2.3: Resolver ecuaciones lineales- Parte 1

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Objetivos de aprendizaje

Identificar ecuaciones lineales con una variable y verificar sus soluciones.
Utilice las propiedades de igualdad para resolver ecuaciones lineales básicas.
Use múltiples pasos para resolver ecuaciones lineales aislando la variable.
Resuelve ecuaciones lineales donde los coeficientes son fracciones o decimales.

Ecuaciones lineales con una variable y sus soluciones

Aprender a resolver diversas ecuaciones algebraicas es uno de los principales objetivos en álgebra. En esta sección se presentan las técnicas básicas utilizadas para resolver ecuaciones lineales con una variable.

Una ecuación es una declaración que indica que dos expresiones algebraicas son iguales. Una ecuación lineal con una variable,\(x\), es una ecuación que se puede escribir en la forma general\(ax+b=0\), donde\(a\) y\(b\) son números reales y\(a≠0\). Aquí hay algunos ejemplos de ecuaciones lineales, todas las cuales se resuelven en esta sección:

\(x+3=-5\qquad 2x-5=15\qquad\frac{5}{3}x+2=-8\)

Una solución a una ecuación lineal es cualquier valor que pueda reemplazar la variable para producir una declaración verdadera. La variable en la ecuación lineal\(2x+3=13\) es\(x\), y la solución es\(x=5\). Para verificar esto, sustituya el valor\(5\) por\(x\) y verifique que obtenga una declaración verdadera.

\(\begin{aligned} 2x+13&=13 \\ 2(\color{Cerulean}{5}\color{black}{)+3}&=13 \\ 10+3&=13 \\ 13&=13\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Alternativamente, cuando una ecuación es igual a una constante, podemos verificar una solución sustituyendo el valor por la variable y mostrar que el resultado es igual a esa constante. En este sentido, decimos que las soluciones satisfacen la ecuación.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

¿Es\(x=3\) una solución para\(−2x−3=−9\)?

Solución:

\(-2x-3=-2(\color{Cerulean}{3}\color{black}{)-3=-6-3=-9}\quad\color{Cerulean}{\checkmark}\)

Respuesta:

Sí, es una solución, porque\(x=3\) satisface la ecuación.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

¿Es\(a=−\frac{1}{2}\) una solución para\(−10a+5=25\)?

Solución:

\(-10a+5=-10\color{black}{\left( \color{Cerulean}{-\frac{1}{2}} \right) +5=5+5=10\neq 25}\quad\color{red}{x}\)

Respuesta:

No, no es una solución, porque\(a=−\frac{1}{2}\) no satisface la ecuación.

Recordemos que al evaluar expresiones, es una buena práctica reemplazar primero todas las variables por paréntesis, luego sustituir los valores apropiados. Al hacer uso de paréntesis evitamos algunos errores comunes a la hora de trabajar el orden de las operaciones.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

¿Es\(y=−3\) una solución para\(2y−5=−y−14\)?

Solución:

Respuesta:

Sí, es una solución, porque\(y=−3\) produce una verdadera declaración.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¿Es\(x=−3\) una solución para\(−2x+5=−1\)?

Contestar: No

Resolver ecuaciones lineales básicas

Comenzamos definiendo ecuaciones equivalentes como ecuaciones con el mismo conjunto de soluciones. Considera las siguientes dos ecuaciones lineales y comprueba para ver si la solución es\(x=7\).

\(\begin{array}{c|c} {\begin{aligned} 3x-5&=16 \\ 3(\color{Cerulean}{7}\color{black}{)-5}&=16 \\ 21-5&=16 \\ 16&=16\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}}&{\begin{aligned} 3x&=21 \\ 3(\color{Cerulean}{7}\color{black}{)}&=21 \\ 21&=21\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}} \end{array}\)

Aquí podemos ver que las dos ecuaciones lineales\(3x−5=16\) y\(3x=21\) son equivalentes porque comparten el mismo conjunto de soluciones, es decir,\(\{7\}\). El objetivo es desarrollar un proceso sistemático para encontrar ecuaciones equivalentes hasta que se aísla la variable:

\(\left.\begin{aligned} 3x-5&=16 \\ 3x&=21 \\x&=7 \end{aligned}\right\} \quad\color{Cerulean}{Equivalent\:equations}\)

Para ello, usa las propiedades de igualdad. Dadas las expresiones algebraicas A y B, donde c es un número real, tenemos lo siguiente:

\(\begin{array}{ll}{\textbf{Addition Property of Equality}:} & { If\:A=B,\: then\: A\color{Cerulean}{+c}\color{black}{=B}\color{Cerulean}{+c}} \\ {\textbf{Subtraction Property of Equality:}}&{If\:A=B,\:then\:A\color{Cerulean}{-c}\color{black}{=B}\color{Cerulean}{-c}} \\ {\textbf{Multiplication Property of Equality:}}&{If\:A=B,\:then\:\color{Cerulean}{c}\color{black}{A=}\color{Cerulean}{c}\color{black}{B}} \\ {\textbf{Division Property of Equality:}}&{If\:A=B,\:then\:\color{black}{\frac{A}{\color{Cerulean}{c}}=\frac{B}{\color{Cerulean}{c}}}\:c\neq 0}\end{array}\)

Nota

Se evita cuidadosamente multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por\(0\). Dividir por\(0\) es indefinido y multiplicar ambos lados por\(0\) resultados en la ecuación\(0 = 0\).

Para resumir, se mantiene la igualdad y se obtiene una ecuación equivalente si suma, resta, multiplica o divide ambos lados de una ecuación por cualquier número real distinto de cero. La técnica para resolver ecuaciones lineales implica aplicar estas propiedades para aislar la variable en un lado de la ecuación. Si la ecuación lineal tiene un término constante, entonces lo sumamos o restamos de ambos lados de la ecuación para obtener una ecuación equivalente donde se aísla el término variable.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Resolver:

\(x+3=−5\).

Solución:

Para aislar la variable del\(x\) lado izquierdo, restar\(3\) de ambos lados.

Respuesta:

La solución es\(x=−8\).

Para comprobar que esto es cierto, sustituya\(−8\) en la ecuación original y simplifique para ver que se satisface:\(x+3=-8+3=-5\quad\checkmark\).

En el ejemplo anterior, después de restar\(3\) de ambos lados, se obtiene\(x+0=−8\). Por la propiedad de identidad aditiva de los números reales, esto equivale a\(x=−8\). Este paso suele quedar fuera en la presentación de la solución.

Si se aísla el término variable de la ecuación (incluyendo el coeficiente), entonces aplique la propiedad de multiplicación o división de igualdad para obtener una ecuación equivalente con la variable aislada. Es decir, nuestro objetivo es obtener una ecuación equivalente con\(x\) o\(1x\) aislada en un lado del signo igual.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Resolver:

\(−5x=−35\).

Solución:

El coeficiente de\(x\) es\(–5\), así que divide ambos lados por\(−5\).

Respuesta:

La solución es\(x=7\). Realizar el chequeo mentalmente sustituyendo\(7\)\(x\) en la ecuación original.

En el ejemplo anterior, después de dividir ambos lados por\(−5, x\) se deja con un coeficiente de\(1\), porque\(\frac{−5}{−5}=1\). De hecho, cuando decimos “aislar la variable”, nos referimos a cambiar el coeficiente de la variable a\(1\), porque\(1x=7\) es equivalente a\(x=7\). Este paso a menudo se deja fuera de los ejemplos instructivos a pesar de que su omisión es a veces una fuente de confusión.

Otra propiedad importante es la propiedad simétrica: para cualquier expresión algebraica\(A\) y\(B\),

\[\text{If }A=B,\text{ then }B=A\]

La ecuación\(2=x\) es equivalente a\(x=2\). No importa de qué lado elijamos aislar la variable.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Resolver:

\(2=5+x\).

Solución:

Aísle la variable\(x\) restando\(5\) de ambos lados de la ecuación.

Respuesta:

La solución es\(−3\), y verificar la solución lo demuestra\(2 = 5 − 3\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Resolver:

\(6=x-4\)

Contestar: \(x=10\)

Aislamiento de la variable en dos pasos

Una ecuación lineal de la forma\(ax+b=c\) toma dos pasos para resolver. En primer lugar, utilizar la propiedad de igualdad apropiada de suma o resta para aislar el término variable. A continuación, aísle la variable usando la propiedad de igualdad de multiplicación o división. La comprobación de las soluciones en los siguientes ejemplos se deja al lector.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Resolver:

\(2x-5=15\).

Solución:

\(\begin{aligned} 2x-5&=15 \\ 2x-5\color{Cerulean}{+5}&=15\color{Cerulean}{+5} &\color{Cerulean}{Add\:5\:to\:both\:sides.} \\ 2x&=20 \\ \frac{2x}{\color{Cerulean}{2}}&=\frac{20}{\color{Cerulean}{2}} &\color{Cerulean}{Divide\:both\:sides\:by\:2.} \\ x&=10 \end{aligned}\)

Respuesta:

La solución es\(10\).

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Resolver:

\(−3x−2=9\).

Solución:

\(\begin{aligned} -3x-2&=9 \\ -3x-2\color{Cerulean}{+2}&=9\color{Cerulean}{+2} &\color{Cerulean}{Add\:2\:to\:both\:sides.} \\ -3x&=11 \\ \frac{-3x}{\color{Cerulean}{-3}}&=\frac{11}{\color{Cerulean}{-3}} &\color{Cerulean}{Divide\:both\:sides\:by\:-3.} \\ x&=-\frac{11}{3} \end{aligned}\)

Respuesta:

La solución es\(-\frac{11}{3}\).

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Resolver:

\(6−5y=−14\).

Solución:

Cuando ningún signo precede al término, se entiende que es positivo. En otras palabras, piensa en esto como\(+6−5y=−14\). Comience restando\(6\) de ambos lados del signo igual.

Respuesta:

La solución es\(4\).

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Resolver:

\(3x+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\).

Solución:

\(\begin{aligned} 3x+\frac{1}{2}&=\frac{2}{3} \\ 3x+\frac{1}{2}\color{Cerulean}{-\frac{1}{2}}&=\frac{2}{3}\color{Cerulean}{-\frac{1}{2}}&\color{Cerulean}{Subtract\:\frac{1}{2}\:from\:both\:sides.} \\ 3x&=\color{black}{\frac{2\cdot\color{OliveGreen}{2}}{3\cdot\color{OliveGreen}{2}}-\frac{1\cdot\color{OliveGreen}{3}}{2\cdot\color{OliveGreen}{3}}} &\color{Cerulean}{Obtain\:equivalent\:fractions\:with} \\ &&\color{Cerulean}{a\:common\:denominator.} \\ 3x&=\frac{4}{6}-\frac{3}{6} \\ 3x&=\frac{1}{6} \\ \frac{3x}{\color{Cerulean}{3}}&=\frac{6}{\color{Cerulean}{3}} &\color{Cerulean}{Divide\:both\:sides\:by\:3.} \\ x&=\frac{1}{6}\div\color{Cerulean}{3}\color{black}{=\frac{1}{6}\cdot}\color{Cerulean}{\frac{1}{3}}\color{black}{=\frac{1}{18}} \end{aligned}\)

Respuesta:

La solución es\(\frac{1}{18}\).

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Resolver:

\(3−y=1\).

Solución:

Recordemos que\(−y\) es equivalente a\(−1y\); dividir ambos lados de la ecuación por\(−1\).

\(\begin{aligned} -y&=-2\\ \frac{-1y}{\color{Cerulean}{-1}}&=\frac{-2}{\color{Cerulean}{-1}} \\ y&=2 \end{aligned}\)

Alternativamente, multiplique ambos lados de\(−y=−2\) por\(−1\) y lograr el mismo resultado:

Respuesta:

La solución es\(2\).

En resumen, para retener ecuaciones equivalentes, debemos realizar la misma operación en ambos lados de la ecuación. Primero, aplicar la propiedad de suma o resta de igualdad para aislar el término variable y luego aplicar la propiedad de multiplicación o división de igualdad para aislar la variable en un lado de la ecuación.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Resolver:

\(−7x+6=27\).

Contestar: \(x=−3\)

Multiplicando por lo Recíproco

Para resolver una ecuación como\(\frac{3}{4}x=1\), podemos aislar la variable dividiendo ambos lados por el coeficiente. Por ejemplo

\(\begin{aligned} \frac{3}{4}x&=1 \\ \frac{\frac{3}{4}x}{\color{Cerulean}{\frac{3}{4}}}&=\frac{1}{\color{Cerulean}{\frac{3}{4}}}\\x&=1\cdot\color{Cerulean}{\frac{4}{3}} \\ x&=\frac{4}{3} \end{aligned}\)

En el lado izquierdo del signo igual, la fracción cancela. En el lado derecho, tenemos una fracción compleja y multiplicamos por el recíproco del coeficiente. Se puede guardar un paso reconociendo esto y comenzar multiplicando ambos lados de la ecuación por el recíproco del coeficiente.

\(\begin{aligned} \frac{3}{4}x&=1 \\ \color{Cerulean}{\frac{4}{3}}\color{black}{\cdot\frac{3}{4}x}&=\color{Cerulean}{\frac{4}{3}}\color{black}{\cdot 1} \\ x&=\frac{4}{3} \end{aligned}\)

Recordemos que el producto de los recíprocos es\(1\), en este caso\(\frac{4}{3}⋅\frac{3}{4}=1\), dejar aislada la variable.

Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

Resolver:

\(\frac{5}{3}x+2=−8\).

Solución:

Aísle el término variable usando la propiedad de suma de igualdad y luego multiplique ambos lados de la ecuación por el recíproco del coeficiente\(\frac{5}{3}\).

Respuesta:

La solución es\(-6\).

Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

Resolver:

\(−\frac{4}{5}x−5=15\).

Solución:

\(\begin{aligned} -\frac{4}{5}x-5&=15 \\ -\frac{4}{5}x-5\color{Cerulean}{+5}&=15\color{Cerulean}{+5} \\ -\frac{4}{5}x&=20 \end{aligned}\)

El recíproco de\(−\frac{4}{5}\) es\(−\frac{5}{4}\) porque\((−\frac{5}{4})(−\frac{4}{5})=+\frac{20}{20}=1\). Por lo tanto, para aislar la variable\(x\), multiplique ambos lados por\(−\frac{5}{4}\).

Respuesta:

La solución es\(-25\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Resolver:

\(\frac{2}{3}x−9=−4\).

Contestar: \(x=\frac{15}{2}\)

Claves para llevar

Las ecuaciones lineales con una variable se pueden escribir en la forma\(ax+b=0\), donde\(a\) y\(b\) son números reales y\(a≠0\).
“Resolver una ecuación lineal” significa encontrar un valor numérico que pueda reemplazar a la variable y producir una declaración verdadera.
Las propiedades de igualdad proporcionan herramientas para aislar la variable y resolver ecuaciones.
Para resolver una ecuación lineal, primero aísle el término variable agregando lo contrario del término constante a ambos lados de la ecuación. Luego aísle la variable dividiendo ambos lados de la ecuación por su coeficiente.
Después de aislar un término variable con un coeficiente de fracción, resuelva multiplicando ambos lados por el recíproco del coeficiente.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\) Solutions to Linear Equations

¿El valor dado es una solución a la ecuación lineal?

\(x−6=20; x=26\)
\(y+7=−6; y=−13\)
\(−x+5=17; x=12\)
\(−2y=44; y=11\)
\(4x=−24; x=−6\)
\(5x−1=34; x=−7\)
\(−2a−7=−7; a=0\)
\(−\frac{1}{3}x−4=−5; x=−3\)
\(−\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}=−\frac{1}{4}; x=\frac{11}{6}\)
\(−8x−33=3x; x=3\)
\(3y−5=−2y−15; y=−2\)
\(3(2x+1)=−4x−3; x=−\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{2}y−\frac{1}{3}=\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}; y=3\)
\(−\frac{4}{3}y+\frac{1}{9}=−\frac{2}{3}y−\frac{1}{9}; y=\frac{1}{3}\)

Contestar

1. Sí

3. No

5. Sí

7. Sí

9. Sí

11. Sí

13. Sí

Ejercicio\(\PageIndex{6}\) Solving Basic Linear Equations

Resolver.

\(x+3=13\)
\(y−4=22\)
\(−6+x=12\)
\(9+y=−4\)
\(x−\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\)
\(x+\frac{2}{3}=−\frac{1}{5}\)
\(x+2\frac{1}{2}=3\frac{1}{3}\)
\(−37+x=−37\)
\(4x=−44\)
\(-9x=63\)
\(−y=13\)
\(−x=−10\)
\(−9x=0\)
\(−3a=−33\)
\(27=18y\)
\(14=−7x\)
\(31. 5.6a=−39.2\)
\(−1.2y=3.72\)
\(\frac{1}{3}x=−\frac{1}{2}\)
\(−\frac{t}{12}=\frac{1}{4}\)
\(−\frac{7}{3}x=\frac{1}{2}\)
\(\frac{x}{5}=−3\)
\(\frac{4}{9}y=−\frac{2}{3}\)
\(−\frac{5}{8}y=−\frac{5}{2}\)

Contestar

1. \(10\)

3. \(18\)

5. \(\frac{5}{6}\)

7. \(\frac{5}{6}\)

9. \(−11\)

11. \(−13\)

13. \(0\)

15. \(\frac{3}{2}\)

17. \(−7\)

19. \(−\frac{3}{2}\)

21. \(−\frac{3}{14}\)

23. \(−\frac{3}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\) Solving Linear Equations

Resolver.

\(5x+7=32\)
\(4x−3=21\)
\(3a−7=23\)
\(12y+1=1\)
\(21x−7=0\)
\(−3y+2=−13\)
\(−5x+9=8\)
\(22x−55=−22\)
\(4.5x−2.3=6.7\)
\(1.4−3.2x=3\)
\(9.6−1.4y=−10.28\)
\(4.2y−3.71=8.89\)
\(3−2y=−11\)
\(−4−7a=24\)
\(−10=2x−5\)
\(24=6−12y\)
\(\frac{5}{6}x−\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\)
\(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}=\frac{2}{5}\)
\(4a−\frac{2}{3}=−\frac{1}{6}\)
\(\frac{3}{5}x−\frac{1}{2}=\frac{1}{10}\)
\(−\frac{4}{5}y+\frac{1}{3}=\frac{1}{15}\)
\(−\frac{9}{16}x+\frac{4}{3}=\frac{4}{3}\)
\(−x+5=14\)
\(−y−7=−12\)
\(75−a=200\)
\(15=5−x\)
\(−8=4−2x\)
\(33−x=33\)
\(18=6−y\)
\(−12=−2x+3\)
\(−3=3.36−1.2a\)
\(0=−3.1a+32.55\)
\(\frac{1}{4}=−\frac{3}{8}+10x\)
\(70=50−\frac{1}{2}y\)

Contestar

1. \(5\)

3. \(10\)

5. \(\frac{1}{3}\)

7. \(\frac{1}{5}\)

9. \(2\)

11. \(14.2\)

13. \(7\)

15. \(−\frac{5}{2}\)

17. \(\frac{7}{5}\)

19. \(\frac{1}{8}\)

21. \(\frac{1}{3}\)

23. \(−9\)

25. \(−125\)

27. \(6\)

29. \(−12\)

31. \(5.3\)

33. \(\frac{1}{16}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\) Solving Linear Equations

Traducir las siguientes frases en ecuaciones lineales y luego resolver.

La suma de\(2x\) y\(5\) es igual a\(15\).
La suma de\(−3x\) y\(7\) es igual a\(14\).
La diferencia de\(5x\) y\(6\) es igual a\(4\).
Doce veces\(x\) es igual a\(36\).
Un número\(n\) dividido por\(8\) es\(5\).
Seis restado de dos veces un número\(x\) es\(12\).
Cuatro sumado a tres veces un número\(n\) es\(25\).
Tres cuartas partes de un número\(x\) es\(9\).
Dos tercios negativos por un número\(x\) es igual a\(20\).
La mitad de un número\(x\) más\(3\) es igual a\(10\).

Contestar

1. \(2x+5=15; x=5\)

3. \(5x−6=4; x=2\)

5. \(\frac{n}{8}=5; n=40\)

7. \(3n+4=25; n=7\)

9. \(−\frac{2}{3}x=20; x=−30\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\) Solving Linear Equations

Encuentra una ecuación lineal de la forma\(ax+b=0\) con la solución dada, donde\(a\) y\(b\) son enteros. (Las respuestas pueden variar.)

\(x=2\)
\(x=−3\)
\(x=-\frac{1}{2}\)
\(x=\frac{2}{3}\)

Contestar

1. \(x−2=0\)

3. \(2x+1=0\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\) Discussion Board Topics

¿Cuántos pasos se necesitan para resolver alguna ecuación de la forma\(ax+b=c\)? Explique.
En lugar de dividir por\(6\) cuándo\(6x=12\), ¿podrías multiplicar por el recíproco de\(6\)? ¿Esto siempre funciona?

Contestar: 1. Las respuestas pueden variar