4.5: Resolviendo Sistemas de Desigualdades Lineales (Dos Variables)

Objetivos de aprendizaje

• Verificar soluciones a sistemas de desigualdades lineales con dos variables.
• Resolver sistemas de desigualdades lineales.

Soluciones a Sistemas de Desigualdades Lineales

Un sistema de desigualdades lineales consiste en un conjunto de dos o más desigualdades lineales con las mismas variables. Las desigualdades definen las condiciones que deben considerarse simultáneamente. Por ejemplo,

Sabemos que cada desigualdad en el conjunto contiene infinitamente muchas soluciones de pares ordenados definidas por una región en un plano de coordenadas rectangulares. Al considerar dos de estas desigualdades juntas, la intersección de estos conjuntos define el conjunto de soluciones simultáneas de pares ordenados. Cuando graficamos cada una de las desigualdades anteriores por separado, tenemos

\(y>x-2\)\(y\leq 2x+2\)

Figura\(\PageIndex{1}\)

Figura\(\PageIndex{2}\)

Mesa\(\PageIndex{1}\)

Cuando se grafica en el mismo conjunto de ejes, se puede determinar la intersección.

Figura\(\PageIndex{3}\)

La intersección está sombreada más oscura y la gráfica final del conjunto de soluciones se presenta de la siguiente manera:

Figura\(\PageIndex{4}\)

El gráfico sugiere que\((3, 2)\) es una solución porque está en la intersección. Para verificar esto, demuestre que resuelve ambas desigualdades originales:

\(\color{Cerulean}{Check:}\:\:\color{black}{(3,2)}\)

\(\begin{array}{c|c}{Inequality\:1:\quad y>x-2}&{Inequality\:2:\quad y/leq 2x+2}\\{2>3-2}&{2\leq 2(3)+2}\\{2>1\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}&{2\leq 8\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Los puntos en el límite sólido se incluyen en el conjunto de soluciones simultáneas y los puntos en el límite discontinua no lo están. Considere el punto\((−1, 0)\) en el límite sólido definido por\(y=2x+2\) y verifique que resuelve el sistema original:

\(\color{Cerulean}{Check:}\:\:\color{black}{(-1,0)}\)

\(\begin{array}{c|c}{Inequality\:1:\quad y>x-2}&{Inequality\:2:\quad y\leq 2x+2}\\{0>-1-2}&{0\leq 2(-1)+2}\\{0>-3\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}&{0\leq 0\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Observe que este punto satisface ambas desigualdades y así se incluye en el conjunto de soluciones. Ahora considere el punto\((2, 0)\) en el límite discontinuas definido por\(y=x−2\) y verifique que no resuelva el sistema original:

\(\color{Cerulean}{Check:}\:\:\color{black}{(2,0)}\)

\(\begin{array}{c|c}{Inequality\:1:\quad y>x-2}&{Inequality\:2:\quad y\leq 2x+2}\\{0>2-2}&{0\leq 2(2)+2}\\{0>0\quad\color{red}{x}}&{0\leq\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Este punto no satisface ambas desigualdades y por lo tanto no se incluye en el conjunto de soluciones.

Resolución de Sistemas de Desigualdades Lineales

Las soluciones a un sistema de desigualdades lineales son los pares ordenados que resuelven todas las desigualdades en el sistema. Por lo tanto, para resolver estos sistemas, graficar los conjuntos de soluciones de las desigualdades en un mismo conjunto de ejes y determinar dónde se cruzan. Esta intersección, o superposición, define la región de las soluciones comunes de pares ordenados.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Grafique el conjunto de soluciones:

\(\left\{\begin{aligned} −2x+y&>−4 \\ 3x−6y& ≥6 \end{aligned}\right.\).

Solución:

Para facilitar el proceso de graficación, primero resolvemos para\(y\).

2x-4\\ y&\ leq\ frac {1} {2} x-1\ end {alineado}\ derecho.\)

Para la primera desigualdad, usamos un límite discontinuas definido por\(y=2x−4\) y sombreamos todos los puntos por encima de la línea. Para la segunda desigualdad, utilizamos un límite sólido definido por\(y=\frac{1}{2}x−1\) y sombreamos todos los puntos a continuación. La intersección está oscurecida.

Figura\(\PageIndex{5}\)

Ahora presentamos la solución con solo la intersección sombreada.

Respuesta:

Figura\(\PageIndex{6}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Grafique el conjunto de soluciones:

\(\left\{\begin{aligned} −2x+3y&>6 \\ 4x−6y&>12 \end{aligned}\right.\).

Solución:

Comience por resolver ambas desigualdades para\(y\).

Utilice una línea discontinua para cada contorno. Para la primera desigualdad, sombree todos los puntos por encima del límite. Para la segunda desigualdad, sombree todos los puntos por debajo del límite.

Figura\(\PageIndex{7}\)

Como puede ver, no hay intersección de estas dos regiones sombreadas. Por lo tanto, no hay soluciones simultáneas.

Respuesta:

Sin solución,\(∅\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Grafique el conjunto de soluciones:

Solución:

Figura\(\PageIndex{8}\)

Después de graficar las tres desigualdades en el mismo conjunto de ejes, determinamos que la intersección se encuentra en la región triangular que se muestra en la imagen.

Respuesta:

Figura\(\PageIndex{9}\)

El gráfico sugiere que\((−1, 1)\) es un punto común. Como cheque, sustituya ese punto en las desigualdades y verifique que resuelva las tres condiciones.

\(\color{Cerulean}{Check:}\:\:\color{black}{(-1,1)}\)

\(\begin{array}{c|c|c} {Inequality\:1:}&{Inequality\:2:}&{Inequality\:3:}\\{y\geq -4}&{y<x+3}&{y/leq -3x+3}\\{1\geq -4\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}&{1<-1+3}&{1\leq -3(-1)+3}\\{}&{1<2\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}&{1\leq 3+3}\\{}&{}&{1\leq 6\quad\color{Cerulean}{\checkmark}} \end{array}\)

Claves para llevar

• Para resolver sistemas de desigualdades lineales, graficar los conjuntos de soluciones de cada desigualdad en un mismo conjunto de ejes y determinar dónde se cruzan.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\) Solving Systems of Linear Inequalities

Determinar si el punto dado es una solución al sistema dado de ecuaciones lineales.

1. \((3, 2)\);\(\left\{\begin{aligned} y&≤x+3\\y&≥−x+3\end{aligned}\right.\)
2. \((−3, −2)\);\(\left\{\begin{aligned} y&<-3x+4\\y&\geq 2x-1\end{aligned}\right.\)
3. \((5,0)\);\(\left\{\begin{aligned} y&>−x+5\\y&≤\frac{3}{4}x−2\end{aligned}\right.\)
4. \((0, 1)\);\(\left\{\begin{aligned} y&<\frac{2}{3}x+1\\y&≥\frac{5}{2}x−2\end{aligned}\right.\)
5. \((−1, \frac{8}{3})\);\(\left\{\begin{aligned}−4x+3y&≥−12\\2x+3y&<6 \end{aligned}\right.\)
6. \((−1, −2)\);\(\left\{\begin{aligned}−x+y&<0\\x+y&<0\\x+y&<−2 \end{aligned}\right.\)

Contestar

1. Sí

3. No

5. No

Ejercicio\(\PageIndex{2}\) Solving Systems of Linear Inequalities

Grafique el conjunto de soluciones.

1. \(\left\{\begin{aligned} y&\leq x+3 \\ y&\geq -x+3\end{aligned}\right.\)
2. \(\left\{\begin{aligned} y&<-3x+4 \\ y&\geq 2x-1\end{aligned}\right.\)
3. \(\left\{\begin{aligned} y&>x \\ y&<-1 \end{aligned}\right.\)
4. \(\left\{\begin{aligned} y&<\frac{2}{3}x+1\\ y& ≥\frac{5}{2}x−2 \end{aligned}\right.\)
5. \(\left\{\begin{aligned} y&>−x+5\\y&≤\frac{3}{4}x−2 \end{aligned}\right.\)
6. \(\left\{\begin{aligned} y&>\frac{3}{5}x+3\\y&<\frac{3}{5}x−3 \end{aligned}\right.\)
7. \(\left\{\begin{aligned} x+4y&<12\\−3x+12y&≥−12 \end{aligned}\right.\)
8. \(\left\{\begin{aligned} −x+y&≤6\\2x+y&≥1 \end{aligned}\right.\)
9. \(\left\{\begin{aligned} −2x+3y&>3\\4x−3y&<15 \end{aligned}\right.\)
10. \(\left\{\begin{aligned} −4x+3y&≥−12\\2x+3y&<6 \end{aligned}\right.\)
11. \(\left\{\begin{aligned} 5x+y&≤4\\−4x+3y&<−6 \end{aligned}\right.\)
12. \(\left\{\begin{aligned} 3x+5y&<15\\−x+2y&≤0\end{aligned}\right.\)
13. \(\left\{\begin{aligned} x&≥0\\5x+y&>5\end{aligned}\right.\)
14. \(\left\{\begin{aligned} x&≥−2\\y&≥1\end{aligned}\right.\)
15. \(\left\{\begin{aligned} x−3&<0\\y+2&≥0\end{aligned}\right.\)
16. \(\left\{\begin{aligned} 5y&≥2x+5\\−2x&<−5y−5\end{aligned}\right.\)
17. \(\left\{\begin{aligned} x−y&≥0\\−x+y&<1\end{aligned}\right.\)
18. \(\left\{\begin{aligned} −x+y&≥0\\y−x&<1\end{aligned}\right.\)
19. \(\left\{\begin{aligned} x&>−2\\x&≤2\end{aligned}\right.\)
20. \(\left\{\begin{aligned} y&>−1\\y&<2\end{aligned}\right.\)
21. \(\left\{\begin{aligned} −x+2y&>8\\3x−6y&≥18\end{aligned}\right.\)
22. \(\left\{\begin{aligned} −3x+4y&≤4\\6x−8y&>−8\end{aligned}\right.\)
23. \(\left\{\begin{aligned} 2x+y&<3\\−x&≤12y\end{aligned}\right.\)
24. \(\left\{\begin{aligned} 2x+6y&≤6\\−13x−y&≤3\end{aligned}\right.\)
25. \(\left\{\begin{aligned} y&<3\\y&>x\\x&>-4\end{aligned}\right.\)
26. \(\left\{\begin{aligned} y&<1\\y&\geq x-1\\y&<-3x+3\end{aligned}\right.\)
27. \(\left\{\begin{aligned} -4x+3y&>-12\\y&\geq 2\\2x+3y&>6\end{aligned}\right.\)
28. \(\left\{\begin{aligned} -x+y&<0\\x+y&\leq 0\\x+y&>-2\end{aligned}\right.\)
29. \(\left\{\begin{aligned} x+y&<2\\x&<3\\-x+y&\leq 2\end{aligned}\right.\)
30. \(\left\{\begin{aligned} y+4&\geq 0\\ \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y&\leq 1\\-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y&\leq 1\end{aligned}\right.\)
31. Construir un sistema de desigualdades lineales que describa todos los puntos del primer cuadrante.
32. Construir un sistema de desigualdades lineales que describa todos los puntos del segundo cuadrante.
33. Construir un sistema de desigualdades lineales que describa todos los puntos del tercer cuadrante.
34. Construir un sistema de desigualdades lineales que describa todos los puntos del cuarto cuadrante.

Contestar

1.

Figura\(\PageIndex{10}\)

3.

Figura\(\PageIndex{11}\)

5.

Figura\(\PageIndex{12}\)

7.

Figura\(\PageIndex{13}\)

9.

Figura\(\PageIndex{14}\)

11.

Figura\(\PageIndex{15}\)

13.

Figura\(\PageIndex{16}\)

15.

Figura\(\PageIndex{17}\)

17.

Figura\(\PageIndex{18}\)

19.

Figura\(\PageIndex{19}\)

21. Sin solución,\(∅\)

23.

Figura\(\PageIndex{20}\)

25.

Figura\(\PageIndex{21}\)

27.

Figura\(\PageIndex{22}\)

29.

Figura\(\PageIndex{23}\)

31. \(\left\{\begin{aligned} x&>0 \\ y&>0 \end{aligned}\right.\)

33. \(\left\{\begin{aligned} x&<0 \\y&<0 \end{aligned}\right.\)