1.2: Sumando y restando números enteros
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Objetivos de aprendizaje
- Sumar y restar enteros con signo.
- Traducir frases en inglés que impliquen suma y resta en declaraciones matemáticas.
- Calcular la distancia entre dos números en una recta numérica.
Suma y resta\((+, -)\)
Visualice agregando\(3 + 2\) en la recta numérica moviendo de cero tres unidades a la derecha y luego otras dos unidades a la derecha, como se ilustra a continuación:
La ilustración lo demuestra\(3 + 2 = 5\). De igual manera, visualice sumando dos números negativos\((−3) + (−2)\) moviendo primero desde el origen tres unidades hacia la izquierda y luego moviendo otras dos unidades hacia la izquierda.
En este ejemplo, se muestra la ilustración\((−3) + (−2) = −5\), lo que lleva a las siguientes dos propiedades de números reales.
\[\begin{align*} & \color{Cerulean}{positive\ number\;} \color{Black}{+\;} \color{Cerulean}{positive\ number\;} \color{Black}{=\;} \color{Cerulean}{positive\ number} \\ & \color{Cerulean}{negative\ number\;} \color{Black}{+\;} \color{Cerulean}{negative\ number\;} \color{Black}{=\;} \color{Cerulean}{negative\ number} \end{align*}\]
A continuación, exploraremos la adición de números con signos diferentes. Para agregar\(3 + (−7)\), primero mueve desde el origen tres unidades hacia la derecha, luego mueve siete unidades hacia la izquierda como se muestra:
En este caso, podemos ver que sumar un número negativo equivale a restar:
\(3+(-7)=3-7=-4\)
Es tentador decir que un número positivo más un número negativo es negativo, pero eso no siempre es cierto:\(7+(−3)=7−3=4\). El resultado de sumar números con signos diferentes puede ser positivo o negativo. El signo del resultado es el mismo que el signo del número con mayor distancia del origen. Por ejemplo, los siguientes resultados dependen del signo del número\(12\) porque está más lejos de cero que\(5\):
\[\begin{align*} &12+(-5)=7 \\ &-12+5=-7 \end{align*} \]
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Simplificar:\(14+(−25)\).
Solución
Aquí\(−25\) está la mayor distancia desde el origen. Por lo tanto, el resultado es negativo.
\[\begin{align*} 14+(-25) &= 14-25 \\ &= -11 \end{align*}\]
Contestar
\(-11\)
Propiedades de Adición
Dados los números reales \(a\)\(b\),\(c\), y, tenemos las siguientes propiedades de adición:
- Propiedad de identidad aditiva:\[a+0=0+a=a\]
- Propiedad inversa aditiva:\[a+(−a)=(−a)+a=0\]
- Propiedad asociativa:\[(a+b)+c=a+(b+c)\]
- Propiedad conmutativa:\[a+b=b+a\]
A continuación se presentan algunos ejemplos de estas propiedades en acción.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Simplificar:
a.\(5+0\)
b.\(10+(−10)\)
Solución
a. Agregar cero a cualquier número real da como resultado el mismo número real.
\[5+0=5 \nonumber\]
b. Agregar opuestos da como resultado cero.
Contestar
a.\(5\); b.\(0\)
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Simplificar:
a.\((3+7)+4\)
b.\(3+(7+4)\)
Solución
Los paréntesis agrupan primero las operaciones que se van a realizar.
a.\[\begin{align*} (\color{Cerulean}{3+7} \color{Black}{)}+4 &= \color{Cerulean}{10}\ \color{Black}{+\ 4} \\ &= 14 \end{align*} \]
b.\[\begin{align*} 3+(\color{Cerulean}{7+4} \color{Black}{)} &= 3+ \color{Cerulean}{10} \\ &= 14 \end{align*} \]
Estos dos ejemplos dan como resultado\(14\): cambiar la agrupación de los números no cambia el resultado.
\((\color{Cerulean}{3+7} \color{Black}{)} +4=3+(\color{Cerulean}{7+4} \color{Black}{)}=14\)
Contestar
a.\(14\); b.\(14\)
En este punto, destacamos el hecho de que la adición es conmutativa: el orden en que sumamos no importa y arroja el mismo resultado.
\[\begin{align*} 2+9 &= 9+2 \\ 11 &= 11 \end{align*} \]
Por otro lado, la resta no es conmutativa.
\[\begin{align*} 2-9 &\neq 9-2 \\ -7 &\neq 7 \end{align*} \]
Utilizaremos estas propiedades, junto con la propiedad de doble negativo para números reales, para realizar operaciones secuenciales más involucradas. Para simplificar las cosas, haremos que sea una regla general reemplazar primero todas las operaciones secuenciales con suma o resta y luego realizar cada operación en orden de izquierda a derecha.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Simplificar:\(4−(−10)+(−5)\).
Solución
Reemplazar las operaciones secuenciales y luego realizarlas de izquierda a derecha.
\[\begin{align*} 4-(-10)+(-5) &= 4+10-5 && \color{Cerulean}{Replace\ -(-)\ with\ addition\ (+).} \\ & && \color{Cerulean}{Replace\ +(-)\ with\ addition\ (-).} \\ &= 14-5 \\ &=9 \end{align*} \]
Contestar
\(9\)
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Simplificar:\(−3+(−8)−(−7)\).
Solución
\[\begin{align*} -3+(-8)-(-7) &= -3-8+7 && \color{Cerulean}{Replace\ +(-)\ with\ (-).} \\ & && \color{Cerulean}{Replace\ -(-)\ with\ (+).} \\ &= -11+7 \\ &=-4 \end{align*} \]
Contestar
\(-4\)
Ejemplo\(\PageIndex{6}\)
¡Prueba esto!
Simplificar:\(12−(−9)+(−6)\).
Solución
(haga clic para ver el video)
A menudo encontramos la necesidad de traducir oraciones en inglés que impliquen suma y resta a declaraciones matemáticas. A continuación se enumeran algunas palabras clave que se traducen a la operación dada.
| Palabras clave | Operación |
| Suma, incrementada en, más de, más, sumada a, total | \(+\) |
| Diferencia, disminuida por, restada de, menos, menos | \(-\) |
Ejemplo\(\PageIndex{7}\)
¿Cuál es la diferencia de\(7\) y\(−3\)?
Solución
La palabra clave “diferencia” implica que debemos restar los números.
\[\begin{align*} 7-(-3) &= 7+3 \\ &=10 \end{align*} \]
Contestar
La diferencia de\(7\) y\(−3\) es\(10\).
Ejemplo\(\PageIndex{8}\)
¿Cuál es la suma de los primeros cinco enteros positivos?
Solución
La palabra clave inicial en la que enfocarnos es “suma”; esto quiere decir que estaremos sumando los cinco números. Los primeros cinco enteros positivos son\(\{1, 2, 3, 4, 5\}\). Recordemos que no\(0\) es ni positivo ni negativo.
\(1+2+3+4+5=15\)
Contestar
La suma de los primeros cinco enteros positivos es\(15\).
Ejemplo\(\PageIndex{9}\)
¿Qué se\(10\) resta de la suma de\(8\) y\(6\)?
Solución
Sabemos que la resta no es conmutativa; por lo tanto, debemos cuidar de restar en el orden correcto. Primero, suma\(8\)\(6\) y luego resta de la\(10\) siguiente manera:
Es importante notar que la frase “\(10\)restado de” no se traduce en una declaración matemática en el orden en que aparece. En otras palabras,\(10−(8+6)\) sería una traducción incorrecta y conduce a una respuesta incorrecta. Después de traducir la sentencia, realizar las operaciones.
\[\begin{align*} (8+6)-10 &= 14-10 \\ &= 4 \end{align*} \]
Contestar
Diez restado de la suma de\(8\) y\(6\) es\(4\).
Distancia en una línea numérica*
Una aplicación del valor absoluto es encontrar la distancia entre dos puntos cualesquiera en una recta numérica. Para números reales\(a\) y\(b\), la fórmula de distancia para una recta numérica se da como,
\(d=|b-a|\)
Ejemplo\(\PageIndex{10}\)
Determine la distancia entre\(2\) y\(7\) en una recta numérica.
Solución
En la gráfica vemos que la distancia entre los dos enteros dados es\(5\) unidades.
Usando la fórmula de distancia obtenemos el mismo resultado.
\[\begin{align*} d &= |7-2| \\ &=|5| \\ &=5 \end{align*} \]
Contestar
\(5\)unidades
Ejemplo\(\PageIndex{11}\)
Determine la distancia entre\(−4\) y\(7\) en una recta numérica.
Solución
Utilice la fórmula de distancia para una recta\(d=|b−a|\) numérica, donde\(a=−4\) y\(b=7\).
\[\begin{align*} d &= |7-(-4)| \\ &= |7+4| \\ &= |11| \\ &= 11 \end{align*} \]
Contestar
\(11\)unidades
Resulta que no importa para qué puntos se utilicen\(a\) y\(b\); el valor absoluto siempre asegura un resultado positivo.
| Uso\(a = −4\) y\(b = 7\) | Uso\(a = 7\) y\(b = −4\) |
| \(d=|7−(−4)|=|7+4|=|11|=11\) | \(d=|−4−7|=|−11|=11\) |
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Determine la distancia entre\(−12\) y\(−9\) en la recta numérica.
- Contestar
-
3
Solución de video
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Claves para llevar
- Un número positivo sumado a un número positivo es positivo. Un número negativo agregado a un número negativo es negativo.
- El signo de un número positivo sumado a un número negativo es el mismo que el signo del número con mayor distancia del origen.
- La suma es conmutativa y la resta no lo es.
- Al simplificar, es una buena práctica reemplazar primero las operaciones secuenciales y luego trabajar las operaciones de suma y resta de izquierda a derecha.
- La distancia entre dos números cualesquiera en una recta numérica es el valor absoluto de su diferencia. Es decir, dados los números reales a y b, usa la fórmula\(d=|b−a|\) para calcular la distancia d entre ellos.
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Sumar y restar.
- \(24+(−18)\)
- \(9+(−11)\)
- \(−31+5\)
- \(−12+15\)
- \(−30+(−8)\)
- \(−50+(−25)\)
- \(−7+(−7)\)
- \(−13−(−13)\)
- \(8−12+5\)
- \(−3−7+4\)
- \(−1−2−3−4\)
- \(6−(−5)+(−10)−14\)
- \(−5+(−3)−(−7)\)
- \(2−7+(−9)\)
- \(−30+20−8−(−18)\)
- \(10−(−12)+(−8)−20\)
- \(5−(−2)+(−6)\)
- \(−3+(−17)−(−13)\)
- \(−10+(−12)−(−20)\)
- \(−13+(−5)−(−25)\)
- \(20−(−4)−(−5)\)
- \(17+(−12)−(−2)\)
- Contestar
-
1:6
3: −26
5: −38
7: −14
9:1
11: −10
13: −1
15:0
17:1
19: −2
21:29
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
Traduzca cada oración a una declaración matemática y luego simplifique.
- Encuentra la suma de\(3\),\(7\), y\(−8\).
- Encuentra la suma de\(−12\),\(−5\), y\(7\).
- Determinar la suma de los primeros diez enteros positivos.
- Determinar la suma de los enteros en el conjunto\(\{−2, −1, 0, 1, 2\}\).
- Encuentra la diferencia de\(10\) y\(6\).
- Encuentra la diferencia de\(10\) y\(−6\).
- Encuentra la diferencia de\(−16\) y\(−5\).
- Encuentra la diferencia de\(−19\) y\(7\).
- Restar\(12\) de\(10\).
- Restar\(−10\) de\(−20\).
- Restar\(5\) de\(−31\).
- Restar\(−3\) de\(27\).
- Dos menos de\(8\).
- Cinco menos que\(−10\).
- Restar\(8\) de la suma de\(4\) y\(7\).
- Restar\(-5\) de la suma de\(10\) y\(−3\).
- Restar\(2\) de la diferencia de\(8\) y\(5\).
- Restar\(6\) de la diferencia de\(−1\) y\(7\).
- Mandy hizo un\($200\) depósito en su cuenta corriente el martes. Luego escribió\(4\) cheques para\($50.00\),\($125.00\),\($60.00\), y\($45.00\). ¿Cuánto más que su depósito gastó?
- El mariscal de campo corrió el balón tres veces en el partido de fútbol del domingo pasado. Ganó\(7\) yardas en una carrera pero perdió\(3\) yardas y\(8\) yardas en las otras dos. ¿Cuál era su yarda total corriendo para el juego?
- Los ingresos para un fotógrafo local para el mes son\($1,200\). Sus costos incluyen un alquiler de estudio\($600\), costos de accesorios\($105\), tarifas de materiales de\($135\), y un maquillador que cobra\($120\). ¿Cuál es su beneficio total del mes?
- Un avión que volaba a\(30,000\) pies perdió\(2,500\) pies en altura y luego se levantó\(1,200\) los pies. ¿Cuál es la nueva altitud del avión?
- La temperatura era\(22°\) a\(6:00\) las p.m. y bajó\(26°\) a medianoche. ¿Cuál era la temperatura a medianoche?
- Una enfermera tiene\(30\) mililitros de solución salina pero necesita\(75\) mililitros de la solución. ¿Cuánto más necesita?
- El ancho de un rectángulo es\(2\) pulgadas menos que su longitud. Si el largo mide\(16\) pulgadas, determine el ancho.
- La base de un triángulo es\(3\) pies más corta que su altura. Si la altura mide\(5\) pies, encuentra la longitud de la base.
- Contestar
-
1:\(2\)
3:\(55\)
5:\(4\)
7:\(−11\)
9:\(−2\)
11:\(−36\)
13:\(6\)
15:\(3\)
17:\(1\)
19:\($80\)
21:\($240\)
23:\(−4°\)
25\(14\) pulgadas
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
Encuentra la distancia entre los números dados en una recta numérica.
- \(−3\)y\(12\)
- \(8\)y\(−13\)
- \(−25\)y\(−10\)
- \(−100\)y\(−130\)
- \(−7\)y\(−20\)
- \(0\)y\(−33\)
- \(-10\)y\(10\)
- \(−36\)y\(36\)
- La temperatura más fría de la tierra,\(−129°\) F, se registró en 1983 en la estación Vostok, Antártida. La temperatura más calurosa de la tierra,\(136°\) F, se registró en 1922 en Al 'Aziziyah, Libia. Calcular el rango de temperatura de la tierra.
- La temperatura alta diaria se registró como\(91°\) F y la baja se registró como\(63°\) F. ¿Cuál fue el rango de temperatura para el día?
- Un estudiante obtuvo\(67\) puntos en su prueba más baja y\(87\) puntos en su mejor momento. Calcula su rango de puntaje de prueba.
- En un día ajetreado, un determinado sitio web puede tener\(12,500\) éxitos. En un día lento, puede tener tan pocos como\(750\) hits. Calcular el rango del número de aciertos.
- Contestar
-
1:\(15\) unidades
3:\(15\) unidades
5:\(13\) unidades
7:\(20\) unidades
9:\(265°\) F
11:\(20\) puntos
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Temas del tablero de discusión
- Comparte un ejemplo de agregar números firmados en una aplicación del mundo real.
- Demostrar la propiedad asociativa de suma con tres números reales cualesquiera.
- Demostrar que la resta no es conmutativa