2.E: Graficando Funciones y Desigualdades (Ejercicios)

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Ejercicio$\PageIndex{1}$

Determinar el dominio y el rango y establecer si la función es una relación o no.

1. $\{ ( - 4 , - 1 ) , ( - 5,3 ) , ( 10,3 ) , ( 11,2 ) , ( 15,1 ) \}$

2. $\{ ( - 3,0 ) , ( - 2,1 ) , ( 1,3 ) , ( 2,7 ) , ( 2,5 ) \}$

Contestar

1. Dominio:$\{ - 5 , - 4,10,11,15 \}$; rango:$\{ - 1,1,2,3 \}$; función: sí

3. Dominio:$\{ - 5,5,15,30 \}$; rango:$\{ - 5,0,5,10,15 \}$; función: no

5. Dominio:$( - \infty , \infty )$; rango:$[ - 6 , \infty )$; función: sí

7. Dominio:$\left( - \infty , \frac { 3 } { 2 } \right]$; rango:$[ 1 , \infty )$; función sí

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Evaluar.

$h (x) = 1 2 x − 3; h (−8), h (3),$y$h (4a + 1)$
$p (x) = 4 − x ; p (−10), p (0),$y$p (5a − 1)$
$f (x) = 2x^{2} − x + 3$; encontrar$f (−5), f (0)$, y$f (x + h)$
$g (x) = x^{2} − 9$; encontrar$f (−3), f (2)$, y$f (x + h)$
$g (x) = \sqrt{2x − 1}$; encontrar$g (5), g (1), g (13)$
$h ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x + 6 }$; encontrar$h (−7), h (−6)$, y$h (21)$
$f (x) = 8x + 3$; encontrar$x$ dónde$f (x) = 10$.
$g (x) = 5 − 3x$; encontrar$x$ dónde$g (x) = −4$.
Dada la gráfica de$f (x)$ abajo, encontrar$f (−60) , f (0)$, y$f (20)$.

10. Dada la gráfica de$g (x)$ abajo, encuentra$x$ dónde$g (x) = −4$ y$g (x) = 12$.

Contestar

1. $h (−8) = −7, h (3) = −\frac{3}{2}$, y$h (4a + 1) = 2a −\frac{5}{2}$

3. $f (−5) = 58, f (0) = 3$, y$f (x + h) = 2x^{2} + 4xh + 2h^{2} − x − h + 3$

5. $g (5) = 3, g (1) = 1, g (13) = 5$

7. $f \left( \frac { 7 } { 8 } \right) = 10$

9. $f ( - 60 ) = - 20 , f ( 0 ) = 20 , f ( 20 ) = 0$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Grafica y etiqueta las intercepciones.

$4x − 8y = 12$
$9x + 4y = 6$
$\frac{3}{8} x + \frac{1}{2} y = \frac{5}{4}$
$\frac{3}{4} x − \frac{1}{2} y = −1$

Contestar

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Grafica la función lineal y etiqueta la$x$ -intercepción.

$g ( x ) = \frac { 5 } { 8 } x + 10$
$g ( x ) = - \frac { 1 } { 5 } x - 3$
$f ( x ) = - 4 x + \frac { 1 } { 2 }$
$f ( x ) = 3 x - 5$
$h ( x ) = - \frac { 2 } { 3 } x$
$h ( x ) = - 6$

Contestar

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Encuentra la pendiente de la línea que pasa por los puntos dados.

$(−5, 3)$y$(−4, 1)$
$(7, −8)$y$(−9, −2)$
$(−\frac{4}{5}, \frac{1}{3})$y$(−\frac{1}{10}, −\frac{3}{5})$
$(\frac{3}{8}, −1)$y$(−\frac{3}{4}, −\frac{1}{16})$
$(−14, 7)$y$(−10, 7)$
$(6, −5)$y$(6, −2)$

Contestar

1. $m=-2$

3. $m=-\frac{4}{3}$

5. $m=0$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Gráfica$f$ y$g$ en el mismo plano de coordenadas rectangulares. Usa la gráfica para encontrar todos los valores$x$ para los cuales la relación dada es verdadera. Verifica algebraicamente tu respuesta.

$f ( x ) = \frac { 1 } { 2 } x - 2 , g ( x ) = - \frac { 5 } { 2 } x + 4 ; f ( x ) = g ( x )$
$f ( x ) = 5 x - 2 , g ( x ) = 3 ; f ( x ) \geq g ( x )$
$f ( x ) = - 4 x + 3 , g ( x ) = - x + 6 ; f ( x ) < g ( x )$
$f ( x ) = \frac { 3 } { 5 } x - 1 , g ( x ) = - \frac { 3 } { 5 } x + 5 ; f ( x ) \leq g ( x )$

Contestar

1. $x=2$

3. $( - 1 , \infty )$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Encuentra la función lineal que pasa por los puntos dados.

$(1, −5)$y$(\frac{1}{2}, −4)$
$(\frac{5}{3}, −3)$y$(−2, 8)$
$(7, −6)$y$(5, −7)$
$(−5, −6)$y$(−3, −9)$
Encuentra la ecuación de la función lineal dada:

6. Encuentra la ecuación de la función lineal dada:

Contestar

1. $f ( x ) = - 2 x - 3$

3. $f ( x ) = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 19 } { 2 }$

5. $f ( x ) = - \frac { 3 } { 7 } x - \frac { 10 } { 7 }$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Encuentra la ecuación de la línea:

Paralelo$8x − 3y = 24$ y de paso$(−9, 4)$.
Paralelo$6x + 2y = 24$ y de paso$(\frac{1}{2}, −2)$.
Paralelo$\frac{1}{4} x −\frac{2}{3} y = 1$ y de paso$(−4, −1)$.
Perpendicular a$14x + 7y = 10$ y de paso$(8, −3)$.
Perpendicular a$15x − 3y = 6$ y de paso$(−3, 1)$.
Perpendicular a$\frac { 2 } { 9 } x + \frac { 4 } { 3 } y = \frac { 1 } { 2 }$ y de paso$(2, −7)$.

Contestar

1. $y = \frac{8}{3} x + 28$

3. $y = \frac{3}{8} x − \frac{5}{2}$

5. $y = −\frac{1}{5} x + \frac{2}{5}$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Usa álgebra para resolver lo siguiente.

Una tarifa de taxi en una ciudad determinada incluye un cargo inicial de$$2.50$ más$$2.00$ por milla conducida. Escribe una función que dé el costo de un viaje en taxi en términos de la cantidad de millas conducidas. Utilice la función para determinar el número de millas recorridos si la tarifa total es$$9.70$.
Una vendedora gana un sueldo base de$$1,800$ por mes y$4.2$% de comisión sobre sus ventas totales para ese mes. Escribir una función que le dé salario mensual en base a sus ventas totales. Utilizar la función para determinar el monto de ventas para un mes en el que estaba su salario$$4,824$.
Cierto automóvil se vendió para$$1,200$ adentro$1980$, después de lo cual comenzó a considerarse un artículo de coleccionista. En$1994$, el mismo automóvil vendido en subasta por$$5,750$. Escribir una función lineal que modele el valor del automóvil en términos del número de años transcurridos desde entonces$1980$. Utilízala para estimar el valor del automóvil en el año$2000$.
Se compró un robot industrial especializado nuevo para$$62,400$. Tiene una vida útil de$12$ años, después de lo cual se considerará sin valor. Escribe una función lineal que modele el valor del robot. Utilizar la función para determinar su valor después de$8$ años de operación.
En$1950$, la Oficina del Censo de Estados Unidos estimó la población de Detroit, MI en$1.8$ millones de personas. En$1990$, se estimó que la población había disminuido a$1$ millones. Escribir una función lineal que dé a la población de Detroit en millones de personas, en términos de años desde entonces$1950$. Utilizar la función para estimar el año en que la población disminuyó a$700,000$ personas.
Las ventas en línea de un producto en particular están relacionadas con el número de clics en su anuncio. Se encontró que los$100$ clics en una semana resultan en$$112$ ventas en línea, y que los$500$ clics resultan en$$160$ ventas en línea. Escribir una función lineal que modele las ventas en línea del producto en función del número de clics en su anuncio. ¿Cuántos clics se necesitan para generar ventas semanales en línea de este producto?$$250$
El costo en dólares de producir n bicicletas viene dado por la fórmula$C (n) = 80n + 3,380$. Si se puede vender por cada bicicleta$$132$, escriba una función que dé el beneficio generado por producir y vender$n$ bicicletas. Utilice la fórmula para determinar el número de bicicletas que deben producirse y venderse para obtener ganancias al menos$$10,000$.
Determinar el punto de equilibrio del ejercicio anterior.

Contestar

1. $C (x) = 2x + 2.5 ; 3.6$millas

3. $V (t) = 325t + 1, 200 ; $7,700$

5. $p (x) = −0.02x + 1.8 ; 2005$

7. $P (n) = 52n − 3, 380 ; 258$bicicletas

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Encuentra el par ordenado que especifica el punto$P$.

Contestar

1. $\left( \frac { 3 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } \right)$

3. $( - 25,25 )$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Grafica las funciones definidas por tramos.

$g ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } } & { \text { if } x < 5 } \\ { 10 } & { \text { if } x \geq 5 } \end{array} \right.$
$g ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - 5 } & { \text { if } x < - 5 } \\ { | x | } & { \text { if } x \geq - 5 } \end{array} \right.$
$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x } & { \text { if } x \leq - 1 } \\ { x ^ { 3 } } & { \text { if } x > - 1 } \end{array} \right.$
$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x } & { \text { if } x \leq 4 } \\ { \sqrt { x } } & { \text { if } x > 4 } \end{array} \right.$
$h ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x } & { \text { if } x < - 3 } \\ { x ^ { 2 } } & { \text { if } - 3 \leq x < 3 } \\ { - 6 } & { \text { if } x \geq 3 } \end{array} \right.$
$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \text { if } \quad x < - 1 } \\ { x ^ { 2 } } & { \text { if } } { - 1 \leq x \leq 0 } \\ { \frac { 1 } { x } } & { \text { if } } { x > 0 } \end{array} \right.$
$g ( x ) = \left\{ \begin{array} { c c c } { 1 } & { \text { if } } & { x \leq - 1 } \\ { 0 } & { \text { if } } & { - 1 < x \leq 1 } \\ { - 1 } & { \text { if } } & { x > 1 } \end{array} \right.$
$g ( x ) = \left[\!\![x]\!\!\right] + 2$

Contestar

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Evaluar.

1. $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { c l } { 5 x - 2 } & { \text { if } x < - 6 } \\ { x ^ { 2 } } & { \text { if } x \geq - 6 } \end{array} \right.$

Encontrar$f (−10), f (−6)$, y$f (0)$.

2. $h ( x ) = \left\{ \begin{array} { c l } { 2 - 5 x } & { \text { if } x \leq 0 } \\ { x ^ { 3 } } & { \text { if } x > 0 } \end{array} \right.$

Encontrar$h (−1), h (0)$, y$h (\frac{1}{2})$.

3. $g ( x ) = \left\{ \begin{array} { c l } { - 5 } & { \text { if } x < - 4 } \\ { x - 9 } & { \text { if } - 4 \leq x < 0 } \\ { \sqrt { x } } & { \text { if } \quad x \geq 0 } \end{array} \right.$

Encontrar$g (−10), g (0)$ y$g (8)$.

4. $q ( x ) = \left\{ \begin{array} { c c c } { \frac { 1 } { x } } & { \text { if } } & { x < - 1 } \\ { 0 } & { \text { if } } & { - 1 \leq x \leq 1 } \\ { x } & { \text { if } } & { x > 1 } \end{array} \right.$

Encontrar$q (− 5 3 ), q (1)$ y$q (16)$.

Contestar

1. $f ( - 10 ) = - 52 , f ( - 6 ) = 36 , f ( 0 ) = 0$

3. $g ( - 10 ) = - 5 , g ( - 4 ) = - 13 , g ( 8 ) = 2 \sqrt { 2 }$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

Esboce la gráfica de la función dada.

$f ( x ) = ( x + 5 ) ^ { 2 } - 10$
$g ( x ) = \sqrt { x - 6 } + 9$
$p ( x ) = x - 9$
$h ( x ) = x ^ { 3 } + 5$
$f ( x ) = | x - 20 | - 40$
$f ( x ) = \frac { 1 } { x - 3 }$
$h ( x ) = \frac { 1 } { x + 3 } - 6$
$g ( x ) = \sqrt [ 3 ] { x - 4 } + 2$
$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( x + 4 ) ^ { 2 } } & { \text { if } x < - 2 } \\ { x + 2 } & { \text { if } x \geq - 2 } \end{array} \right.$
$g ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - 2 } & { \text { if } x < 6 } \\ { | x - 8 | - 4 } & { \text { if } x \geq 6 } \end{array} \right.$
$g ( x ) = - | x + 4 | - 8$
$h ( x ) = - x ^ { 2 } + 16$
$f ( x ) = \sqrt { - x } - 2$
$r ( x ) = - \frac { 1 } { x } + 2$
$g ( x ) = - 2 | x + 10 | + 8$
$f ( x ) = - 5 \sqrt { x + 1 }$
$f ( x ) = - \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + 1$
$h ( x ) = \frac { 1 } { 3 } ( x - 1 ) ^ { 3 } + 2$

Contestar

11.

13.

15.

17.

Ejercicio$\PageIndex{14}$

Escribe una ecuación que represente la función cuya gráfica se da.

Contestar

1. $f ( x ) = ( x - 4 ) ^ { 2 } - 6$

3. $f ( x ) = - x ^ { 2 } + 4$

5. $f ( x ) = - x ^ { 3 } - 2$

7. $f ( x ) = - 10$

Ejercicio$\PageIndex{15}$

Resolver.

$|5x − 4| = 14$
$|4 − 3x| = 4$
$9 − 5 |x − 4| = 4$
$6 + 2 |x + 10| = 12$
$|3x − 6| + 5 = 5$
$0.2 |x − 1.8| = 4.6$
$\frac { 2 } { 3 } \left| 2 x - \frac { 1 } { 2 } \right| + \frac { 1 } { 3 } = 2$
$\frac { 1 } { 4 } \left| x + \frac { 5 } { 2 } \right| - 2 = \frac { 1 } { 8 }$
$| 3 x - 9 | = | 4 x + 3 |$
$| 9 x - 7 | = | 3 + 8 x |$

Contestar

1. $- 2 , \frac { 18 } { 5 }$

3. $3,5$

5. $2$

7. $- 1 , \frac { 3 } { 2 }$

9. $- 12 , \frac { 6 } { 7 }$

Ejercicio$\PageIndex{16}$

Resolver. Grafica las soluciones en una recta numéricos y da la notación de intervalo correspondiente.

$| 2 x + 3 | < 1$
$| 10 x - 15 | \leq 25$
$| 6 x - 1 | \leq 11$
$| x - 12 | > 7$
$6 - 4 \left| x - \frac { 1 } { 2 } \right| \leq 2$
$5 - | x + 6 | \geq 4$
$| 3 x + 1 | + 7 \leq 4$
$2 | x - 3 | + 6 > 4$
$5 \left| \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } \right| > \frac { 5 } { 6 }$
$6.4 - 3.2 | x + 1.6 | > 0$

Contestar

1. $( - 2 , - 1 )$;

3. $\left[ - \frac { 5 } { 3 } , 2 \right]$;

5. $\left( - \infty , - \frac { 1 } { 2 } \right] \cup \left[ \frac { 3 } { 2 } , \infty \right)$;

7. $\emptyset$;

9. $( - \infty , 1 ) \cup ( 2 , \infty )$;

Ejercicio$\PageIndex{17}$

¿El par ordenado es una solución a la desigualdad dada?

$9 x - 2 y < - 1 ; ( - 1 , - 3 )$;
$4 x + \frac { 1 } { 3 } y > 0 ; ( 1 , - 12 )$;
$\frac { 3 } { 4 } x - y \geq \frac { 1 } { 2 } ; \left( \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 4 } \right)$
$x - y \leq - 6 ; ( - 1,7 )$
$y \leq x ^ { 2 } - 3 ; ( - 3,5 )$
$y > | x - 6 | + 10 ; ( - 4,12 )$
$y < ( x - 1 ) ^ { 3 } + 7 ; ( - 1,0 )$
$y \geq \sqrt { x + 4 } ; ( - 3,4 )$

Contestar

1. Sí

3. Sí

5. Sí

7. No

Ejercicio$\PageIndex{18}$

Grafique el conjunto de soluciones.

$x + y < 6$
$2x − 3y ≥ 9$
$3x − y ≤ 6$
$y + 4 > 0$
$x − 6 ≥ 0$
$−\frac{1}{3} x +\frac{1}{6} y >\frac{1}{2}$
$y > (x − 2)^{2} − 3$
$y ≤ (x + 6)^{2} + 3$
$y < − |x| + 9$
$y > |x − 12| + 3$
$y ≥ x^{3} + 8$
$y > −(x − 2)^{3}$

Contestar

11.

Examen de muestra

Ejercicio$\PageIndex{19}$

1. Determine si la siguiente gráfica representa o no una función. Explique.

2. Determinar el dominio y el rango de la siguiente función.

3. Dado$g (x) = x^{2} − 5x + 1$, encontrar$g (−1), g (0)$, y$g (x + h)$.

4. Dada la gráfica de una función$f$:

a) Encontrar$f(-6), f(0),$ y$f(2)$

b) Averiguar$x$ dónde$f(x)=2$

5. Grafica$f ( x ) = - \frac { 5 } { 2 } x + 7$ y etiqueta la$x$ -intercepción.

6. Encuentra una función lineal que pasa a través de$(−\frac{1}{2}, −1)$ y$(2, −2)$.

7. Encuentra la ecuación de la línea paralela a$2x − 6y = 3$ y que pasa por ella$(−1, −2)$.

8. Encuentra la ecuación de la línea perpendicular a$3x − 4y = 12$ y que pasa por ella$(6, 1)$.

9. El ingreso anual de una nueva empresa de servicios web en dólares viene dado por$R (n) = 125n$, donde$n$ representa el número de usuarios que la compañía ha registrado. El costo anual de mantenimiento de la base de usuarios registrados de la compañía en dólares viene dado por la fórmula$C (n) = 85n + 22, 480$ donde$n$ representa a los usuarios.

a) Escribir una función que modele el beneficio anual con base en el número de usuarios registrados.

b) Determinar el número de usuarios registrados necesarios para romper el equilibrio.

10. Un motor de búsqueda en particular asigna un ranking a una página web en función del número de enlaces que dirigen a los usuarios a la página web. Si no se encuentran enlaces, a la página web se le asigna un ranking de$1$. Si se encuentran$40$ enlaces que dirigen a los usuarios a la página web, el buscador asigna un ranking de página de$5$.

(a) Encontrar una función lineal que dé a la página web un ranking basado en el número de enlaces que dirigen a los usuarios hacia ella.

b) ¿Cuántos enlaces serán necesarios para obtener un ranking de páginas de$7$?

Contestar

1. La gráfica no es una función; falla la prueba de línea vertical.

3. $g (−1) = 7, g (0) = 1$, y$g (x + h) = x^{2} + 2xh + h^{2} − 5x − 5h + 1$

7. $y = \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 5 } { 3 }$

9. (a)$P ( n ) = 40 n - 22,480$ (b)$562$ usuarios

Ejercicio$\PageIndex{20}$

Utilice las transformaciones para bosquejar la gráfica de las siguientes funciones e indicar el dominio y el rango.

$g ( x ) = | x + 4 | - 5$
$h ( x ) = \sqrt { x - 4 } + 1$
$r ( x ) = - ( x + 3 ) ^ { 3 }$
Dada la gráfica, determinar la definición de la función y su dominio y rango:

5. Croquis de la gráfica:$h ( x ) = \left\{ \begin{aligned} - x & \text { if } x < 1 \\ \frac { 1 } { x } & \text { if } x \geq 1 \end{aligned} \right.$

6. Croquis de la gráfica:$g ( x ) = - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + 9$

Contestar

1. Dominio:$(−∞, ∞)$; rango:$[−5, ∞)$