10.3: Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización
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Método de factorización
Para resolver ecuaciones cuadráticas por factorización, debemos hacer uso de la propiedad de factor cero.
- Establecer la ecuación igual a cero, es decir, obtener todos los términos distintos de cero en un lado del signo igual y 0 en el otro.
\(ax^2 + bx + c = 0\) - Factorizar la expresión cuadrática.
\(()() = 0\) - Por la propiedad de factor cero, al menos uno de los factores debe ser cero, así, establecer cada uno de los factores igual a 0 y resolver para la variable.
Conjunto de Muestras A
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas. (Mostraremos el cheque por problema 1.)
\ (\ begin {array} {lavadoizquierdo}
x^2 - 7x + 12 &= 0 & & &\ text {La ecuación ya está establecida igual a} 0\\
(x-3) (x-4) &= 0 & & &\ text {Factor. Establezca cada factor igual a} 0. \\
x-3 &= 0 &\ texto {o} x - 4 &= 0\\
x &= 3 &\ texto {o} x &= 4
\ end {array}\)
Comprobar:
Si\(x = 3, x^2 - 7x + 12 = 0\)
\ (\ begin {array} {ruedado}
3^2 - 7\ cdot 3 + 12 & = 0 &\ text {¿Es esto correcto?} \\
9 - 21 + 12 &= 0 &\ text {¿Es esto correcto?} \\
0 &= 0 &\ text {Sí, ¿esto es correcto?}
\ end {array}\)
Comprobar: Si\(x = 4, x^2 - 7x + 12 = 0\)
\ (\ begin {array} {ruedado}
4^2 - 7\ cdot 4 + 12 &= 0 &\ text {¿Es esto correcto?} \\
16 - 28 + 12 &= 0 &\ text {¿Es esto correcto?} \\
0 &= 0 &\ text {Sí, esto es correcto}
\ end {array}\)
Así, las soluciones a esta ecuación son\(x = 3, 4\).
\ (\ begin {array} {ruedado}
x^2 &= 25 &\ text {Establecer la ecuación igual a} 0\\
x^2 - 25 &= 0 &\ text {Factor.} \\
(x+5) (x-5) &= 0 &\ text {Establecer cada factor igual a} 0\\
x+5=0 &\ text {o} & x - 5 = 0\\
x = -5 &\ text {o} & x=5\
\ end {array}\)
Así, las soluciones a esta ecuación son\(x = 5, -5\).
\ (\ begin {array} {ruedado}
x^2 &= 2x &\ text {Establecer la ecuación igual a} 0\\
x^2 - 2x &= 0 &\ text {Factor.} \\
x (x-2) &&\ text {Establecer cada factor igual a} 0\\
x=0 &\ text {o} & x-2=0\\
&& x=2
\ end {array}\)
Así, las soluciones a esta ecuación son\(x = 0, 2\)
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
2x^2 + 7x - 15 &= 0 &\ text {Factor.} \\
(2x - 3) (x+5) &= 0 &\ text {Establecer cada factor igual a} 0\\
2x-3=0 &\ text {o} & x + 5 = 0\\
2x=3 &\ text {o} & x=-5\
x=\ dfrac {3} {2}
\ end {array}\)
Así, las soluciones a esta ecuación son\(x = \dfrac{3}{2}, -5\).
\(63x^2 = 13x + 6\)
\ (\ begin {array} {ruedado}
63x^2 - 13x - 6 &= 0\\
(9x + 2) (7x - 3) &= 0\\
9x + 2 = 0 &\ text {o} & 7x - 3 = 0\\
9x = -2 &\ text {o} & 7x = 3\\
x=\ dfrac {-2} {9} &\ texto {o} & x =\ dfrac {3} {7}
\ end {array}\)
Así, las soluciones a esta equiación son\(x = \dfrac{-2}{9}, \dfrac{3}{7}\)
Conjunto de práctica A
Resuelve las siguientes ecuaciones, si es posible.
\((x−7)(x+4)=0\)
- Responder
-
\(x=7, −4\)
\((2x+5)(5x−7)=0\)
- Responder
-
\(x = \dfrac{-5}{2}, \dfrac{7}{5}\)
\(x^2 + 2x - 24 = 0\)
- Responder
-
\(x=4, −6\)
\(6x^2 + 13x - 5 = 0\)
- Responder
-
\(x = \dfrac{1}{3}, \dfrac{-5}{2}\)
\(5y^2 + 2y = 3\)
- Responder
-
\(y = \dfrac{3}{5}, -1\)
\(m(2m - 11) = 0\)
- Responder
-
\(m = 0, \dfrac{11}{2}\)
\(6p^2 = -(5p + 1)\)
- Responder
-
\(p = \dfrac{-1}{3}, \dfrac{-1}{2}\)
\(r^2 - 49 = 0\)
- Responder
-
\(r=7,−7\)
Resolviendo mentalmente después del factoring
Consideremos los problemas 4 y 5 del Conjunto de Muestras A con más detalle. Veamos particularmente las factorizaciones\((2x-3)(x + 5) = 0\) y\((9x + 2)(7x - 3) = 0\)/El siguiente paso es establecer cada factor igual a cero y resolver. Podemos resolver mentalmente si entendemos cómo resolver ecuaciones lineales: transponemos la constante del término variable y luego dividimos por el coeficiente de la variable.
Conjunto de Muestras B
Resuelve mentalmente la siguiente ecuación.
\((2x - 3)(x + 5) = 0\)
\ (\ begin {array} {lavadoizquierdo}
2x - 3 &= 0 &\ text {Añadir mentalmente} 3\ texto {a ambos lados. El signo de cambios constantes.} \\
2x &= 3 &\ text {Dividir por} 2\ text {el coeficiente de} x\ text {. El} 2\ text {divide el cosntante} 3\ text {en}\ dfrac {3} {2}\\
& &\ text {El coeficiente se convierte en el denominador.} \\
x &=\ dfrac {3} {2}\\
x + 5 &= 0 &\ text {restar mentalmente} 5\ texto {de ambos lados. El signo de cambios constantes.} \\
x &= -5 &\ text {Dividir por el coeficiente de} x, 1. \ text {El coeficiente se convierte en el denominador}\\
x =\ dfrac {-5} {1} &= -5\\
x &= -5
\ end {array}\)
Ahora, podemos escribir inmediatamente la solución a la ecuación después de factorizar mirando cada factor, cambiando el signo de la constante, luego dividirlo por el coeficiente.
Set de práctica B
Resuelve\((9x + 2)(7x - 3) = 0\) usando este método mental.
- Responder
-
\(x = -\dfrac{2}{9}, \dfrac{3}{7}\)
Ejercicios
Para los siguientes problemas, resolver las ecuaciones, si es posible.
\((x+1)(x+3)=0\)
- Responder
-
\(x=−1, −3\)
\((x+4)(x+9)=0\)
\((x−5)(x−1)=0\)
- Responder
-
\(x=1, 5\)
\((x−6)(x−3)=0\)
\((x−4)(x+2)=0\)
- Responder
-
\(x=−2, 4\)
\((x+6)(x−1)=0\)
\((2x+1)(x−7)=0\)
- Responder
-
\(x = -\dfrac{1}{2}, 7\)
\((3x+2)(x−1)=0\)
\((4x+3)(3x−2)=0\)
- Responder
-
\(x = -\dfrac{3}{4}, \dfrac{2}{3}\)
\((5x−1)(4x+7)=0\)
\((6x+5)(9x−4)=0\)
- Responder
-
\(x = -\dfrac{5}{6}, \dfrac{4}{9}\)
\((3a+1)(3a−1)=0\)
\(x(x+4)=0\)
- Responder
-
\(x=−4, 0\)
\(y(y−5)=0\)
\(y(3y−4)=0\)
- Responder
-
\(y = 0, \dfrac{4}{3}\)
\(b(4b+5)=0\)
\(x(2x+1)(2x+8)=0\)
- Responder
-
\(x = -4, -\dfrac{1}{2}, 0\)
\(y(5y+2)(2y−1)=0\)
\((x-8)^2 = 0\)
- Responder
-
\(x=8\)
\((x-2)^2 = 0\)
\((b + 7)^2 = 0\)
- Responder
-
\(b=−7\)
\((a + 1)^2\)
\((x(x-4)^2 = 0\)
- Responder
-
\(x=0, 4\)
\(y(y + 9)^2 = 0\)
\(y(y-7)^2 = 0\)
- Responder
-
\(y=0, 7\)
\(y(y + 5)^2 = 0\)
\(x^2 - 4 = 0\)
- Responder
-
\(x=−2, 2\)
\(x^2 + 9 = 0\)
\(x^2 + 36\)
- Responder
-
no hay solución
\(x^2 - 25 = 0\)
\(a^2 - 100 = 0\)
- Responder
-
\(a=−10, 10\)
\(a^2 - 81 = 0\)
\(b^2 - 49 = 0\)
- Responder
-
\(b=7, −7\)
\(y^2 - 1 = 0\)
\(3a^2 - 75 = 0\)
- Responder
-
\(a=5, −5\)
\(5b^2 - 20 = 0\)
\(y^3 - y = 0\)
- Responder
-
\(y=0, 1, −1\)
\(a^2 = 9\)
\(b^2 = 4\)
- Responder
-
\(b=2, −2\)
\(b^2 = 1\)
\(a^2 = 36\)
- Responder
-
\(a=6, −6\)
\(3a^2 = 12\)
\(-2x^2 = -4\)
- Responder
-
\(x = \sqrt{2}, -\sqrt{2}\)
\(-2a^2 = -50\)
\(-7b^2 = -63\)
- Responder
-
\(b=3, −3\)
\(-2x^2 = -32\)
\(3b^2 = 48\)
- Responder
-
\(b=4, −4\)
\(a^2 - 8a + 16 = 0\)
\(y^2 + 10y + 25 = 0\)
- Responder
-
\(y=−5\)
\(y^2 + 9y + 16 = 0\)
\(x^2 - 2x - 1 = 0\)
- Responder
-
no hay solución
\(a^2 + 6a + 9 = 0\)
\(a^2 + 4a + 4 = 0\)
- Responder
-
\(a=−2\)
\(x^2 + 12x = -36\)
\(b^2 - 14b = -49\)
- Responder
-
\(b=7\)
\(3a^2 + 18a + 27 = 0\)
\(2m^3 + 4m^2 + 2m = 0\)
- Responder
-
\(m=0, −1\)
\(3mn^2 - 36mn + 36m = 0\)
\(a^2 + 2a - 3 = 0\)
- Responder
-
\(a=−3, 1\)
\(a^2 + 3a - 10 = 0\)
\(x^2 + 9x + 14 = 0\)
- Responder
-
\(x=−7, −2\)
\(x^2 - 7x + 12 = 3\)
\(b^2 + 12b + 27 = 0\)
- Responder
-
\(b=−9, −3\)
\(b^2 - 3b + 2 = 0\)
\(x^2 - 13x = -42\)
- Responder
-
\(x=6, 7\)
\(a^3 = -8a^2 - 15a\)
\(6a^2 + 13a + 5 = 0\)
- Responder
-
\(a = -\dfrac{5}{3}, -\dfrac{1}{2}\)
\(6x^2 - 4x - 2 = 0\)
\(12a^2 + 15a + 3 = 0\)
- Responder
-
\(a = -\dfrac{1}{4}, -1\)
\(18b^2 + 24b + 6 = 0\)
\(12a^2 + 24a + 12 = 0\)
- Responder
-
\(a=−1\)
\(4x^2 - 4x = -1\)
\(2x^2 = x + 15\)
- Responder
-
\(x = -\dfrac{5}{2}, 3\)
\(4a^2 = 4a + 3\)
\(4y^2 = -4y - 2\)
- Responder
-
sin solución
\(9y^2 = 9y + 18\)
Ejercicios para revisión
Simplificar\((x^4y^3)^2(xy^2)^4\)
- Responder
-
\(x^{12}y^{14}\)
Escribe\((x^{-2}y^3w^4)^{-2}\) para que solo aparezcan exponentes positivos.
Encuentra la suma:\(\dfrac{x}{x^2 - x - 2} + \dfrac{1}{x^2 - 3x + 2}\)
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-
\(\dfrac{x^2 + 1}{(x+1)(x-1)(x-2)}\)
Simplificar\(\dfrac{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}{\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}}\)
Resolver\((x + 4)(3x + 1) = 0\)
- Responder
-
\(x = -4, \dfrac{-1}{3}\)