3.1: Sistemas lineales con dos variables y sus soluciones

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Objetivos de aprendizaje

Verificar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales.
Resolver sistemas lineales utilizando el método de graficación.
Identificar sistemas dependientes e inconsistentes.

Definición de un Sistema Lineal con Dos Variables

Las aplicaciones del mundo real a menudo se modelan usando más de una variable y más de una ecuación. Un sistema de ecuaciones ¹ consiste en un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables. En esta sección, estudiaremos los sistemas lineales ² que constan de dos ecuaciones lineales cada una con dos variables. Por ejemplo,

\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 0 } \\ { - 4 x + 2 y = - 8 } \end{array} \right.\)

Una solución a un sistema lineal ³, o solución simultánea ⁴, es un par ordenado\((x, y)\) que resuelve ambas ecuaciones. En este caso,\((3, 2)\) es la única solución. Para comprobar que un par ordenado es una solución, sustituya los\(y\) valores correspondientes\(x\) - y -en cada ecuación y luego simplifique para ver si obtiene una declaración verdadera para ambas ecuaciones.

Mesa\(\PageIndex{1}\)
Comprobar:\((3, 2)\)
Ecuación 1:\(2 x - 3 y = 0\)	Ecuación 2:\(- 4 x + 2 y = - 8\)
\(\begin{aligned} 2 ( \color{Cerulean}{3}\color{Black}{ ) }- 3 ( \color{Cerulean}{2}\color{Black}{ )} & = 0 \\ 6 - 6 & = 0 \\ 0 & = 0 \color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} - 4 ( \color{Cerulean}{3}\color{Black}{ )} + 2 ( \color{Cerulean}{2}\color{Black}{ )} & = - 8 \\ - 12 + 4 & = - 8 \\ - 8 & = - 8 \color{Cerulean}{✓}\end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Determinar si\((1,0)\) es o no una solución al sistema\(\left\{ \begin{array} { c } { x - y = 1 } \\ { - 2 x + 3 y = 5 } \end{array} \right.\).

Solución

Sustituir los valores apropiados en ambas ecuaciones.

Mesa\(\PageIndex{2}\)
Comprobar:\((1, 0)\)
Ecuación 1:\(x - y = 1\)	Ecuación 2:\(- 2 x + 3 y = 5\)
\(\begin{aligned} ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} - ( \color{Cerulean}{0}\color{Black}{ )} & = 1 \\ 1 - 0 & = 1 \\ 1 & = 1 \color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)	\(\begin{array} { r } { - 2 ( \color{Cerulean}{1}\color{Black}{ )} + 3 ( \color{Cerulean}{0}\color{Black}{ )} = 5 } \\ { - 2 + 0 = 5 } \\ { - 2 = 5 } \color{red}{✗} \end{array}\)

Respuesta:

Dado que\((1, 0)\) no satisface ambas ecuaciones, no es una solución.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¿Es\((-2, 4)\) una solución al sistema\(\left\{ \begin{array} { c } { x - y = - 6 } \\ { - 2 x + 3 y = 16 } \end{array} \right. \)?

Contestar

Sí

www.youtube.com/v/vbcsv2isjbk

Resolver graficando

Geométricamente, un sistema lineal consta de dos líneas, donde una solución es un punto de intersección. Para ilustrar esto, graficaremos el siguiente sistema lineal con una solución de\((3, 2)\):

\(\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - 3 y = 0 } \\ { - 4 x + 2 y = - 8 } \end{array} \right.\)

Primero, reescribir las ecuaciones en forma de pendiente-intersección para que podamos graficarlas fácilmente.

Mesa\(\PageIndex{3}\)
\(\begin{aligned} 2 x - 3 y & = 0 \\ 2 x - 3 y \color{Cerulean}{- 2 x} & \color{Black}{=} 0 \color{Cerulean}{- 2 x} \\ - 3 y & = - 2 x \\ \frac { - 3 y } { \color{Cerulean}{- 3} } & = \frac { - 2 x } { \color{Cerulean}{- 3} } \\ y & = \frac { 2 } { 3 } x \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} - 4 x + 2 y & = - 8 \\ - 4 x + 2 y \color{Cerulean}{+ 4 x} & \color{Black}{=} - 8 \color{Cerulean}{+ 4 x} \\ 2 y & = 4 x - 8 \\ \frac { 2 y } { \color{Cerulean}{2} } & \color{Black}{=} \frac { 4 x - 8 } { \color{Cerulean}{2} } \\ y & = 2 x - 4 \end{aligned}\)

A continuación, sustituir estas formas de las ecuaciones originales en el sistema para obtener lo que se llama un sistema equivalente ⁵. Los sistemas equivalentes comparten el mismo conjunto de soluciones.

\(\begin{array} { c } { \color {Cerulean} { Original\: system } \:\:\:\:\:\:\:\color{Cerulean}{Equivalent\: system}} \\ { \left\{ \begin{array} { c } { 2 x - 3 y = 0 } \\ { - 4 x + 2 y = - 8 } \end{array} \right. \:\:\:\Rightarrow \:\:\:\:\:\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 2 } { 3 } x } \\ { y = 2 x - 4 } \end{array} \right. } \end{array}\)

Si graficamos ambas líneas en un mismo conjunto de ejes, entonces podemos ver que el punto de intersección es efectivamente\((3, 2)\), la solución al sistema.

Para resumir, los sistemas lineales descritos en esta sección consisten en dos ecuaciones lineales cada una con dos variables. Una solución es un par ordenado que corresponde a un punto donde las dos líneas se cruzan en el plano de coordenadas rectangulares. Por lo tanto, una forma de resolver sistemas lineales es graficando ambas líneas en un mismo conjunto de ejes y determinando el punto donde se cruzan. Esto describe el método de graficación ⁶ para resolver sistemas lineales.

Al graficar las líneas, tenga cuidado de elegir una buena escala y use una recta para dibujar la línea a través de los puntos; la precisión es muy importante aquí.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

Resuelve graficando:\(\left\{ \begin{array} { l } { x - y = - 4 } \\ { 2 x + y = 1 } \end{array} \right.\).

Solución

Reescribir las ecuaciones lineales en forma de pendiente-intersección.

Mesa\(\PageIndex{4}\)
\(\begin{aligned} x - y & = - 4 \\ - y & = - x - 4 \\ \frac { - y } { \color{Cerulean}{- 1} } & \color{Black}{=} \frac { - x - 4 } { \color{Cerulean}{- 1} } \\ y & = x + 4 \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} 2 x + y & = 1 \\ y & = - 2 x + 1 \end{aligned}\)

Escribe el sistema equivalente y grafica las líneas en el mismo conjunto de ejes.

\(\left\{ \begin{array} { l } { x - y = - 4 } \\ { 2 x + y = 1 } \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { y = x + 4 } \\ { y = - 2 x + 1 } \end{array} \right.\)

Mesa\(\PageIndex{5}\)
\(\color{Cerulean}{Line 1:} y=x+4\) \(y-intercept: (0,4)\) \(slope: m = 1 = \frac{1}{1} = \frac{rise}{run}\)	\(\color{Cerulean}{Line 2:} y=-2x+1\) \(y-intercept: (0,1)\) \(slope: m=-2 = frac{-2}{1} = \frac{rise}{run}\)

Usa la gráfica para estimar el punto donde se cruzan las líneas y comprueba si resuelve el sistema original. En la gráfica anterior, el punto de intersección parece ser\((−1, 3)\).

Mesa\(\PageIndex{6}\)
Comprobar:\((-1, 3)\)
Línea 1:\(x-y=-4\)	Línea 2:\(2x+y=1\)
\(\begin{array} { r } { ( \color{Cerulean}{- 1} \color{Black}{)} - ( \color{Cerulean}{3} \color{Black}{)} = - 4 } \\ { - 1 - 3 = - 4 } \\ { - 4 = - 4 } \end{array}\color{Cerulean}{✓}\)	\(\begin{array} { r } { 2 ( \color{Cerulean}{- 1} \color{Black}{)} + ( \color{Cerulean}{3} \color{Black}{)} = 1 } \\ { - 2 + 3 = 1 } \\ { 1 = 1 } \end{array}\color{Cerulean}{✓}\)

Respuesta:

\((-1, 3)\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\):

Resuelve graficando:\(\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + y = 2 } \\ { - 2 x + 3 y = - 18 } \end{array} \right.\).

Solución

Primero resolvemos cada ecuación\(y\) para obtener un sistema equivalente donde las líneas están en forma de pendiente-intersección.

\(\left\{ \begin{array} { c c } { 2 x + y = 2 } \\ { - 2 x + 3 y = - 18 } \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 x + 2 } \\ { y = \frac { 2 } { 3 } x - 6 } \end{array} \right.\)

Grafica las líneas y determina el punto de intersección.

Mesa\(\PageIndex{7}\)
Comprobar:\((3, -4)\)
\(\begin{array} { r } { 2 x + y = 2 } \\ { 2 ( \color{Cerulean}{3}\color{Black}{ )} + ( \color{Cerulean}{- 4} \color{Black}{)} = 2 } \\ { 6 - 4 = 2 } \\ { 2 = 2 } \color{Cerulean}{✓} \end{array}\)	\(\begin{aligned} - 2 x + 3 y & = - 18 \\ - 2 ( \color{Cerulean}{3} \color{Black}{)} + 3 ( \color{Cerulean}{- 4} \color{Black}{)} & = - 18 \\ - 6 - 12 & = - 18 \\ - 18 & = - 18 \color{Cerulean}{✓}\end{aligned}\)

Respuesta:

\((3, -4)\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\):

Resuelve graficando:\(\left\{ \begin{array} { c } { 3 x + y = 6 } \\ { y = - 3 } \end{array} \right.\).

Solución

\(\left\{ \begin{array} { c } { 3 x + y = 6 } \\ { y = - 3 } \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { y = - 3 x + 6 } \\ { y = - 3 } \end{array} \right.\)

Mesa\(\PageIndex{8}\)
Comprobar:\((3, -3)\)
\(\begin{array} { r } { 3 x + y = 6 } \\ { 3 ( \color{Cerulean}{3} \color{Black}{)} + ( \color{Cerulean}{- 3}\color{Black}{ )} = 6 } \\ { 9 - 3 = 6 } \\ { 6 = 6 } \color{Cerulean}{✓} \end{array}\)	\(\begin{aligned} y & = - 3 \\ ( \color{Cerulean}{- 3} \color{Black}{)} & = - 3 \\ - 3 & = - 3 \color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

Respuesta:

\((3, -3)\)

El método de graficación para resolver sistemas lineales no es ideal cuando una solución consiste en coordenadas que no son números enteros. Habrá métodos algebraicos más precisos en las secciones por venir, pero por ahora, el objetivo es entender la geometría involucrada a la hora de resolver sistemas. Es importante recordar que las soluciones a un sistema corresponden al punto, o puntos, donde se cruzan las gráficas de las ecuaciones.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Resuelve graficando:\(\left\{ \begin{array} { l } { - x + y = 6 } \\ { 5 x + 2 y = - 2 } \end{array} \right.\).

Contestar

\((-2, 4)\)

www.youtube.com/v/fmc7wvumxv0

Sistemas Dependientes e Inconsistentes

Un sistema con al menos una solución se denomina sistema consistente ⁷. Hasta este punto, todos los ejemplos han sido de sistemas consistentes con exactamente una solución de par ordenado. Resulta que no siempre es así. En ocasiones los sistemas constan de dos ecuaciones lineales que son equivalentes. Si este es el caso, las dos líneas son iguales y cuando se grafican coincidirán. De ahí que el conjunto de soluciones consiste en todos los puntos de la línea. Se trata de un sistema dependiente ⁸. Dado un sistema lineal consistente con dos variables, hay dos resultados posibles:

Una solución a un sistema independiente ⁹ es un par ordenado\((x, y)\). La solución a un sistema dependiente consiste en infinitamente muchos pares ordenados\((x, y)\). Dado que cualquier línea se puede escribir en forma pendiente-intercepción,\(y = mx + b\), podemos expresar estas soluciones, dependiendo\(x\) de, de la siguiente manera:

\(\begin{array} { c } { \{ ( x , y ) | y = m x + b \} \:\:\:\color{Cerulean} { Set-Notation } } \\ { ( x , m x + b ) \quad \color{Cerulean} { Shortened\: Form } } \end{array}\)

En este texto expresaremos todas las soluciones de pares ordenados\((x, y)\) en la forma abreviada\((x, mx + b)\), donde\(x\) está cualquier número real.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\):

Resuelve graficando:\(\left\{ \begin{array} { r } { - 2 x + 3 y = - 9 } \\ { 4 x - 6 y = 18 } \end{array} \right.\).

Solución

Determinar la forma pendiente-intersección para cada ecuación lineal en el sistema.

Mesa\(\PageIndex{9}\)
\(\begin{aligned} - 2 x + 3 y & = - 9 \\ - 2 x + 3 y & = - 9 \\ 3 y & = 2 x - 9 \\ y & = \frac { 2 x - 9 } { 3 } \\ y & = \frac { 2 } { 3 } x - 3 \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} 4 x - 6 y & = 18 \\ 4 x - 6 y & = 18 \\ - 6 y & = - 4 x + 18 \\ y & = \frac { - 4 x + 18 } { - 6 } \\ y & = \frac { 2 } { 3 } x - 3 \end{aligned}\)

\(\left\{ \begin{array} { c c } { - 2 x + 3 y = - 9 } \\ { 4 x - 6 y = 18 } \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 2 } { 3 } x - 3 } \\ { y = \frac { 2 } { 3 } x - 3 } \end{array} \right.\)

En forma de pendiente-intercepción, podemos ver fácilmente que el sistema consta de dos líneas con la misma pendiente y la misma\(y\) intersección. Son, de hecho, la misma línea. Y el sistema es dependiente.

Respuesta:

\(\left( x , \frac { 2 } { 3 } x - 3 \right)\)

En este ejemplo, es importante notar que las dos líneas tienen la misma pendiente y la misma\(y\) intersección. Esto nos dice que las dos ecuaciones son equivalentes y que las soluciones simultáneas son todos los puntos en la línea\(y = \frac{2}{3} x − 3\). Este es un sistema dependiente, y las infinitamente muchas soluciones se expresan usando la forma\((x, mx + b)\). Otros recursos pueden expresar este conjunto utilizando la notación de conjunto\(\{(x, y) | y = \frac{2}{3} x − 3\}\),, que dice “el conjunto de todos los pares ordenados\((x, y)\) tal que”\(y = \frac{2}{3} x − 3\).

A veces las líneas no se cruzan y no hay punto de intersección. Tal sistema no tiene solución,\(Ø\), y se denomina sistema inconsistente ¹⁰.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\):

Resuelve graficando:\(\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + 5 y = - 15 } \\ { - 4 x + 10 y = 10 } \end{array} \right.\).

Solución

Determinar la forma pendiente-intersección para cada ecuación lineal.

Mesa\(\PageIndex{10}\)
\(\begin{aligned} - 2 x + 5 y & = - 15 \\ - 2 x + 5 y & = - 15 \\ 5 y & = 2 x - 15 \\ y & = \frac { 2 x - 15 } { 5 } \\ y & = \frac { 2 } { 5 } x - 3 \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} - 4 x + 10 y & = 10 \\ - 4 x + 10 y & = 10 \\ 10 y & = 4 x + 10 \\ y & = \frac { 4 x + 10 } { 10 } \\ y & = \frac { 2 } { 5 } x + 1 \end{aligned}\)

\(\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + 5 y = - 15 } \\ { - 4 x + 10 y = 10 } \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 2 } { 5 } x - 3 } \\ { y = \frac { 2 } { 5 } x + 1 } \end{array} \right.\)

En forma de pendiente-intersección, podemos ver fácilmente que el sistema consta de dos líneas con la misma pendiente y diferentes\(y\) -intercepciones. Por lo tanto, las líneas son paralelas y nunca se cruzarán.

Respuesta:

No hay solución simultánea\(\varnothing\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Resuelve graficando:\(\left\{ \begin{array} { c } { x + y = - 1 } \\ { - 2 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.\).

Contestar

\(( x , - x - 1 )\)

www.youtube.com/V/Muq2oqi7SAG

Claves para llevar

En esta sección, limitamos nuestro estudio a sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables. Las soluciones a tales sistemas, si existen, consisten en pares ordenados que satisfacen ambas ecuaciones. Geométricamente, las soluciones son los puntos donde se cruzan las gráficas.
El método de graficación para resolver sistemas lineales nos obliga a graficar ambas líneas en el mismo conjunto de ejes como medio para determinar dónde se cruzan.
El método de graficación no es el método más preciso para determinar soluciones, particularmente cuando una solución tiene coordenadas que no son números enteros. Es una buena práctica comprobar siempre sus soluciones.
Algunos sistemas lineales no tienen solución simultánea. Estos sistemas consisten en ecuaciones que representan líneas paralelas con diferentes\(y\) -intercepciones y no se cruzan en el plano. Se les llama sistemas inconsistentes y el conjunto de soluciones es el conjunto vacío,\(Ø\).
Algunos sistemas lineales tienen infinitamente muchas soluciones simultáneas. Estos sistemas consisten en ecuaciones que son equivalentes y representan la misma línea. Se les llama sistemas dependientes y sus soluciones se expresan usando la notación\((x, mx + b)\), donde\(x\) está cualquier número real.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Determinar si el par ordenado dado es o no una solución al sistema dado.

1. \((3, -2)\);

\(\left\{ \begin{array} { c } { x + y = - 1 } \\ { - 2 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.\)

2. \((-5, 0)\);

\(\left\{ \begin{array} { l } { x + y = - 1 } \\ { - 2 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.\)

3. \(( - 2 , - 6 )\);

\(\left\{ \begin{array} { l } { - x + y = - 4 } \\ { 3 x - y = - 12 } \end{array} \right.\)

4. \(( 2 , - 7 )\);

\(\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 8 } \\ { - 5 x - 3 y = 11 } \end{array} \right.\)

5. \(( 0 , - 3 )\);

\(\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 5 y = 15 } \\ { - 13 x + 2 y = - 6 } \end{array} \right.\)

6. \(\left( - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 4 } \right)\);

\(\left\{ \begin{array} { l } { x + y = - \frac { 1 } { 4 } } \\ { - 2 x - 4 y = 0 } \end{array} \right.\)

7. \(\left( \frac { 3 } { 4 } , \frac { 1 } { 4 } \right)\);

\(\left\{ \begin{array} { l } { - x - y = - 1 } \\ { - 4 x - 8 y = 5 } \end{array} \right.\)

8. \(( - 3,4 )\);

\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 1 } \\ { \frac { 2 } { 3 } x - \frac { 3 } { 2 } y = - 8 } \end{array} \right.\)

9. \(( - 5 , - 3 )\);

\(\left\{ \begin{array} { c } { y = - 3 } \\ { 5 x - 10 y = 5 } \end{array} \right.\)

10. \(( 4,2 )\);

\(\left\{ \begin{aligned} x & = 4 \\ - 7 x + 4 y & = 8 \end{aligned} \right.\)

Contestar

1. No

3. No

5. Sí

7. No

9. Sí

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dadas las gráficas, determinar la solución simultánea.

10.

Contestar

1. \((5, 0)\)

3. \((6, -6)\)

5. \((0,0)\)

7. \(( x , - 2 x + 2 )\)

9. \(\emptyset\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Resuelve graficando.

\(\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 3 } { 2 } x + 6 } \\ { y = - x + 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 3 } { 4 } x + 2 } \\ { y = - \frac { 1 } { 4 } x - 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = x - 4 } \\ { y = - x + 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - 5 x + 4 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { y = \frac { 2 } { 5 } x + 1 } \\ { y = \frac { 3 } { 5 } x } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 2 } { 5 } x + 6 } \\ { y = \frac { 2 } { 5 } x + 10 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 } \\ { y = x + 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 } \\ { x = - 3 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = 0 } \\ { y = \frac { 2 } { 5 } x - 4 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 } \\ { y = 3 x } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 3 } { 5 } x - 6 } \\ { y = \frac { 3 } { 5 } x - 3 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { y = - \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 18 } \\ { - 6 x + 3 y = - 6 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} - 3 x + 4 y & = 20 \\ 2 x + 8 y & = 8 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + y = 1 } \\ { 2 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 8 } \\ { 5 x + 4 y = - 4 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 6 y = 36 } \\ { 2 x - 3 y = 6 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 18 } \\ { 6 x - 3 y = - 6 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 30 } \\ { - 6 x - 10 y = - 10 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { - x + 3 y = 3 } \\ { 5 x - 15 y = - 15 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 0 } \\ { - x + y = 0 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { y = x } \\ { y - x = 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 0 } \\ { x = 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + \frac { 1 } { 3 } y = \frac { 2 } { 3 } } \\ { - 3 x + \frac { 1 } { 2 } y = - 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 10 } x + \frac { 1 } { 5 } y = 2 } \\ { - \frac { 1 } { 5 } x + \frac { 1 } { 5 } y = - 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 1 } \\ { \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 5 } y = 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 9 } x + \frac { 1 } { 6 } y = 0 } \\ { \frac { 1 } { 9 } x + \frac { 1 } { 4 } y = \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 } { 16 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 5 } \\ { - \frac { 5 } { 16 } x + \frac { 1 } { 2 } y = \frac { 5 } { 2 } } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 6 } x - \frac { 1 } { 2 } y = \frac { 9 } { 2 } } \\ { - \frac { 1 } { 18 } x + \frac { 1 } { 6 } y = - \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 } { 4 } y = - \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 3 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 } \\ { x = - 5 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - 3 } \\ { x = 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = 0 } \\ { x = 0 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 } \\ { y = 3 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = 5 } \\ { y = - 5 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} y & = 2 \\ y - 2 & = 0 \end{aligned} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { x = - 5 } \\ { x = 1 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { y = x } \\ { x = 0 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 6 y = 3 } \\ { - x + y = - 2 } \end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + 20 y = 20 } \\ { 3 x + 10 y = - 10 } \end{array} \right.\)
Suponiendo que\(m\) es distinto de cero resolver el sistema:\(\left\{ \begin{array} { l } { y = m x + b } \\ { y = - m x + b } \end{array} \right.\)
Suponiendo que\(b\) es distinto de cero resolver el sistema:\(\left\{ \begin{array} { l } { y = m x + b } \\ { y = m x - b } \end{array} \right.\)
Encuentra la ecuación de la línea perpendicular a\(y = −2x + 4\) y que pasa por ella\((3, 3)\). Grafique esta línea y la línea dada en el mismo conjunto de ejes y determine dónde se cruzan.
Encuentra la ecuación de la línea perpendicular a\(y − x = 2\) y que pasa por ella\((−5, 1)\). Grafique esta línea y la línea dada en el mismo conjunto de ejes y determine dónde se cruzan.
Encuentra la ecuación de la línea perpendicular a\(y = −5\) y que pasa por ella\((2, −5)\). Grafica ambas líneas en el mismo conjunto de ejes.
Encuentra la ecuación de la línea perpendicular al\(y\) eje -y pasando por el origen.
Utilice la gráfica de\(y = −\frac{2}{3} x + 3\) para determinar el\(x\) -valor donde\(y = −3\). Verifica tu respuesta usando álgebra.
Utilice la gráfica de\(y = \frac{4}{5} x − 3\) para determinar el\(x\) -valor donde\(y = 5\). Verifica tu respuesta usando álgebra.

Contestar

1. \((−2, 3)\)

3. \((3, −1)\)

5. \((5, 3)\)

7. \((−3, −2)\)

9. \((10, 0)\)

11. \(Ø\)

13. \((3, 4)\)

15. \((−3, −5)\)

17. \((6, 2)\)

19. \(Ø\)

21. \((x, x)\)

23. \((2, −3)\)

25. \((10, 5)\)

27. \((−9, 6)\)

29. \((x, \frac{1}{3} x − 9)\)

31. \((−5, 4)\)

33. \((0, 0)\)

35. \(Ø\)

37. \(Ø\)

39. \((\frac{3}{2} , −\frac{1}{2})\)

41. \((0, b)\)

43. \(y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} ; (1, 2)\)

45. \(x = 2\)

47. \(x = 9\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Discutir las debilidades del método de graficación para resolver sistemas.
Explicar por qué la solución establecida en un sistema lineal dependiente se denota por\((x, mx + b)\).
Dibuje una imagen de un sistema lineal dependiente así como una imagen de un sistema lineal inconsistente. ¿Qué necesitarías para determinar las ecuaciones de las líneas que has dibujado?

Contestar

1. La respuesta puede variar

3. La respuesta puede variar

Notas al pie

¹ Un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables.

² Un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con las mismas variables.

³ Dado un sistema lineal con dos ecuaciones y dos variables, una solución es un par ordenado que satisface ambas ecuaciones y corresponde a un punto de intersección.

⁴ Se utiliza cuando se refiere a una solución de un sistema de ecuaciones.

⁵ Un sistema que consiste en ecuaciones equivalentes que comparten el mismo conjunto de soluciones.

⁶ Un medio para resolver un sistema graficando las ecuaciones en un mismo conjunto de ejes y determinando dónde se cruzan.

⁷ Un sistema con al menos una solución.

⁸ Un sistema lineal con dos variables que consiste en ecuaciones equivalentes. Tiene infinitamente muchas soluciones de pares ordenadas, denotadas por\((x, mx + b)\).

⁹ Un sistema lineal con dos variables que tiene exactamente una solución de par ordenado.

Sistema de ¹⁰ A sin solución simultánea.