4.3: Resolver sistemas lineales por eliminación

Objetivos de aprendizaje

• Resolver sistemas lineales utilizando el método de eliminación.
• Resuelve sistemas lineales con fracciones y decimales.
• Identificar las debilidades y fortalezas de cada método para resolver sistemas lineales.

El método de eliminación

En esta sección, el objetivo es desarrollar otro método completamente algebraico para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Comenzamos definiendo lo que significa sumar ecuaciones juntas. En el siguiente ejemplo, observe que si agregamos las expresiones en ambos lados del signo igual, obtenemos otra declaración verdadera.

\(\begin{aligned} 2+3&=5 \\ \underline{+\quad 1+7}&\underline{=8} \\ 3+10&=13\\13&=13\quad\color{Cerulean}{\checkmark} \end{aligned}\)

Esto es cierto en general: si\(A, B, C\), y\(D\) son expresiones algebraicas, entonces tenemos la siguiente propiedad de suma de ecuaciones:

\[\text{If}\:A=B\:\text{and}\:C=D,\:\text{then}\:A+C=B+D.\]

Para el sistema

\(\left\{\begin{aligned} x+y&=5\\x-y&=1 \end{aligned}\right.\)

sumamos las dos ecuaciones juntas:

\(\begin{aligned} x\color{red}{+y}&=5 \\ \underline{+\quad x\color{red}{-y}}&\underline{=1} \\ 2x&=6 \end{aligned}\)

La suma de\(y\) y\(−y\) es cero y ese término se elimina. Esto nos deja con una ecuación lineal con una variable que se puede resolver fácilmente:

\(\begin{aligned}\frac{2x}{\color{Cerulean}{2}}&=\frac{6}{\color{Cerulean}{2}}\\x&=3 \end{aligned}\)

En este punto, tenemos la\(x\) coordenada de la solución simultánea, por lo que todo lo que queda por hacer es volver a sustituir para encontrar el\(y\) -valor correspondiente.

\(\begin{aligned} x+y&=5 \\ \color{OliveGreen}{3}\color{black}{+y}&=5 \\ y&=2 \end{aligned}\)

De ahí que la solución al sistema sea\((3, 2)\). Este proceso describe el método de eliminación (o adición) para resolver sistemas lineales. Por supuesto, la variable no siempre es tan fácil de eliminar. Normalmente, tenemos que encontrar un sistema equivalente aplicando la propiedad de multiplicación de igualdad a una o ambas ecuaciones como medio para alinear una de las variables a eliminar. El objetivo es disponer que o bien los\(x\) términos o los\(y\) términos sean opuestos, para que cuando se agreguen las ecuaciones, los términos eliminen. Los pasos para el método de eliminación se describen en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Resolver por eliminación:

\(\left\{\begin{aligned} 2x+y&=7 \\ 3x−2y& =−7\end{aligned}\right.\).

Solución:

Paso 1: Multiplica una, o ambas, de las ecuaciones para establecer la eliminación de una de las variables. En este ejemplo, eliminaremos la variable\(y\) multiplicando ambos lados de la primera ecuación por\(2\). Tenga cuidado de distribuir.

\(\begin{aligned} \color{Cerulean}{2}\color{black}{(2x+y)} &=\color{Cerulean}{2}\color{black}{(7)} \\ 4x+2y&=14 \end{aligned}\)

Esto nos deja con un sistema equivalente donde la variable y se alinea para eliminar.

Paso 2: Suma las ecuaciones juntas para eliminar una de las variables.

\(\begin{aligned} 4x\color{red}{+2y}&=14 \\ \underline{+\quad 3x\color{red}{-2y}}&\underline{=-7} \\ 7x&=7 \end{aligned}\)

Paso 3: Resolver para la variable restante.

\(\begin{aligned} \frac{7x}{\color{Cerulean}{7}}&=\frac{7}{\color{Cerulean}{7}} \\ x&=1 \end{aligned}\)

Paso 3: Volver a sustituir en cualquiera de las ecuaciones o su ecuación equivalente.

\(\begin{aligned} 2x+y&=7 \\ 2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)+y}&=7 \\ 2+y\color{Cerulean}{-2}&=7\color{Cerulean}{-2} \\ y&=5 \end{aligned}\)

Paso 4: Comprobar. Recuerde que la solución debe resolver ambas ecuaciones originales.

\(\color{Cerulean}{Check:}\:\:\color{black}{(1,5)}\)

\(\begin{array}{c|c}{Equation\:1:}&{Equation\:2:}\\{2x+y=7}&{4x+2y=14}\\{2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)+(}\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)=7}}&{4(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)+2(}\color{OliveGreen}{5}\color{black}{)=14}}\\{2+5=7}&{4+10=14}\\{7=7\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}&{14=14\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Respuesta:

\((1,5)\)

Ocasionalmente, tendremos que multiplicar ambas ecuaciones para alinear una de las variables a eliminar. Queremos que las ecuaciones equivalentes resultantes tengan términos con coeficientes opuestos.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Resolver por eliminación:

\(\left\{\begin{aligned} 5x−3y&=−1\\3x+2y&=7\end{aligned}\right.\).

Solución:

Elegimos eliminar los términos con variable y porque los coeficientes tienen signos diferentes. Para ello, primero determinamos el múltiplo menos común de los coeficientes; en este caso, el LCM\((3, 2)\) es\(6\). Por lo tanto, multiplique ambos lados de ambas ecuaciones por los valores apropiados para obtener coeficientes de\(−6\) y\(6\).

\(\begin{array}{cl}{\color{Cerulean}{2}\color{black}{(5x-3y)=}\color{Cerulean}{2}\color{black}{(-1)}}&{\color{Cerulean}{Multiply\:both\:sides\:of\:the}}\\{}&{\color{Cerulean}{first\:equation\:by\:2.}}\\{10x-6y=-2}&{} \end{array}\)

\(\begin{array}{cl}{\color{Cerulean}{3}\color{black}{(3x+2y)=}\color{Cerulean}{3}\color{black}{(7)}}&{\color{Cerulean}{Multiply\:both\:sides\:of\:the}}\\{}&{\color{Cerulean}{second\:equation\:by\:3.}}\\{9x+6y=21}&{} \end{array}\)

Esto da como resultado el siguiente sistema equivalente:

Ahora se alinean los\(y\) términos para eliminar.

Sustituto de espalda.

\(\begin{aligned} 3x+2y&=7\\3(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)+2y}&=7 \\ 3+2y\color{Cerulean}{-3}&=7\color{Cerulean}{-3} \\ 2y&=4 \\ y&=2 \end{aligned}\)

Respuesta:

\((1,2)\)

A veces los sistemas lineales no se dan en forma estándar. Cuando este es el caso, lo mejor es reorganizar primero las ecuaciones antes de comenzar los pasos para resolver por eliminación.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Resolver por eliminación:

\(\left\{\begin{aligned} 5x+12y&=11\\3y&=4x+1\end{aligned}\right.\).

Solución:

Primero, reescribir la segunda ecuación en forma estándar.

\(\begin{aligned} 3y&=4x+1 \\ 3y\color{Cerulean}{-4x}&=4x+1\color{Cerulean}{-4x} \\ -4x+3y&=1 \end{aligned}\)

Esto da como resultado el siguiente sistema equivalente donde términos similares se alinean en columnas:

\(\left\{\begin{aligned} 5x+12y&=11\\3y&=4x+1 \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned} 5x+12y&=11 \\ -4x+3y&=1 \end{aligned}\right.\)

Podemos eliminar el término con variable\(y\) si multiplicamos la segunda ecuación por\(−4\).

A continuación, sumamos las ecuaciones juntas,

\(\begin{aligned} 5x\color{red}{12y}&=11 \\ \underline{+\quad 16x\color{red}{-12y}}&\underline{=-4} \\ 21x&=7 \\ \frac{21x}{\color{Cerulean}{21}}&=\frac{7}{\color{Cerulean}{21}} \\ x&=\frac{1}{3} \end{aligned}\)

Sustituto de espalda.

\(\begin{aligned} 3y&=4x+1\\ 3y&=4\left(\color{OliveGreen}{\frac{1}{3}}\right) \color{black}{+1} \\ 3y&=\frac{4}{3}+\frac{3}{3} \\ 3y&=\frac{7}{3} \\ \frac{3y}{\color{Cerulean}{3}}&=\frac{3}{\color{Cerulean}{3}} \\y&=\frac{7}{3}\cdot\frac{1}{3} \\ y&=\frac{7}{9} \end{aligned}\)

Respuesta:

\((\frac{1}{3},\frac{7}{9})\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Resolver por eliminación:

\(\left\{\begin{aligned} 2x+y&=−3\\−3x−2y&=4\end{aligned}\right.\).

Responder

\((-2,1)\)

En este punto, exploramos lo que sucede al resolver sistemas dependientes e inconsistentes utilizando el método de eliminación.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Resolver por eliminación:

\(\left\{\begin{aligned} 3x−y&=7\\6x−2y&=14\end{aligned}\right.\).

Solución:

Para eliminar la variable\(x\), podríamos multiplicar la primera ecuación por\(−2\).

Ahora sumando las ecuaciones que tenemos

Una afirmación verdadera indica que se trata de un sistema dependiente. Las líneas coinciden, y necesitamos\(y\) en términos de\(x\) presentar el conjunto de soluciones en la forma\((x, mx+b)\). Elija una de las ecuaciones originales y resuelva para\(y\). Dado que las ecuaciones son equivalentes, no importa cuál escojamos.

Respuesta:

\((x, 3x-7)\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Resolver por eliminación:

\(\left\{\begin{aligned}−x+3y&=9\\ 2x−6y&=12\end{aligned}\right.\).

Solución:

Podemos eliminar\(x\) multiplicando la primera ecuación por\(2\).

\(\left\{\begin{aligned} -x+3y&=9 \\ 2x-6y&=12 \end{aligned}\right. \stackrel{\times 2}{\Rightarrow} \left\{\begin{aligned} -2x+6y&=18 \\ 2x-6y&=12 \end{aligned}\right.\)

Ahora sumando las ecuaciones que tenemos

\(\begin{aligned} -2x\color{red}{+6y}&=18 \\ \underline{2x\color{red}{-6y}}&\underline{=12} \\ 0&=30\quad\color{red}{False} \end{aligned}\)

Una declaración falsa indica que el sistema es inconsistente. Las líneas son paralelas y no se cruzan.

Respuesta:

Sin solución,\(∅\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Resolver por eliminación:

\(\left\{\begin{aligned}3x+15y&=−15\\2x+10y&=30\end{aligned}\right.\).

Responder

Sin solución,\(∅\)

Eliminación de fracciones y decimales

Dado un sistema lineal donde las ecuaciones tienen coeficientes fraccionarios, suele ser mejor borrar las fracciones antes de comenzar el método de eliminación.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Resolver:

\(\left\{\begin{aligned} −\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y&=\frac{4}{5} \\ \frac{1}{7}x+\frac{1}{3}y&=−\frac{2}{21}\end{aligned}\right.\).

Solución:

Recordemos que podemos borrar fracciones multiplicando ambos lados de una ecuación por el mínimo denominador común (LCD). Tenga cuidado de distribuir y luego simplificar.

\(\begin{array}{c|c}{Equation\:1:}&{Equation\:2:}\\{\color{Cerulean}{10}\color{black}{\left( -\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y \right)} \color{black}{=}\color{Cerulean}{10}\color{black}{\left(\color{black}{\frac{4}{5}} \right)}}&{\color{Cerulean}{21}\color{black}{\left(\frac{1}{7}x+\frac{1}{3}y \right)=}\color{Cerulean}{21}\color{black}{\left(-\frac{2}{21} \right)}}\\{\color{Cerulean}{10\cdot}\color{black}{\left(-\frac{1}{10}x \right)+ }\color{Cerulean}{10\cdot}\color{black}{\frac{1}{2}y=}\color{Cerulean}{10\cdot}\color{black}{\frac{4}{5}}}&{\color{Cerulean}{21\cdot}\color{black}{\frac{1}{7}x+}\color{Cerulean}{21\cdot}\color{black}{\frac{1}{3}y=}\color{Cerulean}{21}\color{black}{\left(-\frac{2}{21} \right)}}\\{-x+5y=8}&{3x+7y=-2} \end{array}\)

Esto da como resultado un sistema equivalente donde las ecuaciones tienen coeficientes enteros,

Resuelve usando el método de eliminación.

\(\begin{aligned} \color{red}{-3x}\color{black}{+15y}&=24 \\ \underline{+\quad\color{red}{3x}\color{black}{+7y}}&\underline{=-2} \\ 22y&=22 \\ \frac{22y}{\color{Cerulean}{22}}&=\frac{22}{\color{Cerulean}{22}} \\ y&=1 \end{aligned}\)

Sustituto de espalda.

Respuesta:

\((-3,1)\)

Podemos usar una técnica similar para borrar decimales antes de resolver.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Resolver:

\(\left\{\begin{aligned} 3x−0.6y&=−0.9\\−0.5x+0.12y&=0.16\end{aligned}\right.\).

Solución:

Multiplique cada ecuación por la potencia más baja de\(10\) necesaria para dar como resultado coeficientes enteros. En este caso, multiplique la primera ecuación por\(10\) y la segunda por\(100\).

\(\begin{array}{c|c} {Equation\:1:}&{Equation\:2:}\\{\color{Cerulean}{10}\color{black}{(3x-0.6y)=}\color{Cerulean}{10}\color{black}{(-0.9)}}&{\color{Cerulean}{100}\color{black}{(-0.5x+0.12y)=}\color{Cerulean}{100}\color{black}{(0.16)}}\\{30x-6y=-9}&{-50x+12y=16} \end{array}\)

Esto da como resultado un sistema equivalente donde las ecuaciones tienen coeficientes enteros:

Resuelve usando el método de eliminación.

Sustituto de espalda.

\(\begin{aligned} 3x-0.6y&=-0.9 \\ 3(\color{OliveGreen}{-0.2}\color{black}{)-0.6y}&=-0.9 \\ -0.6-0.6y\color{Cerulean}{+0.6}&=-0.9\color{Cerulean}{+0.6} \\ \frac{-0.6y}{\color{Cerulean}{-0.6}}&=\frac{-0.3}{\color{Cerulean}{-0.6}} \\ y&=0.5 \end{aligned}\)

Respuesta:

\((-0.2,0.5)\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Resolver usando eliminación:

\(\left\{\begin{aligned} \frac{1}{3}x−\frac{2}{3}y&=3\\ \frac{1}{3}x−\frac{1}{2}y&=\frac{8}{3} \end{aligned}\right.\)

Responder

\((5,-2)\)

Resumen de los métodos para resolver sistemas lineales

Hemos desarrollado tres métodos para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos variables. En esta sección, resumimos las fortalezas y debilidades de cada método.

El método de graficar es útil para entender qué es un sistema de ecuaciones y cómo deben ser las soluciones. Cuando las ecuaciones de un sistema están graficadas en el mismo conjunto de ejes, podemos ver que la solución es el punto donde se cruzan las gráficas. La gráfica se facilita cuando las ecuaciones están en forma de pendiente-intersección. Por ejemplo

\(\left\{\begin{aligned} y&=5x+15 \\ y&=-5x+5 \end{aligned}\right.\)

Figura\(\PageIndex{1}\)

La solución simultánea\((−1, 10)\) corresponde al punto de intersección. Un inconveniente de este método es que es muy inexacto. Cuando las coordenadas de la solución no son números enteros, el método es prácticamente inutilizable. Si tenemos una opción, normalmente evitamos este método en favor de las técnicas algebraicas más precisas.

El método de sustitución, por otro lado, es un método completamente algebraico. Requiere que resuelvas una de las variables y sustituyas el resultado en la otra ecuación. La ecuación resultante tiene una variable para la cual se puede resolver.

Este método es particularmente útil cuando existe una variable dentro del sistema con coeficiente de\(1\). Por ejemplo

\(\left\{\begin{aligned} 10x+y&=20 \\ 7x+5y&=14 \end{aligned}\right. \quad\color{Cerulean}{Choose\:the\:substitution\:method.}\)

En este caso, es fácil de resolver\(y\) en la primera ecuación y luego sustituir el resultado por la otra ecuación. Un inconveniente de este método es que a menudo conduce a ecuaciones equivalentes con coeficientes fraccionarios, con los que resulta tedioso trabajar. Si no hay un coeficiente de\(1\), entonces generalmente es mejor elegir el método de eliminación.

El método de eliminación es un método completamente algebraico que hace uso de la propiedad de adición de ecuaciones. Multiplicamos una o ambas ecuaciones para obtener ecuaciones equivalentes donde se elimina una de las variables si las sumamos juntas. Por ejemplo,

Aquí multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por\(5\) y ambos lados de la segunda ecuación por\(−2\). Esto da como resultado un sistema equivalente donde la variable\(x\) se elimina cuando sumamos las ecuaciones juntas. Por supuesto, hay otras combinaciones de números que logran el mismo resultado. Incluso podríamos optar por eliminar la variable\(y\). No importa qué variable se elimine primero, la solución será la misma. Obsérvese que el método de sustitución, en este caso, requeriría cálculos tediosos con coeficientes fraccionarios. Una debilidad del método de eliminación, como veremos más adelante en nuestro estudio del álgebra, es que no siempre funciona para sistemas no lineales.

Claves para llevar

• El método de eliminación es un método completamente algebraico para resolver un sistema de ecuaciones.
• Multiplique una o ambas ecuaciones en un sistema por ciertos números para obtener un sistema equivalente consistente en términos similares con coeficientes opuestos. Al sumar estas ecuaciones equivalentes se elimina una variable, y la ecuación resultante tiene una variable para la cual se puede resolver.
• Es una buena práctica reescribir primero las ecuaciones en forma estándar antes de comenzar el método de eliminación.
• Cuando se determina el valor de una de las variables, volver a sustituir en una de las ecuaciones originales, o sus ecuaciones equivalentes, y determinar el valor correspondiente de la otra variable.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\) Elimination Method

Resolver por eliminación.

1. \(\left\{\begin{aligned} x+y&=3\\2x−y&=9 \end{aligned}\right.\)
2. \(\left\{\begin{aligned}x−y&=−6\\5x+y&=−18\end{aligned}\right.\)
3. \(\left\{\begin{aligned}x+3y&=5\\−x−2y&=0\end{aligned}\right.\)
4. \(\left\{\begin{aligned}−x+4y&=4\\x−y&=−7\end{aligned}\right.\)
5. \(\left\{\begin{aligned}−x+y&=2\\x−y&=−3\end{aligned}\right.\)
6. \(\left\{\begin{aligned}3x−y&=−2\\6x+4y&=2\end{aligned}\right.\)
7. \(\left\{\begin{aligned}5x+2y&=−3\\10x−y&=4\end{aligned}\right.\)
8. \(\left\{\begin{aligned}−2x+14y&=28\\x−7y&=21\end{aligned}\right.\)
9. \(\left\{\begin{aligned}−2x+y&=4\\12x−6y&=−24 \end{aligned}\right.\)
10. \(\left\{\begin{aligned}x+8y&=3\\3x+12y&=6\end{aligned}\right.\)
11. \(\left\{\begin{aligned}2x−3y&=15\\4x+10y&=14\end{aligned}\right.\)
12. \(\left\{\begin{aligned}4x+3y&=−10\\3x−9y&=15\end{aligned}\right.\)
13. \(\left\{\begin{aligned}−4x−5y&=−3\\8x+3y&=−15\end{aligned}\right.\)
14. \(\left\{\begin{aligned}−2x+7y&=56\\4x−2y&=−112\end{aligned}\right.\)
15. \(\left\{\begin{aligned}−9x−15y&=−15\\3x+5y&=−10\end{aligned}\right.\)
16. \(\left\{\begin{aligned}6x−7y&=4\\2x+6y&=−7\end{aligned}\right.\)
17. \(\left\{\begin{aligned}4x+2y&=4\\−5x−3y&=−7\end{aligned}\right.\)
18. \(\left\{\begin{aligned}5x−3y&=−1\\3x+2y&=7\end{aligned}\right.\)
19. \(\left\{\begin{aligned}7x+3y&=9\\2x+5y&=−14\end{aligned}\right.\)
20. \(\left\{\begin{aligned}9x−3y&=3\\7x+2y&=−15\end{aligned}\right.\)
21. \(\left\{\begin{aligned}5x−3y&=−7\\−7x+6y&=11\end{aligned}\right.\)
22. \(\left\{\begin{aligned}2x+9y&=8\\3x+7y&=−1\end{aligned}\right.\)
23. \(\left\{\begin{aligned}2x+2y&=5\\3x+3y&=−5\end{aligned}\right.\)
24. \(\left\{\begin{aligned}−3x+6y&=−12\\2x−4y&=8\end{aligned}\right.\)
25. \(\left\{\begin{aligned}25x+15y&=−1\\15x+10y&=−1\end{aligned}\right.\)
26. \(\left\{\begin{aligned}2x−3y&=2\\18x−12y&=5\end{aligned}\right.\)
27. \(\left\{\begin{aligned}y&=−2x−3\\−3x−2y&=4\end{aligned}\right.\)
28. \(\left\{\begin{aligned}28x+6y&=9\\6y&=4x−15\end{aligned}\right.\)
29. \(\left\{\begin{aligned}y&=5x+15\\y&=−5x+5\end{aligned}\right.\)
30. \(\left\{\begin{aligned}2x−3y&=9\\5x−8y&=−16\end{aligned}\right.\)
31. \(\left\{\begin{aligned}\frac{1}{2}x−\frac{1}{3}y&=\frac{1}{6} \\ \frac{5}{2}x+y&=\frac{7}{2}\end{aligned}\right.\)
32. \(\left\{\begin{aligned}\frac{1}{4}x−\frac{1}{9}y&=1\\x+y&=\frac{3}{4}\end{aligned}\right.\)
33. \(\left\{\begin{aligned}\frac{1}{2}x−\frac{1}{4}y&=\frac{1}{3} \\ \frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y&=−\frac{19}{6}\end{aligned}\right.\)
34. \(\left\{\begin{aligned}−\frac{14}{3}x+2y&=4\\−\frac{1}{3}x+\frac{1}{7}y&=\frac{4}{21}\end{aligned}\right.\)
35. \(\left\{\begin{aligned}0.025x+0.1y&=0.5\\ 0.11x+0.04y&=−0.2\end{aligned}\right.\)
36. \(\left\{\begin{aligned}1.3x+0.1y&=0.35\\0.5x+y&=−2.75\end{aligned}\right.\)
37. \(\left\{\begin{aligned}x+y&=5\\ 0.02x+0.03y&=0.125\end{aligned}\right.\)
38. \(\left\{\begin{aligned}x+y&=30\\0.05x+0.1y&=2.4\end{aligned}\right.\)

Responder

1. \((4, −1) \)

3. \((−10, 5) \)

5. \(∅\)

7. \((\frac{1}{5}, −2) \)

9. \((x, 2x+4) \)

11. \((6, −1) \)

13. \((−3, 3) \)

15. \(∅ \)

17. \((−1, 4) \)

19. \((3, −4) \)

21. \((−1, \frac{2}{3})\)

23. \(∅\)

25. \((\frac{1}{5}, −\frac{2}{5})\)

27. \((−2, 1) \)

29. \((−1, 10) \)

31. \((1, 1) \)

33. \((−2, −\frac{16}{3})\)

35. \((−4, 6) \)

37. \((2.5, 2.5)\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\) Elimination Method

Configurar un sistema lineal y resolverlo usando el método de eliminación.

1. La suma de dos números es\(14\). El número mayor es\(1\) menos de dos veces el menor.
2. La suma de dos números es\(30\). Cuanto más grande es\(2\) más de tres veces más pequeño.
3. La diferencia de dos números es\(13\) y su suma es\(11\).
4. La diferencia de dos números es\(2\) y su suma es\(−12\).

Responder

1. Los dos números son\(5\) y\(9\).

3. Los dos números son\(12\) y\(−1\).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\) Mixed Exercises

Resuelve usando cualquier método.

1. \(\left\{\begin{aligned} y&=2x−3\\3x+y&=12 \end{aligned}\right.\)
2. \(\left\{\begin{aligned} x+3y&=−5\\y&=13x+5 \end{aligned}\right.\)
3. \(\left\{\begin{aligned}x&=−1\\y&=3 \end{aligned}\right.\)
4. \(\left\{\begin{aligned}y&=1\\2x+9&=0 \end{aligned}\right.\)
5. \(\left\{\begin{aligned}y&=x\\−x+y&=1 \end{aligned}\right.\)
6. \(\left\{\begin{aligned}y&=5x\\y&=−10 \end{aligned}\right.\)
7. \(\left\{\begin{aligned}3y&=2x−24\\3x+4y&=2 \end{aligned}\right.\)
8. \(\left\{\begin{aligned}y&=−32x+1\\−2y+2&=3x \end{aligned}\right.\)
9. \(\left\{\begin{aligned}7y&=−2x−1\\7x&=2y+23 \end{aligned}\right.\)
10. \(\left\{\begin{aligned}5x+9y−14&=0\\3x+2y−5&=0 \end{aligned}\right.\)
11. \(\left\{\begin{aligned} y&=−\frac{5}{16}x+10& \\ y&=\frac{5}{16}x−10\end{aligned}\right.\)
12. \(\left\{\begin{aligned}y&=−\frac{6}{5}x+1\\2x&=6 \end{aligned}\right.\)
13. \(\left\{\begin{aligned}2(x−3)+y&=0\\3(2x+y−1)&=15 \end{aligned}\right.\)
14. \(\left\{\begin{aligned}3−2(x−y)&=−3\\4x−3(y+1)&=8 \end{aligned}\right.\)
15. \(\left\{\begin{aligned}2(x+1)&=3(2y−1)−21 \\3(x+2)&=1−(3y−2) \end{aligned}\right.\)
16. \(\left\{\begin{aligned} \frac{x}{2}−\frac{y}{3}&=−7\\ \frac{x}{3}−\frac{y}{2}&=−8\end{aligned}\right.\)
17. \(\left\{\begin{aligned}\frac{x}{4}−\frac{y}{2}&=\frac{3}{4}\\ \frac{x}{3}+\frac{y}{6}&=\frac{1}{6} \end{aligned}\right.\)
18. \(\left\{\begin{aligned} \frac{1}{3}x−\frac{2}{3}y&=3 \\ \frac{1}{3}x−\frac{1}{2}y&=\frac{8}{3} \end{aligned}\right.\)
19. \(\left\{\begin{aligned}−\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y&=\frac{4}{5} \\ \frac{1}{7}x+\frac{1}{3}y&=−\frac{2}{21} \end{aligned}\right.\)
20. \(\left\{\begin{aligned}y&=−\frac{5}{3}x+\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y&=\frac{1}{10} \end{aligned}\right.\)
21. \(\left\{\begin{aligned}−\frac{1}{7}x+y&=−\frac{2}{3} \\ −\frac{1}{14}x+\frac{1}{2}y&=\frac{1}{3} \end{aligned}\right.\)
22. \(\left\{\begin{aligned} \frac{1}{15}x−\frac{1}{12}y&=\frac{1}{3} \\ −\frac{3}{10}x+\frac{3}{8}y&=−\frac{3}{2} \end{aligned}\right.\)
23. \(\left\{\begin{aligned}x+y&=4,200\\ 0.03x+0.0525y&=193.5 \end{aligned}\right.\)
24. \(\left\{\begin{aligned}x+y&=350\\0.2x+0.1y&=52.5 \end{aligned}\right.\)
25. \(\left\{\begin{aligned}0.2x−0.05y&=0.43\\0.3x+0.1y&=−0.3 \end{aligned}\right.\)
26. \(\left\{\begin{aligned}0.1x+0.3y&=0.3\\0.05x−0.5y&=−0.63 \end{aligned}\right.\)
27. \(\left\{\begin{aligned}0.15x−0.25y&=−0.3\\−0.75x+1.25y&=−4 \end{aligned}\right.\)
28. \(\left\{\begin{aligned}−0.15x+1.25y&=0.4\\−0.03x+0.25y&=0.08\end{aligned}\right.\)

Responder

1. \((3, 3) \)

3. \((−1, 3) \)

5. \(Ø \)

7. \((6, −4) \)

9. \((3, −1) \)

11. \((32, 0) \)

13. \((x, −2x+6) \)

15. \((−4, 3) \)

17. \((1, −1) \)

19. \((−3, 1) \)

21. \(∅ \)

23. \((1,200, 3,000) \)

25. \((0.8, −5.4) \)

27. \(Ø\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\) Discussion Board Topics

1. ¿Cómo elegimos el mejor método para resolver un sistema lineal?
2. ¿Qué significa que un sistema sea dependiente? ¿Cómo podemos saber si un sistema determinado es dependiente?

Responder

1. Las respuestas pueden variar