{-2a^4(a-6)}{a^3(a-6)(a-2)^2}\)

    Ejercicios

    Para los siguientes problemas, reemplace N por la cantidad adecuada.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    \(\dfrac{3}{x} = \dfrac{N}{x^3}\)

    Responder

    \(3x^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    \(\dfrac{4}{a} = \dfrac{N}{a^2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    \(\dfrac{-2}{x} = \dfrac{N}{xy}\)

    Responder

    \(−2y\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    \(\dfrac{-7}{m} = \dfrac{N}{ms}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    \(\dfrac{6a}{5} = \dfrac{N}{10b}\)

    Responder

    \(12ab\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    \(\dfrac{a}{3z} = \dfrac{N}{12z}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    \(\dfrac{x^2}{4y^2} = \dfrac{N}{20y^4}\)

    Responder

    \(5x^2y^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    \(\dfrac{b^3}{6a} = \dfrac{N}{18a^5}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    \(\dfrac{-4a}{5x^2y} = \dfrac{N}{15x^3y^3}\)

    Responder

    \(-12axy^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    \(\dfrac{-10z}{7a^3b} = \dfrac{N}{21a^4b^5}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    \(\dfrac{8x^2y}{5a^3} = \dfrac{N}{25a^3x^2}\)

    Responder

    \(40x^4y\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    \(\dfrac{2}{a^2} = \dfrac{N}{a^2(a-1)}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    \(\dfrac{5}{x^3} = \dfrac{N}{x^3(x-2)}\)

    Responder

    \(5(x−2)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    \(\dfrac{2a}{b^2} = \dfrac{N}{b^3-b}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    \(\dfrac{4x}{a} = \dfrac{N}{a^4-4a^2}\)

    Contestar

    \(4ax(a+2)(a−2) \)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    \(\dfrac{6b^3}{5a} = \dfrac{N}{10a^2-30a}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    \(\dfrac{4x}{3b} = \dfrac{N}{3b^5 - 15b}\)

    Contestar

    \(4x(b^4 - 5)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    \(\dfrac{2m}{m-1} = \dfrac{N}{(m-1)(m+2)}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    \(\dfrac{3s}{s + 12} = \dfrac{N}{(s + 12)(s-7)}\)

    Contestar

    \(3s(s-7)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    \(\dfrac{a+1}{a-3} = \dfrac{N}{(a-3)(a-4)}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    \(\dfrac{a+2}{a-2} = \dfrac{N}{(a-2)(a-4)}\)

    Contestar

    \((a+2)(a−4)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    \(\dfrac{b+7}{b-6} = \dfrac{N}{(b-6)(b+6)}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    \(\dfrac{5m}{2m + 1} = \dfrac{N}{(2m+1)(m-2)}\)

    Contestar

    \(5m(m−2)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

    \(\dfrac{4}{a+6} = \dfrac{N}{a^2 + 5a - 6}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    \(\dfrac{9}{b-2} = \dfrac{N}{b^2 - 6b + 8}\)

    Contestar

    \(9(b−4)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    \(\dfrac{3b}{b-3} = \dfrac{N}{b^2 - 11b + 24}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

    \(\dfrac{-2x}{x-7} = \dfrac{N}{x^2 - 4x - 21}\)

    Contestar

    \(−2x(x+3)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

    \(\dfrac{-6m}{m+6} = \dfrac{N}{m^2 + 10m + 24}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

    \(\dfrac{4y}{y+1} = \dfrac{N}{y^2 + 9y + 8}\)

    Contestar

    \(4y(y+8)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

    \(\dfrac{x + 2}{x - 2} = \dfrac{N}{x^2 - 4}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

    \(\dfrac{y-3}{y + 3} = \dfrac{N}{y^2 - 9}\)

    Contestar

    \((y-3)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

    \(\dfrac{a+5}{a-5} = \dfrac{N}{a^2 - 25}\)

    Contestar

    \((z - 4)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

    \(\dfrac{4}{2a + 1} = \dfrac{N}{2a^2 - 5a - 3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

    \(\dfrac{1}{3b - 1} = \dfrac{N}{3b^2 + 11b - 4}\)

    Contestar

    \(b+4\)

    Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

    \(\dfrac{a+2}{2a - 1} = \dfrac{N}{2a^2 + 9a - 5}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

    \(\dfrac{-3}{4x + 3} = \dfrac{N}{4x^2 - 13x - 12}\)

    Contestar

    \(−3(x−4)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

    \(\dfrac{b+2}{3b - 1} = \dfrac{N}{6b^2 + 7b - 3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

    \(\dfrac{x - 1}{4x - 5} = \dfrac{N}{12x^2 - 11x - 5}\)

    Contestar

    \((x−1)(3x+1)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{39}\)

    \(\dfrac{3}{x + 2} = \dfrac{3x - 21}{N}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{40}\)

    \(\dfrac{4}{y + 6} = \dfrac{4y + 8}{N}\)

    Contestar

    \((y+6)(y+2)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{41}\)

    \(\dfrac{-6}{a - 1} = \dfrac{-6a - 18}{N}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{42}\)

    \(\dfrac{-8a}{a+3} = \dfrac{-8a^2 - 40a}{N}\)

    Contestar

    \((a+3)(a+5)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{43}\)

    \(\dfrac{y+1}{y-8} = \dfrac{y^2 - 2y - 3}{N}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{44}\)

    \(\dfrac{x - 4}{x + 9} = \dfrac{x^2 + x - 20}{N}\)

    Contestar

    \((x+9)(x+5)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{45}\)

    \(\dfrac{3x}{2-x} = \dfrac{N}{x-2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{46}\)

    \(\dfrac{7a}{5-a} = \dfrac{N}{a-5}\)

    Contestar

    \(-7a\)

    Ejercicio\(\PageIndex{47}\)

    \(\dfrac{-m + 1}{3 - m} = \dfrac{N}{m-3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{48}\)

    \(\dfrac{k + 6}{10 - k} = \dfrac{N}{k- 10}\)

    Contestar

    \(−k−6\)

    Ejercicio\(\PageIndex{49}\)

    \(\dfrac{2}{a^2} = \dfrac{N}{a^2(a-1)}\)

    Para los siguientes problemas, convertir las expresiones racionales dadas en expresiones racionales que tengan los mismos denominadores.

    Ejercicio\(\PageIndex{50}\)

    \(\dfrac{2}{a}, \dfrac{3}{a^4}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{51}\)

    \(\dfrac{5}{b^2}, \dfrac{4}{b^3}\)

    Contestar

    \(\dfrac{5b}{b^3}, \dfrac{4}{b^3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{52}\)

    \(\dfrac{8}{z}, \dfrac{3}{4z^3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{53}\)

    \(\dfrac{9}{x^2}, \dfrac{1}{4x}\)

    Contestar

    \(\dfrac{36}{4x^2}, \dfrac{x}{4x^2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{54}\)

    \(\dfrac{2}{a+3}, \dfrac{4}{a+1}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{55}\)

    \(\dfrac{2}{x + 5}, \dfrac{4}{x-5}\)

    Contestar

    \(\dfrac{2(x-5)}{(x+5)(x-5)}, \dfrac{4(x+5)}{(x+5)(x-5)}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{56}\)

    \(\dfrac{1}{x-7}, \dfrac{4}{x-1}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{57}\)

    \(\dfrac{10}{y+2}, \dfrac{1}{y+8}\)

    Contestar

    \(\dfrac{10(y+8)}{(y+2)(y+8)}, \dfrac{y+2}{(y+2)(y+8)}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{58}\)

    \(\dfrac{4}{a^2}, \dfrac{a}{a+4}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{59}\)

    \(\dfrac{-3}{b^2}, \dfrac{b^2}{b+5}\)

    Contestar

    \(\dfrac{-3(b+5)}{b^2(b+5)}, \dfrac{b^4}{b^2(b+5)}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{60}\)

    \(\dfrac{-6}{b-1}, \dfrac{5b}{4b}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{61}\)

    \(\dfrac{10a}{a-6}, \dfrac{2}{a^2 - 6a}\)

    Contestar

    \(\dfrac{10a^2}{a(a-6)}, \dfrac{2}{a(a-6)}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{62}\)

    \(\dfrac{4}{x^2 + 2x}, \dfrac{1}{x^2 - 4}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{63}\)

    \(\dfrac{x+1}{x^2 - x - 6}, \dfrac{x+4}{x^2 + x - 2}\)

    Contestar

    \(\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x+2)(x-3)}, \dfrac{(x+4)(x-3)}{(x-1)(x+2)(x-3)}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{64}\)

    \(\dfrac{x-5}{x^2 - 9x + 20}, \dfrac{4}{x^2 - 3x - 10}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{65}\)

    \(\dfrac{-4}{b^2 + 5b - 6}, \dfrac{b+6}{b^2 - 1}\)

    Contestar

    \(\dfrac{-4(b +1)}{(b+1)(b-1)(b + 6)}, \dfrac{(b+6)^2}{(b+1)(b-1)(b+6)}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{66}\)

    \(\dfrac{b+2}{b^2 + 6b + 8}, \dfrac{b-1}{b^2 + 8b + 12}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{67}\)

    \(\dfrac{x+7}{x^2 - 2x - 3}, \dfrac{x+3}{x^2 - 6x - 7}\)

    Contestar

    \(\dfrac{(x+7)(x-7)}{(x+1)(x-3)(x-7)}, \dfrac{(x+3)(x-3)}{(x+1)(x-3)(x-7)}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{68}\)

    \(\dfrac{2}{a^2 + a}, \dfrac{a+3}{a^2 - 1}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{69}\)

    \(\dfrac{x-2}{x^2 + 7x + 6}, \dfrac{2x}{x^2 + 4x - 12}\)

    Contestar

    \(\dfrac{(x-2)^2}{(x+1)(x-2)(x+6)}, \dfrac{2x(x+1)}{(x+1)(x-2)(x+6)}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{70}\)

    \(\dfrac{x-2}{2x^2 + 5x - 3}, \dfrac{x-1}{5x^2 + 16x + 3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{71}\)

    \(\dfrac{2}{x-5}, \dfrac{-3}{5-x}\)

    Contestar

    \(\dfrac{2}{x-5}, \dfrac{3}{x-5}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{72}\)

    \(\dfrac{4}{a-6}, \dfrac{-5}{6-a}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{73}\)

    \(\dfrac{6}{2-x}, \dfrac{5}{x-2}\)

    Contestar

    \(\dfrac{-6}{x-2}, \dfrac{5}{x-2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{74}\)

    \(\dfrac{k}{5-k}, \dfrac{3k}{k-5}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{75}\)

    \(\dfrac{2m}{m-8}, \dfrac{7}{8-m}\)

    Contestar

    \(\dfrac{2m}{m-8}, \dfrac{-7}{m-8}\)

    Ejercicios para revisión

    Ejercicio\(\PageIndex{76}\)

    Factor\(m^2x^3 + mx^2 + mx\)

    Ejercicio\(\PageIndex{77}\)

    Factor\(y^2 - 10y + 21\)

    Contestar

    \((y−7)(y−3)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{78}\)

    Escribe la ecuación de la línea que pasa por los puntos (1, 1) y (4, −2). Expresar la ecuación en forma de pendiente-intercepción.

    Ejercicio\(\PageIndex{79}\)

    Reducir\(\dfrac{y^2 - y - 6}{y-3}\)

    Contestar

    \(y+2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{80}\)

    Encuentra el cociente. \(\dfrac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - x - 6} \div \dfrac{x^2 + 2x - 15}{x^2 + 2x}\)


    This page titled 8.5: Construyendo expresiones racionales y la pantalla LCD is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Denny Burzynski & Wade Ellis, Jr. (OpenStax CNX) .