Saltar al contenido principal

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## Forma estándar de una ecuación cuadrática

En el Capítulo 5 estudiamos ecuaciones lineales en una y dos variables y métodos para resolverlas. Observamos que una ecuación lineal en una variable era cualquier ecuación que pudiera escribirse en la forma$$ax + b = 0, a\not = 0$$, y una ecuación lineal en dos variables era cualquier ecuación que pudiera escribirse en la forma$$ax + by = c$$, donde$$a$$ y no$$b$$ son ambas$$0$$. Ahora queremos estudiar ecuaciones cuadráticas en una variable.

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma$$ax^2 + bx + c = 0, a \not = 0$$.

La forma estándar de la ecuación cuadrática es$$ax^2 + bx + c = 0, a \not = 0$$.

Para una ecuación cuadrática en forma estándar$$ax^2 + bx + c = 0$$,

$$a$$es el coeficiente de$$x^2$$.

$$b$$es el coeficiente de$$x$$.

$$c$$es el término constante.

## Conjunto de Muestras A

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

$$3x^2 + 2x - 1 = 0$$. $$a = 3, b = 2, c = -1$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

$$5x^2 + 8x = 0$$. $$a = 5, b = 8, c = 0$$

Observe que esta ecuación podría ser escrita$$5x^2 + 8x + 0 = 0$$. Ahora es claro que$$c = 0$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

$$x^2 + 7 = 0$$. $$a = 1, b = 0, c = 7$$.

Observe que esta ecuación podría ser escrita$$x^2 + 0x + 7 = 0$$. Ahora es claro que$$b = 0$$

Las siguientes no son ecuaciones cuadráticas.

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

$$3x + 2 = 0$$. $$a = 0$$. Esta ecuación es lineal.

##### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

$$8x^2 + \dfrac{3}{x} - 5 = 0$$

La expresión en el lado izquierdo del signo igual tiene una variable en el denominador y, por lo tanto, no es cuadrática.

## Conjunto de práctica A

¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son ecuaciones cuadráticas? Responda “sí” o “no” a cada ecuación.

##### Problema de práctica$$\PageIndex{1}$$

$$6x^2 - 4x + 9 = 0$$

Responder

si

##### Problema de práctica$$\PageIndex{2}$$

$$5x+8=0$$

Responder

no

##### Problema de práctica$$\PageIndex{3}$$

$$4x^3 - 5x^2 + x + 6 = 8$$

Responder

no

##### Problema de práctica$$\PageIndex{4}$$

$$4x^2 - 2x + 4 = 1$$

Responder

si

##### Problema de práctica$$\PageIndex{5}$$

$$\dfrac{2}{x} - 5x^2 = 6x + 4$$

Responder

no

##### Problema de práctica$$\PageIndex{6}$$

$$9x^2 - 2x + 6 = 4x^2 + 8$$

Responder

si

Nuestro objetivo es resolver ecuaciones cuadráticas. El método para resolver ecuaciones cuadráticas se basa en la propiedad de factor cero de los números reales. Nos presentaron a la propiedad de factor cero en la Sección 8.2. Lo declaramos de nuevo.

Si dos números$$a$$ y$$b$$ se multiplican juntos y el producto resultante es$$0$$, entonces al menos uno de los números debe ser$$0$$. Álgebraicamente, si$$a \cdot b = 0$$, entonces$$a = 0$$ o ambos$$a = 0$$ y$$b = 0$$.

## Conjunto de Muestras B

##### Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

Si$$9x = 0$$, entonces$$x$$ debe ser$$0$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{7}$$

Si$$-2x^2 = 0$$, entonces$$x^2 = 0, x = 0$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{8}$$

Si$$5$$ entonces$$x-1$$ debe ser$$0$$, ya que no$$5$$ es cero.

\ (\ begin {array} {Flushleft}
x - 1 &= 0\\
x &= 1
\ end {array}\)

##### Ejemplo$$\PageIndex{9}$$

Si$$x(x+6) = 0$$, entonces

\ (\ begin {array} {Flushleft}
x &= 0 &\ text {o} & x+6&=0\\
x&=0, -6 && x &= -6
\ end {array}\)

##### Ejemplo$$\PageIndex{10}$$

Si$$(x+2)(x+3) = 0$$, entonces

\ (\ begin {array} {Flushleft}
x + 2 &= 0 &\ text {o} & x + 3 &= 0\\
x &= -2 && x &= -3\\
x &= -2, -3
\ end {array}\)

##### Ejemplo$$\PageIndex{11}$$

Si$$(x+10)(4x - 5) = 0$$, entonces

\ (\ begin {array} {Flushleft}
x + 10 &= 0 &\ text {o} & 4x - 5 &= 0\\
x &= -10 && 4x &= 5\\
x &= -10,\ dfrac {5} {4} && x &=\ dfrac {5} {4}
\ end {array}\)

## Set de práctica B

##### Problema de práctica$$\PageIndex{7}$$

$$6(a−4)=0$$

Responder

$$a=4$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{8}$$

$$(y+6)(y−7)=0$$

Responder

$$y=−6, 7$$

##### Problema de práctica$$\PageIndex{9}$$

$$(x+5)(3x−4)=0$$

Contestar

$$x = -5, \dfrac{4}{3}$$

## Ejercicios

Para los siguientes problemas, escriba los valores de$$a$$,$$b$$, y$$c$$ en ecuaciones cuadráticas.

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

$$3x^2 + 4x - 7 = 0$$

Contestar

$$3,4,−7$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

$$7x^2 + 2x + 8 = 0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

$$2y^2 - 5y + 5 = 0$$

Contestar

$$2,−5,5$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

$$7a^2 + a - 8 = 0$$.

##### Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

$$-3a^2 + 4a - 1 = 0$$

Contestar

$$−3,4,−1$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

$$7b^2 + 3b + 0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

$$2x^2 + 5x + 0$$

Contestar

$$2, 5, 0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

$$4y^2 + 9 = 0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

$$8a^2 - 2a = 0$$

Contestar

$$8,−2,0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

$$6x^2 = 0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

$$4y^2 = 0$$

Contestar

$$4, 0, 0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

$$5x^2 - 3x + 9 = 4x^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

$$7x^2 + 2x + 1 = 6x^2 + x - 9$$

Contestar

$$1, 1, 10$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

$$-3x^2 + 4x - 1 = -4x^2 - 4x + 12$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

$$5x - 7 = -3x^2$$

Contestar

$$3,5,−7$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

$$3x - 7 = -2x^2 + 5x$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{17}$$

$$0 = x^2 + 6x - 1$$

Contestar

$$1,6,−1$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{18}$$

$$9 = x^2$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{19}$$

$$x^2 = 9$$

Contestar

$$1,0,−9$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{20}$$

$$0 = -x ^2$$

Para los siguientes problemas, utilice la propiedad de factor cero para resolver las ecuaciones.

##### Ejercicio$$\PageIndex{21}$$

$$4x = 0$$

Contestar

$$x=0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{22}$$

$$16y=0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{23}$$

$$9a=0$$

Contestar

$$a=0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{24}$$

$$4m=0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{25}$$

$$3(k+7)=0$$

Contestar

$$k=−7$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{26}$$

$$8(y−6)=0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{27}$$

$$−5(x+4)=0$$

Contestar

$$x=−4$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{28}$$

$$−6(n+15)=0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{29}$$

$$y(y−1)=0$$

Contestar

$$y=0,1$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{30}$$

$$a(a−6)=0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{31}$$

$$n(n+4)=0$$

Contestar

$$n=0,−4$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{32}$$

$$x(x+8)=0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{33}$$

$$9(a−4)=0$$

Contestar

$$a=4$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{34}$$

$$−2(m+11)=0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{35}$$

$$x(x+7) = 0$$

Contestar

$$x=−7 \text{ or } x=0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{36}$$

$$n(n−10)=0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{37}$$

$$(y−4)(y−8)=0$$

Contestar

$$y=4 \text{ or } y=8$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{38}$$

$$(k−1)(k−6)=0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{39}$$

$$(x+5)(x+4)=0$$

Contestar

$$x=−4 \text{ or } x=−5$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{40}$$

$$(y+6)(2y+1)=0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{41}$$

$$(x−3)(5x−6)=0$$

Contestar

$$x = \dfrac{6}{5} \text{ or } x = 3$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{42}$$

$$(5a+1)(2a−3)=0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{43}$$

$$(6m+5)(11m−6)=0$$

Contestar

$$m = -\dfrac{5}{6} \text{ or } m = \dfrac{6}{11}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{44}$$

$$(2m−1)(3m+8)=0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{45}$$

$$(4x+5)(2x−7)=0$$

Contestar

$$x = \dfrac{-5}{4}, \dfrac{7}{2}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{46}$$

$$(3y + 1)(2y + 1) = 0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{47}$$

$$(7a + 6)(7a - 6) = 0$$

Contestar

$$a = \dfrac{-6}{7}, \dfrac{6}{7}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{48}$$

$$(8x+11)(2x−7)=0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{49}$$

$$(5x−14)(3x+10)=0$$

Contestar

$$x = \dfrac{14}{5}, \dfrac{-10}{3}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{50}$$

$$(3x−1)(3x−1)=0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{51}$$

$$(2y+5)(2y+5)=0$$

Contestar

$$y = \dfrac{-5}{2}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{52}$$

$$(7a - 2)^2 = 0$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{53}$$

$$(5m - 6)^2 = 0$$

Contestar

$$m = \dfrac{6}{5}$$

## Ejercicios para revisión

##### Ejercicio$$\PageIndex{54}$$

Factorial$$12ax - 3x + 8a - 2$$ por agrupación.

##### Ejercicio$$\PageIndex{55}$$

Construye la gráfica de$$6x + 10y - 60 = 0$$

Contestar

##### Ejercicio$$\PageIndex{56}$$

Encuentra la diferencia:$$\dfrac{1}{x^2 + 2x + 1} - \dfrac{1}{x^2 - 1}$$.

##### Ejercicio$$\PageIndex{57}$$

Simplificar$$\sqrt{7}(\sqrt{2} + 2)$$

Contestar

$$\sqrt{14} + 2\sqrt{7}$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{58}$$

Resolver la ecuación radical$$\sqrt{3x + 10} = x + 4$$

This page titled 10.2: Resolver ecuaciones cuadráticas is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Denny Burzynski & Wade Ellis, Jr. (OpenStax CNX) .