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8.2: Simplificar expresiones radicales

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Objetivos de aprendizaje

  • Simplifica las expresiones radicales usando la regla de producto y cociente para radicales.
  • Usa fórmulas que involucren radicales.
  • Evaluar las funciones dadas de raíz cuadrada y raíz cúbica.

Simplificación de expresiones radicales

Una expresión algebraica que contiene radicales se llama expresión radical. Utilizamos las reglas de producto y cociente para simplificarlos.

Ejemplo8.2.1

Simplificar:

38y3

Solución:

Usa el hecho de quenan=a cuando n es impar.

38y3=323y3Applytheproductruleforradicals.=3233y3Simplify.=2y

Respuesta:

2y

Ejemplo8.2.2

Simplificar:

9x2

Solución:

La raíz cuadrada tiene índice 2; usa el hecho de quenan=a cuando n es par.

9x2=32x2Applytheproductruleforradicals.=32x2Simplify.=3|x|

Dado que x es una variable, puede representar un número negativo. Por lo tanto, debemos asegurarnos de que el resultado sea positivo al incluir el operador de valor absoluto.

Respuesta:

3|x|

Nota

Por lo general, en este punto los textos de álgebra iniciales señalan que todas las variables se supone que son positivas. Si este es el caso, entonces x en el ejemplo anterior es positivo y no se necesita el operador de valor absoluto. El ejemplo se puede simplificar de la siguiente manera:

9x2=32x2=32x2=3x

En esta sección, asumiremos que todas las variables son positivas. Esto nos permite enfocarnos en el cálculo de las raíces n th sin los tecnicismos asociados con el problema principal de raíz n th. Por esta razón, utilizaremos la siguiente propiedad para el resto de la sección:

nan=a, si la raíza0 n

Al simplificar expresiones radicales, busque factores con potencias que coincidan con el índice.

Ejemplo8.2.3

Simplificar:

18x3y4

Solución:

Comience por determinar los factores cuadrados de18,x3, yy4.

 18=232x3=x2xy4=(y2)2 Squarefactors

Haga estas sustituciones y luego aplique la regla del producto para los radicales y simplifique.

18x3y4=232x2x(y2)2Applytheproductruleforradicals.=32x2(y2)22xSimplify.=3xy22x=3xy22x

Respuesta:

3xy22x

Ejemplo8.2.4

Simplificar:

4a5b6

Solución:

Comience por determinar los factores cuadrados de4,a5, yb6.

4=22a5=a2a2a=(a2)2ab6=b3b3=(b3)2Squarefactors

Haga estas sustituciones y luego aplique la regla del producto para los radicales y simplifique.

4a5b6=22(a2)2a(b3)2Applytheproductandquotientruleforradicals.=22(a2)2a(b3)2Simplify.=2a2ab3

Respuesta:

2a2ab3

Ejemplo8.2.5

Simplificar:

380x5y7

Solución:

Comience por determinar los factores cúbicos de80,x5, yy7.

80=245=2325x5=x3x2y7=y6y=(y2)3yCubicfactors

Haga estas sustituciones y luego aplique la regla del producto para los radicales y simplifique.

380x5y7=32325x3x2(y2)3yApplytheproductruleforradicals.=3233x33(y2)3325x2ySimplify.=2xy2310x2y=2xy2310x2y

Respuesta:

2xy2310x2y

Ejemplo8.2.6

Simplificar:

39x6y3z9

Solución:

El coeficiente9=32 y por lo tanto no tiene ningún factor cubo perfecto. Se dejará como el único radical restante porque todos los demás factores son cubos, como se ilustra a continuación:

x6=(x2)3y3=(y)3z9=(z3)3Cubicfactors

Reemplazar las variables con estos equivalentes, aplicar la regla de producto y cociente para radicales, y luego simplificar.

39x6y3z9=332(x2)3y3(z3)3=3323(x2)33y33(z3)3=332x2yz3=39x2yz3

Respuesta:

39x2yz3

Ejemplo8.2.7

Simplificar:

481a4b5

Solución:

Determinar todos los factores que se pueden escribir como poderes perfectos de 4. Aquí es importante verlob5=b4b. De ahí que el factorb quede dentro del radical.

481a4b5=434a4b4b=4344a44b44b=3ab4b

Respuesta:

3ab4b

Ejemplo8.2.8

Simplificar:

Solución:

Observe que la variable factor x no puede escribirse como una potencia de 5 y así quedará dentro del radical. Además, paray6=y5y; el factor y se dejará dentro del radical también.

Respuesta:

2yz5x3y

Ejercicio8.2.1

Simplificar:

192x6y7z12

(Supongamos que todas las variables son positivas.)

Contestar

8x3y3z63y

Nota

Para simplificar fácilmente una raíz n ésima, podemos dividir las potencias por el índice.

a6=a3, que esa6÷2=a33b6=b2, que esb6÷3=b26c6=c, que esc6÷6=c1

Si el índice no divide en la potencia de manera uniforme, entonces podemos usar el cociente y el resto para simplificar. Por ejemplo,

a5=a2a, que esa5÷2=a2r13b5=b3b2, que esb5÷3=b1r25c14=c25c4, que esc14÷5=c2r4

El cociente es el exponente del factor fuera del radical, y el resto es el exponente del factor que queda dentro del radical.

Fórmulas que involucran radicales

A continuación revisamos la fórmula de distancia. Teniendo en cuenta dos puntos(x1,y1) y(x2,y2),

Captura de pantalla (294) .png
Figura8.2.1

La distancia, d, entre ellos viene dada por la siguiente fórmula:

Fórmula de distancia:

d=(x2x1)2+(y2y1)2

Recordemos que esta fórmula se derivó del teorema de Pitágoras.

Ejemplo8.2.9

Calcular la distancia entre(4,7) y(2,1).

Solución:

Utilice la fórmula de distancia con los siguientes puntos.

(x1,y1)(x2,y2)(4,7)(2,1)

Es una buena práctica incluir la fórmula en su forma general antes de sustituir valores por las variables; esto mejora la legibilidad y reduce la probabilidad de cometer errores.

d=(x2x1)2+(y2y1)2=(2(4))2+(17)2=(2+4)2+(17)2=(6)2+(6)2=72=362=62

Respuesta:

62unidades

Ejemplo8.2.10

El periodo, T, de un péndulo en segundos viene dado por la fórmula

T=2πL32

donde L representa la longitud del péndulo en pies. Si la longitud de un péndulo mide 6 pies, entonces calcula el período redondeado a la décima de segundo más cercana.

Captura de pantalla (295) .png
Figura8.2.2

Solución:

Sustituye 6 por L y luego simplifica.

T=2πL32=2π632Reduce.=2π316Applythequotientruleforradicals.=2π316Simplify.=2π34Useacalculator.2.7

Respuesta:

El periodo es de aproximadamente 2.7 segundos.

Funciones Raíz Cuadrada y Raíz Cube

Comenzamos con la función de raíz cuadrada:

f(x)=x

Sabemos que la raíz cuadrada no es un número real cuando el radicando x es negativo. Por lo tanto, concluimos que el dominio consiste en todos los números reales mayores o iguales a 0. Aquí elegimos 0 y algunos valores positivos para x, calculamos los valores y correspondientes y trazamos los pares ordenados resultantes.

Captura de pantalla (296) .png
Figura8.2.3

Después de trazar los puntos, podemos entonces bosquejar la gráfica de la función de raíz cuadrada.

Captura de pantalla (297) .png
Figura8.2.4

Ejemplo8.2.11

Dada la funciónf(x)=x+2, encuentra f (−2), f (2) y f (6).

Solución:

Reemplazar x con cada uno de los valores dados.

f(x)=x+2

f(2)=2+2=0=0f(2)=2+2=4=2f(6)=6+2=8=42=22

Respuesta:

f(2)=0,f(2)=2, yf(6)=22

A continuación, considere la función de raíz cubo:

f(x)=3x

Dado que la raíz cubo podría ser negativa o positiva, concluimos que el dominio consiste en todos los números reales. Para la integridad, elija algunos valores positivos y negativos para x, así como 0, y luego calcule los valores y correspondientes

Captura de pantalla (298) .png
Figura8.2.5

Trace los puntos y dibuje la gráfica de la función de raíz cúbica.

Captura de pantalla (299) .png
Figura8.2.6

Ejemplo8.2.12

Dada la funcióng(x)=3x1, encuentra g (−7), g (0) y g (55).

Solución:

Reemplazar x con cada uno de los valores dados.

g(x)=3x1

Respuesta:

g(7)=2,g(0)=1, yg(55)=332

Claves para llevar

  • Al principio del álgebra, normalmente asumimos que todas las expresiones variables dentro del radical son positivas. Esto nos permite enfocarnos en simplificar los radicales sin los problemas técnicos asociados con la raíz n principal.
  • Para simplificar las expresiones radicales, busque factores del radicando con potencias que coincidan con el índice. Si se encuentran, pueden simplificarse aplicando las reglas de producto y cociente para radicales, así como la propiedadnan=a, dondea es positiva.

Ejercicio8.2.2 simplifying radical expressions

Simplificar. (Supongamos que todas las variables representan números positivos.)

  1. 36a2
  2. 121b2
  3. x2y2
  4. 25x2y2z2
  5. 180x3
  6. 150y3
  7. 49a3b2
  8. 4a4b3c
  9. 45x5y3
  10. 50x6y4
  11. 64r2s6t5
  12. 144r8s6t2
  13. (x+1)2
  14. (2x+3)2
  15. 4(3x1)2
  16. 9(2x+3)2
  17. 9x35y2
  18. 4x59y4
  19. m736n4
  20. 147m9n6
  21. 2r2s525t4
  22. 36r5s2t6
  23. 327a3
  24. 3125b3
  25. 3250x4y3
  26. 3162a3b5
  27. 364x3y6z9
  28. 3216x12y3
  29. 38x3y4
  30. 327x5y3
  31. 3a4b5c6
  32. 3a7b5c3
  33. 38x427y3
  34. 3x5125y6
  35. 3360r5s12t13
  36. 3540r3s2t9
  37. 481x4
  38. 4x4y4
  39. 416x4y8
  40. 481x12y4
  41. 4a4b5c6
  42. 454a6c8
  43. 4128x6
  44. 4243y7
  45. 532m10n5
  46. 537m9n10
  47. 34x2
  48. 79y2
  49. 5x4x2y
  50. 3y16x3y2
  51. 12aba5b3
  52. 6a2b9a7b2
  53. 2x38x6
  54. 5x2327x3
  55. 2ab38a4b5
  56. 5a2b327a3b3
Contestar

1. 6a

3. xy

5. 6x5x

7. 7aba

9. 3x2y5xy

11. 8rs3t2t

13. x+1

15. 2(3x1)

17. 3xy5x

19. 6n2m3m

21. 52srt2s2

23. 3a

25. 5xy32x

27. 4xy2z3

29. 2xy3y

31. abc23ab2

33. 6yx3x

35. 2rs4t4345r2t

37. 3x

39. 2xy2

41. abc4bc2

43. 2x48x2

45. 2m2n

47. 6x

49. 10xxy

51. 12a3b2ab

53. 4x3

55. 4a2b23ab2

Ejercicio8.2.3 simplifying radical expressions

Reescribe lo siguiente como una expresión radical con coeficiente 1.

  1. 52x
  2. 23y
  3. 2x3
  4. 3y2
  5. ab10a
  6. 2ab2a
  7. m2nmn
  8. 2m2n33n
  9. 532x
  10. 335y
  11. 2x33
  12. 3y32
Contestar

1. 50x

3. 12x2

5. 10a3b2

7. m5n3

9. 3250x

11. 324x3

Ejercicio8.2.4 simplifying radical expressions

Supongamos que la variable podría representar cualquier número real y luego simplificar.

  1. 4x2
  2. 25y2
  3. 38y3
  4. 3125a3
  5. 464x4
  6. 481y4
  7. 36a4
  8. 100a8
  9. 4a6
  10. a10
  11. 18a4b5
  12. 48a5b3
  13. 6128x6y8
  14. 6a6b7c8
Contestar

1. 2|x|

3. 2y

5. 2|x|

7. 6a2

9. 2|a3|

11. 3a2b22b

13. 2|xy|62y2

Ejercicio8.2.5 formulas involving radicals

Las intercepciones y para cualquier gráfica tendrán la forma (0, y), donde y es un número real. Por lo tanto, para encontrar y -intercepciones, establezca x = 0 y resuelva para y. Encuentra las intercepciones y para lo siguiente.

  1. y=x+41
  2. y=x+13
  3. y=3x1+2
  4. y=3x+13
Contestar

1. (0,1)

3. (0,1)

Ejercicio8.2.6 formulas involving radicals

Usa la fórmula de distancia para calcular la distancia entre los dos puntos dados.

  1. (5,7)y(3,8)
  2. (9,7)y(8,4)
  3. (3,4)y(3,6)
  4. (5,2)y(1,6)
  5. (1,1)y(4,10)
  6. (8,3)y(2,12)
Contestar

1. 5

3. 210

5. 310

Ejercicio8.2.7 formulas involving radicals

Factorice el radicando y luego simplifique. (Supongamos que todas las expresiones son positivas.)

  1. x26x+9
  2. x210x+25
  3. 4x2+12x+9
  4. 9x2+6x+1
  5. La velocidad de un vehículo antes de que se aplicaran los frenos se puede estimar por la longitud de las marcas de derrape dejadas en la carretera. En pavimento seco, la velocidad, v, en millas por hora se puede estimar por la fórmulav=5d, donde d representa la longitud de las marcas de derrape en pies. Estime la velocidad de un vehículo antes de aplicar los frenos sobre pavimento seco si las marcas de derrape dejadas miden 36 pies.
  6. El radio, r, de una esfera se puede calcular usando la fórmular=33V4π, donde V representa el volumen de la esfera. ¿Cuál es el radio de una esfera si el volumen es de centímetros36π cúbicos?
Contestar

1. x3

3. 2x+3

5. 30millas por hora

Ejercicio8.2.8 formulas involving radicals

El periodo, T, de un péndulo en segundos viene dado por la fórmula

T=2πL32

donde L representa la longitud en pies. Calcular el periodo, dadas las siguientes duraciones. Dar el valor exacto y el valor aproximado redondeado a la décima de segundo más cercana.

  1. 8 pies
  2. 32 pies
  3. 1/2 pie
  4. 1/8 pie
Contestar

1. π3.1segundos

3. π40.8segundos

Ejercicio8.2.9 formulas involving radicals

El tiempo, t, en segundos que un objeto está en caída libre viene dado por la fórmula

s=16t2

donde s representa la distancia que ha caído en pies. Calcula el tiempo que tarda un objeto en caer, dadas las siguientes distancias. Dar el valor exacto y el valor aproximado redondeado a la décima de segundo más cercana.

  1. 48 pies
  2. 80 pies
  3. 192 pies
  4. 288 pies
Contestar

1. 31.7segundos

3. 233.5segundos

Ejercicio8.2.10 radical functions

Dada la función, calcula lo siguiente.

  1. f(x)=x1, encontrar f (1), f (2) y f (5)
  2. f(x)=x+5, encontrar f (−5), f (−1) y f (20)
  3. f(x)=x+3, encontrar f (0), f (1) y f (16)
  4. f(x)=x5, encontrar f (0), f (1) y f (25)
  5. g(x)=3x, encontrar g (−1), g (0) y g (1)
  6. g(x)=3x+7, encontrar g (−15), g (−7) y g (20)
  7. g(x)=3x2, encontrar g (−1), g (0) y g (8)
  8. g(x)=\(3x1+2, encontrar g (0), g (2) y g (9)
Contestar

1. f(1)=0,f(2)=1, yf(5)=2

3. f(0)=3,f(1)=4, yf(16)=7

5. g(1)=1,g(0)=0, yg(1)=1

7. g(1)=3,g(0)=2, yg(8)=0

Ejercicio8.2.11 radical functions

Para cada función, rellene la tabla.

  1. f(x)=x+1
    Captura de pantalla (300) .png
    Figura8.2.7
  2. f(x)=x2
    Captura de pantalla (301) .png
    Figura8.2.8
  3. f(x)=3x+1
    Captura de pantalla (302) .png
    Figura8.2.9
  4. f(x)=3x+2
    Captura de pantalla (303) .png
    Figura8.2.10
Contestar

1.

Captura de pantalla (304) .png
Figura8.2.11

3.

Captura de pantalla (305) .png
Figura8.2.12

Ejercicio8.2.12 discussion board

  1. Dar un valor para x tal quex2x. Explique por qué es importante asumir que las variables representan números positivos.
  2. Investigar y discutir los logros de Christoph Rudolff. ¿Por qué se le atribuye?
  3. Investigar y discutir los métodos utilizados para calcular raíces cuadradas antes del uso común de las calculadoras electrónicas.
  4. ¿Qué es un surd y de dónde viene la palabra?
Contestar

1. Las respuestas pueden variar

3. Las respuestas pueden variar


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