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LibreTexts Español

10.4: Resolver ecuaciones cuadráticas usando el método de extracción de raíces

  • Page ID
    112094
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    El Método De Extracción De Raíces

    Extracción de Raíces

    Las ecuaciones cuadráticas de la forma\(x^2 - K = 0\) pueden resolverse mediante el método de extracción de raíces reescribiéndola en la forma\(x^2 = K\).

    Para resolver\(x^2 = K\), se nos exige encontrar algún número,\(x\), que cuando se produce al cuadrado\(K\). Este número,\(x\), debe ser una raíz cuadrada de\(K\). Si\(K\) es mayor que cero, sabemos que prosesa dos raíces cuadradas,\(\sqrt{K}\) y\(-\sqrt{K}\). También sabemos que

    \((\sqrt{K})^2) = (\sqrt{K})(\sqrt{K}) = K\)y\((-\sqrt{K}) = (-\sqrt{K})(-\sqrt{K}) = K\)

    Ahora tenemos dos reemplazos para\(x\) que produzcan declaraciones verdaderas cuando se sustituyen en la ecuación. Así,\(x = \sqrt{K}\) y\(x = -\sqrt{K}\) son ambas soluciones para\(x^2 = K\). Utilizamos la notación\(x = \pm \sqrt{K}\) para denotar tanto las raíces cuadradas principales como las secundarias.

    La naturaleza de las soluciones

    Soluciones de\(x^2 = K\)

    Para ecuaciones cuadráticas de la forma\(x^2 = K\),

    1. Si\(K\) es mayor o igual a cero, las soluciones son\(\pm \sqrt{K}\).
    2. Si\(K\) es negativo, no existen soluciones de números reales.
    3. Si\(K\) es cero, la única solución es\(0\).

    Conjunto de Muestras A

    Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de extracción de raíces.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    \ (\ begin {array} {Flushleft}
    x^2 - 49 &= 0 &\ text {Reescribir}\\
    x^2 &= 49\\
    x &=\ pm\ sqrt {49}\\
    x &=\ pm 7
    \ end {array}\)

    Comprobar:

    \ (\ begin {array} {Flushleft}
    (7) ^2 = 49 &\ text {¿Es esto correcto? } & (-7) ^2 = 49 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
    49 = 49 &\ text {Sí, esto es correcto.} & 49 = 49 &\ text {Sí, esto es correcto.}
    \ end {array}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    \ (\ begin {array} {Flushleft}
    25a^2 &= 36\\
    a^2 &=\ dfrac {36} {25}\\
    a &=\ pm\ sqrt {\ frac {36} {25}}\
    a &=\ pm\ dfrac {6} {5}
    \ end {array}\)

    Comprobar:

    \ (\ begin {array} {Flushleft}
    25 (\ dfrac {6} {5}) ^2 &= 36 &\ text {¿Es esto correcto? } & 25 (\ dfrac {-6} {5}) ^2 &= 36 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
    25 (\ dfrac {36} {25}) ^2 &= 36 &\ text {¿Es esto correcto? } & 25 (\ dfrac {36} {25}) &= 36 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
    36 &= 36 &\ text {Sí, esto es correcto.} & 36 &= 36 &\ text {Sí, esto es correcto.}
    \ end {array}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    \ (\ begin {array} {Flushleft}
    4m^2 - 32 &= 0\\
    4m^2 &= 32\\
    m^2 &=\ dfrac {32} {4}\\
    m^2 &= 8\\
    m &=\ pm\ sqrt {8}\\
    m &=\ pm 2\ sqrt {2}
    \ end {array}\)

    Comprobar:

    \ (\ begin {array} {Flushleft}
    4 (2\ sqrt {2}) ^2 &= 32 &\ text {¿Es esto correcto? } & 4 (-2\ sqrt {2}) ^2 &= 32 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
    4 [2^2 (\ sqrt {2}) ^2] &= 32 &\ text {¿Es esto correcto? } & 4 [(-2) ^2 (\ sqrt {2}) ^2] &= 32 &\ text {¿Es correcto? }\\
    4 [4\ cdot 2] &= 32 &\ text {¿Es correcto esto? } & 4 [4\ cdot 2] &= 32 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
    4\ cdot 8 &= 32 &\ text {¿Es esto correcto? } & 4\ cdot 8 &= 32 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
    32 &= 32 &\ text {Sí, esto es correcto.} & 32 &=32 &\ text {Sí, esto es correcto.}
    \ end {array}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Resolver\(5x^2 - 15y^2z^7 = 0\) para\(x\).

    \ (\ begin {array} {Flushleft}
    5x^2 &= 15y^2z^7 &\ text {Divide ambos lados por} 5\\
    x^2 &= 3y^2z^7\\
    x &=\ pm\ sqrt {3y^2z^7}\\
    x &=\ pm yz^3\ sqrt {3z}
    \ end {array}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Problema de la calculadora:

    Resolver\(14a^2 - 235 = 0\). Redondear a la centésima más cercana.

    \ (\ begin {array} {Flushleft}
    14a^2 - 235 &= 0 &\ text {Reescribir}\\
    14a^2 &= 235 &\ text {Divide ambos lados por} 14\\
    a^2 &=\ dfrac {235} {14}
    \ end {array}\)

    Redondear a la centésima más cercana produce\(4.10\). Debemos asegurarnos de insertar el\(\pm\) símbolo.

    \(a \approx \pm 4.10\).

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    \ (\ begin {array} {Flushleft}
    k^2 &= -64\\
    k &=\ pm\ sqrt {-64}
    \ end {array}\)

    El radicando es negativo por lo que no existen soluciones de números reales

    Conjunto de práctica A

    Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de extracción de raíces.

    Problema de práctica\(\PageIndex{1}\)

    \(x^2 - 144 = 0\)

    Contestar

    \(x = \pm 12\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{2}\)

    \(9y^2 - 121 = 0\)

    Contestar

    \(y = \pm \dfrac{11}{3}\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{3}\)

    \(6a^2 = 108\)

    Contestar

    \(a = \pm 3\sqrt{2}\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{4}\)

    Resolver\(4n^2 = 24m^2p^8\) para\(n\).

    Contestar

    \(n = \pm mp^4\sqrt{6}\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{5}\)

    Resolver\(5p^2q^2 = 45p^2\) para\(q\)

    Contestar

    \(q = \pm 3\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{6}\)

    Resolver\(16m^2 - 2206 = 0\). Redondear a la centésima más cercana.

    Contestar

    \(m = \pm 11.74\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{7}\)

    \(h^2 = -100\)

    Conjunto de Muestras B

    Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de extracción de raíces.

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    \ (\ begin {array} {Flushleft}
    (x+2) ^2 &= 81\\
    x + 2 &=\ pm\ sqrt {81}\\
    x + 2 &=\ pm 9 &\ text {Restar} 2\ texto {de ambos lados.} \\
    x &= -2\ pm 9\\
    x &= -2 + 9 &\ text {y} & x&= -2 - 9\\
    x &= 7 & & x &= -11
    \ end {array}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

    \ (\ begin {array} {Flushleft}
    (a+3) ^2 &= 5\\
    a + 3 &=\ pm\ sqrt {5} &\ text {Restar} 3\ texto {de ambos lados}\\
    a &= -3\ pm\ sqrt {5}
    \ end {array}\)

    Set de práctica B

    Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de extracción de raíces.

    Problema de práctica\(\PageIndex{8}\)

    \((a + 6)^2 = 64\)

    Contestar

    \(a=2,−14\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{9}\)

    \((m - 4)^2 = 15\)

    Contestar

    \(m = 4 \pm \sqrt{15}\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{10}\)

    \((y-7)^2 = 49\)

    Contestar

    \(y=0, 14\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{11}\)

    \((k - 1)^2 = 12\)

    Contestar

    \(k = 1 \pm 2 \sqrt{3}\)

    Problema de práctica\(\PageIndex{12}\)

    \((x - 11)^2 = 0\)

    Contestar

    \(x=11\)

    Ejercicios

    Para los siguientes problemas, resolver cada una de las ecuaciones cuadráticas utilizando el método de extracción de raíces.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    \(x^2 = 36\)

    Contestar

    \(x = \pm 6\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    \(x^2 = 49\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    \(a^2 = 9\)

    Contestar

    \(a = \pm 3\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    \(a^2 = 4\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    \(b^2 = 1\)

    Contestar

    \(b = \pm 1\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    \(a^2 = 1\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    \(x^2 = 25\)

    Contestar

    \(x = \pm 5\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    \(x^2 = 81\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    \(a^2 = 5\)

    Contestar

    \(a = \pm \sqrt{5}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    \(a^2 = 10\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    \(b^2 = 12\)

    Contestar

    \(b = \pm 2\sqrt{3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    \(b^2 = 6\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    \(y^2 = 3\)

    Contestar

    \(y = \pm \sqrt{3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    \(y^2 = 7\)

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    \(a^2 - 8 = 0\)

    Contestar

    \(a = \pm 2\sqrt{2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    \(a^2 - 3 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    \(a^2 - 5 = 0\)

    Contestar

    \(a = \pm \sqrt{5}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    \(y^2 - 1 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    \(x^2 - 10 = 0\)

    Contestar

    \(x = \pm \sqrt{10}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    \(x^2 - 11 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    \(3x^2 - 27 = 0\)

    Contestar

    \(x = \pm 3\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    \(5b^2 - 5 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    \(2x^2 = 50\)

    Contestar

    \(x = \pm 5\)

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

    \(4a^2 = 40\)

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    \(2x^2 = 24\)

    Contestar

    \(x = \pm 2\sqrt{3}\)

    Para los siguientes problemas, resolver para la variable indicada.

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    \(x^2 = 4a^2\), para\(x\)

    Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

    \(x^2 = 9b^2\), para\(x\)

    Contestar

    \(x = \pm 3b\)

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

    \(a^2 = 25c^2\), para\(a\)

    Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

    \(k^2 = m^2n^2\), para\(k\).

    Contestar

    \(k = \pm mn\)

    Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

    \(k^2 = p^2q^2r^2\), para\(k\)

    Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

    \(2y^2 = 2a^2n^2\), para\(y\)

    Contestar

    \(y = \pm an\)

    Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

    \(9y^2 = 27x^2z^4\), para\(y\).

    Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

    \(x^2 - z^2 = 0\), para\(x\)

    Contestar

    \(x = \pm z\)

    Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

    \(x^2 - z^2 = 0\), para\(z\)

    Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

    \(5a^2 - 10b^2 = 0\), para\(a\)

    Contestar

    \(a = b\sqrt{2}, -b\sqrt{2}\)

    Para los siguientes problemas, resolver cada una de las ecuaciones cuadráticas utilizando el método de extracción de raíces.

    Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

    \((x-1)^2 = 4\)

    Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

    \((x-2)^2 = 9\)

    Contestar

    \(x=5,−1\)

    Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

    \((x-3)^2 = 25\)

    Ejercicio\(\PageIndex{39}\)

    \((a-5)^2 = 36\)

    Contestar

    \(x=11,−1\)

    Ejercicio\(\PageIndex{40}\)

    \((a + 3)^2 = 49\)

    Ejercicio\(\PageIndex{41}\)

    \((a + 9)^2 = 1\)

    Contestar

    \(a=−8 ,−10\)

    Ejercicio\(\PageIndex{42}\)

    \((a - 6)^2 = 3\)

    Ejercicio\(\PageIndex{43}\)

    \((x + 4)^2 = 5\)

    Contestar

    \(a = -4 \pm \sqrt{5}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{44}\)

    \((b + 6)^2 = 7\)

    Ejercicio\(\PageIndex{45}\)

    \((x + 1)^2 = a\), para\(x\).

    Contestar

    \(x = -1 \pm \sqrt{a}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{46}\)

    \((y + 5)^2 = b\), para\(y\)

    Ejercicio\(\PageIndex{47}\)

    \((y + 2)^2 = a^2\), para\(y\)

    Contestar

    \(y = -2 \pm a\)

    Ejercicio\(\PageIndex{48}\)

    \((x + 10)^2 = c^2\), para\(x\)

    Ejercicio\(\PageIndex{49}\)

    \((x - a)^2 = b^2\), para\(x\)

    Contestar

    \(x = a \pm b\)

    Ejercicio\(\PageIndex{50}\)

    \((x + c)^2 = a^2\), para\(x\)

    Problemas con la calculadora

    Para los siguientes problemas, redondear cada resultado a la centésima más cercana.

    Ejercicio\(\PageIndex{51}\)

    \(8a^2 - 168 = 0\)

    Contestar

    \(a = \pm 4.58\)

    Ejercicio\(\PageIndex{52}\)

    \(6m^2 - 5 = 0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{53}\)

    \(0.03y^2 = 1.6\)

    Contestar

    \(y = \pm 7.30\)

    Ejercicio\(\PageIndex{54}\)

    \(0.048x^2 = 2.01\)

    Ejercicio\(\PageIndex{55}\)

    \(1.001x^2 - 0.999 = 0\)

    Contestar

    \(x = \pm 1.00\)

    Ejercicios para revisión

    Ejercicio\(\PageIndex{56}\)

    Graficar la desigualdad lineal\(3(x + 2) < 2(3x + 4)\)

    Una línea horizontal con flechas en ambos extremos.

    Ejercicio\(\PageIndex{57}\)

    Resuelve la ecuación fraccional:\(\dfrac{x-1}{x + 4} = \dfrac{x + 3}{x - 1}\)

    Contestar

    \(x = \dfrac{-11}{9}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{58}\)

    Encuentra el producto:\(\sqrt{32x^3y^5} \sqrt{2x^3y^3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{59}\)

    Resolver\(x^2 - 4x = 0\)

    Contestar

    \(x = 0, 4\)

    Ejercicio\(\PageIndex{60}\)

    Resolver\(y^2 - 8y = -12\)


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