4.E: Funciones polinómicas y racionales (Ejercicios)

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Ejercicio$\PageIndex{1}$

Evaluar

Dado$f ( x ) = 2 x ^ { 2 } - x + 6$, encontrar$f ( - 3 ) , f ( 0 )$, y$f ( 10 )$.
Dado$g ( x ) = - x ^ { 2 } + 4 x - 1$, encontrar$g ( - 1 ) , g ( 0 )$, y$g(3)$.
Dado$h ( t ) = - t ^ { 3 } - 2 t ^ { 2 } + 3$, encontrar$h ( - 3 ) , h ( 0 )$, y$h(2)$.
Dado$p ( x ) = x ^ { 4 } - 2 x ^ { 2 } + x$, encontrar$p ( - 1 ) , p ( 0 )$, y$p(2)$.
La siguiente gráfica da la altura$h (t)$ en pies de un proyectil a lo largo del tiempo$t$ en segundos

(a) Utilizar la gráfica para determinar la altura del proyectil en$2.5$ segundos.

b) ¿En qué momento alcanza el proyectil su altura máxima?

c) ¿Cuánto tiempo tarda el proyectil en regresar al suelo?

6. Dada la gráfica de la función$f$, find$f ( - 9 ) , f ( - 3 )$, y$f(12)$.

7. Desde el suelo, se dispara una bala directamente al aire a$340$ metros por segundo. Ignorando los efectos de la fricción del aire, escriba una función que modele la altura de la bala y utilícela para calcular la altura de la bala después de un cuarto de segundo. (Redondear al medidor más cercano.)

8. Un objeto es arrojado al aire a una velocidad inicial de$30$ pies por segundo desde un techo de$10$ pies de altura. Escribe una función que modele la altura del objeto y utilízala para calcular la altura del objeto tras$1$ segundo.

Contestar

1. $f ( - 3 ) = 27 ; f ( 0 ) = 6 ; f ( 10 ) = 196$

3. $h ( - 3 ) = 12 ; h ( 0 ) = 3 ; h ( 2 ) = - 13$

5. (a)$60$ pies; (b)$2$ segundos; (c)$4$ segundos

7. $h ( t ) = - 4.9 t ^ { 2 } + 340 t$; al$0.25$ segundo, la altura de la bala es de unos$85$ metros.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Realizar las operaciones.

Dado$f ( x ) = 5 x ^ { 2 } - 3 x + 1$ y$g ( x ) = 2 x ^ { 2 } - x - 1$, encontrar$( f + g ) ( x )$.
Dado$f ( x ) = x ^ { 2 } + 3 x - 8$ y$g ( x ) = x ^ { 2 } - 5 x - 7$, encontrar$( f - g ) ( x )$.
Dado$f ( x ) = 3 x ^ { 2 } - x + 2$ y$g ( x ) = 2 x - 3$, encontrar$( f \cdot g ) ( x )$.
Dado$f ( x ) = 27 x ^ { 5 } - 15 x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 }$ y$g ( x ) = 3 x ^ { 2 }$, encontrar$( f / g ) ( x )$.
Dado$g ( x ) = x ^ { 2 } - x + 1$, encuentra$g ( - 3 u )$.
Dado$g ( x ) = x ^ { 3 } - 1$, encuentra$g ( x - 1 )$.

Contestar

1. $( f + g ) ( x ) = 7 x ^ { 2 } - 4 x$

3. $( f \cdot g ) ( x ) = 6 x ^ { 3 } - 11 x ^ { 2 } + 7 x - 6$

5. $g ( - 3 u ) = 9 u ^ { 2 } + 3 u + 1$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Dado$f ( x ) = 16 x ^ { 3 } - 12 x ^ { 2 } + 4 x , g ( x ) = x ^ { 2 } - x + 1$, y$h ( x ) = 4 x$, encontrar lo siguiente:

$( g \cdot h ) ( x )$
$( f - g ) ( x )$
$( g + f ) ( x )$
$( f / h ) ( x )$
$( f \cdot h ) ( - 1 )$
$( g + h ) ( - 3 )$
$( g - f ) ( 2 )$
$( f / h ) \left( \frac { 3 } { 2 } \right)$

Contestar

1. $( g \cdot h ) ( x ) = 4 x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } + 4 x$

3. $( g + f ) ( x ) = 16 x ^ { 3 } - 11 x ^ { 2 } + 3 x + 1$

5. $( f \cdot h ) ( - 1 ) = 128$

7. $( g - f ) ( 2 ) = - 85$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Factor nuestro mayor factor común (GCF).

$2 x ^ { 4 } - 12 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 }$
$18 a ^ { 3 } b - 3 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 3 a b ^ { 3 }$
$x ^ { 4 } y ^ { 3 } - 3 x ^ { 3 } y + x ^ { 2 } y$
$x ^ { 3 n } - x ^ { 2 n } - x ^ { n }$

Contestar

1. $2 x ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } - 6 x - 1 \right)$

3. $x ^ { 2 } y \left( x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 3 x + 1 \right)$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Factorizar por agrupación.

$2 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + 2 x - 1$
$3x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 6 x + 2$
$x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } y + x y ^ { 2 } - 5 y ^ { 3 }$
$a ^ { 2 } b - a + a b ^ { 3 } - b ^ { 2 }$
$2 x ^ { 4 } - 4 x y ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 4 x ^ { 3 } y$
$x ^ { 4 } y ^ { 2 } - x y ^ { 5 } + x ^ { 3 } y ^ { 4 } - x ^ { 2 } y ^ { 3 }$

Contestar

1. $\left( x ^ { 2 } + 1 \right) ( 2 x - 1 )$

3. $\left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ( x - 5 y )$

5. $2 x ( x - 2 y ) \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right)$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Factorial los binomios especiales.

$64 x ^ { 2 } - 1$
$9 - 100 y ^ { 2 }$
$x ^ { 2 } - 36 y ^ { 2 }$
$4 - ( 2 x - 1 ) ^ { 2 }$
$a ^ { 3 } b ^ { 3 } + 125$
$64 x ^ { 3 } - y ^ { 3 }$
$81 x ^ { 4 } - y ^ { 4 }$
$x ^ { 8 } - 1$
$x ^ { 6 } - 64 y ^ { 6 }$
$1 - a ^ { 6 } b ^ { 6 }$

Contestar

1. $( 8 x + 1 ) ( 8 x - 1 )$

3. $( x + 6 y ) ( x - 6 y )$

5. $( a b + 5 ) \left( a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 5 a b + 25 \right)$

7. $\left( 9 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ( 3 x + y ) ( 3 x - y )$

9. $( x + 2 y ) \left( x ^ { 2 } - 2 x y + 4 y ^ { 2 } \right) ( x - 2 y ) \left( x ^ { 2 } + 2 x y + 4 y ^ { 2 } \right)$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Factor.

$x ^ { 2 } - 8 x - 48$
$x ^ { 2 } - 15 x + 54$
$x ^ { 2 } - 4 x - 6$
$x ^ { 2 } - 12 x y + 36 y ^ { 2 }$
$x ^ { 2 } + 20 x y + 75 y ^ { 2 }$
$- x ^ { 2 } + 5 x + 150$
$- 2 y ^ { 2 } + 20 y + 48$
$28 x ^ { 2 } + 20 x + 3$
$150 x ^ { 2 } - 100 x + 6$
$24 a ^ { 2 } - 38 a b + 3 b ^ { 2 }$
$27 u ^ { 2 } - 3 u v - 4 v ^ { 2 }$
$16 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 78 x y + 27$
$16 m ^ { 2 } + 72 m n + 81 n ^ { 2 }$
$4 x ^ { 2 } - 5 x + 20$
$25 x ^ { 4 } - 35 x ^ { 2 } + 6$
$2 x ^ { 4 } + 7 x ^ { 2 } + 3$
$x ^ { 6 } + 3 x ^ { 3 } y ^ { 3 } - 10 y ^ { 6 }$
$a ^ { 6 } - 8 a ^ { 3 } b ^ { 3 } + 15 b ^ { 6 }$
$x ^ { 2 n } - 2 x ^ { n } + 1$
$6 x ^ { 2 n } - x ^ { n } - 2$

Contestar

1. $( x - 12 ) ( x + 4 )$

3. Prime

5. $( x + 5 y ) ( x + 15 y )$

7. $- 2 ( y - 12 ) ( y + 2 )$

9. $2 ( 15 x - 1 ) ( 5 x - 3 )$

11. $( 3 u + v ) ( 9 u - 4 v )$

13. $( 4 m + 9 n ) ^ { 2 }$

15. $\left( 5 x ^ { 2 } - 6 \right) \left( 5 x ^ { 2 } - 1 \right)$

17. $\left( x ^ { 3 } + 5 y ^ { 3 } \right) \left( x ^ { 3 } - 2 y ^ { 3 } \right)$

19. $\left( x ^ { n } - 1 \right) ^ { 2 }$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Factorizar completamente.

$45 x ^ { 3 } - 20 x$
$12 x ^ { 4 } - 70 x ^ { 3 } + 50 x ^ { 2 }$
$- 20 x ^ { 2 } + 32 x - 3$
$- x ^ { 3 } y + 9 x y ^ { 3 }$
$24 a ^ { 4 } b ^ { 2 } + 3 a b ^ { 5 }$
$64 a ^ { 6 } b ^ { 6 } - 1$
$64 x ^ { 2 } + 1$
$x ^ { 3 } + x ^ { 2 } y - x y ^ { 2 } - y ^ { 3 }$

Contestar

1. $5 x ( 3 x + 2 ) ( 3 x - 2 )$

3. $- ( 10 x - 1 ) ( 2 x - 3 )$

5. $3 a b ^ { 2 } ( 2 a + b ) \left( 4 a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } \right)$

7. Prime

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Resolver factorizando.

$9 x ^ { 2 } + 8 x = 0$
$x ^ { 2 } - 1 = 0$
$x ^ { 2 } - 12 x + 20 = 0$
$x ^ { 2 } - 2 x - 48 = 0$
$( 2 x + 1 ) ( x - 2 ) = 3$
$2 - ( x - 4 ) ^ { 2 } = - 7$
$( x - 6 ) ( x + 3 ) = - 18$
$( x + 5 ) ( 2 x - 1 ) = 3 ( 2 x - 1 )$
$\frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } x - \frac { 1 } { 8 } = 0$
$\frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } - \frac { 19 } { 12 } x + \frac { 1 } { 2 } = 0$
$x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - 24 x = 0$
$x ^ { 4 } - 5 x ^ { 2 } + 4 = 0$

Contestar

1. $-\frac{8}{9} , 0$

3. $2,10$

5. $-1, \frac{5}{2}$

7. $0,3$

9. $- \frac { 3 } { 2 } , \frac { 1 } { 6 }$

11. $- 4,0,6$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Encuentra las raíces de las funciones dadas.

$f ( x ) = 12 x ^ { 2 } - 8 x$
$g ( x ) = 2 x ^ { 3 } - 18 x$
$h ( t ) = - 16 t ^ { 2 } + 64$
$p ( x ) = 5 x ^ { 2 } - 21 x + 4$

7. La altura en pies de un objeto caído desde la parte superior de una escalera$16$ -pie viene dada por$h ( t ) = - 16 t ^ { 2 } + 16$, donde$t$ representa el tiempo en segundos después de que el objeto ha sido caído. ¿Cuánto tiempo tardará en golpear el suelo?

8. La longitud de un rectángulo es$2$ centímetros menos del doble de su ancho. Si el área del rectángulo es de centímetros$112$ cuadrados, encuentra sus dimensiones.

9. Un triángulo cuya base es igual en medida a su altura tiene un área de pulgadas$72$ cuadradas. Encuentra la longitud de la base.

10. Se puede hacer una caja cortando las esquinas y plegando los bordes de una hoja de cartón. Se da una plantilla para una caja de cartón rectangular de$2$ pulgadas de altura.

¿Cuáles son las dimensiones de una hoja de cartón que hará una caja rectangular con volumen de pulgadas$240$ cúbicas?

Contestar

1. $0 , \frac { 2 } { 3 }$

3. $\pm 2$

5. $- 9,0,6$

7. $1$segundo

9. $12$pulgadas

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Solucionar o factorizar.

$x ^ { 2 } - 25$
$x ^ { 2 } - 121 = 0$
$16 x ^ { 2 } - 22 x - 3 = 0$
$3 x ^ { 2 } - 14 x - 5$
$x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 2 x - 2$
$3 x ^ { 2 } = - 15 x$

Contestar

1. Factor;$( x + 5 ) ( x - 5 )$

3. Resolver;$- \frac { 1 } { 8 } , \frac { 3 } { 2 }$

5. Factor;$( x - 1 ) \left( x ^ { 2 } - 2 \right)$

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Encontrar una ecuación polinómica con coeficientes enteros, dadas las soluciones.

$5, -2$
$\frac { 2 } { 3 } , - \frac { 1 } { 2 }$
$\pm \frac { 4 } { 5 }$
$\pm 10$
$-4,0,3$
$-8$doble raíz

Contestar

1. $x ^ { 2 } - 3 x - 10 = 0$

3. $25 x ^ { 2 } - 16 = 0$

5. $x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - 12 x = 0$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

Exponer las restricciones y simplificar.

$\frac { 108 x ^ { 3 } } { 12 x ^ { 2 } }$
$\frac { 56 x ^ { 2 } ( x - 2 ) ^ { 2 } } { 8 x ( x - 2 ) ^ { 3 } }$
$\frac { 64 - x ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } - 15 x - 8 }$
$\frac { 3 x ^ { 2 } + 28 x + 9 } { 81 - x ^ { 2 } }$
$\frac { x ^ { 2 } - 25 } { 5 x ^ { 2 } } \cdot \frac { 10 x ^ { 2 } - 15 x } { 2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 }$
$\frac { 7 x ^ { 2 } - 41 x - 6 } { ( x - 7 ) ^ { 2 } } \cdot \frac { 49 - x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + x - 42 }$
$\frac { 28 x ^ { 2 } ( 2 x - 3 ) } { 4 x ^ { 2 } - 9 } \div \frac { 7 x } { 4 x ^ { 2 } - 12 x + 9 }$
$\frac { x ^ { 2 } - 10 x + 24 } { x ^ { 2 } - 8 x + 16 } \div \frac { 2 x ^ { 2 } - 13 x + 6 } { x ^ { 2 } + 2 x - 24 }$

Contestar

1. $9 x ; x \neq 0$

3. $- \frac { x + 8 } { 2 x + 1 } ; x \neq - \frac { 1 } { 2 } , 8$

5. $\frac { x - 5 } { x } ; x \neq - 5,0 , \frac { 3 } { 2 }$

7. $\frac { 4 x ( 2 x - 3 ) ^ { 2 } } { 2 x + 3 } ; x \neq \pm \frac { 3 } { 2 } , 0$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

Realizar las operaciones y simplificar. Supongamos que todas las expresiones variables en el denominador son distintas de cero.

$\frac { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 4 a b ^ { 3 } } \cdot \frac { 2 a b } { a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } }$
$\frac { a ^ { 2 } - 5 a b + 6 b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - 4 a b + 4 b ^ { 2 } } \div \frac { 9 b ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { 3 a ^ { 3 } b - 6 a ^ { 2 } b ^ { 2 } }$
$\frac { x ^ { 2 } + x y + y ^ { 2 } } { 4 x ^ { 2 } + 3 x y - y ^ { 2 } } \cdot \frac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { x ^ { 3 } - y ^ { 3 } } \div \frac { x + y } { 12 x ^ { 2 } y - 3 x y ^ { 2 } }$
$\frac { x ^ { 4 } - y ^ { 4 } } { x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } } \div \frac { x ^ { 2 } - 4 x y - 5 y ^ { 2 } } { 10 x ^ { 3 } } \cdot \frac { 2 x ^ { 2 } - 11 x y + 5 y ^ { 2 } } { 2 x ^ { 3 } y + 2 x y ^ { 3 } }$

Contestar

1. $\frac { 1 } { 2 b ( a - b ) }$

3. $\frac { 3 x y } { x + y }$

Ejercicio$\PageIndex{15}$

Realizar las operaciones y exponer las restricciones.

Dado$f ( x ) = \frac { 4 x ^ { 2 } + 39 x - 10 } { x ^ { 2 } + 3 x - 10 }$ y$g ( x ) = \frac { 2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 } { x ^ { 2 } + 13 x + 30 }$, encontrar$( f \cdot g ) ( x )$.
Dado$f ( x ) = \frac { 25 - x ^ { 2 } } { 3 + x }$ y$g ( x ) = \frac { 9 - x ^ { 2 } } { 5 - x }$, encontrar$( f \cdot g ) ( x )$.
Dado$f ( x ) = \frac { 42 x ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } + 3 x - 2 }$ y$g ( x ) = \frac { 14 x } { 4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 }$, encontrar$( f / g ) ( x )$.
Dado$f ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - 20 x + 100 } { x ^ { 2 } - 1 }$ y$g ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - 100 } { x ^ { 2 } + 2 x + 1 }$, encontrar$( f / g ) ( x )$.
El costo diario en dólares de dirigir una pequeña empresa viene dado por$C (x) = 150 + 45x$ donde$x$ representa el número de horas que el negocio está en operación. Determinar el costo promedio por hora si el negocio está en funcionamiento por$8$ horas en un día.
Un fabricante de bicicletas eléctricas ha determinado que el costo de producir su producto en dólares viene dado por la función$C (n) = 2n^{2} + 100n + 2,500$ donde$n$ representa el número de bicicletas eléctricas producidas en un día. Determinar el costo promedio por bicicleta si$10$ y$20$ se producen en un día.
Dado$f ( x ) = 3 x - 5$, simplificar$\frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h }$.
Dado$g ( x ) = 2 x ^ { 2 } - x + 1$, simplificar$\frac { g ( x + h ) - g ( x ) } { h }$.

Contestar

1. $( f \cdot g ) ( x ) = \frac { ( 4 x - 1 ) ( 2 x - 3 ) } { ( x - 2 ) ( x + 3 ) } ; x \neq - 10 , - 5 , - 3,2$

3. $( f / g ) ( x ) = \frac { 3 x ( 2 x - 1 ) } { x + 2 } ; x \neq - 2,0 , \frac { 1 } { 2 }$

5. $\$ 63.75$por hora

7. $3$

Ejercicio$\PageIndex{16}$

Exponer las restricciones y simplificar.

$\frac { 5 x - 6 } { x ^ { 2 } - 36 } - \frac { 4 x } { x ^ { 2 } - 36 }$
$\frac { 2 } { x } + 5 x$
$\frac { 5 } { x - 5 } + \frac { 1 } { 2 x }$
$\frac { x } { x - 2 } + \frac { 3 } { x + 3 }$
$\frac { 7 ( x - 1 ) } { 4 x ^ { 2 } - 17 x + 15 } - \frac { 2 } { x - 3 }$
$\frac { 5 } { x } - \frac { 19 x + 25 } { 2 x ^ { 2 } + 5 x }$
$\frac { x } { x - 5 } - \frac { 2 } { x - 3 } - \frac { 5 ( x - 3 ) } { x ^ { 2 } - 8 x + 15 }$
$\frac { 3 x } { 2 x - 1 } - \frac { x - 4 } { x + 4 } + \frac { 12 ( 2 - x ) } { 2 x ^ { 2 } + 7 x - 4 }$
$\frac { 1 } { t - 1 } + \frac { 1 } { ( t - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { t ^ { 2 } - 1 }$
$\frac { 1 } { t - 1 } - \frac { 2 t - 5 } { t ^ { 2 } - 2 t + 1 } - \frac { 5 t ^ { 2 } - 3 t - 2 } { ( t - 1 ) ^ { 3 } }$
$2 x ^ { - 1 } + x ^ { - 2 }$
$( x - 4 ) ^ { - 1 } - 2 x ^ { - 2 }$

Contestar

1. $\frac { 1 } { x + 6 } ; x \neq \pm 6$

3. $\frac { 11 x - 5 } { 2 x ( x - 5 ) } ; x \neq 0,5$

5. $- \frac { 1 } { 4 x - 5 } ; x \neq \frac { 5 } { 4 } , 3$

7. $\frac { x - 5 } { x - 3 } ; x \neq 3,5$

9. $\frac { t ^ { 2 } + 1 } { ( t + 1 ) ( t - 1 ) ^ { 2 } } ; t \neq \pm 1$

11. $\frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } } ; x \neq 0$

Ejercicio$\PageIndex{17}$

Simplificar. Supongamos que todas las expresiones variables utilizadas como denominadores son distintas de cero.

$\frac { \frac { 1 } { 7 } + \frac { 1 } { x } } { \frac { 1 } { 49 } - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } }$
$\frac { \frac { 1 } { 100 } - \frac { 1 } { x ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { 10 } }$
$\frac { \frac { 3 } { x } - \frac { 1 } { x - 5 } } { \frac { 5 } { x + 2 } - \frac { 2 } { x } }$
$\frac { 1 - \frac { 12 } { x } + \frac { 35 } { x ^ { 2 } } } { 1 - \frac { 25 } { x ^ { 2 } } }$
$\frac { x - 4 x ^ { - 1 } } { 2 - 5 x ^ { - 1 } + 2 x ^ { - 2 } }$
$\frac { 8 x ^ { - 1 } + y ^ { - 1 } } { y ^ { - 2 } - 64 x ^ { - 2 } }$

Contestar

1. $\frac { 7 x } { x - 7 }$

3. $\frac { ( x + 2 ) ( 2 x - 15 ) } { ( x - 5 ) ( 3 x - 4 ) }$

5. $\frac { x ( x + 2 ) } { 2 x - 1 }$

Ejercicio$\PageIndex{18}$

Realizar las operaciones y exponer las restricciones.

Dado$f ( x ) = \frac { 3 } { x - 3 }$ y$g ( x ) = \frac { x - 2 } { x + 2 }$, encontrar$( f + g ) ( x )$.
Dado$f ( x ) = \frac { 1 } { x ^ { 2 } + x }$ y$g ( x ) = \frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$, encontrar$( f + g ) ( x )$.
Dado$f ( x ) = \frac { x - 3 } { x - 5 }$ y$g ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - x } { x ^ { 2 } - 25 }$, encontrar$( f - g ) ( x )$.
Dado$f ( x ) = \frac { 11 x + 4 } { x ^ { 2 } - 2 x - 8 }$ y$g ( x ) = \frac { 2 x } { x - 4 }$, encontrar$( f - g ) ( x )$.

Contestar

1. $( f + g ) ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - 2 x + 12 } { ( x - 3 ) ( x + 2 ) } ; x \neq - 2,3$

3. $( f - g ) ( x ) = \frac { 3 } { x + 5 } ; x \neq \pm 5$

Ejercicio$\PageIndex{19}$

Resolver.

$\frac { 3 } { x } = \frac { 1 } { 2 x + 15 }$
$\frac { x } { x - 4 } = \frac { x + 8 } { x - 8 }$
$\frac { x + 5 } { 2 ( x + 2 ) } + \frac { x - 2 } { x + 4 } = 1$
$\frac { 2 x } { x - 5 } + \frac { 1 } { x + 1 } = 0$
$\frac { x + 1 } { x - 4 } + \frac { 4 } { x + 6 } = - \frac { 10 } { x ^ { 2 } + 2 x - 24 }$
$\frac { 2 } { x } - \frac { 12 } { 2 x + 3 } = \frac { 2 - 3 x ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } + 3 x }$
$\frac { x + 7 } { x - 2 } - \frac { 9 } { x + 7 } = \frac { 81 } { x ^ { 2 } + 5 x - 14 }$
$\frac { x } { x + 5 } + \frac { 1 } { x - 4 } = \frac { 4 x - 7 } { x ^ { 2 } + x - 20 }$
$\frac { 2 } { 3 x - 1 } + \frac { x } { 2 x + 1 } = \frac { 2 ( 3 - 4 x ) } { 6 x ^ { 2 } + x - 1 }$
$\frac { x } { x - 1 } + \frac { 1 } { x + 1 } = \frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$
$\frac { 2 x } { x + 5 } - \frac { 1 } { 2 x - 3 } = \frac { 4 - 7 x } { 2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 }$
$\frac { x } { x + 4 } + \frac { 1 } { 2 x + 7 } = \frac { x + 8 } { 2 x ^ { 2 } + 15 x + 28 }$
$\frac { 1 } { t - 1 } - \frac { 2 } { 2 t + 1 } = \frac { 1 } { t - 2 } - \frac { 2 } { 2 t - 1 }$
$\frac { t - 1 } { t - 2 } - \frac { t - 2 } { t - 3 } = \frac { t - 3 } { t - 4 } - \frac { t - 4 } { t - 5 }$
Resolver para$a$:$\frac { 1 } { a } = \frac { 1 } { b } - \frac { 1 } { c }$
Resolver para$y$:$x = \frac { 3 y - 1 } { y - 5 }$
Un entero positivo es$4$ menor que otro. Si el recíproco del entero mayor se resta del doble del recíproco del menor, el resultado es$\frac{1}{6}$. Encuentra los dos enteros.
Si$3$ por tiempos el recíproco del mayor de dos enteros impares consecutivos se suma a$7$ veces el recíproco del menor, el resultado es$\frac{4}{3}$. Encuentra los enteros.
Si el recíproco del menor de dos enteros consecutivos se resta de tres veces el recíproco del mayor, el resultado es$\frac{3}{10}$. Encuentra los enteros.
Un entero positivo es el doble que el de otro. La suma de los recíprocos de los dos enteros positivos es$\frac{1}{4}$. Encuentra los dos enteros.

Contestar

1. $−9$

3. $−1, 4$

5. $−11, 0$

7. $Ø$

9. $−4$

11. $−\frac{3 }{2}$

13. $\frac{3}{4}$

15. $a = \frac { b c } { c - b }$

17. ${8, 12}$

19. ${5, 6}$

Ejercicio$\PageIndex{20}$

Utilice álgebra para resolver las siguientes aplicaciones.

Manuel viajó$8$ millas en el autobús y otras$84$ millas en un tren. Si el tren era$16$ millas por hora más rápido que el autobús, y el viaje total tardaba$2$ horas, ¿cuál era la velocidad promedio del tren?
Un bote puede promediar$10$ millas por hora en agua sin gas. En un viaje río abajo, el barco pudo recorrer$7.5$ millas con la corriente. En el viaje de regreso, el barco solo pudo recorrer$4.5$ millas en la misma cantidad de tiempo contra la corriente. ¿Cuál era la velocidad de la corriente?
Susan puede trotar, en promedio,$1 \frac{1}{2}$ millas por hora más rápido que su esposo Bill. Bill puede trotar$10$ millas en la misma cantidad de tiempo que le toma a Susan correr$13$ millas. ¿Qué tan rápido, en promedio, puede correr Susan?
Por la mañana, Raúl condujo$8$ millas para visitar a su abuela y luego regresó más tarde esa noche. Debido al tráfico, su velocidad promedio en el viaje de regreso fue$\frac{1}{2}$ la de su velocidad promedio esa mañana. Si el tiempo total de manejo era$\frac{3}{4}$ de una hora, ¿cuál era su velocidad promedio en el viaje de regreso?
Una tubería puede llenar completamente un tanque de agua en$6$ horas mientras que otra tubería más pequeña tarda$8$ horas en llenar el mismo tanque. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar el tanque a su$\frac{3}{4}$ capacidad si ambas tuberías están encendidas?
Bill tarda$3$ minutos más que Jerry en llenar un pedido. Trabajando juntos pueden llenar$15$ pedidos en$30$ minutos. ¿Cuánto tarda Bill en llenar un pedido por sí mismo?
Manny toma el doble de tiempo que John para montar un monopatín. Si trabajan juntos, pueden montar un monopatín en$6$ cuestión de minutos. ¿Cuánto tardaría Manny en montar el monopatín sin la ayuda de John?
Trabajando solo, Joe puede completar el trabajo de jardín en$30$ minutos. Mike tarda$45$ minutos en completar el trabajo en el mismo patio. ¿Cuánto tiempo les llevaría trabajar juntos?

Contestar

1. $48$millas por hora

3. $6.5$millas por hora

5. $2.6$Horas aproximadas

7. $18$minutos

Ejercicio$\PageIndex{21}$

Construir un modelo matemático dado lo siguiente:

$y$varía directamente como$x$, dónde$y=30$ cuándo$x=5$.
$y$varía inversamente como$x$, donde$y=3$ cuando$x=-2$.
$y$es conjuntamente proporcional a$x$ y$z$, donde$y=-50$ cuando$x=-2$ y$z=5$.
$y$es directamente proporcional al cuadrado de$x$ e inversamente proporcional a$z$, donde$y=-6$ cuando$x=2$ y$z=-8$.
La distancia que un objeto en caída libre varía directamente con el cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. Se observa que un objeto cae$36$ pies en$1 \frac{1}{2}$ segundos. Encuentre una ecuación que modele la distancia que caerá un objeto y úsela para determinar qué tan lejos caerá en$2 \frac{1}{2}$ segundos.
Después de aplicar los frenos, la distancia$d$ de frenado de un automóvil varía directamente con el cuadrado de la velocidad$s$ del automóvil. Si un automóvil que viaja$55$ millas por hora tarda$181.5$ pies en detenerse, ¿cuántos pies se necesitan para detenerse si se mueve$65$ millas por hora?
El peso de un objeto varía inversamente como el cuadrado de su distancia desde el centro de la Tierra. Si un objeto pesa$180$ libras en la superficie de la Tierra (aproximadamente$4,000$ a millas del centro), entonces ¿cuánto pesará a$2,000$ millas por encima de la superficie de la Tierra?
El costo por persona de alquilar una limusina varía inversamente con el número de personas que la rentan. Si la$5$ gente entra en el alquiler, la limusina costará$$112$ por persona. ¿Cuánto costará el alquiler por persona si la$8$ gente entra en el alquiler?
Para equilibrar un balancín, la distancia desde el punto de apoyo que debe sentarse una persona es inversamente proporcional a su peso. Si un chico de$52$ -libra está sentado a$3$ pies de distancia del fulcro, entonces, ¿qué tan lejos del fulcro debe sentarse un chico de$44$ -libra? Redondear a la décima de pie más cercana.

Contestar

1. $y=6x$

3. $y=5xz$

5. $d=16t^{2}$;$100$ pies

7. $80$lbs

9. Aproximadamente$3.5$ pies

Examen de muestra

Ejercicio$\PageIndex{22}$

Dado$f ( x ) = x ^ { 2 } - x + 4 , g ( x ) = 5 x - 1$, y$h ( x ) = 2 x ^ { 2 } + x - 3$, encontrar lo siguiente:

$( g \cdot h ) ( x )$
$( h - f ) ( x )$
$( f + g ) ( - 1 )$

Contestar

1. $( g \cdot h ) ( x ) = 10 x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 16 x + 3$

3. $( f + g ) ( - 1 ) = 0$

Ejercicio$\PageIndex{23}$

Factor.

$x ^ { 3 } + 16 x - 2 x ^ { 2 } - 32$
$x ^ { 3 } - 8 y ^ { 3 }$
$x ^ { 4 } - 81$
$25 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 40 x y + 16$
$16 x ^ { 3 } y + 12 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 18 x y ^ { 3 }$

Contestar

2. $( x - 2 y ) \left( x ^ { 2 } + 2 x y + 4 y ^ { 2 } \right)$

4. $( 5 x y - 4 ) ^ { 2 }$

Ejercicio$\PageIndex{24}$

Resolver

$6 x ^ { 2 } + 24 x = 0$
$( 2 x + 1 ) ( 3 x + 2 ) = 12$
$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 23 x + 6$
Encontrar una ecuación cuadrática con coeficientes enteros dadas las soluciones$\left\{ \frac { 1 } { 2 } , - 3 \right\}$.
Dado$f ( x ) = 5 x ^ { 2 } - x + 4$, simplificar$\frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h }$, dónde$h \neq 0$.

Contestar

1. $-4,0$

3. $-\frac{1}{4}, 5$

5. $10x+5h-1$

Ejercicio$\PageIndex{25}$

Simplificar y declarar las restricciones.

$\frac { 4 x ^ { 2 } - 33 x + 8 } { x ^ { 2 } - 10 x + 16 } \div \frac { 16 x ^ { 2 } - 1 } { x ^ { 2 } - 4 x + 4 }$
$\frac { x - 1 } { x - 7 } + \frac { 1 } { 1 - x } - \frac { 2 ( x + 11 ) } { x ^ { 2 } - 8 x + 7 }$

Contestar: 2. $\frac { x + 2 } { x - 1 } ; x \neq 1,7$

Ejercicio$\PageIndex{26}$

Supongamos que todas las expresiones variables en el denominador son distintas de cero y simplifican.

$\frac { \frac { 3 } { x } + \frac { 1 } { y } } { \frac { 1 } { y ^ { 2 } } - \frac { 9 } { x ^ { 2 } } }$

Ejercicio$\PageIndex{27}$

Resolver.

$\frac { 6 x - 5 } { 3 x + 2 } = \frac { 2 x } { x + 1 }$
$\frac { 2 x } { x + 5 } - \frac { 1 } { 5 - x } = \frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 25 }$
Encuentra la raíz de la función definida por$f ( x ) = \frac { 1 } { x + 3 } - 4$.
Resolver para$y$:$x = \frac { 4 y } { 3 y - 1 }$

Contestar

1. $-\frac{5}{3}$

3. $-\frac{11}{4}$

Ejercicio$\PageIndex{28}$

Usa álgebra para resolver.

La altura de un objeto caído de un edificio$64$ -foot viene dada por la función$h (t) = −16t^{2} + 64$, donde$t$ representa el tiempo en segundos después de que fue caído.
1. Determinar la altura del objeto en$\frac{3}{4}$ un segundo.
2. ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en golpear el suelo?
Un entero positivo es$3$ unidades más que otro. Cuando el recíproco de lo mayor se resta del doble del recíproco del menor, el resultado es$\frac{2}{9}$. Encuentra los dos enteros positivos.
Un avión ligero puede promediar$126$ millas por hora en aire quieto. En un viaje, el avión viajó$222$ millas con viento de cola. En el viaje de regreso, contra un viento en contra de la misma velocidad, el avión sólo pudo recorrer$156$ millas en la misma cantidad de tiempo. ¿Cuál era la velocidad del viento?
En la línea de producción, John tarda$2$ menos tiempo que Mark en ensamblar un reloj. Trabajando juntos pueden armar$5$ relojes en$12$ cuestión de minutos. ¿Cuánto tiempo le toma a John armar un reloj trabajando solo?
Escribir una ecuación que se$x$ relacione y$y$, dado que$y$ varía inversamente con el cuadrado de$x$, donde$y = −\frac{1}{3}$ cuando$x = 3$. Úsalo para encontrar$y$ cuándo$x = \frac{1}{2}$.

Contestar

1. (1)$55$ pies; (2)$2$ segundos

3. $22$millas por hora

5. $y = - \frac { 3 } { x ^ { 2 } } ; y = - 12$