2.4: Resolver ecuaciones lineales- Parte II

Objetivos de aprendizaje

• Resolver ecuaciones lineales generales.
• Identificar y resolver ecuaciones condicionales, identidades y contradicciones.
• Borrar decimales y fracciones a partir de ecuaciones.
• Resolver ecuaciones literales o fórmulas para una variable dada.

Combinar términos similares y simplificar

Las ecuaciones lineales normalmente no se dan en forma estándar, por lo que resolverlas requiere pasos adicionales. Estos pasos adicionales incluyen simplificar expresiones en cada lado del signo igual usando el orden de las operaciones.

Términos similares del mismo lado

A menudo nos encontraremos con ecuaciones lineales donde las expresiones a cada lado del signo igual pueden simplificarse. Por lo general, esto implica combinar términos similares al mismo lado. Si este es el caso, entonces lo mejor es simplificar cada lado primero antes de resolver.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Resolver:

\(−4a+2−a=3−2\).

Solución:

Primero, combine los términos similares a cada lado del signo igual.

Respuesta:

La solución es\(\frac{1}{5}\).

Términos similares del lado opuesto

Dada una ecuación lineal en la forma\(ax+b=cx+d\), comenzamos combinando términos similares en lados opuestos del signo igual. Para combinar términos similares al lado opuesto, use la propiedad de suma o resta de igualdad para efectivamente “mover términos” de un lado a otro para que puedan combinarse.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Resolver:

\(−2y−3=5y+11\).

Solución:

Para “mover” el término\(5y\) hacia el lado izquierdo, restarlo en ambos lados.

\(\begin{aligned} -2y-3&=5y+11 \\ -2y-3\color{Cerulean}{-5y}&=5y+11\color{Cerulean}{-5y} &\color{Cerulean}{Subtract\:5y\:from\:both\:sides.} \\ -7y-3&=11 \end{aligned}\)

A partir de aquí, resolver utilizando las técnicas desarrolladas previamente.

Siempre verifique para ver que la solución es correcta sustituyendo la solución de nuevo en la ecuación original y simplificando para ver si obtiene una declaración verdadera.

\(\begin{aligned} -2y-3&=5y+11 \\ -2(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)-3}&=5(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)+1} \\ 4-3&=-10+11 \\ 1&=1 \quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Respuesta:

La solución es\(-2\).

Lineamientos generales para resolver ecuaciones lineales

Al resolver ecuaciones lineales, el objetivo es determinar qué valor, en su caso, producirá una declaración verdadera cuando se sustituya en la ecuación original. Haga esto aislando la variable siguiendo los siguientes pasos:

Paso 1: Simplifique ambos lados de la ecuación usando el orden de las operaciones y combine todos los términos similares del mismo lado.

Paso 2: Usa las propiedades apropiadas de igualdad para combinar términos similares al lado opuesto con el término variable en un lado de la ecuación y el término constante en el otro.

Paso 3: Divide o multiplica según sea necesario para aislar la variable.

Paso 4: Comprueba si la respuesta resuelve la ecuación original.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Resolver:

\(-\frac{1}{2}(10y-2)+3=14\)

Solución:

Simplifica la expresión lineal en el lado izquierdo antes de resolver.

Para verificar,

\(\begin{aligned} -\frac{1}{2}(10(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)-2)+3}&=14 \\ -\frac{1}{2}(-20-2)+3&=14 \\ -\frac{1}{2}(-22)+3&=14 \\ 11+3&=14 \\ 14&=14\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Respuesta:

La solución es\(-2\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Resolver:

\(5(3x+2)−2=−2(1−7x)\).

Solución:

Primero, simplificar las expresiones en ambos lados del signo igual.

Respuesta:

La solución es\(−10\). El cheque se deja como ejercicio.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Resolver:

\(6−3(4x−1)=4x−7\).

Contestar

\(x=1\)

Ecuaciones condicionales, identidades y contradicciones

Hay tres tipos diferentes de ecuaciones. Hasta este punto, hemos estado resolviendo ecuaciones condicionales. Estas son ecuaciones que son ciertas para valores particulares. Una identidad es una ecuación que es verdadera para todos los valores posibles de la variable. Por ejemplo,

\(x=x\quad\color{Cerulean}{Identity}\)

tiene un conjunto de soluciones que consta de todos los números reales,\(R\). Una contradicción es una ecuación que nunca es cierta y por lo tanto no tiene soluciones. Por ejemplo,

\(x+1=x\quad\color{Cerulean}{Contradiction}\)

no tiene solución. Utilizamos el conjunto vacío,\(∅\), para indicar que no hay soluciones.

Si el resultado final de resolver una ecuación es una afirmación verdadera, como\(0 = 0\), entonces la ecuación es una identidad y cualquier número real es una solución. Si resolver resulta en una declaración falsa, como\(0 = 1\), entonces la ecuación es una contradicción y no hay solución.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Resolver:

\(4(x+5)+6=2(2x+3)\).

Solución:

\(\begin{aligned} 4(x+5)+6&=2(2x+3)&\color{Cerulean}{Distribute.} \\ 4x\color{OliveGreen}{+20+6}&=4x+6&\color{Cerulean}{Combine\:same-side\:like\:terms.} \\ 4x+26&=4x+6 &\color{Cerulean}{Combine\:opposite-side\:like\:terms.} \\ 4x+26\color{Cerulean}{-4x}&=4x+6\color{Cerulean}{-4x} \\ 26&=6\quad\color{red}{x} &\color{Cerulean}{False} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(∅\). Resolver lleva a una declaración falsa; por lo tanto, la ecuación es una contradicción y no hay solución.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Resolver:

\(3(3y+5)+5=10(y+2)−y\).

Solución:

\(\begin{aligned} 3(3y+5)+5&=10(y+2)-y &\color{Cerulean}{Distribute.} \\ 9y\color{OliveGreen}{+15+5}&=10y+20-y &\color{Cerulean}{Combine\:same-side\:like\:terms.} \\ 9y+20&=9y+20 &\color{Cerulean}{Combine\:opposite-side\:like\:terms.} \\ 9y+20\color{Cerulean}{-9y}&=9y+20\color{Cerulean}{-9y} \\ 20&=20 \quad\color{Cerulean}{\checkmark} &\color{Cerulean}{True} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(R\). Resolver conduce a una afirmación verdadera; por lo tanto, la ecuación es una identidad y cualquier número real es una solución.

Si es difícil creer que cualquier número real sea una solución a la ecuación del ejemplo anterior, entonces elige tu número real favorito, y sumételo en la ecuación para ver que lleva a una afirmación verdadera. Elija\(x=7\) y verifique:

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Resolver:

\(−2(3x+1)−(x−3)=−7x+1\).

Contestar

\(R\)

Borrar decimales y fracciones

Los coeficientes de las ecuaciones lineales pueden ser cualquier número real, incluso decimales y fracciones. Cuando se utilizan decimales y fracciones, es posible utilizar la propiedad de multiplicación de igualdad para borrar los coeficientes en un solo paso. Si se le dan coeficientes decimales, multiplique por una potencia apropiada de 10 para borrar los decimales. Si se le dan coeficientes fraccionarios, entonces multiplique ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (LCD).

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Resolver:

\(2.3x+2.8=−1.2x+9.8\).

Solución:

Observe que todos los coeficientes decimales se expresan con dígitos en el lugar de décimas; esto sugiere que podemos borrar los decimales multiplicando ambos lados por\(10\). Tenga cuidado de distribuir\(10\) a cada término en ambos lados de la ecuación.

\(\begin{aligned} \color{Cerulean}{10\cdot }\color{black}{(2.3x+2.8)} &=\color{Cerulean}{10\cdot}\color{black}{-1.2x+9.8} &\color{Cerulean}{Multiply\:both\:sides\:by\:10.} \\ \color{Cerulean}{10\cdot }\color{black}{2.3x+}\color{Cerulean}{10\cdot }\color{black}{2.8}&=\color{Cerulean}{10\cdot }\color{black}{(-1.2x)+}\color{Cerulean}{10\cdot}\color{black}{9.8} \\ 23x+28&=-12x+98 &\color{Cerulean}{Integer\:coefficients} \\ 23x+28\color{Cerulean}{+12x}&=-12x+98\color{Cerulean}{+12x} &\color{Cerulean}{Solve.} \\ 35x+28&=98 \\ 35x+28\color{Cerulean}{-28}&=98\color{Cerulean}{-28} \\ 35x&=70 \\ \frac{35x}{\color{Cerulean}{35}}&=\frac{70}{\color{Cerulean}{35}} \\ x&=2 \end{aligned}\)

Respuesta:

La solución es\(2\).

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Resolver:

\(\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}=\frac{1}{5}x−1\).

Solución:

Despeja las fracciones multiplicando ambos lados por el múltiplo menos común de los denominadores dados. En este caso, la LCM\((3, 5)=15\).

Respuesta:

La solución es\(-9\).

Es importante saber que estas técnicas sólo funcionan para ecuaciones. No intentes borrar fracciones al simplificar expresiones. Como recordatorio

\(\begin{array}{c|c} {\underline{\color{Cerulean}{Expression}}}&{\underline{\color{Cerulean}{Equation}}} \\ {\frac{1}{2}x+\frac{5}{3}}&{\frac{1}{2}x+\frac{5}{3}=0} \end{array}\)

Resuelve ecuaciones y simplifica expresiones. Si multiplicas una expresión por\(6\), cambiarás el problema. Sin embargo, si multiplicas ambos lados de una ecuación por 6, obtienes una ecuación equivalente.

\(\begin{array}{c|c} {\underline{\color{red}{Incorrect}}}&{\underline{\color{Cerulean}{Correct}}}\\{\frac{1}{2}x+\frac{5}{3}}&{\frac{1}{2}x+\frac{5}{3}=0} \\ {\neq\color{red}{6\cdot}\color{black}{\left( \frac{1}{2}x+\frac{5}{3} \right)}}&{\color{Cerulean}{6\cdot}\color{black}{\left( \frac{1}{2}x+\frac{5}{3} \right) =}\color{Cerulean}{6\cdot }\color{black}{0}} \\{=3x+10\quad\color{red}{x}}&{3x+10=10\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Ecuaciones literales (fórmulas lineales)

El álgebra nos permite resolver clases enteras de aplicaciones usando ecuaciones literales o fórmulas. Las fórmulas suelen tener más de una variable y describen, o modelan, un problema particular del mundo real. Por ejemplo, la fórmula familiar\(D=rt\) describe la distancia recorrida en términos de la tasa promedio y el tiempo; dadas dos cualesquiera de estas cantidades, podemos determinar la tercera. Usando álgebra, podemos resolver la ecuación para cualquiera de las variables y derivar dos fórmulas más.

\(\begin{aligned} D&=rt \\ \frac{D}{\color{Cerulean}{r}}&=\frac{rt}{\color{Cerulean}{r}}&\color{Cerulean}{Divide\:both\:sides\:by\:r.} \\ \frac{D}{r}&=t \end{aligned}\)

Si dividimos ambos lados por\(r\), obtenemos la fórmula\(t=Dr\). Usa esta fórmula para encontrar el tiempo, dada la distancia y la tasa

\(\begin{aligned} D&=rt \\ \frac{D}{\color{Cerulean}{t}}&=\frac{rt}{\color{Cerulean}{t}}&\color{Cerulean}{Divide\:both\:sides\:by\:t.} \\ \frac{D}{t}&=r \end{aligned}\)

Si dividimos ambos lados por\(t\), obtenemos la fórmula\(r=Dt\). Usa esta fórmula para encontrar la tarifa, dada la distancia recorrida y el tiempo que lleva recorrer esa distancia. Usando las técnicas aprendidas hasta este punto, ahora tenemos tres fórmulas equivalentes que relacionan distancia, tasa promedio y tiempo:

\(D=rt\qquad t=\frac{D}{r}\qquad r=\frac{D}{t}\)

Cuando se le da una ecuación literal, muchas veces es necesario resolver para una de las variables en términos de las otras. Utilizar las propiedades de igualdad para aislar la variable indicada.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Resolver para\(a\):

\(P=2a+b\).

Solución:

El objetivo es aislar la variable\(a\).

\(\begin{aligned} P&=2a+b \\ P\color{Cerulean}{-b}&=2a+b\color{Cerulean}{-b} &\color{Cerulean}{Subtract\:b\:from\:both\:sides.} \\ P-b&=2a \\ \frac{P-b}{\color{Cerulean}{2}}&=\frac{2a}{\color{Cerulean}{2}} &\color{Cerulean}{Divide\:both\:sides\:by\:2.} \\ \frac{P-b}{2}&=a \end{aligned}\)

Respuesta:

\(a=\frac{P-b}{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Resolver para\(y\):

\(z=\frac{x+y}{2}\).

Solución:

El objetivo es aislar la variable\(y\).

\(\begin{aligned} z&=\frac{x+y}{2} \\ \color{Cerulean}{2\cdot}\color{black}{z}&=\color{Cerulean}{2\cdot}\color{black}{\frac{x+y}{2}}&\color{Cerulean}{Multiply\:both\:sides\:by\:2.} \\ 2z&=x+y \\ 2z\color{Cerulean}{-x}&=x+y\color{Cerulean}{-x}&\color{Cerulean}{Subtract\:x\:from\:both\:sides.} \\ 2z-x&=y \end{aligned}\)

Respuesta:

\(y=2z-x\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Resolver para\(b\):

\(2a−3b=c\).

Contestar

\(b=\frac{2a−c}{3}\)

Claves para llevar

• Resolver ecuaciones lineales generales implica aislar la variable, con coeficiente\(1\), en un lado del signo igual.
• Los pasos para resolver ecuaciones lineales son:
  • Simplifica ambos lados de la ecuación y combina todos los términos similares del mismo lado.
  • Combina términos similares al lado opuesto para obtener el término variable en un lado del signo igual y el término constante en el otro.
  • Dividir o multiplicar según sea necesario para aislar la variable.
  • Consulta la respuesta.
• La mayoría de las ecuaciones lineales que encontrarás son condicionales y tienen una solución.
• Si resolver una ecuación lineal conduce a una declaración verdadera como\(0 = 0\), entonces la ecuación es una identidad y el conjunto de soluciones consiste en todos los números reales,\(R\).
• Si resolver una ecuación lineal conduce a una declaración falsa como\(0 = 5\), entonces la ecuación es una contradicción y no hay solución,\(∅\).
• Borrar fracciones multiplicando ambos lados de una ecuación lineal por el múltiplo menos común de todos los denominadores. Distribuir y multiplicar todos los términos por la LCD para obtener una ecuación equivalente con coeficientes enteros.
• Dada una fórmula, resolver para cualquier variable utilizando las mismas técnicas para resolver ecuaciones lineales. Esto funciona porque las variables son simplemente representaciones de números reales.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\) Checking for Solutions

¿El valor dado es una solución a la ecuación lineal?

1. \(2(3x+5)−6=3x−8; x=−4 \)
2. \(−x+17−8x=9−x; x=−1 \)
3. \(4(3x−7)−3(x+2)=−1; x=\frac{1}{3}\)
4. \(−5−2(x−5)=−(x+3); x=−8 \)
5. \(7−2(\frac{1}{2}x−6)=x−1; x=10 \)
6. \(3x−\frac{2}{3}(9x−2)=0; x=\frac{4}{9}\)

Contestar

1. Sí

3. No

5. Sí

Ejercicio\(\PageIndex{5}\) Solving Linear Equations

Resolver.

1. \(4x−7=7x+5\)
2. \(−5x+3=−8x−9\)
3. \(3x−5=2x−17\)
4. \(−2y−52=3y+13\)
5. \(−4x+2=7x−20\)
6. \(4x−3=6x−15\)
7. \(9x−25=12x−25\)
8. \(12y+15=−6y+23\)
9. \(1.2x−0.7=3x+4.7\)
10. \(2.1x+6.1=−1.3x+4.4\)
11. \(2.02x+4.8=14.782−1.2x\)
12. \(−3.6x+5.5+8.2x=6.5+4.6x\)
13. \(\frac{1}{2}x−\frac{2}{3}=x+\frac{1}{5}\)
14. \(\frac{1}{3}x−\frac{1}{2}=−\frac{1}{4}x−\frac{1}{3}\)
15. \(−\frac{1}{10}y+\frac{2}{5}=\frac{1}{5}y+\frac{3}{10}\)
16. \(x−\frac{20}{3}=\frac{5}{2}x+\frac{5}{6}\)
17. \(\frac{2}{3}y+\frac{1}{2}=\frac{5}{8}y+\frac{37}{24}\)
18. \(\frac{1}{3}+\frac{4}{3}x=\frac{10}{7}x+\frac{1}{3}−\frac{2}{21}x\)
19. \(\frac{8}{9}−\frac{11}{18}x=\frac{7}{6}−12x\)
20. \(\frac{1}{3}−9x=\frac{4}{9}+\frac{1}{2}x\)
21. \(12x−5+9x=44\)
22. \(10−6x−13=12\)
23. \(−2+4x+9=7x+8−2x\)
24. \(20x−5+12x=6−x+7\)
25. \(3a+5−a=2a+7\)
26. \(−7b+3=2−5b+1−2b\)
27. \(7x−2+3x=4+2x−2\)
28. \(−3x+8−4x+2=10\)
29. \(6x+2−3x=−2x−13\)
30. \(3x−0.75+0.21x=1.24x+7.13\)
31. \(−x−2+4x=5+3x−7\)
32. \(−2y−5=8y−6−10y\)
33. \(\frac{1}{10}x−\frac{1}{3}=\frac{1}{30}−\frac{1}{15}x−\frac{7}{15}\)
34. \(\frac{5}{8}−\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}=−\frac{3}{9}x−\frac{1}{4}+\frac{1}{3}x\)

Contestar

1. \(−4\)

3. \(−12\)

5. \(2\)

7. \(0\)

9. \(−3\)

11. \(3.1\)

13. \(−\frac{26}{15}\)

15. \(\frac{1}{3}\)

17. \(25\)

19. \(−\frac{5}{2}\)

21. \(\frac{7}{3}\)

23. \(−1\)

25. \(∅\)

27. \(\frac{1}{2}\)

29. \(−3\)

31. \(R\)

33. \(−\frac{3}{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\) Solving Linear Equations Involving Parentheses

Resolver.

1. \(−5(2y−3)+2=12\)
2. \(3(5x+4)+5x=−8\)
3. \(4−2(x−5)=−2\)
4. \(10−5(3x+1)=5(x−4)\)
5. \(9−(x+7)=2(x−1)\)
6. \(−5(2x−1)+3=−12\)
7. \(3x−2(x+1)=x+5\)
8. \(5x−3(2x−1)=2(x−3)\)
9. \(−6(x−1)−3x=3(x+8)\)
10. \(−\frac{3}{5}(5x+10)=\frac{1}{2}(4x−12)\)
11. \(3.1(2x−3)+0.5=22.2\)
12. \(4.22−3.13(x−1)=5.2(2x+1)−11.38\)
13. \(6(x−2)−(7x−12)=14\)
14. \(−9(x−3)−3x=−3(4x+9)\)
15. \(3−2(x+4)=−3(4x−5)\)
16. \(12−2(2x+1)=4(x−1)\)
17. \(3(x+5)−2(2x+3)=7x+9\)
18. \(3(2x−1)−4(3x−2)=−5x+10\)
19. \(−3(2a−3)+2=3(a+7)\)
20. \(−2(5x−3)−1=5(−2x+1)\)
21. \(\frac{1}{2}(2x+1)−\frac{1}{4}(8x+2)=3(x−4)\)
22. \(−\frac{2}{3}(6x−3)−\frac{1}{2}=\frac{3}{2}(4x+1)\)
23. \(\frac{1}{2}(3x−1)+\frac{1}{3}(2x−5)=0\)
24. \(\frac{1}{3}(x−2)+\frac{1}{5}=\frac{1}{9}(3x+3)\)
25. \(−2(2x−7)−(x+3)=6(x−1)\)
26. \(10(3x+5)−5(4x+2)=2(5x+20)\)
27. \(2(x−3)−6(2x+1)=−5(2x−4)\)
28. \(5(x−2)−(4x−1)=−2(3−x)\)
29. \(6(3x−2)−(12x−1)+4=0\)
30. \(−3(4x−2)−(9x+3)−6x=0\)

Contestar

1. \(\frac{1}{2}\)

3. \(8\)

5. \(\frac{4}{3}\)

7. \(∅\)

9. \(−\frac{3}{2}\)

11. \(5\)

13. \(−14\)

15. \(2\)

17. \(0\)

19. \(−\frac{10}{9}\)

21. \(3\)

23. \(1\)

25. \(\frac{17}{11}\)

27. \(∅\)

29. \(\frac{7}{6}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\) Literal Equations

Resolver para la variable indicada.

1. Resolver para\(w\):\(A=l⋅w\).
2. Resolver para\(a\):\(F=ma\).
3. Resolver para\(w\):\(P=2l+2w\).
4. Resolver para\(r\):\(C=2πr\).
5. Resolver para\(b\):\(P=a+b+c\).
6. Resolver para\(C\):\(F=\frac{9}{5}C+32\).
7. Resolver para\(h\):\(A=\frac{1}{2}bh\).
8. Resolver para\(t\):\(I=Prt\).
9. Resolver para\(y\):\(ax+by=c\).
10. Resolver para\(h\):\(S=2πr^{2}+2πrh\).
11. Resolver para\(x\):\(z=\frac{2x+y}{5}\).
12. Resolver para\(c\):\(a=3b−\frac{2c}{3}\).
13. Resolver para\(b\):\(y=mx+b\).
14. Resolver para\(m\):\(y=mx+b\).
15. Resolver para\(y\):\(3x−2y=6\).
16. Resolver para\(y\):\(−5x+2y=12\).
17. Resolver para\(y\):\(\frac{x}{3}−\frac{y}{5}=1\).
18. Resolver para\(y\):\(\frac{3}{4}x−\frac{1}{5}y=\frac{1}{2}\).

Contestar

1. \(w=\frac{A}{l}\)

3. \(w=\frac{P−2l}{2}\)

5. \(b=P−a−c \)

7. \(h=\frac{2A}{b}\)

9. \(y=\frac{−ax+c}{b}\)

11. \(x=\frac{5z−y}{2}\)

13. \(b=y−mx\)

15. \(y=\frac{3x−6}{2}\)

17. \(y=\frac{5x−15}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\) Literal Equations

Traducir las siguientes frases en ecuaciones lineales y luego resolver.

1. La suma de\(3x\) y\(5\) es igual a la suma de\(2x\) y\(7\).
2. La suma de\(−5x\) y\(6\) es igual a la diferencia de\(4x\) y\(2\).
3. La diferencia de\(5x\) y\(25\) es igual a la diferencia de\(3x\) y\(51\).
4. La suma de\(\frac{1}{2}x\) y\(\frac{3}{4}\) es igual a\(\frac{2}{3}x\).
5. Un número\(n\) dividido por\(5\) es igual a la suma del doble del número y\(3\).
6. Negativo diez veces un número\(n\) es igual a la suma de tres veces el número y\(13\).

Contestar

1. \(3x+5=2x+7\);\(x=2\)

3. \(5x−25=3x−51\);\(x=−13\)

5. \(\frac{n}{5}=2n+3\);\(n=−\frac{5}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\) Discussion Board Topics

1. ¿Cuál es el origen de la palabra álgebra?
2. ¿Cuál es considerado como el principal negocio del álgebra?
3. ¿Por qué resolver ecuaciones es un tema de álgebra tan importante?
4. Publicar algunas fórmulas lineales del mundo real no presentadas en esta sección.
5. Investigar y discutir las contribuciones de Diofanto de Alejandría.
6. Crea una identidad o contradicción propia y comparte en el panel de discusión. Proporcione una solución y explique cómo la encontró.

Contestar

1. Las respuestas pueden variar

3. Las respuestas pueden variar

5. Las respuestas pueden variar