9.3: Fórmula cuadrática

Objetivos de aprendizaje

• Resuelve ecuaciones cuadráticas con soluciones reales usando la fórmula cuadrática.

La fórmula cuadrática

En esta sección, desarrollaremos una fórmula que dé las soluciones a cualquier ecuación cuadrática en forma estándar. Para ello, comenzamos con una ecuación cuadrática general en forma estándar y resolvemos para x completando el cuadrado. Aquí a, b y c son números reales y a≠ 0:

\(\begin{aligned}a x^{2}+b x+c&=0 \\ \color{black}{\frac{a x^{2}+b x+c}{\color{Cerulean}{a}}}&=\color{black}{\frac{0}{\color{Cerulean}{a}}} \quad\quad\quad \color{Cerulean}{Divide\:both\:sides\:by\:a.} \\ x^{2}+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}&=0 \quad\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Subtract \:\frac{c}{a}\:from\:both\:sides.} \\ x^{2}+\frac{b}{a} x&=-\frac{c}{a}\end{aligned}\)

Determinar la constante que completa el cuadrado: tomar el coeficiente de x, dividirlo por 2, y luego cuadrarlo.

\[\left(\color{black}{\frac{\color{OliveGreen}{b / a}}{2}}\right)^{2}=\left(\frac{b}{2 a}\right)^{2}=\color{Cerulean}{\frac{b^{2}}{4 a^{2}}}\]

Agregue esto a ambos lados de la ecuación y factor.

Resuelve extrayendo raíces.

Esta derivación nos da una fórmula que resuelve cualquier ecuación cuadrática en forma estándar. Dado\(ax^{2}+bx+c=0\), donde a, b y c son números reales y a≠ 0, entonces las soluciones se pueden calcular usando la fórmula cuadrática:

Considera la ecuación cuadrática\(2x^{2}−7x+3=0\). Se puede resolver factorizando de la siguiente manera:

\(\begin{array}{rrr}{2 x-1=0} & {\text { or } x-3=0} \\ {2 x=1} & {x=3} \\ {x=\frac{1}{2}}\end{array}\)

Las soluciones son 1/2 y 3. El siguiente ejemplo muestra que podemos obtener los mismos resultados usando la fórmula cuadrática.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Resuelve usando la fórmula cuadrática:

\(2x^{2}-7x+3=0\).

Solución

Comience por identificar a, b y c como los coeficientes de cada término.

Sustituir estos valores en la fórmula cuadrática y luego simplificar.

Separe el “más o menos” en dos ecuaciones y simplifique cada una individualmente.

\(\begin{array}{ll}{x=\frac{7-5}{4}} & {\text { or } }&{ x=\frac{7+5}{4}} \\ {x=\frac{2}{4}} && {x=\frac{12}{4}} \\ {x=\frac{1}{2}} && {x=3}\end{array}\)

Respuesta:

Las soluciones son 1/2 y 3.

Por supuesto, si los factores cuadráticos, entonces es una mejor práctica resolverlo factorizando. Sin embargo, no todos los polinomios cuadráticos factor; sin embargo, la fórmula cuadrática nos proporciona un medio para resolver tales ecuaciones.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Resuelve usando la fórmula cuadrática:

\(5x^{2}+2x−1=0\).

Solución:

Comience por identificar a, b y c.

\(a=5 \qquad b=2 \qquad c=-1\)

Sustituir estos valores en la fórmula cuadrática.

Respuesta:

Las soluciones son\(\frac{-1 \pm \sqrt{6}}{5}\)

A menudo faltan términos. Cuando este es el caso, use 0 como coeficiente.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Resuelve usando la fórmula cuadrática:

\(x^{2}−18=0\).

Solución:

Piense en esta ecuación con los siguientes coeficientes:

\(1 x^{2}+0 x-18=0\)

Aquí

\(a=1 \qquad b=0 \qquad c=-18\)

Sustituir estos valores en la fórmula cuadrática.

Respuesta:

Las soluciones son\(\pm 3 \sqrt{2}\)

Dado que el coeficiente de x era 0, podríamos haber resuelto la ecuación extrayendo las raíces. Como ejercicio, resuelve el ejemplo anterior usando este método y verifica que los resultados sean los mismos.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Resuelve usando la fórmula cuadrática:

\(9x^{2}−12x+4=0\).

Solución:

En este caso,

Sustituir estos valores en la fórmula cuadrática y luego simplificar.

En este ejemplo, observe que el radicando de la raíz cuadrada es 0. Esto da como resultado una sola solución a esta ecuación cuadrática. Normalmente, esperamos dos soluciones. Cuando encontramos una sola solución, la solución se llama doble raíz. Si resolvemos esta ecuación factorizando, entonces la solución aparece dos veces.

\ (3 x-2) (3 x-2) &=0\ end {alineado}\) </p">

\(\begin{array}{rlr}{3 x-2=0} & {\text { or } }&{ 3 x-2=0} \\ {3 x=2} && {3 x=2} \\ {x=\frac{2}{3}} && {x=\frac{2}{3}}\end{array}\)

Respuesta:\(\frac{2}{3}\), double root

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Resuelve usando la fórmula cuadrática:

\(x^{2}+x+1=0\).

Solución:

En este caso,

\(a=1 \qquad b=1 \qquad c=1\)

Sustituir estos valores en la fórmula cuadrática.

La solución involucra la raíz cuadrada de un número negativo; de ahí que las soluciones no sean reales. Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones no reales y se discutirá con más detalle a medida que continuemos en nuestro estudio del álgebra. Por ahora, simplemente afirmar que la ecuación no tiene soluciones reales.

Respuesta:

Sin soluciones reales

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Resolver\(x^{2}-2x-2=0\).

Responder

\(1\pm \sqrt{3}\)

Es importante colocar la ecuación cuadrática en forma estándar antes de usar la fórmula cuadrática.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Resuelve usando la fórmula cuadrática:

\((2 x+1)(2 x-1)=24 x+8\)

Solución:

Comience usando la propiedad distributiva para expandir el lado izquierdo y combinando términos similares para obtener una ecuación en forma estándar, igual a 0.

Una vez que la ecuación esté en forma estándar, identifique a, b y c. Aquí

Sustituir estos valores en la fórmula cuadrática y luego simplificar.

Respuesta:

Las soluciones son\(\frac{6 \pm 3 \sqrt{5}}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Resolver\(3x(x-2)=1\)

Responder

\(\frac{3\pm 2 \sqrt{3}}{3}\)

Claves para llevar

• Utilice la fórmula cuadrática para resolver cualquier ecuación cuadrática en forma estándar.
• Para resolver cualquier ecuación cuadrática, primero reescriba en forma estándar,\(ax^{2}+bx+c=0\), sustituya los coeficientes apropiados en la fórmula cuadrática\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\), y luego simplifique.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\) quadratic formula

Identificar los coeficientes a, b y c utilizados en la fórmula cuadrática. No resolver.

1. \(x^{2}−x+5=0\)
2. \(x^{2}−3x−1=0\)
3. \(3x^{2}−10=0\)
4. \(−y^{2}+5=0\)
5. \(5t^{2}−7t=0\)
6. \(−y^{2}+y=0\)
7. \(−x^{2}+x=−6\)
8. \(−2x^{2}−x=−15\)
9. \((3x+1)(2x+5)=19x+4\)
10. \((4x+1)(2x+1)=16x+4\)

Responder

1. a=1, b=−1 y c=5

3. a=3, b=0 y c=−10

5. a=5, b=−7 y c=0

7. a=−1, b=1 y c=6

9. a=6, b=−2 y c=1

Ejercicio\(\PageIndex{4}\) quadratic formula

Resuelve factorizando y luego resolviendo usando la fórmula cuadrática. Consulta las respuestas.

1. \(x^{2}−10x+24=0\)
2. \(x^{2}−3x−18=0\)
3. \(t^{2}+6t+5=0\)
4. \(t^{2}+9t+14=0\)
5. \(2x^{2}−7x−4=0\)
6. \(3x^{2}−x−2=0\)
7. \(−2x^{2}−x+3=0\)
8. \(−6x^{2}+x+1=0\)
9. \(y^{2}−2y+1=0\)
10. \(y^{2}−1=0\)

Responder

1. 4, 6

3. −5, −1

5. −1/2, 4

7. −3/2, 1

9. 1, raíz doble

Ejercicio\(\PageIndex{5}\) quadratic formula

Utilice la fórmula cuadrática para resolver lo siguiente.

1. \(x^{2}−6x+4=0\)
2. \(x^{2}−4x+1=0\)
3. \(x^{2}+2x−5=0\)
4. \(x^{2}+4x−6=0\)
5. \(t^{2}−4t−1=0\)
6. \(t^{2}−8t−2=0\)
7. \(−y^{2}+y+1=0\)
8. \(−y^{2}−3y+2=0\)
9. \(−x^{2}+16x−62=0\)
10. \(−x^{2}+14x−46=0\)
11. \(2t^{2}−4t−3=0\)
12. \(4t^{2}−8t−1=0\)
13. \(−4y^{2}+12y−9=0\)
14. \(−25x^{2}+10x−1=0\)
15. \(3x^{2}+6x+2=0\)
16. \(5x^{2}+10x+2=0\)
17. \(9t^{2} + 6 t −11 = 0\)
18. \(8t^{2} + 8 t + 1 = 0\)
19. \(x^{2} − 2 = 0\)
20. \(x^{2} −18 = 0\)
21. \(9x^{2} − 3 = 0\)
22. \(2x^{2} − 5 = 0\)
23. \(y^{2} + 9 = 0\)
24. \(y^{2} + 1 = 0\)
25. \(2x^{2} = 0\)
26. \(x^{2} = 0\)
27. \(−2y^{2} + 5y = 0\)
28. \(−3y^{2] + 7y = 0\)
29. \(t^{2} − t = 0\)
30. \(t^{2] + 2 t = 0\)
31. \(x^{2} −0.6x −0.27 = 0\)
32. \(x^{2} −1.6x −0.8 = 0\)
33. \(y^{2} −1.4y −0.15 = 0\)
34. \(y^{2} −3.6y +2.03 = 0\)
35. \(12t^{2} + 5 t +32 = 0\)
36. \(−t^{2} + 3 t−34 = 0\)
37. \(3y^{2} +12y −13 = 0\)
38. \(−2y^{2} +13y +12 = 0\)
39. \(2x^{2} −10 x + 3 = 4\)
40. \(3x^{2} + 6x + 1 = 8\)
41. \(−2y^{2} = 3 (y − 1 )\)
42. \(3y^{2} = 5 ( 2y − 1 )\)
43. \(( t + 1 )^{2} = 2 t+ 7\)
44. \(( 2 t − 1 )^{2} =73 − 4 t\)
45. \((x + 5)(x − 1)= 2 x + 1\)
46. \((x+7)(x−2)=3(x+1)\)
47. \(x(x+5)=3(x−1)\)
48. \(x(x+4)=−7\)
49. \((5x+3)(5x−3)−10(x−1)=0\)
50. \((3x+4)(3x−1)−33x=−20\)
51. \(27y(y+1)+2(3y−2)=0\)
52. \(8(4y^{2}+3)−3(28y−1)=0\)
53. \((x+2)^{2}−2(x+7)=4(x+1)\)
54. \((x+3)^{2}−10(x+5)=−2(x+1)\)

Responder

1. \(3\pm \sqrt{5}\)

3. \(-1\pm \sqrt{6}\)

5. \(2\pm \sqrt{5}\)

7. \(\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\)

9. \(8\pm \sqrt{2}\)

11. \(\frac{2\pm \sqrt{10}}{2}\)

13. \(\frac{3}{2}\), raíz doble

15. \(\frac{-3\pm \sqrt{3}}{3}\)

17. \(\frac{-1\pm 2 \sqrt{3}}{3}\)

19. \(\pm\sqrt{2}\)

21. \(\pm\sqrt{\frac{1}{3}}\)

23. Sin soluciones reales

25. \(0\), raíz doble

27. \(0, \frac{5}{2}\)

29. \(0, 1\)

31. \(−0.3, 0.9\)

33. \(−0.1, 1.5\)

35. Sin soluciones reales

37. \(\frac{-6\pm 5 \sqrt{3}}{3}\)

39. \(\frac{5\pm 3 \sqrt{3}}{2}\)

41. \(\frac{-3\pm \sqrt{33}}{4}\)

43. \(\pm\sqrt{6}\)

45. \(-1\pm\sqrt{7}\)

47. Sin soluciones reales

49. \(\frac{1}{5}\), raíz doble

51. \(-\frac{4}{3}\),\(\frac{1}{9}\)

53. \(1\pm 2 \sqrt{10}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\) discussion board

1. Al hablar de una ecuación cuadrática en forma estándar\(ax^{2}+bx+c=0\), ¿por qué es necesario afirmar que a≠ 0? ¿Qué pasa si a es igual a 0?
2. Investigar y discutir la historia de la fórmula cuadrática y soluciones a ecuaciones cuadráticas.

Responder

1. Las respuestas pueden variar