Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

10.3: Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización

  • Page ID
    112085
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Método de factorización

    Para resolver ecuaciones cuadráticas por factorización, debemos hacer uso de la propiedad de factor cero.

    Método de factorización
    1. Establecer la ecuación igual a cero, es decir, obtener todos los términos distintos de cero en un lado del signo igual y 0 en el otro.

      \(ax^2 + bx + c = 0\)
    2. Factorizar la expresión cuadrática.

      \(()() = 0\)
    3. Por la propiedad de factor cero, al menos uno de los factores debe ser cero, así, establecer cada uno de los factores igual a 0 y resolver para la variable.

    Conjunto de Muestras A

    Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas. (Mostraremos el cheque por problema 1.)

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    \ (\ begin {array} {lavadoizquierdo}
    x^2 - 7x + 12 &= 0 & & &\ text {La ecuación ya está establecida igual a} 0\\
    (x-3) (x-4) &= 0 & & &\ text {Factor. Establezca cada factor igual a} 0. \\
    x-3 &= 0 &\ texto {o} x - 4 &= 0\\
    x &= 3 &\ texto {o} x &= 4
    \ end {array}\)

    Comprobar:

    Si\(x = 3, x^2 - 7x + 12 = 0\)

    \ (\ begin {array} {ruedado}
    3^2 - 7\ cdot 3 + 12 & = 0 &\ text {¿Es esto correcto?} \\
    9 - 21 + 12 &= 0 &\ text {¿Es esto correcto?} \\
    0 &= 0 &\ text {Sí, ¿esto es correcto?}
    \ end {array}\)

    Comprobar: Si\(x = 4, x^2 - 7x + 12 = 0\)

    \ (\ begin {array} {ruedado}
    4^2 - 7\ cdot 4 + 12 &= 0 &\ text {¿Es esto correcto?} \\
    16 - 28 + 12 &= 0 &\ text {¿Es esto correcto?} \\
    0 &= 0 &\ text {Sí, esto es correcto}
    \ end {array}\)

    Así, las soluciones a esta ecuación son\(x = 3, 4\).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    \ (\ begin {array} {ruedado}
    x^2 &= 25 &\ text {Establecer la ecuación igual a} 0\\
    x^2 - 25 &= 0 &\ text {Factor.} \\
    (x+5) (x-5) &= 0 &\ text {Establecer cada factor igual a} 0\\
    x+5=0 &\ text {o} & x - 5 = 0\\
    x = -5 &\ text {o} & x=5\
    \ end {array}\)

    Así, las soluciones a esta ecuación son\(x = 5, -5\).

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    \ (\ begin {array} {ruedado}
    x^2 &= 2x &\ text {Establecer la ecuación igual a} 0\\
    x^2 - 2x &= 0 &\ text {Factor.} \\
    x (x-2) &&\ text {Establecer cada factor igual a} 0\\
    x=0 &\ text {o} & x-2=0\\
    && x=2
    \ end {array}\)

    Así, las soluciones a esta ecuación son\(x = 0, 2\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    \ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
    2x^2 + 7x - 15 &= 0 &\ text {Factor.} \\
    (2x - 3) (x+5) &= 0 &\ text {Establecer cada factor igual a} 0\\
    2x-3=0 &\ text {o} & x + 5 = 0\\
    2x=3 &\ text {o} & x=-5\
    x=\ dfrac {3} {2}
    \ end {array}\)

    Así, las soluciones a esta ecuación son\(x = \dfrac{3}{2}, -5\).

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    \(63x^2 = 13x + 6\)

    \ (\ begin {array} {ruedado}
    63x^2 - 13x - 6 &= 0\\
    (9x + 2) (7x - 3) &= 0\\
    9x + 2 = 0 &\ text {o} & 7x - 3 = 0\\
    9x = -2 &\ text {o} & 7x = 3\\
    x=\ dfrac {-2} {9} &\ texto {o} & x =\ dfrac {3} {7}
    \ end {array}\)

    Así, las soluciones a esta equiación son\(x = \dfrac{-2}{9}, \dfrac{3}{7}\)

    Conjunto de práctica A

    Resuelve las siguientes ecuaciones, si es posible.

    Problema de práctica\(\PageIndex{1}\)

    \((x−7)(x+4)=0\)

    Responder

    \(x=7, −4\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{2}\)

    \((2x+5)(5x−7)=0\)

    Responder

    \(x = \dfrac{-5}{2}, \dfrac{7}{5}\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{3}\)

    \(x^2 + 2x - 24 = 0\)

    Responder

    \(x=4, −6\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{4}\)

    \(6x^2 + 13x - 5 = 0\)

    Responder

    \(x = \dfrac{1}{3}, \dfrac{-5}{2}\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{5}\)

    \(5y^2 + 2y = 3\)

    Responder

    \(y = \dfrac{3}{5}, -1\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{6}\)

    \(m(2m - 11) = 0\)

    Responder

    \(m = 0, \dfrac{11}{2}\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{7}\)

    \(6p^2 = -(5p + 1)\)

    Responder

    \(p = \dfrac{-1}{3}, \dfrac{-1}{2}\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{8}\)

    \(r^2 - 49 = 0\)

    Responder

    \(r=7,−7\)

    Resolviendo mentalmente después del factoring

    Consideremos los problemas 4 y 5 del Conjunto de Muestras A con más detalle. Veamos particularmente las factorizaciones\((2x-3)(x + 5) = 0\) y\((9x + 2)(7x - 3) = 0\)/El siguiente paso es establecer cada factor igual a cero y resolver. Podemos resolver mentalmente si entendemos cómo resolver ecuaciones lineales: transponemos la constante del término variable y luego dividimos por el coeficiente de la variable.

    Conjunto de Muestras B

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Resuelve mentalmente la siguiente ecuación.

    \((2x - 3)(x + 5) = 0\)

    \ (\ begin {array} {lavadoizquierdo}
    2x - 3 &= 0 &\ text {Añadir mentalmente} 3\ texto {a ambos lados. El signo de cambios constantes.} \\
    2x &= 3 &\ text {Dividir por} 2\ text {el coeficiente de} x\ text {. El} 2\ text {divide el cosntante} 3\ text {en}\ dfrac {3} {2}\\
    & &\ text {El coeficiente se convierte en el denominador.} \\
    x &=\ dfrac {3} {2}\\
    x + 5 &= 0 &\ text {restar mentalmente} 5\ texto {de ambos lados. El signo de cambios constantes.} \\
    x &= -5 &\ text {Dividir por el coeficiente de} x, 1. \ text {El coeficiente se convierte en el denominador}\\
    x =\ dfrac {-5} {1} &= -5\\
    x &= -5
    \ end {array}\)

    Ahora, podemos escribir inmediatamente la solución a la ecuación después de factorizar mirando cada factor, cambiando el signo de la constante, luego dividirlo por el coeficiente.

    Set de práctica B

    Problema de práctica\(\PageIndex{9}\)

    Resuelve\((9x + 2)(7x - 3) = 0\) usando este método mental.

    Responder

    \(x = -\dfrac{2}{9}, \dfrac{3}{7}\)

    Ejercicios

    Para los siguientes problemas, resolver las ecuaciones, si es posible.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    \((x+1)(x+3)=0\)

    Responder

    \(x=−1, −3\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    \((x+4)(x+9)=0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    \((x−5)(x−1)=0\)

    Responder

    \(x=1,  5\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    \((x−6)(x−3)=0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    \((x−4)(x+2)=0\)

    Responder

    \(x=−2, 4\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    \((x+6)(x−1)=0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    \((2x+1)(x−7)=0\)

    Responder

    \(x = -\dfrac{1}{2}, 7\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    \((3x+2)(x−1)=0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    \((4x+3)(3x−2)=0\)

    Responder

    \(x = -\dfrac{3}{4}, \dfrac{2}{3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    \((5x−1)(4x+7)=0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    \((6x+5)(9x−4)=0\)

    Responder

    \(x = -\dfrac{5}{6}, \dfrac{4}{9}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    \((3a+1)(3a−1)=0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    \(x(x+4)=0\)

    Responder

    \(x=−4, 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    \(y(y−5)=0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    \(y(3y−4)=0\)

    Responder

    \(y = 0, \dfrac{4}{3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    \(b(4b+5)=0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    \(x(2x+1)(2x+8)=0\)

    Responder

    \(x = -4, -\dfrac{1}{2}, 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    \(y(5y+2)(2y−1)=0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    \((x-8)^2 = 0\)

    Responder

    \(x=8\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    \((x-2)^2 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    \((b + 7)^2 = 0\)

    Responder

    \(b=−7\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    \((a + 1)^2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    \((x(x-4)^2 = 0\)

    Responder

    \(x=0, 4\)

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

    \(y(y + 9)^2 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    \(y(y-7)^2 = 0\)

    Responder

    \(y=0, 7\)

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    \(y(y + 5)^2 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

    \(x^2 - 4 = 0\)

    Responder

    \(x=−2, 2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

    \(x^2 + 9 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

    \(x^2 + 36\)

    Responder

    no hay solución

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

    \(x^2 - 25 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

    \(a^2 - 100 = 0\)

    Responder

    \(a=−10, 10\)

    Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

    \(a^2 - 81 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

    \(b^2 - 49 = 0\)

    Responder

    \(b=7, −7\)

    Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

    \(y^2 - 1 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

    \(3a^2 - 75 = 0\)

    Responder

    \(a=5, −5\)

    Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

    \(5b^2 - 20 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

    \(y^3 - y = 0\)

    Responder

    \(y=0, 1, −1\)

    Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

    \(a^2 = 9\)

    Ejercicio\(\PageIndex{39}\)

    \(b^2 = 4\)

    Responder

    \(b=2, −2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{40}\)

    \(b^2 = 1\)

    Ejercicio\(\PageIndex{41}\)

    \(a^2 = 36\)

    Responder

    \(a=6, −6\)

    Ejercicio\(\PageIndex{42}\)

    \(3a^2 = 12\)

    Ejercicio\(\PageIndex{43}\)

    \(-2x^2 = -4\)

    Responder

    \(x = \sqrt{2}, -\sqrt{2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{44}\)

    \(-2a^2 = -50\)

    Ejercicio\(\PageIndex{45}\)

    \(-7b^2 = -63\)

    Responder

    \(b=3,  −3\)

    Ejercicio\(\PageIndex{46}\)

    \(-2x^2 = -32\)

    Ejercicio\(\PageIndex{47}\)

    \(3b^2 = 48\)

    Responder

    \(b=4, −4\)

    Ejercicio\(\PageIndex{48}\)

    \(a^2 - 8a + 16 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{49}\)

    \(y^2 + 10y + 25 = 0\)

    Responder

    \(y=−5\)

    Ejercicio\(\PageIndex{50}\)

    \(y^2 + 9y + 16 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{51}\)

    \(x^2 - 2x - 1 = 0\)

    Responder

    no hay solución

    Ejercicio\(\PageIndex{52}\)

    \(a^2 + 6a + 9 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{53}\)

    \(a^2 + 4a + 4 = 0\)

    Responder

    \(a=−2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{54}\)

    \(x^2 + 12x = -36\)

    Ejercicio\(\PageIndex{55}\)

    \(b^2 - 14b = -49\)

    Responder

    \(b=7\)

    Ejercicio\(\PageIndex{56}\)

    \(3a^2 + 18a + 27 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{57}\)

    \(2m^3 + 4m^2 + 2m = 0\)

    Responder

    \(m=0, −1\)

    Ejercicio\(\PageIndex{58}\)

    \(3mn^2 - 36mn + 36m = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{59}\)

    \(a^2 + 2a - 3 = 0\)

    Responder

    \(a=−3, 1\)

    Ejercicio\(\PageIndex{60}\)

    \(a^2 + 3a - 10 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{61}\)

    \(x^2 + 9x + 14 = 0\)

    Responder

    \(x=−7, −2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{62}\)

    \(x^2 - 7x + 12 = 3\)

    Ejercicio\(\PageIndex{63}\)

    \(b^2 + 12b + 27 = 0\)

    Responder

    \(b=−9,  −3\)

    Ejercicio\(\PageIndex{64}\)

    \(b^2 - 3b + 2 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{65}\)

    \(x^2 - 13x = -42\)

    Responder

    \(x=6, 7\)

    Ejercicio\(\PageIndex{66}\)

    \(a^3 = -8a^2 - 15a\)

    Ejercicio\(\PageIndex{67}\)

    \(6a^2 + 13a + 5 = 0\)

    Responder

    \(a = -\dfrac{5}{3}, -\dfrac{1}{2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{68}\)

    \(6x^2 - 4x - 2 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{69}\)

    \(12a^2 + 15a + 3 = 0\)

    Responder

    \(a = -\dfrac{1}{4}, -1\)

    Ejercicio\(\PageIndex{70}\)

    \(18b^2 + 24b + 6 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{71}\)

    \(12a^2 + 24a + 12 = 0\)

    Responder

    \(a=−1\)

    Ejercicio\(\PageIndex{72}\)

    \(4x^2 - 4x = -1\)

    Ejercicio\(\PageIndex{73}\)

    \(2x^2 = x + 15\)

    Responder

    \(x = -\dfrac{5}{2}, 3\)

    Ejercicio\(\PageIndex{74}\)

    \(4a^2 = 4a + 3\)

    Ejercicio\(\PageIndex{75}\)

    \(4y^2 = -4y - 2\)

    Responder

    sin solución

    Ejercicio\(\PageIndex{76}\)

    \(9y^2 = 9y + 18\)

    Ejercicios para revisión

    Ejercicio\(\PageIndex{77}\)

    Simplificar\((x^4y^3)^2(xy^2)^4\)

    Responder

    \(x^{12}y^{14}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{78}\)

    Escribe\((x^{-2}y^3w^4)^{-2}\) para que solo aparezcan exponentes positivos.

    Ejercicio\(\PageIndex{79}\)

    Encuentra la suma:\(\dfrac{x}{x^2 - x - 2} + \dfrac{1}{x^2 - 3x + 2}\)

    Responder

    \(\dfrac{x^2 + 1}{(x+1)(x-1)(x-2)}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{80}\)

    Simplificar\(\dfrac{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}{\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{81}\)

    Resolver\((x + 4)(3x + 1) = 0\)

    Responder

    \(x = -4, \dfrac{-1}{3}\)


    This page titled 10.3: Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Denny Burzynski & Wade Ellis, Jr. (OpenStax CNX) .