8.3: Sumando y restando expresiones radicales

Objetivos de aprendizaje

• Sumar y restar como radicales.
• Simplifica las expresiones radicales que involucran radicales similares.

Sumando y restando expresiones radicales

Sumar y restar expresiones radicales es similar a sumar y restar términos similares. Se considera que los radicales son como radicales, o radicales similares, cuando comparten el mismo índice y radicando. Por ejemplo, los términos\(3\sqrt{5}\) y\(4\sqrt{5}\) contienen radicales similares y se pueden agregar usando la propiedad distributiva de la siguiente manera:

\(\begin{aligned} 3 \sqrt{5}+4 \sqrt{5} &=(3+4) \sqrt{5} \\ &=7 \sqrt{5} \end{aligned}\)

Normalmente, no mostramos el paso que involucra la propiedad distributiva y simplemente escribimos

\(3 \sqrt{5}+4 \sqrt{5}=7 \sqrt{5}\)

Al agregar términos con radicales similares, agregue solo los coeficientes; la parte radical sigue siendo la misma.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Agregar:

\(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}\)

Solución:

Los términos contienen radicales similares; por lo tanto, se suman los coeficientes.

\(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{2}=5 \sqrt{2}\)

Respuesta:

\(5\sqrt{2}\)

La resta se realiza de manera similar.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Resta:

\(2\sqrt{7}−3\sqrt{7}\)

Solución:

Respuesta:

\(-\sqrt{7}\)

Si el radicando y el índice no son exactamente los mismos, entonces los radicales no son similares y no podemos combinarlos.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Simplificar:

Solución:

No podemos simplificar más porque\(\sqrt{5}\) y no\(\sqrt{2}\) somos como radicales; los radicandos no son lo mismo.

Respuesta:

\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)

Nota

Precaución

Es importante señalar eso\(\sqrt{5}−\sqrt{2}≠\sqrt{5−2}\). Podemos verificar esto calculando el valor de cada lado con una calculadora.

\(\begin{aligned} \sqrt{5}-\sqrt{2} & \approx 0.82 \\ \sqrt{5-2} &=\sqrt{3} \approx 1.73 \end{aligned}\)

En general, tenga en cuenta eso\(\sqrt[n]{a} \pm\sqrt[n]{b} \neq \sqrt[n]{a\pm b}\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Simplificar:

Solución:

No podemos simplificar más porque\(\sqrt[3]{6}\) y no\(\sqrt{6}\) son como radicales; los índices no son los mismos.

Respuesta:

\(2 \sqrt[3]{6}-\sqrt{6}\)

Muchas veces tendremos que simplificar antes de poder identificar los radicales similares dentro de los términos.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Resta:

\(\sqrt{12}-\sqrt{48}\)

Solución:

A primera vista, los radicales no parecen ser similares. No obstante, después de simplificar por completo, veremos que podemos combinarlos.

Respuesta:

\(-2\sqrt{3}\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Simplificar:

Solución:

Respuesta:

\(-\sqrt{5}-\sqrt{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Resta:

\(2\sqrt{50}-6\sqrt{8}\)

Contestar

\(-2\sqrt{2}\)

A continuación, se trabaja con expresiones radicales que involucran variables. En esta sección, supongamos que todos los radicandos que contienen expresiones variables no son negativos.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Simplificar:

Solución:

No podemos combinar más porque las expresiones radicales restantes no comparten el mismo radicando; no son como radicales. Tenga en cuenta que\(\sqrt[3]{2x}-\sqrt[3]{3x}\neq \sqrt[3]{2x−3x}\).

Respuesta:

\(\sqrt[3]{2 x}-\sqrt[3]{3 x}\)

A menudo encontraremos la necesidad de restar una expresión radical con múltiples términos. Si este es el caso, recuerde aplicar la propiedad distributiva antes de combinar términos similares.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Simplificar:

Solución:

Respuesta:

Hasta que no simplifiquemos, a menudo no está claro qué términos que involucran radicales son similares.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Simplificar:

\(5 \sqrt[3]{2 y}-(\sqrt[3]{54 y}-\sqrt[3]{16})\)

Solución:

Respuesta:

\(2 \sqrt[3]{2 y}+2 \sqrt[3]{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Simplificar:

\(2 a \sqrt{125 a^{2} b}-a^{2} \sqrt{80 b}+4 \sqrt{20 a^{4} b}\)

Solución:

Respuesta:

\(14 a^{2} \sqrt{5 b}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Simplificar:

\(\sqrt{45x^{3}}-(\sqrt{20x^{3}-\sqrt{80x}})\)

Contestar

\(3 \sqrt{5} x^{\frac{3}{2}}-2 \sqrt{5 x^{3}-\sqrt{5} \sqrt{x}}\)

Nota

Tip

Toma nota cuidadosa de las diferencias entre productos y sumas dentro de un radical.

Mesa\(\PageIndex{1}\)

Productos	Sumas
\[\sqrt{x^{2}y^{2}}=xy \sqrt[3]{x^{3}y^{3}}=xy\]	\[\sqrt{x^{2}+y^{2}} \neq (x=y)\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}} \ neq x+y\]

El inmueble\(\sqrt[n]{a⋅b}=\sqrt[n]{a}⋅\sqrt[n]{b}\) dice que podemos simplificar los radicales cuando la operación en el radicando es multiplicación. No hay propiedad correspondiente para adición.

Claves para llevar

• Sumar y restar términos que contengan radicales similares al igual que a usted le gustan los términos. Si el índice y el radicando son exactamente los mismos, entonces los radicales son similares y se pueden combinar. Esto implica sumar o restar sólo los coeficientes; la parte radical sigue siendo la misma.
• Simplifica cada radical completamente antes de combinar términos similares.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\) adding and subtracting like radicals

Simplificar.

1. \(9\sqrt{3}+5\sqrt{3}\)
2. \(12\sqrt{6}+3\sqrt{6}\)
3. \(4\sqrt{5}−7\sqrt{5}\)
4. \(3\sqrt{10}−8\sqrt{10}\)
5. \(\sqrt{6}−4\sqrt{6}+2\sqrt{6}\)
6. \(5\sqrt{10}−15\sqrt{10}−2\sqrt{10}\)
7. \(13\sqrt{7}−6\sqrt{2}−5\sqrt{7}+5\sqrt{2}\)
8. \(10\sqrt{13}−12\sqrt{15}+5\sqrt{13}−18\sqrt{15}\)
9. \(6\sqrt{5}−(4\sqrt{3}−3\sqrt{5})\)
10. \(−12\sqrt{2}−(6\sqrt{6}+\sqrt{2})\)
11. \((2\sqrt{5}−3\sqrt{10})−(\sqrt{10}+3\sqrt{5})\)
12. \((−8\sqrt{3}+6\sqrt{15})−(\sqrt{3}−\sqrt{15})\)
13. \(4\sqrt[3]{6}−3\sqrt[3]{5}+6\sqrt[3]{6}\)
14. \(\sqrt[3]{10}+5\sqrt[3]{10}−4\sqrt[3]{10}\)
15. \((7\sqrt[3]{9}−4\sqrt[3]{3})−(\sqrt[3]{9}−3\sqrt[3]{3})\)
16. \((−8\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{25})−(2\sqrt[3]{5}+6\sqrt[3]{25})\)

Contestar

1. \(14\sqrt{3}\)

3. \(−2\sqrt{5}\)

5. \(−\sqrt{6}\)

7. \(8\sqrt{7}−\sqrt{2}\)

9. \(9\sqrt{5}−4\sqrt{3}\)

11. \(−\sqrt{5}−4\sqrt{10}\)

13. \(10\sqrt[3]{6}−3\sqrt[3]{5}\)

15. \(6\sqrt[3]{9}−\sqrt[3]{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\) adding and subtracting like radicals

Simplificar. (Supongamos que todos los radicandos que contienen expresiones variables son positivos.)

1. \(9\sqrt{x}+7\sqrt{x}\)
2. \(−8\sqrt{y}+4\sqrt{y}\)
3. \(7\sqrt{xy}−3\sqrt{xy}+\sqrt{xy}\)
4. \(10\sqrt{y^{2}x}−12\sqrt{y^{2}x}−2\sqrt{y^{2}x}\)
5. \(2\sqrt{ab}-5\sqrt{a}+6\sqrt{ab}−10\sqrt{a}\)
6. \(−3\sqrt{xy}+6\sqrt{y}−4\sqrt{xy}−7\sqrt{y}\)
7. \(5\sqrt{xy}−(3\sqrt{xy}−7\sqrt{xy})\)
8. \(−8\sqrt{ab}−(2\sqrt{ab}−4\sqrt{ab})\)
9. \((3\sqrt{2x}−\sqrt{3x})−(\sqrt{2x}−7\sqrt{3x})\)
10. \((\sqrt{y}−4\sqrt{2y})−(\sqrt{y}−5\sqrt{2y})\)
11. \(5\sqrt[3]{x}−12\sqrt[3]{x}\)
12. \(−2\sqrt[3]{y}−3\sqrt[3]{y}\)
13. \(a\sqrt[5]{3b}+4a\sqrt[5]{3b}−a\sqrt[5]{3b}\)
14. \(−8\sqrt[4]{ab}+3\sqrt[4]{ab}−2\sqrt[4]{ab}\)
15. \(6\sqrt{2a}-4\sqrt[3]{2a}+7\sqrt{2a}−\sqrt[3]{2a}\)
16. \(4\sqrt[5]{3a} +\sqrt[3]{3a} -9\sqrt[5]{3a}+\sqrt[3]{3a}\)
17. \((\sqrt[4]{4xy}−\sqrt[3]{xy})−(2 \sqrt[4]{4xy}−\sqrt[3]{xy})\)
18. \((5\sqrt[6]{6y}−\sqrt{5y})−(2\sqrt[6]{6y}+\sqrt{3y})\)

Contestar

1. \(16\sqrt{x}\)

3. \(5\sqrt{xy}\)

5. \(8\sqrt{ab}−15\sqrt{a}\)

7. \(9\sqrt{xy}\)

9. \(2\sqrt{2x}+6\sqrt{3x}\)

11. \(−7\sqrt[3]{x}\)

13. \(4a\sqrt[5]{3b}\)

15. \(13\sqrt{2a}−5\sqrt[3]{2a}\)

17. \(−\sqrt[4]{4xy}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\) adding and subtracting rational expressions

Simplificar.

1. \(\sqrt{75}-\sqrt{12}\)
2. \(\sqrt{24}−\sqrt{54}\)
3. \(\sqrt{32}+\sqrt{27}−\sqrt{8}\)
4. \(\sqrt{20}+\sqrt{48}−\sqrt{45}\)
5. \(\sqrt{28}−\sqrt{27}+\sqrt{63}−\sqrt{12}\)
6. \(\sqrt{90}+\sqrt{24}−\sqrt{40}−\sqrt{54}\)
7. \(\sqrt{45}−\sqrt{80}+\sqrt{245}−\sqrt{5}\)
8. \(\sqrt{108}+\sqrt{48}−\sqrt{75}−\sqrt{3}\)
9. \(4\sqrt{2}−(\sqrt{27}−\sqrt{72})\)
10. \(−\sqrt{35}−(\sqrt{20}−\sqrt{50})\)
11. \(\sqrt[3]{16}−\sqrt[3]{54}\)
12. \(\sqrt[3]{81}−\sqrt[3]{24}\)
13. \(\sqrt[3]{135}+\sqrt[3]{40}−\sqrt[3]{5}\)
14. \(\sqrt[3]{108}−\sqrt[3]{32}−\sqrt[3]{4}\)
15. \(2\sqrt{27}−2\sqrt{12}\)
16. \(3\sqrt{50}−4\sqrt{32}\)
17. \(3 \sqrt{243}-2 \sqrt{18}-\sqrt{48}\)
18. \(6\sqrt{216}−2\sqrt{24}−2\sqrt{96}\)
19. \(2 \sqrt{18}-3 \sqrt{75}-2 \sqrt{98}+4 \sqrt{48}\)
20. \(\sqrt{245}−\sqrt{12}+\sqrt{220}−\sqrt{108}\)
21. \((2 \sqrt{363}-3 \sqrt{96})-(7 \sqrt{12}-2 \sqrt{54})\)
22. \((2\sqrt{288}+3\sqrt{360})−(2\sqrt{72}−7\sqrt{40})\)
23. \(3\sqrt[3]{54}+5\sqrt[3]{250}−4\sqrt[3]{16}\)
24. \(4\sqrt[3]{162}−2\sqrt[3]{384}−3\sqrt[3]{750}\)

Contestar

1. \(3\sqrt{3}\)

3. \(2\sqrt{2}+3\sqrt{3}\)

5. \(5\sqrt{7}−5\sqrt{3}\)

7. \(5\sqrt{5}\)

9. \(10\sqrt{2}−3\sqrt{3}\)

11. \(\sqrt[3]{−2}\)

13. \(4\sqrt[3]{5}\)

15. \(2\sqrt{3}\)

17. \(23\sqrt{3}−6\sqrt{2}\)

19. \(−8\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

21. \(8\sqrt{3}−6\sqrt{6}\)

23. \(26\sqrt[3]{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\) adding and subtracting rational expressions

Simplificar. (Supongamos que todos los radicandos que contienen expresiones variables son positivos.)

1. \(\sqrt{81b}+\sqrt{4b}\)
2. \(\sqrt{100a}+\sqrt{a}\)
3. \(\sqrt{9a^{2}b}−\sqrt{36a^{2}b}\)
4. \(\sqrt{50a^{2}}−\sqrt{18a^{2}}\)
5. \(\sqrt{49x}−\sqrt{9y}+\sqrt{x}−\sqrt{4y}\)
6. \(\sqrt{9x}+\sqrt{64y}−\sqrt{25x}−\sqrt{y}\)
7. \(7\sqrt{8x}−(3\sqrt{16y}−2\sqrt{18x})\)
8. \(2\sqrt{64y}−(3\sqrt{32y}−\sqrt{81y})\)
9. \(2 \sqrt{9 m 2 n}-5 \sqrt{m 2 n}+\sqrt{m 2 n}\)
10. \(4\sqrt{18n^{2}m}−2\sqrt{n^{8}m}+\sqrt{n^{2}m}\)
11. \(\sqrt{4x^{2}y}−\sqrt{9xy^{2}}−\sqrt{16x^{2}y}+\sqrt{y^{2}x}\)
12. \(\sqrt{32x^{2}y^{2}}+\sqrt{12x^{2}y}−\sqrt{18x^{2}y^{2}}−\sqrt{27x^{2}y}\)
13. \((\sqrt{9x^{2}y}−\sqrt{16y})−(\sqrt{49x^{2}y}−4\sqrt{y})\)
14. \((\sqrt{72x^{2}y^{2}}−\sqrt{18x^{2}y})−(\sqrt{50x^{2}y^{2}}+\sqrt{x^{2}y})\)
15. \(\sqrt{12 m^{4} n}-m \sqrt{75 m^{2} n}+2 \sqrt{27 m^{4} n}\)
16. \(5n\sqrt{27mn^{2}}+2\sqrt{12mn^{4}}−n\sqrt{3mn^{2}}\)
17. \(2\sqrt{27a^{3}b}−a\sqrt{48ab}−a\sqrt{144a^{3}b}\)
18. \(\sqrt{298a^{4}b}−2a\sqrt{162a^{2}b}+a\sqrt{200b}\)
19. \(\sqrt[3]{125a}−\sqrt[3]{27a}\)
20. \(\sqrt[3]{1000a^{2}}−\sqrt[3]{64a^{2}}\)
21. \(2x\sqrt[3]{54x}−2\sqrt[3]{16x^{4}}+5\sqrt[3]{2x^{4}}\)
22. \(\sqrt[3]{54x^{3}}−\sqrt[3]{250x^{6}}+x2\sqrt[3]{2}\)
23. \(\sqrt[4]{16y^{2}}+\sqrt[4]{81y^{2}}\)
24. \(\sqrt[5]{32y^{4}}−\sqrt[5]{y^{4}}\)
25. \(\sqrt[4]{32a^{3}}−\sqrt[4]{162a^{3}}+5\sqrt[4]{2a^{3}}\)
26. \(\sqrt[4]{80a^{4}b}+\sqrt[4]{5a^{4}b}−a\sqrt[4]{5b}\)
27. \(\sqrt[3]{27x^{3}}+\sqrt[3]{8x}−\sqrt[3]{125x^{3}}\)
28. \(\sqrt[3]{24x}−\sqrt[3]{128x}−\sqrt[3]{81x}\)
29. \(\sqrt[3]{27x^{4}y}−\sqrt[3]{8xy^{3}}+x\sqrt[3]{64xy}−y\sqrt[3]{x}\)
30. \(\sqrt[3]{125xy^{3}}+\sqrt[3]{8x^{3}y}−\sqrt[3]{216xy^{3}}+10x\sqrt[3]{y}\)
31. \((\sqrt[3]{162x^{4}y}−\sqrt[3]{250x^{4}y^{2}})−(\sqrt[3]{2x^{4}y^{2}}−\sqrt[3]{384x^{4}y})\)
32. \((\sqrt[5]{32x^{2}y^{6}}−\sqrt[5]{243x^{6}y^{2}})−(\sqrt[5]{x^{2}y^{6}}−x\sqrt[5]{xy^{2}})\)

Contestar

1. \(11\sqrt{b}\)

3. \(−3a\sqrt{b}\)

5. \(8\sqrt{x}−5\sqrt{y}\)

7. \(20 \sqrt{2x}-12 \sqrt{y}\)

9. \(2 \sqrt{2} \sqrt{m n}\)

11. \(-2 x \sqrt{y}-2 y \sqrt{x}\)

13. \(−4x\sqrt{y}\)

15. \(3 \sqrt{3} m^{2} \sqrt{n}\)

17. \(2a\sqrt{3ab}−12a^{2}\sqrt{ab}\)

19. \(2\sqrt[3]{a}\)

21. \(7x\sqrt[3]{2x}\)

23. \(5 \sqrt{y}\)

25. \(4\sqrt[4]{2a^{3}}\)

27. \(−2x+2\sqrt[3]{x}\)

29. \(7x\sqrt[3]{xy}−3y\sqrt[3]{x}\)

31. \(7x\sqrt[3]{6xy}−6x\sqrt[3]{2xy^{2}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\) discussion board

1. Elija valores para x e y y use una calculadora para mostrarlo\(\sqrt{x+y}\neq \sqrt{x}+\sqrt{y}\).
2. Elija valores para x e y y use una calculadora para mostrarlo\(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\neq x+y\).

Contestar

1. Las respuestas pueden variar