2.7: Resolver desigualdades con dos variables

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Objetivos de aprendizaje

Identificar y verificar soluciones a las desigualdades con dos variables.
Gráfica conjuntos de soluciones de desigualdades lineales con dos variables.

Soluciones a las Desigualdades con Dos Variables

Sabemos que una ecuación lineal con dos variables tiene infinitamente muchas soluciones de pares ordenados que forman una línea cuando se grafican. Una desigualdad lineal con dos variables ⁶⁵, por otro lado, tiene un conjunto de soluciones que consiste en una región que define la mitad del plano.

Mesa$\PageIndex{1}$
Ecuación Lineal	Desigualdad Lineal
$y = \frac { 3 } { 2 } x + 3$	$y \leq \frac { 3 } { 2 } x + 3$
Figura$\PageIndex{1}$	Figura$\PageIndex{2}$

Para la desigualdad, la línea define el límite de la región que está sombreada. Esto indica que cualquier par ordenado en la región sombreada, incluida la línea límite, satisfará la desigualdad. Para ver que este es el caso, elige algunos puntos de prueba ⁶⁶ y sustituirlos por la desigualdad.

Mesa$\PageIndex{2}$
Punto de prueba	$y \leq \frac { 3 } { 2 } x + 3$
$( 0,0 )$	$\begin{array} { l } { 0 \leq \frac { 3 } { 2 } ( 0 ) + 3 } \\ { 0 \leq 3 } \:\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{array}$
$( 2,1 )$	$\begin{array} { l } { 1 \leq \frac { 3 } { 2 } ( 2 ) + 3 } \\ { 1 \leq 3 + 3 } \\ { 1 \leq 6 }\:\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{array}$
$( - 2 , - 1 )$	$\begin{array} { l } { - 1 \leq \frac { 3 } { 2 } ( - 2 ) + 3 } \\ { - 1 \leq - 3 + 3 } \\ { - 1 \leq 0 } \:\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{array}$

También, podemos ver que los pares ordenados fuera de la región sombreada no resuelven la desigualdad lineal.

Mesa$\PageIndex{3}$
Punto de prueba	$y \leq \frac { 3 } { 2 } x + 3$
$(-2,3)$	\ (\ begin {array} {l} {3\ leq\ frac {3} {2} (- 2) + 3}\\ {3\ leq - 3 + 3}\\ {3\ leq 0\ quad x}\ color {rojo} {✗}\ end {array}\

La gráfica de la solución establecida en una desigualdad lineal es siempre una región. Sin embargo, es posible que el límite no siempre esté incluido en ese conjunto. En el ejemplo anterior, la línea formaba parte del conjunto de soluciones por la parte “o igual a” de la desigualdad inclusiva$≤$. Si se le da una desigualdad estricta$<$, entonces usaríamos una línea discontinua para indicar que esos puntos no están incluidos en el conjunto de soluciones.

Mesa$\PageIndex{4}$
Límite no inclusivo	Límite Inclusivo
$y < \frac { 3 } { 2 } x + 3$	$y \leq \frac { 3 } { 2 } x + 3$
Figura$\PageIndex{3}$	Figura$\PageIndex{4}$

Considera el punto$(0, 3)$ en el límite; este par ordenado satisface la ecuación lineal. Es la parte “o igual a” de la desigualdad inclusiva la que hace que el par ordenado sea parte del conjunto de soluciones.

Mesa$\PageIndex{5}$
$y < \frac { 3 } { 2 } x + 3$	$y \leq \frac { 3 } { 2 } x + 3$
$\begin{array} { l } { 3 < \frac { 3 } { 2 } ( 0 ) + 3 } \\ { 3 < 0 + 3 } \\ { 3 < 3 x } \color{red}{✗}\end{array}$	$\begin{array} { l } { 3 \leq \frac { 3 } { 2 } ( 0 ) + 3 } \\ { 3 \leq 0 + 3 } \\ { 3 \leq 3 }\color{Cerulean}{✓} \end{array}$

Hasta el momento hemos visto ejemplos de desigualdades que eran “menores que”. Ahora considere las siguientes gráficas con el mismo límite:

Mesa$\PageIndex{6}$
Mayor que (arriba)	Menos que (Abajo)
$y \geq \frac { 3 } { 2 } x + 3$	$y \leq \frac { 3 } { 2 } x + 3$
Figura$\PageIndex{5}$	Figura$\PageIndex{6}$

Dadas las gráficas anteriores, ¿qué podríamos esperar si usamos el origen (0, 0) como punto de prueba?

Mesa$\PageIndex{7}$
$y \geq \frac { 3 } { 2 } x + 3$	$y \leq \frac { 3 } { 2 } x + 3$
$\begin{array} { l } { 0 \geq \frac { 3 } { 2 } ( 0 ) + 3 } \\ { 0 \geq 0 + 3 } \\ { 0 \geq 3 } \color{red}{✗} \end{array}$	$\begin{array} { l } { 0 \leq \frac { 3 } { 2 } ( 0 ) + 3 } \\ { 0 \leq 0 + 3 } \\ { 0 \leq 3 } \color{Cerulean}{✓} \end{array}$

Ejemplo$\PageIndex{1}$:

Determinar si$(2, \frac{1}{2})$ es o no una solución a$5x − 2y < 10$.

Solución

Sustituir los$y$ valores$x$ - y -en la ecuación y ver si se obtiene una declaración verdadera.

$\begin{array} { r } { 5 x - 2 y < 10 } \\ { 5 ( \color{Cerulean}{2}\color{Black}{ )} - 2 \left( \color{Cerulean}{\frac { 1 } { 2 }} \right) < 10 } \\ { 10 - 1 < 10 } \\ { 9 < 10 } \color{Cerulean}{✓} \end{array}$

Respuesta:

$(2, \frac{1}{2})$es una solución.

Estas ideas y técnicas se extienden a desigualdades no lineales con dos variables. Por ejemplo, todas las soluciones a$y > x^{2}$ están sombreadas en la gráfica de abajo.

El límite de la región es una parábola, mostrada como una curva discontinua en la gráfica, y no forma parte del conjunto de soluciones. No obstante, de la gráfica esperamos que el par ordenado$(−1,4)$ sea una solución. Además, esperamos que los pares ordenados que no están en la región sombreada, como$(−3, 2)$, no satisfagan la desigualdad.

Mesa$\PageIndex{8}$
Cheque$(-1, 4)$	Cheque$(-3, 2)$
$\begin{array} { l } { y > x ^ { 2 } } \\ { 4 > ( - 1 ) ^ { 2 } } \\ { 4 > 1 } \color{Cerulean}{✓}\end{array}$	$\begin{array} { l } { y > x ^ { 2 } } \\ { 2 > ( - 3 ) ^ { 2 } } \\ { 2 > 9 } \color{red}{✗}\end{array}$

A continuación se presentan gráficas de soluciones de conjuntos de desigualdades con límites parabólicos inclusivos.

Mesa$\PageIndex{9}$
$y \leq ( x - 1 ) ^ { 2 } - 2$	$y \geq ( x - 1 ) ^ { 2 } - 2$
Figura$\PageIndex{8}$	Figura$\PageIndex{9}$

Se le anima a probar puntos dentro y fuera de cada conjunto de soluciones que se grafica arriba.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

¿Es$(-3, -2)$ una solución para$2x-3y<0$?

Contestar

www.youtube.com/v/imtudaflcik

Graficando soluciones a las desigualdades con dos variables

Las soluciones a las desigualdades lineales son un semiplano sombreado, delimitado por una línea continua o una línea discontinua. Este límite se incluye en la solución o no, dependiendo de la desigualdad dada. Si se nos da una desigualdad estricta, utilizamos una línea discontinua para indicar que el límite no está incluido. Si se nos da una desigualdad inclusiva, utilizamos una línea sólida para indicar que está incluida. Los pasos para graficar el conjunto de soluciones para una desigualdad con dos variables se muestran en el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{2}$:

Grafique el conjunto de soluciones$y>−3x+1$.

Solución

Paso 1: Grafica el límite. Debido a la estricta desigualdad, graficaremos el límite$y=−3x+1$ usando una línea discontinua. Podemos ver que la pendiente es$m=−3=−\frac{3}{1}=\frac{rise}{run}$ y la$y$ -intercepción es$(0, 1)$.

Figura$\PageIndex{10}$

Paso 2: Pruebe un punto que no esté en el límite. Un punto de prueba común es el origen,$(0, 0)$. El punto de prueba nos ayuda a determinar qué mitad del avión sombrear.

Punto de prueba	$y > - 3 x + 1$
$(0,0)$	$\begin{array} { l } { 0 > - 3 ( 0 ) + 1 } \\ { 0 > 1 }\color{red}{✗} \end{array}$

Mesa$\PageIndex{10}$

Paso 3: Sombra la región que contiene las soluciones. Dado que el punto de prueba no$(0, 0)$ fue una solución, no se encuentra en la región que contiene todas las soluciones de pares ordenadas. Por lo tanto, sombree la mitad del plano que no contiene este punto de prueba. En este caso, sombrea por encima de la línea límite.

Respuesta:

Considera el problema del sombreado por encima o por debajo de la línea límite cuando la desigualdad está en forma de pendiente-intercepción. Si$y > mx + b$, entonces sombra por encima de la línea. Si$y < mx + b$, entonces sombra por debajo de la línea. Sombra con precaución; a veces el límite se da en forma estándar, en cuyo caso estas reglas no aplican.

Ejemplo$\PageIndex{3}$:

Grafique el conjunto de soluciones$2 x - 5 y \geq - 10$.

Solución

Aquí el límite está definido por la línea$2x − 5y = −10$. Dado que la desigualdad es inclusiva, graficamos el límite usando una línea continua. En este caso, grafica la línea límite usando intercepciones.

Mesa$\PageIndex{11}$
Para encontrar la$x$ -intercepción, establecer$y = 0$.	Para encontrar la$y$ -intercepción, establecer$x = 0$.
$\begin{array} { c } { 2 x - 5 y = - 10 } \\ { 2 x - 5 ( \color{Cerulean}{0}\color{Black}{ )} = - 10 } \\ { 2 x = - 10 } \\ { x = - 5 } \end{array}$	$\begin{array} { r } { 2 x - 5 y = - 10 } \\ { 2 ( \color{Cerulean}{0}\color{Black}{ )} - 5 y = - 10 } \\ { - 5 y = - 10 } \\ { y = 2 } \end{array}$
$x$-interceptar:$(−5, 0)$	$y$-interceptar:$(0, 2)$

A continuación, pruebe un punto; esto ayuda a decidir a qué región sombrear.

Mesa$\PageIndex{12}$
Punto de prueba	$2 x - 5 y \geq - 10$
$(0,0)$	$\begin{aligned} 2 ( 0 ) - 5 ( 0 ) & \geq - 10 \\ 0 & \geq - 10 \color{Cerulean}{✓}\end{aligned}$

Dado que el punto de prueba está en el conjunto de soluciones, sombree la mitad del plano que lo contiene.

Respuesta:

En este ejemplo, observe que el conjunto de soluciones consiste en todos los pares ordenados por debajo de la línea límite. Esto puede parecer contrario a la intuición porque la desigualdad original implicaba “mayor que”$≥$. Esto ilustra que es una buena práctica probar realmente un punto. Resuelve para$y$ y ves que el sombreado es correcto.

$\begin{aligned} 2 x - 5 y & \geq - 10 \\ 2 x - 5 y \color{Cerulean}{- 2 x} & \geq - 10 \color{Cerulean}{-2x} \\ - 5 y & \geq - 2 x - 10 \\ \frac { - 5 y } { \color{Cerulean}{- 5} } & \color{OliveGreen}{\leq} \color{Black}{\frac { - 2 x - 10 } { \color{Cerulean}{- 5} }} \:\:\:\color{Cerulean}{Reverse\: the\: inequality.}\\ y & \leq \frac { 2 } { 5 } x + 2 \end{aligned}$

En forma de pendiente-intercepción, puede ver que la región debajo de la línea de límite debe estar sombreada. Un enfoque alternativo es expresar primero el límite en forma de pendiente-intercepción, graficarlo y luego sombrear la región apropiada.

Ejemplo$\PageIndex{4}$:

Grafique el conjunto de soluciones$y <2$.

Solución

Primero, grafica la línea límite$y = 2$ con una línea discontinua debido a la estricta desigualdad. A continuación, prueba un punto.

Mesa$\PageIndex{13}$
Punto de prueba	$y<2$
$(0,0)$	$0 < 2\color{Cerulean}{✓}$

En este caso, sombree la región que contiene el punto de prueba.

Respuesta:

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Grafique el conjunto de soluciones$2 x - 3 y < 0$.

Contestar: Figura$\PageIndex{15}$

www.youtube.com/v/53glfim7ggc

Los pasos son los mismos para las desigualdades no lineales con dos variables. Grafique primero el límite y luego pruebe un punto para determinar qué región contiene las soluciones.

Ejemplo$\PageIndex{5}$:

Grafique el conjunto de soluciones$y < ( x + 2 ) ^ { 2 } - 1$.

Solución

El límite es una parábola básica desplazada$2$ unidades a la izquierda y$1$ unidad hacia abajo. Comience dibujando un límite parabólico discontinuo debido a la estricta desigualdad.

A continuación, prueba un punto.

Mesa$\PageIndex{14}$
Punto de prueba	$y < ( x + 2 ) ^ { 2 } - 1$
$(0,0)$	$\begin{array} { l } { 0 < ( 0 + 2 ) ^ { 2 } - 1 } \\ { 0 < 4 - 1 } \\ { 0 < 3 } \color{Cerulean}{✓}\end{array}$

En este caso, sombree la región que contiene el punto de prueba$(0, 0)$.

Respuesta:

Ejemplo$\PageIndex{6}$:

Grafique el conjunto de soluciones$y \geq x ^ { 2 } + 3$.

Solución

El límite es una parábola básica desplazada$3$ unidades hacia arriba. Se grafica usando una curva sólida debido a la desigualdad inclusiva.

A continuación, prueba un punto.

Mesa$\PageIndex{15}$
Punto de prueba	$y \geq x ^ { 2 } + 3$
$(0,0)$	$\begin{array} { l } { 0 \geq 0 ^ { 2 } + 3 } \\ { 0 \geq 3 } \color{red}{✗} \end{array}$

En este caso, sombree la región que no contiene el punto de prueba$(0,0)$.

Respuesta:

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Grafique el conjunto de soluciones$y < | x - 1 | - 3$.

Contestar: Figura$\PageIndex{20}$

www.youtube.com/v/bvbx_unvcos

Claves para llevar

Las desigualdades lineales con dos variables tienen infinitamente muchas soluciones de pares ordenados, que se pueden graficar sombreando en la mitad apropiada de un plano de coordenadas rectangulares.
Para graficar el conjunto de soluciones de una desigualdad con dos variables, primero graficar el límite con una línea discontinua o continua dependiendo de la desigualdad. Si se le da una desigualdad estricta, use una línea discontinua para el límite. Si se le da una desigualdad inclusiva, use una línea sólida. A continuación, elija un punto de prueba que no esté en el límite. Si el punto de prueba resuelve la desigualdad, entonces sombrea la región que lo contiene; de lo contrario, sombree el lado opuesto.
Comprueba tu respuesta probando puntos dentro y fuera de la región de sombreado para verificar que resuelven la desigualdad o no.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

¿El par ordenado es una solución a la desigualdad dada?

$5 x - y > - 2 ; ( - 3 , - 4 )$
$4 x - y < - 8 ; ( - 3 , - 10 )$
$6 x - 15 y \geq - 1 ; \left( \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 3 } \right)$
$x - 2 y \geq 2 ; \left( \frac { 2 } { 3 } , - \frac { 5 } { 6 } \right)$
$\frac { 3 } { 4 } x - \frac { 2 } { 3 } y < \frac { 3 } { 2 } ; ( 1 , - 1 )$
$\frac { 2 } { 5 } x + \frac { 4 } { 3 } y > \frac { 1 } { 2 } ; ( - 2,1 )$
$y \leq x ^ { 2 } - 1 ; ( - 1,1 )$
$y \geq x ^ { 2 } + 3 ; ( - 2,0 )$
$y \geq ( x - 5 ) ^ { 2 } + 1 ; ( 3,4 )$
$y \leq 2 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 3 ; ( - 1 , - 2 )$
$y > 3 - | x | ; ( - 4 , - 3 )$
$y < | x | - 8 ; ( 5 , - 7 )$
$y > | 2 x - 1 | - 3 ; ( - 1,3 )$
$y < | 3 x - 2 | + 2 ; ( - 2,10 )$

Contestar

1. No

3. Sí

5. Sí

7. No

9. No

11. No

13. Sí

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Grafique el conjunto de soluciones.

$y < 2 x - 1$
$y > −4x + 1$
$y ≥ −\frac{2}{3} x + 3$
$y ≤ \frac{4}{3} x − 3$
$2x + 3y ≤ 18$
$5x + 2y ≤ 8$
$6x − 5y > 30$
$8x − 6y < 24$
$3x − 4y < 0$
$x − 3y > 0$
$x + y ≥ 0$
$x − y ≥ 0$
$y ≤ −2$
$y > −3$
$x < −2$
$x ≥ −3$
$\frac { 1 } { 6 } x + \frac { 1 } { 10 } y \leq \frac { 1 } { 2 }$
$\frac { 3 } { 8 } x + \frac { 1 } { 2 } y \geq \frac { 3 } { 4 }$
$\frac { 1 } { 12 } x - \frac { 1 } { 6 } y < \frac { 2 } { 3 }$
$\frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 9 } y > \frac { 4 } { 3 }$
$5x ≤ −4y − 12$
$−4x ≤ 12 − 3y$
$4y + 2 < 3x$
$8x < 9 − 6y$
$5 ≥ 3x − 15y$
$2 x \geq 6 - 9 y$
Escribe una desigualdad que describa todos los puntos en el medio plano superior por encima del$x$ eje.
Escribe una desigualdad que describa todos los puntos en el medio plano inferior debajo del$x$ eje.
Escribe una desigualdad que describa todos los puntos en el medio plano izquierdo del$y$ eje.
Escribe una desigualdad que describa todos los puntos en el medio plano derecho del$y$ eje.
Escribe una desigualdad que describa todos los pares ordenados cuya$y$ coordenada -coordenada sea al menos$k$ unidades.
Escribe una desigualdad que describa todos los pares ordenados cuya$x$ coordenada -coordenada sea como máximo$k$ unidades.

Contestar

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13.

15.

17.

19.

21.

23.

25.

27. $y > 0$

29. $x < 0$

31. $y \geq k$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Grafique el conjunto de soluciones.

$y ≤ x^{2} + 3$
$y > x^{2} − 2$
$y ≤ −x^{2}$
$y ≥ −x^{2}$
$y > (x + 1)^{2}$
$y > (x − 2)^{2}$
$y ≤ (x − 1)^{2} + 2$
$y ≤ (x + 3)^{2} − 1$
$y < −x^{2} + 1$
$y > −(x − 2)^{2} + 1$
$y ≥ |x| − 2$
$y < |x| + 1$
$y < |x − 3|$
$y ≤ |x + 2|$
$y > − |x + 1|$
$y ≤ − |x − 2|$
$y ≥ |x + 3| − 2$
$y ≥ |x − 2| − 1$
$y < − |x + 4| + 2$
$y > − |x − 4| − 1$
$y > x^{3} − 1$
$y ≤ x^{3} + 2$
$y ≤ \sqrt{x}$
$y > \sqrt{x}− 1$
Una pluma rectangular se va a construir con como máximo$200$ pies de cercado. Escribe una desigualdad lineal en términos de la longitud$l$ y el ancho$w$. Dibuje la gráfica de todas las soluciones posibles a este problema.
Una empresa vende un producto para$$8$ y otro para$$12$. ¿Cuántos de cada producto se deben vender para que los ingresos sean al menos$$2,400$? Dejar$x$ representar el número de productos vendidos en$$8$ y dejar$y$ representar el número de productos vendidos en$$12$. Escribir una desigualdad lineal en términos de$x$$y$ y bosquejar la gráfica de todas las soluciones posibles.

Contestar

11.

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17.

19.

21.

23.

25. $l + w \leq 100$;

Notas al pie

⁶⁵ Una desigualdad que relaciona expresiones lineales con dos variables. El conjunto de soluciones es una región que define la mitad del plano.

⁶⁶ Un punto no en el límite de la desigualdad lineal utilizado como medio para determinar en qué medio plano se encuentran las soluciones.

Ecuación Lineal	Desigualdad Lineal
\(y = \frac { 3 } { 2 } x + 3\)	\(y \leq \frac { 3 } { 2 } x + 3\)
Figura\(\PageIndex{1}\)	Figura\(\PageIndex{2}\)

Punto de prueba	\(y \leq \frac { 3 } { 2 } x + 3\)
\(( 0,0 )\)	\(\begin{array} { l } { 0 \leq \frac { 3 } { 2 } ( 0 ) + 3 } \\ { 0 \leq 3 } \:\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{array}\)
\(( 2,1 )\)	\(\begin{array} { l } { 1 \leq \frac { 3 } { 2 } ( 2 ) + 3 } \\ { 1 \leq 3 + 3 } \\ { 1 \leq 6 }\:\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{array}\)
\(( - 2 , - 1 )\)	\(\begin{array} { l } { - 1 \leq \frac { 3 } { 2 } ( - 2 ) + 3 } \\ { - 1 \leq - 3 + 3 } \\ { - 1 \leq 0 } \:\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{array}\)

Límite no inclusivo	Límite Inclusivo
\(y < \frac { 3 } { 2 } x + 3\)	\(y \leq \frac { 3 } { 2 } x + 3\)
Figura\(\PageIndex{3}\)	Figura\(\PageIndex{4}\)

\(y < \frac { 3 } { 2 } x + 3\)	\(y \leq \frac { 3 } { 2 } x + 3\)
\(\begin{array} { l } { 3 < \frac { 3 } { 2 } ( 0 ) + 3 } \\ { 3 < 0 + 3 } \\ { 3 < 3 x } \color{red}{✗}\end{array}\)	\(\begin{array} { l } { 3 \leq \frac { 3 } { 2 } ( 0 ) + 3 } \\ { 3 \leq 0 + 3 } \\ { 3 \leq 3 }\color{Cerulean}{✓} \end{array}\)

Mayor que (arriba)	Menos que (Abajo)
\(y \geq \frac { 3 } { 2 } x + 3\)	\(y \leq \frac { 3 } { 2 } x + 3\)
Figura\(\PageIndex{5}\)	Figura\(\PageIndex{6}\)

Punto de prueba	\(y \leq \frac { 3 } { 2 } x + 3\)
\((-2,3)\)	\ (\ begin {array} {l} {3\ leq\ frac {3} {2} (- 2) + 3}\\ {3\ leq - 3 + 3}\\ {3\ leq 0\ quad x}\ color {rojo} {✗}\ end {array}\

\(y \geq \frac { 3 } { 2 } x + 3\)	\(y \leq \frac { 3 } { 2 } x + 3\)
\(\begin{array} { l } { 0 \geq \frac { 3 } { 2 } ( 0 ) + 3 } \\ { 0 \geq 0 + 3 } \\ { 0 \geq 3 } \color{red}{✗} \end{array}\)	\(\begin{array} { l } { 0 \leq \frac { 3 } { 2 } ( 0 ) + 3 } \\ { 0 \leq 0 + 3 } \\ { 0 \leq 3 } \color{Cerulean}{✓} \end{array}\)

Cheque\((-1, 4)\)	Cheque\((-3, 2)\)
\(\begin{array} { l } { y > x ^ { 2 } } \\ { 4 > ( - 1 ) ^ { 2 } } \\ { 4 > 1 } \color{Cerulean}{✓}\end{array}\)	\(\begin{array} { l } { y > x ^ { 2 } } \\ { 2 > ( - 3 ) ^ { 2 } } \\ { 2 > 9 } \color{red}{✗}\end{array}\)

\(y \leq ( x - 1 ) ^ { 2 } - 2\)	\(y \geq ( x - 1 ) ^ { 2 } - 2\)
Figura\(\PageIndex{8}\)	Figura\(\PageIndex{9}\)

Punto de prueba	\(y > - 3 x + 1\)
\((0,0)\)	\(\begin{array} { l } { 0 > - 3 ( 0 ) + 1 } \\ { 0 > 1 }\color{red}{✗} \end{array}\)

Para encontrar la\(x\) -intercepción, establecer\(y = 0\).	Para encontrar la\(y\) -intercepción, establecer\(x = 0\).
\(\begin{array} { c } { 2 x - 5 y = - 10 } \\ { 2 x - 5 ( \color{Cerulean}{0}\color{Black}{ )} = - 10 } \\ { 2 x = - 10 } \\ { x = - 5 } \end{array}\)	\(\begin{array} { r } { 2 x - 5 y = - 10 } \\ { 2 ( \color{Cerulean}{0}\color{Black}{ )} - 5 y = - 10 } \\ { - 5 y = - 10 } \\ { y = 2 } \end{array}\)
\(x\)-interceptar:\((−5, 0)\)	\(y\)-interceptar:\((0, 2)\)

Punto de prueba	\(2 x - 5 y \geq - 10\)
\((0,0)\)	\(\begin{aligned} 2 ( 0 ) - 5 ( 0 ) & \geq - 10 \\ 0 & \geq - 10 \color{Cerulean}{✓}\end{aligned}\)

Punto de prueba	\(y<2\)
\((0,0)\)	\(0 < 2\color{Cerulean}{✓}\)

Punto de prueba	\(y < ( x + 2 ) ^ { 2 } - 1\)
\((0,0)\)	\(\begin{array} { l } { 0 < ( 0 + 2 ) ^ { 2 } - 1 } \\ { 0 < 4 - 1 } \\ { 0 < 3 } \color{Cerulean}{✓}\end{array}\)

Punto de prueba	\(y \geq x ^ { 2 } + 3\)
\((0,0)\)	\(\begin{array} { l } { 0 \geq 0 ^ { 2 } + 3 } \\ { 0 \geq 3 } \color{red}{✗} \end{array}\)