9.2: Completando la Plaza

Objetivos de aprendizaje

• Resuelve ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado.

Completando la Plaza

En esta sección, idearemos un método para reescribir cualquier ecuación cuadrática de la forma

\[a x^{2}+b x+c=0\]

en la forma

\[(x-p)^{2}=q\]

A este proceso se le llama completar el cuadrado. Como hemos visto, las ecuaciones cuadráticas en esta forma se pueden resolver fácilmente extrayendo raíces. Comenzamos por examinar trinomios cuadrados perfectos:

\(\begin{aligned}(x+3)^{2}=\:\:\:x^{2}\:\:\:+\:\:\:& 6 x\:\:\:+&9 \\ & \color{Cerulean}{\downarrow} &\color{Cerulean}{\uparrow} \\ & \left(\frac{6}{2}\right)^{2}=(3)^{2}=&9 \end{aligned}\)

El último término, 9, es el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. En general, esto es cierto para cualquier trinomio cuadrado perfecto de la forma\(x^{2}+bx+c\).

\(\begin{aligned}\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} &=x^{2}+2 \cdot \frac{b}{2} x+\left(\frac{b}{2}\right)^{2} \\ &=x^{2}+b x+\left(\frac{b}{2}\right)^{2} \end{aligned}\)

En otras palabras, cualquier trinomio de la forma\(x^{2}+bx+c\) será un trinomio cuadrado perfecto si

\[c=\left(\frac{b}{2}\right)^{2}\]

Nota

Es importante señalar que el coeficiente principal debe ser igual a 1 para que esto sea cierto.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Completar el cuadrado\(x^{2}+8x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)

Solución:

En este ejemplo, el coeficiente del término medio b = 8, así que encuentra el valor que completa el cuadrado de la siguiente manera:

\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{8}{2}\right)^{2}=(4)^{2}=\color{Cerulean}{16}\)

El valor que completa el cuadrado es 16.

\(\begin{aligned} x^{2}+8 x+16 &=(x+4)(x+4) \\ &=(x+4)^{2} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(x^{2}+8x+16=(x+4)^{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Completar el cuadrado\(x^{2}+3x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)

Solución

Aquí b = 3, así que encuentra el valor que completará el cuadrado de la siguiente manera:

\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\color{Cerulean}{\frac{9}{4}}\)

El valor 9/4 completa el cuadrado:

\(\begin{aligned} x^{2}+3 x+\color{Cerulean}{\frac{9}{4}} &\color{black}{=}\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right) \\ &=\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(x^{2}+3x+94=(x+\frac{3}{2})^{2}\)

Podemos utilizar esta técnica para resolver ecuaciones cuadráticas. La idea es tomar cualquier ecuación cuadrática en forma estándar y completar el cuadrado para que podamos resolverlo extrayendo raíces. Los siguientes son pasos generales para resolver una ecuación cuadrática con un coeficiente inicial de 1 en forma estándar completando el cuadrado.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Resuelve completando la plaza:\(x^{2}+14x+46=0\).

Solución:

Paso 1: Suma o resta el término constante para obtener la ecuación en la forma\(x^{2}+bx   =c\). En este ejemplo, resta 46 para moverlo al lado derecho de la ecuación.

Paso 2: Utilizar\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}\) para determinar el valor que completa el cuadrado. Aquí b = 14:

\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{14}{2}\right)^{2}=(7)^{2}=\color{Cerulean}{49}\)

Paso 3:\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}\) Sumar a ambos lados de la ecuación y completar el cuadrado.

\ (x+7) (x+7) &=3\\ (x+7) ^ {2} &=3\ end {alineado}\) </p">

Paso 4: Resuelve extrayendo raíces.

Respuesta:

Las soluciones son\(−7−\sqrt{3}\) o\(−7+\sqrt{3}\). El cheque es opcional.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Resuelve completando el cuadrado:\(x^{2}-18x+72=0\)

Solución:

Comienza restando 72 de ambos lados.

A continuación, encuentra el valor que completa el cuadrado usando b = −18.

\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{-18}{2}\right)^{2}=(-9)^{2}=\color{Cerulean}{81}\)

Para completar el cuadrado, agregue 81 a ambos lados, complete el cuadrado, y luego resuelva extrayendo las raíces.

\ (x-9) (x-9) &=9\\ (x-9) ^ {2} &=9\ quad\ quad\ quad\ quad\:\ quad\ color {cerúleo} {Extraer\ :las raíces.}\\ x-9 &=\ pm\ sqrt {9}\\ x-9&=\ pm3\ x&=9\ pm 3\ end {alineado}\ </) p">

En este punto, separe el “más o menos” en dos ecuaciones y resuelva cada una.

\(\begin{array}{ll}{x=9-3} & {\text { or } \quad x=9+3} \\ {x=6} & \quad\quad\:\:{x=12}\end{array}\)

Respuesta:

Las soluciones son 6 y 12.

Tenga en cuenta que en el ejemplo anterior las soluciones son números enteros. Si este es el caso, entonces la ecuación original se factorizará.

\ (x-6) (x-12) &=0\ end {alineado}\) </p">

Si tiene en cuenta, podemos resolverlo factorizando. Sin embargo, no todas las ecuaciones cuadráticas serán factorizadas.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Resuelve completando la plaza:\(x^{2}+10x+1=0\).

Solución:

Comience restando 1 de ambos lados de la ecuación.

Aquí b = 10, y determinamos el valor que completa el cuadrado de la siguiente manera:

\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{10}{2}\right)^{2}=(5)^{2}=\color{Cerulean}{25}\)

Para completar el cuadrado, suma 25 a ambos lados de la ecuación.

\(\begin{array}{l}{x^{2}+10 x=-1} \\ {x^{2}+10 x\color{Cerulean}{+25}\color{black}{=}-1\color{Cerulean}{+25}} \\ {x^{2}+10 x\color{Cerulean}{+25}\color{black}{=}24}\end{array}\)

Factorizar y luego resolver extrayendo raíces.

Respuesta:

Las soluciones son\(-5 - 2 \sqrt{6}\) y\(-5 + 2 \sqrt{6}\)

A veces las ecuaciones cuadráticas no tienen soluciones reales.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Resuelve completando la plaza:\(x^{2}−2x+3=0\).

Solución:

Comience restando 3 de ambos lados de la ecuación.

Aquí b = −2, y tenemos

\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{-2}{2}\right)^{2}=(-1)^{2}=\color{Cerulean}{1}\)

Por lo tanto,

\ (x-1) ^ {2} &=-2\ end {alineado}\) </p">

En este punto vemos que extraer la raíz conduce a la raíz cuadrada de un número negativo.

Respuesta:

No hay solución real

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Resuelve completando la plaza:\(x^{2}−2x−27=0\).

Contestar

\(x=1\)±\(2\sqrt{7}\)

El coeficiente de x no siempre es divisible por 2.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Resuelve completando el cuadrado:\(x^{2}+3x−2=0\)

Solución:

Comience agregando 2 a ambos lados.

\(\begin{array}{l}{x^{2}+3 x-2=0} \\ {x^{2}+3 x=2}\end{array}\)

Usa b = 3 para encontrar el valor que completa el cuadrado:

\(\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\color{Cerulean}{\frac{9}{4}}\)

Para completar el cuadrado, agregue 9/4 a ambos lados de la ecuación.

\(\begin{array}{c}{x^{2}+3 x=2} \\ {x^{2}+3 x\color{Cerulean}{+\frac{9}{4}}\color{black}{=}2\color{Cerulean}{+\frac{9}{4}}} \\ {\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)=\frac{8}{4}+\frac{9}{4}} \\ {\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}}\end{array}\)

Resuelve extrayendo raíces.

Respuesta:

Las soluciones son\(\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}\)

Hasta el momento, todos los ejemplos han tenido un coeficiente principal de 1. La fórmula\((\frac{b}{2})^{2}\) determina el valor que completa el cuadrado sólo si el coeficiente inicial es 1. Si este no es el caso, entonces simplemente divide ambos lados por el coeficiente principal.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Resuelve completando la plaza:\(2x^{2}+5x-1=0\).

Solución:

Observe que el coeficiente principal es 2. Por lo tanto, divida ambos lados por 2 antes de comenzar los pasos requeridos para resolver completando el cuadrado.

\(\begin{array}{l}{\frac{2 x^{2}+5 x-1}{\color{Cerulean}{2}}\color{black}{=}\frac{0}{\color{Cerulean}{2}}} \\ {\frac{2 x^{2}}{2}+\frac{5 x}{2}-\frac{1}{2}=0} \\ {x^{2}+\frac{5}{2} x-\frac{1}{2}=0}\end{array}\)

Comience sumando 1/2 a ambos lados de la ecuación.

\(\begin{array}{l}{x^{2}+\frac{5}{2} x-\frac{1}{2}=0} \\ {x^{2}+\frac{5}{2} x=\frac{1}{2}}\end{array}\)

Aquí b = 5/2, y podemos encontrar el valor que completa el cuadrado de la siguiente manera:

\(\left(\frac{b}{2}\right)^{2}=\color{black}{\left(\frac{\color{Cerulean}{\frac{5}{2}}}{2}\right)}^{2}=\left(\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)^{2}=\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\color{Cerulean}{\frac{25}{16}}\)

Para completar el cuadrado, agregue 25/16 a ambos lados de la ecuación.

\(\begin{aligned} x^{2}+\frac{5}{2} x &=\frac{1}{2} \\ x^{2}+\frac{5}{2} x\color{Cerulean}{+\frac{25}{16}} &\color{black}{=}\frac{1}{2}\color{Cerulean}{+\frac{25}{16}} \\\left(x+\frac{5}{4}\right)\left(x+\frac{5}{4}\right) &=\frac{8}{16}+\frac{25}{16} \\\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2} &=\frac{33}{16} \end{aligned}\)

A continuación, resolver extrayendo raíces.

Respuesta:

Las soluciones son\(\frac{-5 \pm \sqrt{33}}{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Resolver\(2x^{2}-2x-3=0\).

Contestar

\(\frac{1\pm\sqrt{13}}{4}\)

Claves para llevar

• Resuelve cualquier ecuación cuadrática completando el cuadrado.
• Puede aplicar la propiedad raíz cuadrada para resolver una ecuación si primero puede convertir la ecuación a la forma\((x−p)^{2}=q\).
• Para completar el cuadrado, primero asegúrate de que la ecuación esté en la forma\(x^{2}+bx   =c\). Después agregue el valor\((\frac{b}{2})^{2}\) a ambos lados y factorizar.
• El proceso para completar el cuadrado siempre funciona, pero puede llevar a algunos cálculos tediosos con fracciones. Este es el caso cuando el término medio, b, no es divisible por 2.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\) completing the square

Completa el cuadrado.

1. \(x^{2}+6x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)
2. \(x^{2}+8x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)
3. \(x^{2}−2x+   ?  =(x−  ? )^{2}\)
4. \(x^{2}−4x+   ?  =(x−  ? )^{2}\)
5. \(x^{2}+7x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)
6. \(x^{2}+3x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)
7. \(x^{2}+23x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)
8. \(x^{2}+45x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)
9. \(x^{2}+34x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)
10. \(x^{2}+53x+   ?  =(x+  ? )^{2}\)

Contestar

1. \(x^{2}+6x+9=(x+ 3)^{2}\)

3. \(x^{2}−2x+1=(x− 1)^{2}\)

5. \(x^{2}+7x+494=(x+ 72)^{2}\)

7. \(x^{2}+23x+19=(x+ 13)^{2}\)

9. \(x^{2}+34x+964=(x+ 38)^{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Resuelve factorizando y luego resuelve completando el cuadrado. Consulta las respuestas.

1. \(x^{2}+2x−8=0\)
2. \(x^{2}−8x+15=0\)
3. \(y^{2}+2y−24=0\)
4. \(y^{2}−12y+11=0\)
5. \(t^{2}+3t−28=0\)
6. \(t^{2}−7t+10=0\)
7. \(2x^{2}+3x−2=0\)
8. \(3x^{2}−x−2=0\)
9. \(2y^{2}−y−1=0\)
10. \(2y^{2}+7y−4=0\)

Contestar

1. −4, 2

3. −6, 4

5. −7, 4

7. 1/2, −2

9. −1/2, 1

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Resuelve completando la plaza.

1. \(x^{2}+6x−1=0\)
2. \(x^{2}+8x+10=0\)
3. \(x^{2}−2x−7=0\)
4. \(x^{2}−6x−3=0\)
5. \(x^{2}−2x+4=0\)
6. \(x^{2}−4x+9=0\)
7. \(t^{2}+10t−75=0\)
8. \(t^{2}+12t−108=0\)
9. \(x^{2}−4x−1=15\)
10. \(x^{2}−12x+8=−10\)
11. \(y^{2}−20y=−25\)
12. \(y^{2}+18y=−53\)
13. \(x^{2}−0.6x−0.27=0\)
14. \(x^{2}−1.6x−0.8=0\)
15. \(x^{2}−23x−13=0\)
16. \(x^{2}−45x−15=0\)
17. \(x^{2}+x−1=0\)
18. \(x^{2}+x−3=0\)
19. \(y^{2}+3y−2=0\)
20. \(y^{2}+5y−3=0\)
21. \(x^{2}+3x+5=0\)
22. \(x^{2}+x+1=0\)
23. \(x^{2}−7x+112=0\)
24. \(x^{2}−9x+32=0\)
25. \(t^{2}−12t−1=0\)
26. \(t^{2}−13t−2=0\)
27. \(x^{2}−1.7x−0.0875=0\)
28. \(x^{2}+3.3x−1.2775=0\)
29. \(4x^{2}−8x−1=0\)
30. \(2x^{2}−4x−3=0\)
31. \(3x^{2}+6x+1=0\)
32. \(5x^{2}+10x+2=0\)
33. \(3x^{2}+2x−3=0\)
34. \(5x^{2}+2x−5=0\)
35. \(4x^{2}−12x−15=0\)
36. \(2x^{2}+4x−43=0\)
37. \(2x^{2}−4x+10=0\)
38. \(6x^{2}−24x+42=0\)
39. \(2x^{2}−x−2=0\)
40. \(2x^{2}+3x−1=0\)
41. \(3x^{2}+2x−2=0\)
42. \(3x^{2}−x−1=0\)
43. \(x(x+1)−11(x−2)=0\)
44. \((x+1)(x+7)−4(3x+2)=0\)
45. \(y^{2}=(2y+3)(y−1)−2(y−1)\)
46. \((2y+5)(y−5)−y(y−8)=−24\)
47. \((t+2)^{2}=3(3t+1)\)
48. \((3t+2)(t−4)−(t−8)=1−10t\)

Contestar

1. \(−3\pm\sqrt{10}\)

3. \(1\pm 2\sqrt{2}\)

5. No hay solución real

7. −15, 5

9. \(2(1\pm\sqrt{5})\)

11. \(5(2\pm \sqrt{3})\)

13. −0.3, 0.9

15. −1/3, 1

17. \(\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\)

19. \(\frac{-3\pm \sqrt{17}}{2}\)

21. No hay solución real

23. \(=\frac{7}{2}\pm i \frac{\sqrt{399}}{2}\)

25. \(6\pm\sqrt{37}\)

27. −0.05, 1.75

29. \(\frac{2\pm \sqrt{5}}{2}\)

31. \(\frac{-3\pm \sqrt{6}}{3}\)

33. \(\frac{-1\pm \sqrt{10}}{3}\)

35. \(\frac{3\pm 2 \sqrt{6}}{2}\)

37. No hay solución real

39. \(\frac{1\pm \sqrt{17}}{4}\)

41. \(\frac{-1\pm \sqrt{7}}{3}\)

43. \(5\pm\sqrt{3}\)

45. \(1\pm 5\sqrt{2}\)

47. \(\frac{5\pm \sqrt{21}}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Resuelve completando el cuadrado y redondeando las soluciones a la centésima más cercana

1. \((2x−1)^{2}=2x\)
2. \((3x−2)^{2}=5−15x\)
3. \((2x+1)(3x+1)=9x+4\)
4. \((3x+1)(4x−1)=17x−4\)
5. \(9x(x−1)−2(2x−1)=−4x\)
6. \((6x+1)2−6(6x+1)=0\)

Contestar

1. 0.19, 1.31

3. −0.45, 1.12

5. 0.33, 0.67

Ejercicio\(\PageIndex{7}\) discussion board

1. Investigar y discutir el método hindú para completar la plaza.
2. Explique por qué la técnica para completar el cuadrado descrita en esta sección requiere que el coeficiente inicial sea igual a 1.

Contestar

1. Las respuestas pueden variar