4.8: Aplicaciones y Variación

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Objetivos de aprendizaje

Resolver aplicaciones que implican movimiento uniforme (problemas de distancia).
Resolver aplicaciones de tasa de trabajo.
Configura y resuelve aplicaciones que involucren variación directa, inversa y conjunta.

Solución de problemas de movimiento uniforme

Movimiento uniforme (o distancia) ³⁷ problemas involucran la fórmula$D=rt$, donde la distancia$D$ se da como el producto de la tasa promedio$r$ y el tiempo$t$ recorrido a ese ritmo. Si dividimos ambos lados por la tasa promedio$r$, entonces obtenemos la fórmula

$t = \frac { D } { r }$

Por esta razón, cuando la cantidad desconocida es el tiempo, la configuración algebraica para problemas de distancia a menudo resulta en una ecuación racional. Comenzamos cualquier problema de movimiento uniforme organizando primero nuestros datos con un gráfico. Utilice esta información para configurar una ecuación algebraica que modele la aplicación.

Ejemplo$\PageIndex{1}$:

Sally viajó$15$ millas en el autobús y luego otras$72$ millas en un tren. El tren era$18$ millas por hora más rápido que el autobús, y el viaje total tardó$2$ horas. ¿Cuál fue la velocidad promedio del tren?

Solución

Primero, identificar la cantidad desconocida y organizar los datos.

Dejar$x$ representar la velocidad promedio (en millas por hora) del autobús.

Dejar$x+18$ representar la velocidad promedio del tren.

Para evitar introducir dos variables más para la columna de tiempo, utilice la fórmula$t=\frac{D}{r}$. El tiempo para cada tramo del viaje se calcula de la siguiente manera:

$\begin{aligned} \color{Cerulean} { Time\: spent\: on\: the\: bus : }\color{black}{ t} = \frac { D } { r } & = \frac { 15 } { x } \\ \color{Cerulean} {Time\: spent\: on\: the\: train :}\color{black}{ t} = \frac { D } { r } & = \frac { 72 } { x + 18 } \end{aligned}$

Utilice estas expresiones para completar el gráfico.

La configuración algebraica está definida por la columna de tiempo. Suma el tiempo empleado en cada tramo del viaje para obtener un total de$2$ horas:

Comenzamos a resolver esta ecuación multiplicando primero ambos lados por la LCD,$x(x+18)$.

$\begin{aligned} \frac { 15 } { x } + \frac { 72 } { x + 18 } & = 2 \\ \color{Cerulean}{x ( x + 18 )}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 15 } { x } + \frac { 72 } { x + 18 } \right) & = \color{Cerulean}{x ( x + 18 )}\color{black}{ \cdot} 2 \\ \color{Cerulean}{x ( x + 18 )}\color{black}{ \cdot} \frac { 15 } { x } + \color{Cerulean}{x ( x + 18 )}\color{black}{ \cdot} \frac { 72 } { x + 18 } & = \color{Cerulean}{x ( x + 18 )}\color{black}{ \cdot} 2 \\ 15( x + 18 ) \cdot 72x & = 2x ( x + 18 ) \\ 15 x + 270 + 72 x & = 2 x ^ { 2 } + 36 x \\ 87 x + 270 & = 2 x ^ { 2 } + 36 x \\ 0 & = 2 x ^ { 2 } - 51 x - 270 \end{aligned}$

Resolver la ecuación cuadrática resultante por factorización.

$\begin{array} { l } { 0 = 2 x ^ { 2 } - 51 x - 270 } \\ { 0 = ( 2 x + 9 ) ( x - 30 ) } \end{array}$

$\begin{aligned} 2 x + 9 & = 0 \quad\quad \text { or } &x - 30 &= 0 \\ x &= - \frac { 9 } { 2 } & x& = 30 \end{aligned}$

Ya que estamos buscando una velocidad promedio desatenderemos la respuesta negativa y concluiremos el autobús promediado$30$ mph. Sustituto$x=30$ en la expresión identificada como la velocidad del tren.

$x + 18 = 30 + 18 = 48$

Respuesta:

La velocidad del tren era$48$ mph.

Ejemplo$\PageIndex{2}$:

Un bote puede promediar$12$ millas por hora en agua sin gas. En un viaje río abajo el barco pudo recorrer$29$ millas con la corriente. En el viaje de regreso el barco solo pudo recorrer$19$ millas en la misma cantidad de tiempo contra la corriente. ¿Cuál era la velocidad de la corriente?

Solución

Primero, identificar las cantidades desconocidas y organizar los datos.

Dejar$c$ representar la velocidad de la corriente del río.

A continuación, organice los datos dados en un gráfico. Al viajar río abajo, la corriente aumentará la velocidad de la embarcación, por lo que se suma a la velocidad promedio de la embarcación. Al viajar río arriba, la corriente ralentiza la embarcación, por lo que restará de la velocidad promedio de la embarcación.

Usa la fórmula$t=\frac{D}{r}$ para rellenar la columna de tiempo.

$\begin{aligned} \color{Cerulean} {trip\: downriver: } &\color{black}{ }t = \frac { D } { r } = \frac { 29 } { 12 + c } \\ \color{Cerulean} {trip\:upriver:} & \color{black}{t} = \frac { D } { r } = \frac { 19 } { 12 - c } \end{aligned}$

Debido a que el barco viajó la misma cantidad de tiempo río abajo que río arriba, terminar la configuración algebraica estableciendo las expresiones que representan los tiempos iguales entre sí.

$\frac { 29 } { 12 + c } = \frac { 19 } { 12 - c }$

Dado que hay una sola fracción algebraica en cada lado, podemos resolver esta ecuación usando la multiplicación cruzada.

$\begin{aligned} \frac { 29 } { 12 + c } & = \frac { 19 } { 12 - c } \\ 29 ( 12 - c ) & = 19 ( 12 + c ) \\ 348 - 29 c & = 228 + 19 c \\ 120 & = 48 c \\ \frac { 120 } { 48 } & = c \\ \frac { 5 } { 2 } & = c \end{aligned}$

Respuesta:

La velocidad de la corriente era de$2 \frac{1}{2}$ millas por hora.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Un avión a reacción puede promediar$160$ millas por hora en aire tranquilo. En un viaje, la aeronave viajó$600$ millas con viento de cola y devolvió las$600$ millas contra un viento en contra de la misma velocidad. Si el viaje total de ida y vuelta tardaba$8$ horas, entonces ¿cuál era la velocidad del viento?

Contestar

$40$millas por hora

www.youtube.com/v/0nglbthtwss

Solución de problemas de tasa de trabajo

La velocidad a la que se puede realizar una tarea se denomina tasa de trabajo ³⁸. Por ejemplo, si un pintor puede pintar una habitación en$6$ horas, entonces la tarea es pintar la habitación, y podemos escribir

$\frac { 1 \text { task } } { 6 \text { hours } } \quad \color{Cerulean}{work\:rate}$

Es decir, el pintor puede completar$\frac{1}{6}$ la tarea por hora. Si trabaja menos de$6$ horas, entonces realizará una fracción de la tarea. Si trabaja más de$6$ horas, entonces puede completar más de una tarea. Por ejemplo,

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{work-rate \:\:\times\:\:time} &\color{black}{=} \color{Cerulean}{amount\:of\:task\:completed}\\ \frac { 1 } { 6 }\quad \times \quad3 h r s &= \:\frac { 1 } { 2 } \quad \color{Cerulean} { one-half\: of\: the\: room\: painted } \\ \frac { 1 } { 6 } \quad\times\quad 6 h r s &= \:1 \quad\color{Cerulean} { one\: whole\: room\: painted } \\ \frac { 1 } { 6 }\quad \times\:\: 12 \text { hrs } & = \:2\quad \color{Cerulean} { two\: whole\: rooms\: painted } \end{aligned}$

Obtener la cantidad de la tarea completada multiplicando la tasa de trabajo por la cantidad de tiempo que trabaja el pintor. Por lo general, los problemas de tasa de trabajo involucran a personas o máquinas que trabajan juntas para completar tareas. En general, si$t$ representa el tiempo que dos personas trabajan juntas, entonces tenemos la siguiente fórmula de tasa de trabajo ³⁹:

$\frac { 1 } { t _ { 1 } } t + \frac { 1 } { t _ { 2 } } t =\color{Cerulean}{amount\:of\:task\:completed\:together}$

Aquí$\frac { 1 } { t _ { 1 } }$ y$\frac { 1 } { t _ { 2 } }$ están las tasas de trabajo individuales.

Ejemplo$\PageIndex{3}$:

Joe puede pintar una habitación típica en$2$ horas menos tiempo que Mark. Si Joe y Mark pueden pintar$5$ habitaciones trabajando juntos en un turno de$12$ hora, ¿cuánto tiempo lleva cada uno pintar una habitación individual?

Solución

Dejar$x$ representar el tiempo que le toma a Mark pintar una habitación típica.

Vamos a$x − 2$ representar el tiempo que le toma a Joe pintar una habitación típica.

Por lo tanto, la tarifa de trabajo individual de Mark es$\frac{1}{x}$ habitaciones por hora y Joe's es$\frac{1}{x−2}$ habitaciones por hora. Ambos hombres trabajaron durante$12$ horas. Podemos organizar los datos en un gráfico, tal como lo hicimos con los problemas de distancia.

Trabajando juntos, pueden pintar 5 habitaciones totales en 12 horas. Esto nos lleva a la siguiente configuración algebraica:

$\frac { 12 } { x - 2 } + \frac { 12 } { x } = 5$

Multiplique ambos lados por la pantalla LCD,$x(x−2)$.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{x ( x - 2 )}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 12 } { x - 2 } + \frac { 12 } { x } \right) & =\color{Cerulean}{ x ( x - 2 )}\color{black}{ \cdot} 5 \\ \color{Cerulean}{x ( x - 2 )}\color{black}{ \cdot} \frac { 12 } { x - 2 } + \color{Cerulean}{x ( x - 2 )}\color{black}{ \cdot} \frac { 12 } { x } & =\color{Cerulean}{ x ( x - 2 )}\color{black}{ \cdot} 5 \\ 12 x + 12 ( x - 2 ) & = 5 x ( x - 2 ) \\ 12 x + 12 x - 24 & = 5 x ^ { 2 } - 10 x \\ 0 & = 5 x ^ { 2 } - 34 x + 24 \end{aligned}$

Resolver la ecuación cuadrática resultante por factorización.

$\begin{array} { l } { 0 = 5 x ^ { 2 } - 34 x + 24 } \\ { 0 = ( 5 x - 4 ) ( x - 6 ) } \end{array}$

$\begin{aligned} 5 x - 4 &= 0 \quad\quad \text { or } & x - 6& = 0 \\ 5 x &= 4 &x &= 6 \\ x& = \frac { 4 } { 5 } \end{aligned}$

Podemos despreciar$\frac{4}{5}$ porque volver a sustituir en$x − 2$ daría un tiempo negativo para pintar una habitación. Toma$x = 6$ para ser la única solución y úsala para encontrar el tiempo que le toma a Joe pintar una habitación típica.

$x - 2 = 6 - 2 = 4$

Respuesta:

Joe puede pintar una habitación típica en$4$ horas y Mark puede pintar una habitación típica en$6$ horas. Como cheque podemos multiplicar ambas tarifas de trabajo por$12$ horas para ver que juntos puedan pintar$5$ habitaciones.

$\left. \begin{array} { l } { \color{Cerulean} { Joe }\:\: \color{black}{\frac { 1 \text { room} } { 4 \text{hrs} }} \cdot 12 \text { hrs } = 3 \text { rooms } } \\ { \color{Cerulean} { Mark }\:\: \color{black}{\frac { 1 \text { room } } { 6 \text{hrs} }} \cdot 12 \text{hrs} = 2 \text { rooms } } \end{array} \right\} Total \:5\:rooms \:\color{Cerulean}{✓}$

Ejemplo$\PageIndex{4}$:

A Bill le toma el doble de tiempo colocar un piso de baldosas solo que a Manny. Después de trabajar junto con Bill durante$4$ horas, Manny pudo completar el trabajo en horas$2$ adicionales. ¿Cuánto tiempo le habría llevado a Manny trabajar solo?

Solución

Vamos a$x$ representar el tiempo que le toma a Manny poner el suelo solo.

Que$2x$ represente el tiempo que le toma a Bill poner la palabra solo.

La tarifa de trabajo de Manny es$\frac{1}{x}$ del piso por hora y la tarifa de trabajo de Bill es$\frac{1}{2x}$. Bill trabajó en el trabajo durante$4$ horas y Manny trabajó en el trabajo durante$6$ horas.

Esto nos lleva a la siguiente configuración algebraica:

$\frac { 1 } { x } \cdot 6 + \frac { 1 } { 2 x } \cdot 4 = 1$

Resolver.

$\begin{aligned} \frac { 6 } { x } + \frac { 4 } { 2 x } & = 1 \\ \color{Cerulean}{x}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 6 } { x } + \frac { 2 } { x } \right) & = \color{Cerulean}{x}\color{black}{ \cdot} 1 \\ 6 + 2 & = x \\ 8 & = x \end{aligned}$

Respuesta:

A Manny le habría llevado$8$ horas completar el uso de la palabra por sí mismo.

Considere la fórmula de tasa de trabajo donde se va a completar una tarea.

$\frac { 1 } { t _ { 1 } } t + \frac { 1 } { t _ { 2 } } t = 1$

Factorizar el tiempo$t$ y luego dividir ambos lados por$t$. Esto dará como resultado fórmulas de tasa de trabajo especializadas equivalentes:

$\begin{aligned} t \left( \frac { 1 } { t _ { 1 } } + \frac { 1 } { t _ { 2 } } \right) & = 1 \\ \frac { 1 } { t _ { 1 } } + \frac { 1 } { t _ { 2 } } & = \frac { 1 } { t } \end{aligned}$

En resumen, tenemos las siguientes fórmulas equivalentes de tasa de trabajo:

$\begin{array} { c } { \color{Cerulean} { Work \:rate\:formulas } } \\ { \frac { 1 } { t _ { 1 } } t + \frac { 1 } { t _ { 2 } } t = 1 \quad \text { or } \quad \frac { t } { t _ { 1 } } + \frac { t } { t _ { 2 } } = 1 \quad\text { or }\quad \frac { 1 } { t _ { 1 } } + \frac { 1 } { t _ { 2 } } = \frac { 1 } { t } } \end{array}$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Matt puede tejar una encimera en$2$ horas, y su asistente puede hacer el mismo trabajo en$3$ horas. Si Matt inicia el trabajo y su asistente se une a él$1$ una hora después, entonces ¿cuánto tiempo tardará en revestir la encimera?

Contestar

$1 \frac{3}{5}$horas

www.youtube.com/v/5g6ssfwgb7m

Resolución de problemas relacionados con variación directa, inversa y conjunta

Muchos problemas del mundo real encontrados en las ciencias involucran dos tipos de relaciones funcionales. El primer tipo se puede explorar utilizando el hecho de que la distancia$s$ en pies que un objeto cae del reposo, sin tener en cuenta la resistencia al aire, se puede aproximar usando la siguiente fórmula:

$s=16t^{2}$

Aquí$t$ representa el tiempo en segundos que el objeto ha estado cayendo. Por ejemplo, después de$2$ segundos el objeto habrá caído$s = 16 ( 2 ) ^ { 2 } = 16 \cdot 4 = 64$ pies.

Mesa$\PageIndex{1}$
Tiempo$t$ en segundos	Distancia$s = 16 t ^ { 2 }$ en pies
\ (t\) en segundos">$0$	\ (s = 16 t ^ {2}\) en pies">$0$
\ (t\) en segundos">$1$	\ (s = 16 t ^ {2}\) en pies">$16$
\ (t\) en segundos">$2$	\ (s = 16 t ^ {2}\) en pies">$64$
\ (t\) en segundos">$3$	\ (s = 16 t ^ {2}\) en pies">$144$
\ (t\) en segundos">$4$	\ (s = 16 t ^ {2}\) en pies">$256$

En este ejemplo, podemos ver que la distancia varía con el tiempo como producto de una constante$16$ y el cuadrado del tiempo$t$. Esta relación se describe como variación directa ⁴⁰ y$16$ se denomina la constante de variación ⁴¹. Además, si dividimos ambos lados de$s=16t^{2}$ por$t^{2}$ tenemos

$\frac { s } { t ^ { 2 } } = 16$

En esta forma, es razonable decir que$s$ es proporcional a$t^{2}$, y$16$ se llama la constante de proporcionalidad ⁴². En general, tenemos

Mesa$\PageIndex{2}$
Palabras clave	Traducción
“$y$varía$x$ directamente como$x$”	$y=kx$
“$y$es directamente proporcional ⁴³ a$x$”
“$y$es proporcional a$x$”

Aquí$k$ es distinto de cero y se llama la constante de variación o la constante de proporcionalidad. Normalmente, se nos dará información a partir de la cual podremos determinar esta constante.

Ejemplo$\PageIndex{5}$:

El peso de un objeto en la Tierra varía directamente a su peso en la Luna. Si un hombre pesa$180$ libras en la Tierra, entonces pesará$30$ libras en la Luna. Establecer una ecuación algebraica que exprese el peso en la Tierra en términos del peso en la Luna y úsela para determinar el peso de una mujer en la Luna si pesa$120$ libras en la Tierra.

Solución

Dejar$y$ representar el peso en la Tierra.

Dejar$x$ representar el peso en la Luna.

Se nos da que el “peso en la Tierra varía directamente al peso en la Luna”.

$y=kx$

Para encontrar la constante de variación$k$, utilice la información dada. Un hombre de$180$ -lb en la Tierra pesa$30$ libras en la Luna, o$y = 180$ cuando$x = 30$.

$180 = k \cdot 30$

Resolver para$k$.

$\begin{array} { c } { \frac { 180 } { 30 } = k } \\ { 6 = k } \end{array}$

A continuación, establecer una fórmula que modele la información dada.

$y=6x$

Esto implica que el peso de una persona en la Tierra es$6$ multiplicado por su peso en la Luna. Para responder a la pregunta, usa el peso de la mujer en la Tierra,$y = 120$ lbs, y resuelve para$x$.

$\begin{array} { l } { 120 = 6 x } \\ { \frac { 120 } { 6 } = x } \\ { 20 = x } \end{array}$

Respuesta:

La mujer pesa$20$ libras en la Luna.

La segunda relación funcional se puede explorar utilizando la fórmula que relaciona la intensidad de la luz$I$ con la distancia desde su fuente$d$.

$I = \frac { k } { d ^ { 2 } }$

Aquí$k$ representa alguna constante. Una vela de pie es una medida de la intensidad de la luz. Una vela de pie se define como igual a la cantidad de iluminación producida por una vela estándar medida a un pie de distancia. Por ejemplo, se anuncia una luz de crecimiento fluorescente de$125$$525$ -Watt para producir velas de iluminación. Esto quiere decir que a distancia$d=1$ pie,$I=525$ pie-velas y tenemos:

$\begin{array} { l } { 525 = \frac { k } { ( 1 ) ^ { 2 } } } \\ { 525 = k } \end{array}$

Usando$k=525$ podemos construir una fórmula que da la intensidad de luz producida por la bombilla:

$I = \frac { 525 } { d ^ { 2 } }$

Aquí$d$ representa la distancia que está la luz creciente de las plantas. En la siguiente tabla, podemos ver que la cantidad de iluminación se desvanece rápidamente a medida que aumenta la distancia a las plantas.

Mesa$\PageIndex{3}$
Distancia$t$ en pies	Intensidad de luz$I = \frac { 525 } { d ^ { 2 } }$
\ (t\) en pies">$1$	\ (I =\ frac {525} {d ^ {2}}\) ">$525$
\ (t\) en pies">$2$	\ (I =\ frac {525} {d ^ {2}}\) ">$131.25$
\ (t\) en pies">$3$	\ (I =\ frac {525} {d ^ {2}}\) ">$58.33$
\ (t\) en pies">$4$	\ (I =\ frac {525} {d ^ {2}}\) ">$32.81$
\ (t\) en pies">$5$	\ (I =\ frac {525} {d ^ {2}}\) ">$21$

Este tipo de relación se describe como una variación inversa ⁴⁴. Decimos que yo es inversamente proporcional ⁴⁵ al cuadrado de la distancia$d$, donde$525$ is the constant of proportionality. In general, we have

Mesa$\PageIndex{4}$
Palabras clave	Traducción
“$y$varía inversamente como$x$”	$y = \frac { k } { x }$
“$y$es inversamente proporcional a$x$”	$y = \frac { k } { x }$

Nuevamente,$k$ es distinto de cero y se llama la constante de variación o la constante de proporcionalidad.

Ejemplo$\PageIndex{6}$:

El peso de un objeto varía inversamente como el cuadrado de su distancia desde el centro de la Tierra. Si un objeto pesa$100$ libras en la superficie de la Tierra (aproximadamente$4,000$ a millas del centro), ¿cuánto pesará a$1,000$ millas sobre la superficie de la Tierra?

Solución

Dejar$w$ representar el peso del objeto.

Vamos a$d$ representar la distancia del objeto desde el centro de la Tierra.

Ya que “$w$varía inversamente como el cuadrado de”$d$, podemos escribir

$w = \frac { k } { d ^ { 2 } }$

Utilice la información dada para encontrar$k$. Un objeto pesa$100$ libras en la superficie de la Tierra, aproximadamente$4,000$ a millas del centro. En otras palabras,$w = 100$ cuando$d = 4,000$:

$100 = \frac { k } { ( 4,000 ) ^ { 2 } }$

Resolver para$k$.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{( 4,000 ) ^ { 2 }}\color{black}{ \cdot} 100 & =\color{Cerulean}{ ( 4,000 ) ^ { 2 }}\color{black}{ \cdot} \frac { k } { ( 4,000 ) ^ { 2 } } \\ 1,600,000,000 &= k \\ 1.6 \times 10 ^ { 9 } &= k \end{aligned}$

Por lo tanto, podemos modelar el problema con la siguiente fórmula:

$w = \frac { 1.6 \times 10 ^ { 9 } } { d ^ { 2 } }$

Para usar la fórmula para encontrar el peso, necesitamos la distancia desde el centro de la Tierra. Dado que el objeto está$1,000$ a millas por encima de la superficie, encuentre la distancia desde el centro de la Tierra agregando$4,000$ millas:

$d = 4,000 + 1,000 = 5,000 \:\:\text{miles}$

Para responder a la pregunta, usa la fórmula con$d = 5,000$.

$\begin{aligned} y & = \frac { 1.6 \times 10 ^ { 9 } } { ( \color{OliveGreen}{5,000}\color{black}{ )} ^ { 2 } } \\ & = \frac { 1.6 \times 10 ^ { 9 } } { 25,000,000 } \\ & = \frac { 1.6 \times 10 ^ { 9 } } { 2.5 \times 10 ^ { 9 } } \\ & = 0.64 \times 10 ^ { 2 } \\ & = 64 \end{aligned}$

Respuesta:

El objeto pesará$64$ libras a una distancia$1,000$ millas sobre la superficie de la Tierra.

Por último, definimos las relaciones entre múltiples variables, descritas como variación conjunta ⁴⁶. En general, tenemos

Mesa$\PageIndex{5}$
Palabras clave	Traducción
“$y$varía conjuntamente como$x$ y$z$”	$y = k x z$
“$y$es conjuntamente proporcional ⁴⁷ a$x$ y$z$”	$y = k x z$

Aquí$k$ es distinto de cero y se llama la constante de variación o la constante de proporcionalidad.

Ejemplo$\PageIndex{7}$:

El área de una elipse varía conjuntamente como$a$, la mitad del eje mayor de la elipse y$b$, la mitad del eje menor de la elipse como se muestra en la imagen. Si el área de una elipse es$300π cm^{2}$, donde$a=10$ cm y$b=30$ cm, ¿cuál es la constante de proporcionalidad? Dar una fórmula para el área de una elipse.

Solución

Si dejamos$A$ representar el área de una elipse, entonces podemos usar la declaración “área varía conjuntamente como$a$ y$b$” para escribir

$A=kab$

Para encontrar la constante de variación$k$, utilice el hecho de que el área es$300π$ cuándo$a=10$ y$b=30$.

$\begin{array} { c } { 300 \pi = k ( \color{OliveGreen}{10}\color{black}{ )} (\color{OliveGreen}{ 30}\color{black}{ )} } \\ { 300 \pi = 300 k } \\ { \pi = k } \end{array}$

Por lo tanto, la fórmula para el área de una elipse es

$A=πab$

Respuesta:

La constante de proporcionalidad es$π$ y la fórmula para el área de una elipse es$A=abπ$.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Dado que$y$ varía directamente como el cuadrado de$x$ e inversamente con$z$, dónde$y=2$ cuándo$x=3$ y$z=27$, encontrar$y$ cuándo$x=2$ y$z=16$.

Contestar

$\frac{3}{2}$

www.youtube.com/v/ee3aff7b6kg

Claves para llevar

Al resolver problemas de distancia donde se desconoce el elemento tiempo, utilice la forma equivalente de la fórmula de movimiento uniforme$t=\frac{D}{r}$,, para evitar introducir más variables.
Al resolver problemas de tasa de trabajo, multiplique la tasa de trabajo individual por el tiempo para obtener la parte de la tarea completada. La suma de las porciones de la tarea da como resultado la cantidad total de trabajo completado.
La configuración de los problemas de variación generalmente requiere múltiples pasos. Primero, identificar las palabras clave para establecer una ecuación y luego usar la información dada para encontrar la constante de variación$k$. Después de determinar la constante de variación, escriba una fórmula que modele el problema. Una vez que se encuentre una fórmula, úsela para responder a la pregunta.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Utilice álgebra para resolver las siguientes aplicaciones.

Todas las mañanas Jim pasa$1$ una hora haciendo ejercicio. Corre$2$ millas y luego bicis$16$ millas. Si Jim puede andar en bicicleta el doble de rápido que puede correr, ¿a qué velocidad promedio tiene en su bicicleta?
Sally corre$3$ tiempos tan rápido como camina. Corrió por$\frac{3}{4}$ una milla y luego caminó otros$3 \frac{1}{2}$ kilómetros. El entrenamiento total tardó$1 \frac{1}{2}$ horas. ¿Cuál era la velocidad promedio de caminata de Sally?
En un viaje de negocios, un ejecutivo viajó$720$ millas en jet y luego otras$80$ millas en helicóptero. Si el jet promedió$3$ multiplicó la velocidad del helicóptero, y el viaje total tardó$4$ horas, ¿cuál era la velocidad promedio del jet?
Una triatleta puede correr$3$ tiempos tan rápido como puede nadar y andar en bicicleta$6$ tan rápido como puede nadar. La carrera consiste en una$\frac{1}{4}$ milla de natación, carrera de$3$ milla, y una carrera de bicicleta de una$12$ milla. Si puede completar todos estos eventos en$1 \frac{5}{8}$ una hora, entonces ¿qué tan rápido puede nadar, correr y andar en bicicleta?
En un viaje por carretera, Marty pudo conducir un promedio de$4$ millas por hora más rápido que George. Si Marty pudo conducir$39$ millas en la misma cantidad de tiempo que George condujo$36$ millas, ¿cuál era la velocidad promedio de Marty?
El autobús es$8$ millas por hora más rápido que el tranvía. Si el autobús recorre$9$ millas en la misma cantidad de tiempo que el tranvía puede recorrer$7$ millas, ¿cuál es la velocidad promedio de cada uno?
Terry decidió correr los$5$ kilómetros a la ciudad. En el viaje de regreso, caminó los$5$ kilómetros a casa a la mitad de la velocidad que pudo trotar. Si el viaje total tardó$3$ horas, ¿cuál era su velocidad promedio para trotar?
James condujo los$24$ kilómetros a la ciudad y regresó en$1$ una hora. En el viaje de regreso, pudo promediar$20$ millas por hora más rápido de lo que promedió en el viaje a la ciudad. ¿Cuál fue su velocidad promedio en el viaje a la ciudad?
Un avión ligero pudo recorrer$189$ millas con viento de cola de una$14$ milla por hora al mismo tiempo que pudo recorrer$147$ millas contra él. ¿Cuál era la velocidad de la aeronave en el aire tranquilo?
Un jet voló$875$ millas con viento de cola de una$30$ milla por hora. En el viaje de regreso, contra una$30$ milla por hora de viento en contra, solo pudo cubrir$725$ millas en la misma cantidad de tiempo. ¿Qué tan rápido fue el jet en aire tranquilo?
Un helicóptero promedió$90$ millas por hora en aire tranquilo. Volando con el viento pudo recorrer$250$ millas en la misma cantidad de tiempo que tardó en viajar$200$ millas contra él. ¿Cuál es la velocidad del viento?
Mary y Joe hicieron un viaje por carretera en motocicletas separadas. La velocidad promedio de Mary era$12$ millas por hora menos que la velocidad promedio de Joe. Si Mary manejaba$115$ millas en el mismo tiempo que le tomó a Joe conducir$145$ millas, ¿cuál era la velocidad promedio de Mary?
Un barco promedió$12$ millas por hora en agua sin gas. En un viaje río abajo, con la corriente, el barco pudo recorrer$26$ millas. El barco luego dio la vuelta y regresó$33$ millas río arriba. ¿Qué tan rápido fue la corriente si el viaje total tardó$5$ horas?
Si la corriente del río fluye a un promedio de$3$ millas por hora, un bote turístico puede hacer un recorrido$18$ de millas aguas abajo con la corriente y retroceder las$18$ millas contra la corriente en$4 \frac{1}{2}$ horas. ¿Cuál es la velocidad promedio de la embarcación en aguas tranquilas?
José condujo$10$ millas hasta la casa de su abuela para cenar y de regreso esa misma noche. Debido al tráfico, promedió$20$ millas por hora menos en el viaje de regreso. Si tardó$\frac{1}{4}$ una hora más en llegar a casa, ¿cuál era su velocidad promedio conduciendo hasta la casa de su abuela?
Jerry remó su kayak, río arriba contra una corriente$1$ mph, por$12$ millas. El viaje de regreso, aguas abajo con la corriente$1$ mph, tomó una hora menos de tiempo. ¿Qué tan rápido Jerry remó el kayak en agua sin gas?
James y Mildred dejaron la misma ubicación en autos separados y se conocieron en Los Ángeles a$300$ millas de distancia. James pudo promediar$10$ millas por hora más rápido que Mildred en el viaje. Si James llegó$1$ una hora antes que Mildred, ¿cuál era la velocidad promedio de Mildred?
Un autobús es$20$ millas por hora más rápido que una bicicleta. Si Bill sube a un autobús al mismo tiempo y lugar al que Mary parte en su bicicleta, Bill llegará al centro a$5$ millas de distancia$\frac{1}{3}$ una hora antes que Mary. ¿Cuál es la velocidad promedio del autobús?

Contestar

1. $20$millas por hora

3. $240$millas por hora

5. $52$millas por hora

7. $5$millas por hora

9. $112$millas por hora

11. $10$millas por hora

13. $1$milla por hora

15. $40$millas por hora

17. $50$millas por hora

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Utilice álgebra para resolver las siguientes aplicaciones.

Mike puede pintar la oficina solo en$4 \frac{1}{2}$ horas. Jordan puede pintar la oficina en$6$ horas. ¿Cuánto tiempo les llevará pintar la oficina trabajando juntos?
Barry puede poner un camino de entrada de ladrillos solo en$3 \frac{1}{2}$ días. Robert hace el mismo trabajo en$5$ días. ¿Cuánto tiempo les llevará colocar la entrada de ladrillos trabajando juntos?
Una tubería más grande llena un tanque de agua dos veces más rápido que una tubería más pequeña. Cuando se utilizan ambas tuberías, llenan el tanque en$10$ horas. Si se deja la tubería más grande, ¿cuánto tiempo tardaría la tubería más pequeña en llenar el tanque?
Una impresora más nueva puede imprimir el doble de rápido que una impresora más antigua. Si ambas impresoras que trabajan juntas pueden imprimir un lote de volantes en$45$ minutos, entonces, ¿cuánto tiempo tardaría la impresora más antigua en imprimir el lote trabajando sola?
Mary puede armar una bicicleta para exhibirla en$2$ horas. A Jane le toma$3$ horas armar una bicicleta. ¿Cuánto tiempo tardarán Mary y Jane, trabajando juntas, en armar$5$ bicicletas?
Trabajando solo, James toma el doble de tiempo para armar una computadora que Bill. En turno$8$ de una hora, trabajando juntos, James y Bill pueden armar$6$ computadoras. ¿Cuánto tiempo le tomaría a James armar una computadora si estuviera trabajando solo?
Trabajando solo, Harry tarda una hora más que Mike en instalar una fuente. Juntos pueden instalar$10$ fuentes en$12$ horas. ¿Cuánto tardaría Mike en instalar$10$ las fuentes él mismo?
Trabajando solo, Henry tarda más$2$ horas que Bill en pintar una habitación. Trabajando juntos pintaron$2 \frac{1}{2}$ habitaciones en$6$ horas. ¿Cuánto tiempo le habría llevado a Henry pintar la misma cantidad si estuviera trabajando solo?
Manny, trabajando solo, puede instalar un gabinete personalizado en$3$ horas menos tiempo que su asistente. Trabajando juntos pueden instalar el gabinete en$2$ horas. ¿Cuánto tiempo tardaría Manny en instalar el gabinete trabajando solo?
Trabajando solo, Garret puede armar un cobertizo de jardín en$5$ horas menos tiempo que su hermano. Trabajando juntos, necesitan$6$ horas para construir la caseta del jardín. ¿Cuánto tiempo tardaría Garret en construir el cobertizo trabajando solo?
Trabajando solo, el asistente-gerente tarda$2$ más horas que el gerente en registrar el inventario de toda la tienda. Después de trabajar juntos por$2$ horas, el asistente gerente tardó horas$1$ adicionales en completar el inventario. ¿Cuánto tiempo le habría llevado al gerente completar el inventario trabajando solo?
Una impresora más antigua puede imprimir un lote de folletos de ventas en$16$ minutos. Una impresora más nueva puede imprimir el mismo lote en$10$ minutos. Después de trabajar juntos durante algún tiempo, la impresora más nueva se apagó y le tomó$3$ más minutos a la impresora más antigua completar el trabajo. ¿Cuánto tiempo estuvo funcionando la impresora más nueva?

Contestar

1. $2 \frac{4}{7}$horas

3. $30$horas

5. $6$horas

7. $20$horas

9. $3$horas

11. $4$horas

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Traduzca cada una de las siguientes oraciones en una fórmula matemática.

La distancia que puede recorrer$D$ un automóvil es directamente proporcional al tiempo$t$ que recorre a una velocidad constante.
La extensión de un resorte colgante$d$ es directamente proporcional al peso que$w$ se le une.
La distancia de frenado de un automóvil$d$ es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad del automóvil$v$.
El volumen$V$ de una esfera varía directamente como el cubo de su radio$r$.
El volumen$V$ de una masa de gas dada es inversamente proporcional a la presión$p$ ejercida sobre ella.
Cada partícula de materia en el universo atrae a todas las demás partículas con una fuerza$F$ que es directamente proporcional al producto de las masas$m_{1}$ y$m_{2}$ de las partículas, y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d entre ellas.
$I$El interés simple es proporcional conjuntamente a la tasa de interés anual$r$ y al tiempo$t$ en años se invierte una cantidad fija de dinero.
El tiempo$t$ que tarda un objeto en caer es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la distancia$d$ que cae.

Contestar

1. $D=kt$

3. $d=kv^{2}$

5. $V = \frac{k}{p}$

7. $I=krt$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Construir un modelo matemático dado lo siguiente:

$y$varía directamente como$x$, y$y=30$ cuando$x=6$.
$y$varía directamente como$x$, y$y=52$ cuando$x=4$.
$y$es directamente proporcional a$x$, y$y=12$ cuando$x=3$.
$y$es directamente proporcional a$x$, y$y=120$ cuando$x=20$.
$y$es directamente proporcional a$x$, y$y=3$ cuando$x=9$.
$y$es directamente proporcional a$x$, y$y=21$ cuando$x=3$.
$y$varía inversamente como$x$, y$y=2$ cuando$x=\frac{1}{8}$.
$y$varía inversamente como$x$, y$y=\frac{3}{2}$ cuando$x=\frac{1}{9}$.
$y$es conjuntamente proporcional a$x$ y$z$, donde$y=2$ cuando$x=1$ y$z=3$.
$y$es conjuntamente proporcional a$x$ y$z$, donde$y=15$ cuando$x=3$ y$z=7$.
$y$varía conjuntamente como$x$ y$z$, donde$y=\frac{2}{3}$ cuando$x=\frac{1}{2}$ y$z=12$.
$y$varía conjuntamente como$x$ y$z$, donde$y=5$ cuando$x=\frac{3}{2}$ y$z=\frac{2}{9}$.
$y$varía directamente como el cuadrado de$x$, donde$y=45$ cuando$x=3$.
$y$varía directamente como el cuadrado de$x$, donde$y=3$ cuando$x=\frac{1}{2}$.
$y$es inversamente proporcional al cuadrado de$x$, donde$y=27$ cuando$x=\frac{1}{3}$.
$y$es inversamente proporcional al cuadrado de$x$, donde$y=9$ cuando$x=\frac{2}{3}$.
$y$varía conjuntamente como$x$ y el cuadrado de$z$, donde$y=6$ cuando$x=\frac{1}{4}$ y$z=\frac{2}{3}$.
$y$varía conjuntamente como$x$ y$z$ e inversamente como el cuadrado de$w$, dónde$y=5$ cuándo$z=1, z=3$, y$w=\frac{1}{2}$.
$y$varía directamente como la raíz cuadrada de$x$ e inversamente como el cuadrado de$z$, dónde$y=15$ cuándo$x=25$ y$z=2$.
$y$varía directamente como el cuadrado de$x$ e inversamente como$z$ y el cuadrado de$w$, donde$y=14$ cuando$x=4, w=2$ y$z=2$.

Contestar

1. $y=5x$

3. $y=4x$

5. $y=\frac{27}{x}$

7. $y=\frac{1}{4x}$

9. $y=\frac{2}{3}xz$

11. $y=\frac{1}{9}xz$

13. $y=5x^{2}$

15. $y = \frac { 3 } { x ^ { 2 } }$

17. $y = 54 x z ^ { 2 }$

19. $y = \frac { 12 \sqrt { x } } { z ^ { 2 } }$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Resolver aplicaciones que implican variación.

Los ingresos en dólares son directamente proporcionales al número de sudaderas de marca vendidas. El ingreso que se obtiene por vender$25$ sudaderas es$$318.75$. Determinar los ingresos si se venden$30$ sudaderas.
El impuesto a las ventas sobre la compra de un auto nuevo varía directamente según el precio del auto. Si se compra un auto$$18,000$ nuevo, entonces el impuesto a las ventas es$$1,350$. ¿Cuánto impuesto sobre las ventas se cobra si el auto nuevo tiene un precio$$22,000$?
El precio de una acción de acciones ordinarias en una empresa es directamente proporcional a las ganancias por acción (EPS) de los$12$ meses anteriores. Si el precio de una acción de acciones ordinarias en una empresa es de $22.55, y el EPS se publica para ser$$1.10$, determinar el valor de la acción si el EPS aumenta en$$0.20$.
La distancia recorrida en un viaje por carretera varía directamente con el tiempo que se pasa en la carretera. Si se puede hacer un viaje de$126$ millas en$3$ horas, entonces ¿qué distancia se puede recorrer en$4$ horas?
La circunferencia de un círculo es directamente proporcional a su radio. La circunferencia de un círculo con radio$7$ centímetros se mide como$14π$ centímetros. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
El área de círculo varía directamente como el cuadrado de su radio. Se determina que el área de un círculo con$7$ centímetros de radio es centímetros$49π$ cuadrados. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
La superficie de una esfera varía directamente como el cuadrado de su radio. Cuando el radio de una esfera mide$2$ metros, la superficie mide metros$16π$ cuadrados. Encuentra el área de superficie de una esfera con$3$ medidores de radio.
El volumen de una esfera varía directamente como el cubo de su radio. Cuando el radio de una esfera mide$3$ metros, el volumen es metros$36π$ cúbicos. Encuentra el volumen de una esfera con$1$ medidor de radio.
Con una altura fija, el volumen de un cono es directamente proporcional al cuadrado del radio en la base. Cuando el radio en la base mide$10$ centímetros, el volumen es centímetros$200$ cúbicos. Determine el volumen del cono si el radio de la base está reducido a la mitad.
La distancia que cae$d$ un objeto en caída libre varía directamente con el cuadrado del tiempo$t$ que ha estado cayendo. Si un objeto en caída libre cae$36$ pies en$1.5$ segundos, entonces ¿hasta dónde habrá caído en$3$ segundos?

Contestar

1. $$382.50$

3. $$26.65$

5. $2π$

7. $36π$metros cuadrados

9. $50$centímetros cúbicos

Ejercicio$\PageIndex{9}$

La ley de Hooke sugiere que la extensión de un resorte colgante es directamente proporcional al peso que se le une. La constante de variación se llama constante de resorte.

Figura$\PageIndex{9}$: Robert Hooke (1635-1703)

Un resorte colgante se estira$5$ pulgadas cuando se le une un peso de$20$ -libra. Determinar su constante de resorte.
Un resorte colgante se estira$3$ centímetros cuando se le une un peso de$2$ -kilogramo. Determinar la constante de resorte.
Si un resorte colgante se estira$3$ pulgadas cuando se adjunta un peso de$2$ -libra, ¿qué tan lejos se estirará con un peso de$5$ -libra unido?
Si un resorte colgante se estira$6$ centímetros cuando se le une un peso de$4$ -kilogramo, ¿hasta dónde se estirará con un peso de$2$ -kilogramo adherido?

Contestar

1. $\frac{1}{4}$

3. $7.5$pulgadas

Ejercicio$\PageIndex{10}$

La distancia de frenado de un automóvil es directamente proporcional al cuadrado de su velocidad.

Se necesitan$36$ pies para detener un automóvil en particular que se mueve a una velocidad de$30$ millas por hora. ¿Cuánta distancia de ruptura se requiere si la velocidad es de$35$ millas por hora?
Después de un accidente, se determinó que le costó a un conductor$80$ pies detener su auto. En un experimento en condiciones similares, se necesitan$45$ pies para detener el automóvil que se mueve a una velocidad de$30$ millas por hora. Estimar qué tan rápido se movía el conductor antes del accidente.

Figura$\PageIndex{10}$: Robert Boyle (1627-1691)

Contestar: 1. $49$pies

Ejercicio$\PageIndex{11}$

La ley de Boyle establece que si la temperatura permanece constante, el volumen$V$ de una masa de gas dada es inversamente proporcional a la presión que se$p$ ejerce sobre ella.

Un globo se llena a un volumen de pulgadas$216$ cúbicas en un bote de buceo bajo$1$ atmósfera de presión. Si el globo se toma bajo el agua aproximadamente$33$ pies, donde la presión mide$2$ atmósferas, entonces ¿cuál es el volumen del globo?
Un globo se llena a pulgadas$216$ cúbicas bajo una presión de$3$ atmósferas a una profundidad de$66$ pies. ¿Cuál sería el volumen en la superficie, donde la presión es la$1$ atmósfera?
Para equilibrar un balancín, la distancia desde el punto de apoyo que debe sentarse una persona es inversamente proporcional a su peso. Si un chico de$72$ -libra está sentado a$3$ pies del fulcro, ¿qué tan lejos del fulcro debe sentarse un chico de$54$ -libra para equilibrar el balancín?
La corriente$I$ en un conductor eléctrico es inversamente proporcional a su resistencia$R$. Si la corriente es$\frac{1}{4}$ amperio cuando la resistencia es$100$ ohmios, ¿cuál es la corriente cuando la resistencia es$150$ ohmios?
La cantidad de iluminación$I$ es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia$d$ desde una fuente de luz. Si$70$ las velas de iluminación se miden a$2$ pies de distancia de una lámpara, ¿qué nivel de iluminación podríamos esperar a un$\frac{1}{2}$ pie de distancia de la lámpara?
La cantidad de iluminación$I$ es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia$d$ desde una fuente de luz. Si$40$ las velas de pie de iluminación se miden a$3$ pies de distancia de una lámpara, ¿a qué distancia podemos esperar$10$ velas de pie de iluminación?
El número de hombres, representados por$y$, necesarios para colocar un camino de adoquines es directamente proporcional al área$A$ de la calzada e inversamente proporcional a la cantidad de tiempo$t$ permitido para completar el trabajo. Por lo general,$3$ los hombres pueden poner pies$1,200$ cuadrados de adoquines en$4$ horas. ¿Cuántos hombres se requerirán para poner pies$2,400$ cuadrados de adoquín en$6$ horas?
El volumen de un cilindro circular derecho varía conjuntamente como el cuadrado de su radio y su altura. Un cilindro circular derecho con un radio de$3$ -centímetro y una altura de$4$ centímetros tiene un volumen de centímetros$36π$ cúbicos. Encuentre una fórmula para el volumen de un cilindro circular derecho en términos de su radio y altura.
El periodo$T$ de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud$L$. Si la longitud de un péndulo es$1$ metro, entonces el periodo es de aproximadamente$2$ segundos. Aproximar el periodo de un péndulo que es$0.5$ metro de longitud.
El tiempo$t$ que tarda un objeto en caer es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la distancia$d$ que cae. Un objeto caído de$4$ pies tardará$\frac{1}{2}$ segundo en chocar contra el suelo. ¿Cuánto tiempo tardará un objeto caído de$16$ pies en chocar contra el suelo?

Contestar

1. $108$pulgadas cúbicas

3. $4$pies

5. $1,120$velas de pie

7. $4$hombres

9. $1.4$segundos

Ejercicio$\PageIndex{12}$

La ley universal de gravitación de Newton establece que cada partícula de materia en el universo atrae a todas las demás partículas con una fuerza$F$ que es directamente proporcional al producto de las masas$m_{1}$ y$m_{2}$ de las partículas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia $d$entre ellos. La constante de proporcionalidad se llama la constante gravitacional.

Figura$\PageIndex{11}$: Sir Isaac Newton (1643-1727)

Si dos objetos con masas$50$ kilogramos y$100$ kilogramos están separados por$\frac{1}{2}$ metros, entonces producen aproximadamente$1.34 × 10^{−6}$ newtons (N) de fuerza. Calcular la constante gravitacional.
Usa la constante gravitacional del ejercicio anterior para escribir una fórmula que aproxime la fuerza$F$ en newtons entre dos masas$m_{1}$ y$m_{2}$, expresada en kilogramos, dada la distancia$d$ entre ellas en metros.
Calcular la fuerza en newtons entre la Tierra y la Luna, dado que la masa de la Luna es de aproximadamente$7.3 × 10^{22}$ kilogramos, la masa de la Tierra es aproximadamente$6.0 × 10^{24}$ kilogramos, y la distancia entre ellos es en$1.5 × 10^{11}$ metros promedio.
Calcular la fuerza en newtons entre la Tierra y el Sol, dado que la masa del Sol es aproximadamente$2.0 × 10^{30}$ kilogramos, la masa de la Tierra es aproximadamente$6.0 × 10^{24}$ kilogramos, y la distancia entre ellos es en$3.85 × 10^{8}$ metros promedio.
Si$y$ varía directamente como el cuadrado de$x$, entonces ¿cómo$y$ cambia si$x$ se duplica?
Si$y$ varía inversamente como cuadrado de$t$, entonces ¿cómo$y$ cambia si$t$ se duplica?
Si$y$ varía directamente como el cuadrado de$x$ e inversamente como el cuadrado de$t$, entonces ¿cómo$y$ cambia si ambos$x$ y$t$ se duplican?

Contestar

1. $6.7 \times 10 ^ { - 11 } \mathrm { Nm } ^ { 2 } / \mathrm { kg } ^ { 2 }$

3. $1.98 \times 10 ^ { 20 } \mathrm { N }$

5. $y$cambios por un factor de$4$

7. $y$permanece sin cambios

Notas al pie

³⁷ Descrito por la fórmula$D = rt$, donde la distancia$D$ se da como el producto de la tasa promedio$r$ y el tiempo$t$ recorrido a ese ritmo.

³⁸ La velocidad a la que se puede realizar una tarea.

³⁹$\frac { 1 } { t _ { 1 } } \cdot t + \frac { 1 } { t _ { 2 } } \cdot t = 1$, donde$\frac { 1 } { t _ { 1 } }$ y$\frac { 1 } { t _ { 2 } }$ son las tasas de trabajo individuales y t es el tiempo que lleva completar la tarea trabajando juntos.

⁴⁰ Describe dos cantidades$x$ y$y$ que son múltiplos constantes entre sí:$y = kx$.

⁴¹ El múltiplo distinto de cero$k$, cuando las cantidades varían directa o inversamente.

⁴² Se utiliza cuando se refiere a la constante de variación.

⁴³ Se utiliza cuando se refiere a la variación directa.

⁴⁴ Describe dos cantidades$x$ y$y$, donde una variable es directamente proporcional al recíproco de la otra:$y = \frac{k}{x}$.

⁴⁵ Se utiliza cuando se refiere a la variación inversa.

⁴⁶ Describe una cantidad$y$ que varía directamente como producto de otras dos cantidades$x$ y$z: y = kxz$.

⁴⁷ Se utiliza cuando se refiere a la variación articular.

Tiempo\(t\) en segundos	Distancia\(s = 16 t ^ { 2 }\) en pies
\ (t\) en segundos">\(0\)	\ (s = 16 t ^ {2}\) en pies">\(0\)
\ (t\) en segundos">\(1\)	\ (s = 16 t ^ {2}\) en pies">\(16\)
\ (t\) en segundos">\(2\)	\ (s = 16 t ^ {2}\) en pies">\(64\)
\ (t\) en segundos">\(3\)	\ (s = 16 t ^ {2}\) en pies">\(144\)
\ (t\) en segundos">\(4\)	\ (s = 16 t ^ {2}\) en pies">\(256\)

Palabras clave	Traducción
“\(y\)varía\(x\) directamente como\(x\)”	\(y=kx\)
“\(y\)es directamente proporcional ⁴³ a\(x\)”
“\(y\)es proporcional a\(x\)”

Distancia\(t\) en pies	Intensidad de luz\(I = \frac { 525 } { d ^ { 2 } }\)
\ (t\) en pies">\(1\)	\ (I =\ frac {525} {d ^ {2}}\) ">\(525\)
\ (t\) en pies">\(2\)	\ (I =\ frac {525} {d ^ {2}}\) ">\(131.25\)
\ (t\) en pies">\(3\)	\ (I =\ frac {525} {d ^ {2}}\) ">\(58.33\)
\ (t\) en pies">\(4\)	\ (I =\ frac {525} {d ^ {2}}\) ">\(32.81\)
\ (t\) en pies">\(5\)	\ (I =\ frac {525} {d ^ {2}}\) ">\(21\)

Palabras clave	Traducción
“\(y\)varía inversamente como\(x\)”	\(y = \frac { k } { x }\)
“\(y\)es inversamente proporcional a\(x\)”	\(y = \frac { k } { x }\)

Palabras clave	Traducción
“\(y\)varía conjuntamente como\(x\) y\(z\)”	\(y = k x z\)
“\(y\)es conjuntamente proporcional ⁴⁷ a\(x\) y\(z\)”	\(y = k x z\)