5.4: Multiplicar y dividir expresiones radicales

Objetivos de aprendizaje

• Multiplicar expresiones radicales.
• Dividir expresiones radicales.
• Racionalizar el denominador.

Multiplicar expresiones radicales

Al multiplicar expresiones radicales con el mismo índice, usamos la regla de producto para radicales. Dados los números reales\(\sqrt [ n ] { A }\) y\(\sqrt [ n ] { B }\),

\(\sqrt [ n ] { A } \cdot \sqrt [ n ] { B } = \sqrt [ n ] { A \cdot B }\)\

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Multiplicar:\(\sqrt [ 3 ] { 12 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 6 }\).

Solución:

Aplicar la regla del producto para los radicales, y luego simplificar.

\(\begin{aligned} \sqrt [ 3 ] { 12 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 6 } & = \sqrt [ 3 ] { 12 \cdot 6 }\quad \color{Cerulean} { Multiply\: the\: radicands. } \\ & = \sqrt [ 3 ] { 72 } \quad\quad\:\color{Cerulean} { Simplify. } \\ & = \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 3 } \cdot 3 ^ { 2 } } \\ & = 2 \sqrt [ 3 ] { {3 } ^ { 2 }} \\ & = 2 \sqrt [ 3 ] { 9 } \end{aligned}\)

Respuesta:

\(2 \sqrt [ 3 ] { 9 }\)

A menudo, habrá coeficientes frente a los radicales.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

Multiplicar:\(3 \sqrt { 6 } \cdot 5 \sqrt { 2 }\)

Solución

Usando la regla del producto para los radicales y el hecho de que la multiplicación es conmutativa, podemos multiplicar los coeficientes y los radicandos de la siguiente manera.

\(\begin{aligned} 3 \sqrt { 6 } \cdot 5 \sqrt { 2 } & = \color{Cerulean}{3 \cdot 5}\color{black}{ \cdot}\color{OliveGreen}{ \sqrt { 6 } \cdot \sqrt { 2} }\quad\color{Cerulean}{Multiplication\:is\:commutative.} \\ & = 15 \cdot \sqrt { 12 } \quad\quad\quad\:\color{Cerulean}{Multiply\:the\:coefficients\:and\:the\:radicands.} \\ & = 15 \sqrt { 4 \cdot 3 } \quad\quad\quad\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = 15 \cdot 2 \cdot \sqrt { 3 } \\ & = 30 \sqrt { 3 } \end{aligned}\)

Por lo general, no se muestra el primer paso que implica la aplicación de la propiedad conmutativa.

Respuesta:

\(30 \sqrt { 3 }\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\):

Multiplicar:\(- 3 \sqrt [ 3 ] { 4 y ^ { 2 } } \cdot 5 \sqrt [ 3 ] { 16 y }\).

Solución

\(\begin{aligned} - 3 \sqrt [ 3 ] { 4 y ^ { 2 } } \cdot 5 \sqrt [ 3 ] { 16 y } & = - 15 \sqrt [ 3 ] { 64 y ^ { 3 } }\quad\color{Cerulean}{Multiply\:the\:coefficients\:and\:then\:multipy\:the\:rest.} \\ & = - 15 \sqrt [ 3 ] { 4 ^ { 3 } y ^ { 3 } }\quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = - 15 \cdot 4 y \\ & = - 60 y \end{aligned}\)

Respuesta:

\(-60y\)

Utilice la propiedad distributiva al multiplicar expresiones racionales con más de un término.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\):

Multiplicar:\(5 \sqrt { 2 x } ( 3 \sqrt { x } - \sqrt { 2 x } )\).

Solución:

Aplicar la propiedad distributiva y multiplicar cada término por\(5 \sqrt { 2 x }\).

\(\begin{aligned} 5 \sqrt { 2 x } ( 3 \sqrt { x } - \sqrt { 2 x } ) & = \color{Cerulean}{5 \sqrt { 2 x } }\color{black}{\cdot} 3 \sqrt { x } - \color{Cerulean}{5 \sqrt { 2 x }}\color{black}{ \cdot} \sqrt { 2 x } \quad\color{Cerulean}{Distribute.}\\ & = 15 \sqrt { 2 x ^ { 2 } } - 5 \sqrt { 4 x ^ { 2 } } \quad\quad\quad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = 15 x \sqrt { 2 } - 5 \cdot 2 x \\ & = 15 x \sqrt { 2 } - 10 x \end{aligned}\)

Respuesta:

\(15 x \sqrt { 2 } - 10 x\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\):

Multiplicar:\(\sqrt [ 3 ] { 6 x ^ { 2 } y } \left( \sqrt [ 3 ] { 9 x ^ { 2 } y ^ { 2 } } - 5 \cdot \sqrt [ 3 ] { 4 x y } \right)\).

Solución

Aplicar la propiedad distributiva, y luego simplificar el resultado.

\(\begin{aligned} \sqrt [ 3 ] { 6 x ^ { 2 } y } \left( \sqrt [ 3 ] { 9 x ^ { 2 } y ^ { 2 } } - 5 \cdot \sqrt [ 3 ] { 4 x y } \right) & = \color{Cerulean}{\sqrt [ 3 ] { 6 x ^ { 2 } y }}\color{black}{\cdot} \sqrt [ 3 ] { 9 x ^ { 2 } y ^ { 2 } } - \color{Cerulean}{\sqrt [ 3 ] { 6 x ^ { 2 } y }}\color{black}{ \cdot} 5 \sqrt [ 3 ] { 4 x y } \\ & = \sqrt [ 3 ] { 54 x ^ { 4 } y ^ { 3 } } - 5 \sqrt [ 3 ] { 24 x ^ { 3 } y ^ { 2 } } \\ & = \sqrt [ 3 ] { 27 \cdot 2 \cdot x \cdot x ^ { 3 } \cdot y ^ { 3 } } - 5 \sqrt [ 3 ] { 8 \cdot 3 \cdot x ^ { 3 } \cdot y ^ { 2 } } \\ & = 3 x y \sqrt [ 3 ] { 2 x } - 10 x \sqrt [ 3 ] { 3 y ^ { 2 } } \\ & = 3 x y \sqrt [ 3 ] { 2 x } - 10 x \sqrt [ 3 ] { 3 y ^ { 2 } } \end{aligned}\)

Respuesta:

\(3 x y \sqrt [ 3 ] { 2 x } - 10 x \sqrt [ 3 ] { 3 y ^ { 2 } }\)

El proceso para multiplicar expresiones radicales con múltiples términos es el mismo proceso que se utiliza al multiplicar polinomios. Aplicar la propiedad distributiva, simplificar cada radical, y luego combinar términos similares.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\):

Multiplicar:\(( \sqrt { x } - 5 \sqrt { y } ) ^ { 2 }\).

Solución

\(( \sqrt { x } - 5 \sqrt { y } ) ^ { 2 } = ( \sqrt { x } - 5 \sqrt { y } ) ( \sqrt { x } - 5 \sqrt { y } )\)

Comience por aplicar la propiedad distributiva.

Figura\(\PageIndex{1}\)

\(\begin{array} { l } { = \color{Cerulean}{\sqrt { x }}\color{black}{ \cdot} \sqrt { x } + \color{Cerulean}{\sqrt { x }}\color{black}{ (} - 5 \sqrt { y } ) + ( \color{OliveGreen}{- 5 \sqrt { y }}\color{black}{ )} \sqrt { x } + ( \color{OliveGreen}{- 5 \sqrt { y }}\color{black}{ )} ( - 5 \sqrt { y } ) } \\ { = \sqrt { x ^ { 2 } } - 5 \sqrt { x y } - 5 \sqrt { x y } + 25 \sqrt { y ^ { 2 } } } \\ { = x - 10 \sqrt { x y } + 25 y } \end{array}\)

Respuesta:

\(x - 10 \sqrt { x y } + 25 y\)

Los binomios\((a + b)\) y\((a − b)\) se denominan conjugados ¹⁸. Al multiplicar binomios conjugados los términos medios son opuestos y su suma es cero.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\):

Multiplicar:\(( \sqrt { 10 } + \sqrt { 3 } ) ( \sqrt { 10 } - \sqrt { 3 } )\).

Solución

Aplicar la propiedad distributiva, y luego combinar términos similares.

\(\begin{aligned} ( \sqrt { 10 } + \sqrt { 3 } ) ( \sqrt { 10 } - \sqrt { 3 } ) & = \color{Cerulean}{\sqrt { 10} }\color{black}{ \cdot} \sqrt { 10 } + \color{Cerulean}{\sqrt { 10} }\color{black}{ (} - \sqrt { 3 } ) + \color{OliveGreen}{\sqrt{3}}\color{black}{ (}\sqrt{10}) + \color{OliveGreen}{\sqrt{3}}\color{black}{(}-\sqrt{3}) \\ & = \sqrt { 100 } - \sqrt { 30 } + \sqrt { 30 } - \sqrt { 9 } \\ & = 10 - \color{red}{\sqrt { 30 }}\color{black}{ +}\color{red}{ \sqrt { 30} }\color{black}{ -} 3 \\ & = 10 - 3 \\ & = 7 \\ \end{aligned}\)

Respuesta:

\(7\)

Es importante señalar que al multiplicar expresiones radicales conjugadas, obtenemos una expresión racional. Esto es cierto en general

\(\begin{aligned} ( \sqrt { x } + \sqrt { y } ) ( \sqrt { x } - \sqrt { y } ) & = \sqrt { x ^ { 2 } } - \sqrt { x y } + \sqrt {x y } - \sqrt { y ^ { 2 } } \\ & = x - y \end{aligned}\)

Alternativamente, usando la fórmula para la diferencia de cuadrados que tenemos,

\(\begin{aligned} ( a + b ) ( a - b ) & = a ^ { 2 } - b ^ { 2 }\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Difference\:of\:squares.} \\ ( \sqrt { x } + \sqrt { y } ) ( \sqrt { x } - \sqrt { y } ) & = ( \sqrt { x } ) ^ { 2 } - ( \sqrt { y } ) ^ { 2 } \\ & = x - y \end{aligned}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Multiplicar:\(( 3 - 2 \sqrt { y } ) ( 3 + 2 \sqrt { y } )\). (Supongamos que\(y\) es positivo.)

Responder

\(9-4y\)

www.youtube.com/v/hpgvr8g68u

Dividir expresiones radicales

Para dividir expresiones radicales con el mismo índice, usamos la regla del cociente para los radicales. Dados los números reales\(\sqrt [ n ] { A }\) y\(\sqrt [ n ] { B }\),

\(\frac { \sqrt [ n ] { A } } { \sqrt [ n ] { B } } = \sqrt [n]{ \frac { A } { B } }\)

Ejemplo\(\PageIndex{8}\):

Dividir:\(\frac { \sqrt [ 3 ] { 96 } } { \sqrt [ 3 ] { 6 } }\).

Solución

En este caso, podemos verlo\(6\) y\(96\) tener factores comunes. Si aplicamos la regla del cociente para los radicales y la escribimos como una sola raíz cúbica, podremos reducir el radicado fraccional.

\(\begin{aligned} \frac { \sqrt [ 3 ] { 96 } } { \sqrt [ 3 ] { 6 } } & = \sqrt [ 3 ] { \frac { 96 } { 6 } } \quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:for\:radicals\:and\:reduce\:the\:radicand.}\\ & = \sqrt [ 3 ] { 16 } \\ & = \sqrt [ 3 ] { 8 \cdot 2 } \color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = 2 \sqrt [ 3 ] { 2 } \end{aligned}\)

Respuesta:

\(2 \sqrt [ 3 ] { 2 }\)

Ejemplo\(\PageIndex{9}\):

Dividir:\(\frac { \sqrt { 50 x ^ { 6 } y ^ { 4} } } { \sqrt { 8 x ^ { 3 } y } }\).

Solución

Escribe como una sola raíz cuadrada y cancela los factores comunes antes de simplificar.

\(\begin{aligned} \frac { \sqrt { 50 x ^ { 6 } y ^ { 4 } } } { \sqrt { 8 x ^ { 3 } y } } & = \sqrt { \frac { 50 x ^ { 6 } y ^ { 4 } } { 8 x ^ { 3 } y } } \quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:for\:radicals\:and\:cancel.}\\ & = \sqrt { \frac { 25 x ^ { 3 } y ^ { 3 } } { 4 } } \quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = \frac { \sqrt { 25 x ^ { 3 } y ^ { 3 } } } { \sqrt { 4 } } \\ & = \frac { 5 x y \sqrt { x y } } { 2 } \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\frac { 5xy \sqrt {x y } } { 2 }\)

Racionalización del denominador

Cuando el denominador (divisor) de una expresión radical contiene un radical, es una práctica común encontrar una expresión equivalente donde el denominador es un número racional. Encontrar tal expresión equivalente se llama racionalizar el denominador ¹⁹.

\(\begin{array} { c } { \color{Cerulean} { Radical\:expression\quad Rational\: denominator } } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \quad\quad\quad=\quad\quad\quad\quad \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \end{array}\)

Para ello, multiplica la fracción por una forma especial de\(1\) para que el radicando en el denominador pueda escribirse con una potencia que coincida con el índice. Después de hacer esto, simplificar y eliminar el radical en el denominador. Por ejemplo:

\(\frac { 1 } { \sqrt { 2 } } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \cdot \frac { \color{Cerulean}{\sqrt { 2} } } {\color{Cerulean}{ \sqrt { 2} } } \color{black}{=} \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 4 } } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }\)

Recuerda, para obtener una expresión equivalente, debes multiplicar el numerador y el denominador por exactamente el mismo factor distinto de cero.

Ejemplo\(\PageIndex{10}\):

Racionalizar el denominador:\(\frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 5 x } }\).

Solución

El objetivo es encontrar una expresión equivalente sin un radical en el denominador. El radicando en el denominador determina los factores que se necesitan utilizar para racionalizarlo. En este ejemplo, multiplicar por\(1\) en la forma\(\frac { \sqrt { 5 x } } { \sqrt { 5 x } }\).

\(\begin{aligned} \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 5 x } } & = \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 5 x } } \cdot \color{Cerulean}{\frac { \sqrt { 5 x } } { \sqrt { 5 x } } { \:Multiply\:by\: } \frac { \sqrt { 5 x } } { \sqrt { 5 x } } .}\\ & = \frac { \sqrt { 10 x } } { \sqrt { 25 x ^ { 2 } } } \quad\quad\: \color{Cerulean} { Simplify. } \\ & = \frac { \sqrt { 10 x } } { 5 x } \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\frac { \sqrt { 10 x } } { 5 x }\)

En ocasiones, encontraremos la necesidad de reducir, o cancelar, después de racionalizar el denominador.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\):

Racionalizar el denominador:\(\frac { 3 a \sqrt { 2 } } { \sqrt { 6 a b } }\).

Solución

En este ejemplo, vamos a multiplicar por\(1\) en la forma\(\frac { \sqrt { 6 a b } } { \sqrt { 6 a b } }\).

\(\begin{aligned} \frac { 3 a \sqrt { 2 } } { \sqrt { 6 a b } } & = \frac { 3 a \sqrt { 2 } } { \sqrt { 6 a b } } \cdot \color{Cerulean}{\frac { \sqrt { 6 a b } } { \sqrt { 6 a b } }} \\ & = \frac { 3 a \sqrt { 12 a b } } { \sqrt { 36 a ^ { 2 } b ^ { 2 } } } \quad\quad\color{Cerulean}{Simplify.}\\ & = \frac { 3 a \sqrt { 4 \cdot 3 a b} } { 6 ab } \\ & = \frac { 6 a \sqrt { 3 a b } } { b }\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Cancel.} \\ & = \frac { \sqrt { 3 a b } } { b } \end{aligned}\)

Observe que\(b\) no cancela en este ejemplo. No canceles factores dentro de un radical con los que están afuera.

Respuesta:

\(\frac { \sqrt { 3 a b } } { b }\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Racionalizar el denominador:\(\sqrt { \frac { 9 x } { 2 y } }\).

Responder

\(\frac { 3 \sqrt { 2xy } } { 2 y }\)

www.youtube.com/v/h-law8ki2ra

Hasta este punto, hemos visto que multiplicar un numerador y un denominador por una raíz cuadrada con exactamente el mismo radicando da como resultado un denominador racional. En general, esto es cierto sólo cuando el denominador contiene una raíz cuadrada. Sin embargo, este no es el caso de una raíz cubo. Por ejemplo,

\(\frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { x } } \cdot \color{Cerulean}{\frac { \sqrt [ 3 ] { x } } { \sqrt [ 3 ] { x } }}\color{black}{ =} \frac { \sqrt [ 3 ] { x } } { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } }\)

Obsérvese que multiplicar por el mismo factor en el denominador no lo racionaliza. En este caso, si multiplicamos por\(1\) en la forma de\(\frac { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } }\), entonces podemos escribir el radicando en el denominador como un poder de\(3\). Al simplificar el resultado se obtiene un denominador racionalizado.

\(\frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { x } } = \frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { x } } \cdot \color{Cerulean}{\frac { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } }} = \frac { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 3 } } } = \frac { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } { x }\)

Por lo tanto, para racionalizar el denominador de una expresión radical con un término radical en el denominador, comienza por factorizar el radicando del denominador. Los factores de este radicando y el índice determinan por qué debemos multiplicar. Multiplique el numerador y el denominador por la raíz\(n\) th de factores que producen enésimos poderes de todos los factores en el radicando del denominador.

Ejemplo\(\PageIndex{12}\):

Racionalizar el denominador:\(\frac { \sqrt [ 3 ] { 2 } } { \sqrt [ 3 ] { 25 } }\).

Solución

El radical en el denominador es equivalente a\(\sqrt [ 3 ] { 5 ^ { 2 } }\). Para racionalizar el denominador, necesitamos:\(\sqrt [ 3 ] { 5 ^ { 3 } }\). Para obtener esto, necesitamos un factor más de\(5\). Por lo tanto, multiplicar por\(1\) en forma de\(\frac { \sqrt [3]{ 5 } } { \sqrt[3] { 5 } }\).

\(\begin{aligned} \frac { \sqrt [ 3 ] { 2 } } { \sqrt [ 3 ] { 25 } } & = \frac { \sqrt [ 3 ] { 2 } } { \sqrt [ 3 ] { 5 ^ { 2 } } } \cdot \color{Cerulean}{\frac { \sqrt [ 3 ] { 5 } } { \sqrt [ 3 ] { 5 } } \:Multiply\:by\:the\:cube\:root\:of\:factors\:that\:result\:in\:powers\:of\:3.} \\ & = \frac { \sqrt [ 3 ] { 10 } } { \sqrt [ 3 ] { 5 ^ { 3 } } } \quad\:\:\:\quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = \frac { \sqrt [ 3 ] { 10 } } { 5 } \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\frac { \sqrt [ 3 ] { 10 } } { 5 }\)

Ejemplo\(\PageIndex{13}\):

Racionalizar el denominador:\(\sqrt [ 3 ] { \frac { 27 a } { 2 b ^ { 2 } } }\).

Solución

En este ejemplo, vamos a multiplicar por\(1\) en la forma\(\frac { \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } b } } { \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } b } }\).

\(\begin{aligned} \sqrt [ 3 ] { \frac { 27 a } { 2 b ^ { 2 } } } & = \frac { \sqrt [ 3 ] { 3 ^ { 3 } a } } { \sqrt [ 3 ] { 2 b ^ { 2 } } } \quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:for\:radicals.} \\ & = \frac { 3 \sqrt [ 3 ] { a } } { \sqrt [ 3 ] { 2 b ^ { 2 } } } \cdot \color{Cerulean}{\frac { \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } b } } { \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } b } }\:\:\:Multiply\:by\:the\:cube\:root\:of\:factors\:that\:result\:in\:powers.} \\ & = \frac { 3 \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } ab } } { \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 3 } b ^ { 3 } } } \quad\quad\quad\color{Cerulean}{Simplify.}\\ & = \frac { 3 \sqrt [ 3 ] { 4 a b } } { 2 b } \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\frac { 3 \sqrt [ 3 ] { 4 a b } } { 2 b }\)

Ejemplo\(\PageIndex{14}\):

Racionalizar el denominador:\(\frac { 2 x \sqrt [ 5 ] { 5 } } { \sqrt [ 5 ] { 4 x ^ { 3 } y } }\)

Solución

En este ejemplo, vamos a multiplicar por\(1\) en la forma\(\frac { \sqrt [ 5 ] { 2 ^ { 3 } x ^ { 2 } y ^ { 4 } } } { \sqrt [ 5 ] { 2 ^ { 3 } x ^ { 2 } y ^ { 4 } } }\)

\(\begin{aligned} \frac{2x\sqrt[5]{5}}{\sqrt[5]{4x^{3}y}} & = \frac{2x\sqrt[5]{5}}{\sqrt[5]{2^{2}x^{3}y}}\cdot\color{Cerulean}{\frac{\sqrt[5]{2^{3}x^{2}y^{4}}}{\sqrt[5]{2^{3}x^{2}y^{4}}} \:\:Multiply\:by\:the\:fifth\:root\:of\:factors\:that\:result\:in\:pairs.} \\ & = \frac { 2 x \sqrt [ 5 ] { 5 \cdot 2 ^ { 3 } x ^ { 2 } y ^ { 4 } } } { \sqrt [ 5 ] { 2 ^ { 5 } x ^ { 5 } y ^ { 5 } } } \quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = \frac { 2 x \sqrt [ 5 ] { 40 x ^ { 2 } y ^ { 4 } } } { 2 x y } \\ & = \frac { \sqrt [ 5 ] { 40 x ^ { 2 } y ^ { 4 } } } { y } \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\frac { \sqrt [ 5 ] { 40 x ^ { 2 } y ^ { 4 } } } { y }\)

Cuando dos términos que involucran raíces cuadradas aparecen en el denominador, podemos racionalizarlo usando una técnica muy especial. Esta técnica implica multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el conjugado del denominador. Recordemos que multiplicar una expresión radical por su conjugado produce un número racional.

Ejemplo\(\PageIndex{15}\):

Racionalizar el denominador:\(\frac { 1 } { \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } }\).

Solución

En este ejemplo, el conjugado del denominador es\(\sqrt { 5 } + \sqrt { 3 }\). Por lo tanto, multiplicar por\(1\) en la forma\(\frac { ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) } { ( \sqrt {5 } + \sqrt { 3 } ) }\).

\(\begin{aligned} \frac { 1 } { \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } } & = \frac { 1 } { ( \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } ) } \color{Cerulean}{\frac { ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) } { ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) } \:\:Multiply \:numerator\:and\:denominator\:by\:the\:conjugate\:of\:the\:denominator.} \\ & = \frac { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } } { \sqrt { 25 } + \sqrt { 15 } - \sqrt{15}-\sqrt{9} } \:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = \frac { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } } { 5-3 } \\ & = \frac { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } } { 2 } \end{aligned}\)

Respuesta:

\( \frac { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } } { 2 } \)

Observe que los términos que involucran la raíz cuadrada en el denominador se eliminan multiplicando por el conjugado. Podemos utilizar la propiedad\(( \sqrt { a } + \sqrt { b } ) ( \sqrt { a } - \sqrt { b } ) = a - b\) para agilizar el proceso de multiplicar las expresiones en el denominador.

Ejemplo\(\PageIndex{16}\):

Racionalizar el denominador:\(\frac { \sqrt { 10 } } { \sqrt { 2 } + \sqrt { 6 } }\).

Solución

Multiplicar por\(1\) en la forma\(\frac { \sqrt { 2 } - \sqrt { 6 } } { \sqrt { 2 } - \sqrt { 6 } }\).

\(\begin{aligned} \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}+\sqrt{6} }&= \frac{(\sqrt{10})}{(\sqrt{2}+\sqrt{6})} \color{Cerulean}{\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{6})}{(\sqrt{2}-\sqrt{6})}\quad\quad Multiple\:by\:the\:conjugate.} \\ &= \frac { \sqrt { 20 } - \sqrt { 60 } } { 2 - 6 } \quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &= \frac { \sqrt { 4 \cdot 5 } - \sqrt { 4 \cdot 15 } } { - 4 } \\ &= \frac { 2 \sqrt { 5 } - 2 \sqrt { 15 } } { - 4 } \\ &=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{15})}{-4} \\ &= \frac { \sqrt { 5 } - \sqrt { 15 } } { - 2 } = - \frac { \sqrt { 5 } - \sqrt { 15 } } { 2 } = \frac { - \sqrt { 5 } + \sqrt { 15 } } { 2 } \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\frac { \sqrt { 15 } - \sqrt { 5 } } { 2 }\)

Ejemplo\(\PageIndex{17}\):

Racionalizar el denominador:\(\frac { \sqrt { x } - \sqrt { y } } { \sqrt { x } + \sqrt { y } }\).

Solución

En este ejemplo, vamos a multiplicar por\(1\) en la forma\(\frac { \sqrt { x } - \sqrt { y } } { \sqrt { x } - \sqrt { y } }\).

\(\begin{aligned} \frac { \sqrt { x } - \sqrt { y } } { \sqrt { x } + \sqrt { y } } & = \frac { ( \sqrt { x } - \sqrt { y } ) } { ( \sqrt { x } + \sqrt { y } ) } \color{Cerulean}{\frac { ( \sqrt { x } - \sqrt { y } ) } { ( \sqrt { x } - \sqrt { y } ) } \quad \quad Multiply\:by\:the\:conjugate\:of\:the\:denominator.} \\ & = \frac { \sqrt { x ^ { 2 } } - \sqrt { x y } - \sqrt { x y } + \sqrt { y ^ { 2 } } } { x - y } \:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = \frac { x - 2 \sqrt { x y } + y } { x - y } \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\frac { x - 2 \sqrt { x y } + y } { x - y }\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Racionalizar el denominador:\(\frac { 2 \sqrt { 3 } } { 5 - \sqrt { 3 } }\)

Responder

\(\frac { 5 \sqrt { 3 } + 3 } { 11 }\)

www.youtube.com/V/GynVQ3NVXCC

Claves para llevar

• Para multiplicar dos expresiones radicales de un solo término, multiplicar los coeficientes y multiplicar los radicandos. Si es posible, simplifique el resultado.
• Aplicar la propiedad distributiva al multiplicar una expresión radical con múltiples términos. Entonces simplifica y combina todos como radicales.
• Multiplicar una expresión radical de dos términos que involucra raíces cuadradas por su conjugado da como resultado una expresión racional.
• Es práctica común escribir expresiones radicales sin radicales en el denominador. El proceso de encontrar tal expresión equivalente se llama racionalizar el denominador.
• Si una expresión tiene un término en el denominador que involucra a un radical, entonces racionalizarlo multiplicando el numerador y denominador por la raíz\(n\) th de factores del radicando para que sus poderes sean iguales al índice.
• Si una expresión radical tiene dos términos en el denominador que involucran raíces cuadradas, entonces racionalizarla multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Multiplicar. (Supongamos que todas las variables representan números reales no negativos.)

1. \(\sqrt { 3 } \cdot \sqrt { 7 }\)
2. \(\sqrt { 2 } \cdot \sqrt { 5 }\)
3. \(\sqrt { 6 } \cdot \sqrt { 12 }\)
4. \(\sqrt { 10 } \cdot \sqrt { 15 }\)
5. \(\sqrt { 2 } \cdot \sqrt { 6 }\)
6. \(\sqrt { 5 } \cdot \sqrt { 15 }\)
7. \(\sqrt { 7 } \cdot \sqrt { 7 }\)
8. \(\sqrt { 12 } \cdot \sqrt { 12 }\)
9. \(2 \sqrt { 5 } \cdot 7 \sqrt { 10 }\)
10. \(3 \sqrt { 15 } \cdot 2 \sqrt { 6 }\)
11. \(( 2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 }\)
12. \(( 6 \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }\)
13. \(\sqrt { 2 x } \cdot \sqrt { 2 x }\)
14. \(\sqrt { 5 y } \cdot \sqrt { 5 y }\)
15. \(\sqrt { 3 a } \cdot \sqrt { 12 }\)
16. \(\sqrt { 3 a } \cdot \sqrt { 2 a }\)
17. \(4 \sqrt { 2 x } \cdot 3 \sqrt { 6 x }\)
18. \(5 \sqrt { 10 y } \cdot 2 \sqrt { 2 y }\)
19. \(\sqrt [ 3 ] { 3 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 9 }\)
20. \(\sqrt [ 3 ] { 4 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 16 }\)
21. \(\sqrt [ 3 ] { 15 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 25 }\)
22. \(\sqrt [ 3 ] { 100 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 50 }\)
23. \(\sqrt [ 3 ] { 4 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 10 }\)
24. \(\sqrt [ 3 ] { 18 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 6 }\)
25. \(( 5 \sqrt [ 3 ] { 9 } ) ( 2 \sqrt [ 3 ] { 6 } )\)
26. \(( 2 \sqrt [ 3 ] { 4 } ) ( 3 \sqrt [ 3 ] { 4 } )\)
27. \(( 2 \sqrt [ 3 ] { 2 } ) ^ { 3 }\)
28. \(( 3 \sqrt [ 3 ] { 4 } ) ^ { 3 }\)
29. \(\sqrt [ 3 ] { 3 a ^ { 2 } } \cdot \sqrt [ 3 ] { 9 a }\)
30. \(\sqrt [ 3 ] { 7 b } \cdot \sqrt [ 3 ] { 49 b ^ { 2 } }\)
31. \(\sqrt [ 3 ] { 6 x ^ { 2 } } \cdot \sqrt [ 3 ] { 4 x ^ { 2 } }\)
32. \(\sqrt [ 3 ] { 12 y } \cdot \sqrt [ 3 ] { 9 y ^ { 2 } }\)
33. \(\sqrt [ 3 ] { 20 x ^ { 2 } y } \cdot \sqrt [ 3 ] { 10 x ^ { 2 } y ^ { 2 } }\)
34. \(\sqrt [ 3 ] { 63 x y } \cdot \sqrt [ 3 ] { 12 x ^ { 4 } y ^ { 2 } }\)
35. \(\sqrt { 5 } ( 3 - \sqrt { 5 } )\)
36. \(\sqrt { 2 } ( \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } )\)
37. \(3 \sqrt { 7 } ( 2 \sqrt { 7 } - \sqrt { 3 } )\)
38. \(2 \sqrt { 5 } ( 6 - 3 \sqrt { 10 } )\)
39. \(\sqrt { 6 } ( \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } )\)
40. \(\sqrt { 15 } ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } )\)
41. \(\sqrt { x } ( \sqrt { x } + \sqrt { x y } )\)
42. \(\sqrt { y } ( \sqrt { x y } + \sqrt { y } )\)
43. \(\sqrt { 2 a b } ( \sqrt { 14 a } - 2 \sqrt { 10 b } )\)
44. \(\sqrt { 6 a b } ( 5 \sqrt { 2 a } - \sqrt { 3 b } )\)
45. \(\sqrt [ 3 ] { 6 } ( \sqrt [ 3 ] { 9 } - \sqrt [ 3 ] { 20 } )\)
46. \(\sqrt [ 3 ] { 12 } ( \sqrt [ 3 ] { 36 } + \sqrt [ 3 ] { 14 } )\)
47. \(( \sqrt { 2 } - \sqrt { 5 } ) ( \sqrt { 3 } + \sqrt { 7 } )\)
48. \(( \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } ) ( \sqrt { 5 } - \sqrt { 7 } )\)
49. \(( 2 \sqrt { 3 } - 4 ) ( 3 \sqrt { 6 } + 1 )\)
50. \(( 5 - 2 \sqrt { 6 } ) ( 7 - 2 \sqrt { 3 } )\)
51. \(( \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } ) ^ { 2 }\)
52. \(( \sqrt { 7 } - \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }\)
53. \(( 2 \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } ) ( 2 \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } )\)
54. \(( \sqrt { 2 } + 3 \sqrt { 7 } ) ( \sqrt { 2 } - 3 \sqrt { 7 } )\)
55. \(( \sqrt { a } - \sqrt { 2 b } ) ^ { 2 }\)
56. \(( \sqrt { a b } + 1 ) ^ { 2 }\)
57. ¿Cuál es el perímetro y el área de un rectángulo con longitud midiendo\(5\sqrt{3}\) centímetros y ancho midiendo\(3\sqrt{2}\) centímetros?
58. ¿Cuál es el perímetro y el área de un rectángulo con longitud midiendo\(2\sqrt{6}\) centímetros y ancho midiendo\(\sqrt{3}\) centímetros?
59. Si la base de un triángulo mide\(6\sqrt{2}\) metros y la altura mide\(3\sqrt{2}\) metros, entonces calcula el área.
60. Si la base de un triángulo mide\(6\sqrt{3}\) metros y la altura mide\(3\sqrt{6}\) metros, entonces calcula el área.

Responder

1. \(\sqrt{21}\)

3. \(6\sqrt{2}\)

5. \(2\sqrt{3}\)

7. \(7\)

9. \(70\sqrt{2}\)

11. \(20\)

13. \(2x\)

15. \(6\sqrt{a}\)

17. \(24x\sqrt{3}\)

19. \(3\)

21. \(5 \sqrt [ 3 ] { 3 }\)

23. \(2 \sqrt [ 3 ] { 5 }\)

25. \(30 \sqrt [ 3 ] { 2 }\)

27. \(16\)

29. \(3a\)

31. \(2 x \sqrt [ 3 ] { 3 x }\)

33. \(2 x y \sqrt [ 3 ] { 25 x }\)

35. \(3\sqrt{5}-5\)

37. \(42 - 3 \sqrt { 21 }\)

39. \(3 \sqrt { 2 } - 2 \sqrt { 3 }\)

41. \(x + x \sqrt { y }\)

43. \(2 a \sqrt { 7 b } - 4 b \sqrt { 5 a }\)

45. \(3 \sqrt [ 3 ] { 2 } - 2 \sqrt [ 3 ] { 15 }\)

47. \(\sqrt { 6 } + \sqrt { 14 } - \sqrt { 15 } - \sqrt { 35 }\)

49. \(18 \sqrt { 2 } + 2 \sqrt { 3 } - 12 \sqrt { 6 } - 4\)

51. \(8 - 2 \sqrt { 15 }\)

53. \(10\)

55. \(a - 2 \sqrt { 2 a b } + 2 b\)

57. Perímetro:\(( 10 \sqrt { 3 } + 6 \sqrt { 2 } )\) centímetros; área centímetros\(15\sqrt{6}\) cuadrados

59. \(18\)metros cuadrados

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dividir. (Supongamos que todas las variables representan números reales positivos.)

1. \(\frac { \sqrt { 75 } } { \sqrt { 3 } }\)
2. \(\frac { \sqrt { 360 } } { \sqrt { 10 } }\)
3. \(\frac { \sqrt { 72 } } { \sqrt { 75 } }\)
4. \(\frac { \sqrt { 90 } } { \sqrt { 98 } }\)
5. \(\frac { \sqrt { 90 x ^ { 5 } } } { \sqrt { 2 x } }\)
6. \(\frac { \sqrt { 96 y ^ { 3 } } } { \sqrt { 3 y } }\)
7. \(\frac { \sqrt { 162 x ^ { 7 } y ^ { 5 } } } { \sqrt { 2 x y } }\)
8. \(\frac { \sqrt { 363 x ^ { 4 } y ^ { 9 } } } { \sqrt { 3 x y } }\)
9. \(\frac { \sqrt [ 3 ] { 16 a ^ { 5 } b ^ { 2 } } } { \sqrt [ 3 ] { 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } } }\)
10. \(\frac { \sqrt [ 3 ] { 192 a ^ { 2 } b ^ { 7 } } } { \sqrt [ 3 ] { 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } } }\)

Responder

1. \(5\)

3. \(\frac { 2 \sqrt { 6 } } { 5 }\)

5. \(3 x ^ { 2 } \sqrt { 5 }\)

7. \(9 x ^ { 3 } y ^ { 2 }\)

9. \(2a\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Racionalizar el denominador. (Supongamos que todas las variables representan números reales positivos.)

1. \(\frac { 1 } { \sqrt { 5 } }\)
2. \(\frac { 1 } { \sqrt { 6 } }\)
3. \(\frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } }\)
4. \(\frac { \sqrt { 3 } } { \sqrt { 7 } }\)
5. \(\frac { 5 } { 2 \sqrt { 10 } }\)
6. \(\frac { 3 } { 5 \sqrt { 6 } }\)
7. \(\frac { \sqrt { 3 } - \sqrt { 5 } } { \sqrt { 3 } }\)
8. \(\frac { \sqrt { 6 } - \sqrt { 2 } } { \sqrt { 2 } }\)
9. \(\frac { 1 } { \sqrt { 7 x } }\)
10. \(\frac { 1 } { \sqrt { 3 y } }\)
11. \(\frac { a } { 5 \sqrt { a b } }\)
12. \(\frac { 3 b ^ { 2 } } { 2 \sqrt { 3 a b } }\)
13. \(\frac { 2 } { \sqrt [ 3 ] { 36 } }\)
14. \(\frac { 14 } { \sqrt [ 3 ] { 7 } }\)
15. \(\frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { 4 x } }\)
16. \(\frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { 3 y ^ { 2 } } }\)
17. \(\frac { 9 x \sqrt[3] { 2 } } { \sqrt [ 3 ] { 9 x y ^ { 2 } } }\)
18. \(\frac { 5 y ^ { 2 } \sqrt [ 3 ] { x } } { \sqrt [ 3 ] { 5 x ^ { 2 } y } }\)
19. \(\frac { 3 a } { 2 \sqrt [ 3 ] { 3 a ^ { 2 } b ^ { 2 } } }\)
20. \(\frac { 25 n } { 3 \sqrt [ 3 ] { 25 m ^ { 2 } n } }\)
21. \(\frac { 3 } { \sqrt [ 5 ] { 27 x ^ { 2 } y } }\)
22. \(\frac { 2 } { \sqrt [ 5 ] { 16 x y ^ { 2 } } }\)
23. \(\frac { a b } { \sqrt [ 5 ] { 9 a ^ { 3 } b } }\)
24. \(\frac { a b c } { \sqrt [ 5 ] { a b ^ { 2 } c ^ { 3 } } }\)
25. \(\sqrt [ 5 ] { \frac { 3 x } { 8 y ^ { 2 } z } }\)
26. \(\sqrt [ 5 ] { \frac { 4 x y ^ { 2 } } { 9 x ^ { 3 } y z ^ { 4 } } }\)
27. \(\frac { 3 } { \sqrt { 10 } - 3 }\)
28. \(\frac { 2 } { \sqrt { 6 } - 2 }\)
29. \(\frac { 1 } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } }\)
30. \(\frac { 1 } { \sqrt { 7 } - \sqrt { 2 } }\)
31. \(\frac { \sqrt { 3 } } { \sqrt { 3 } + \sqrt { 6 } }\)
32. \(\frac { \sqrt { 5 } } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 15 } }\)
33. \(\frac { 10 } { 5 - 3 \sqrt { 5 } }\)
34. \(\frac { - 2 \sqrt { 2 } } { 4 - 3 \sqrt { 2 } }\)
35. \(\frac { \sqrt { 3 } + \sqrt { 5 } } { \sqrt { 3 } - \sqrt { 5 } }\)
36. \(\frac { \sqrt { 10 } - \sqrt { 2 } } { \sqrt { 10 } + \sqrt { 2 } }\)
37. \(\frac { 2 \sqrt { 3 } - 3 \sqrt { 2 } } { 4 \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } }\)
38. \(\frac { 6 \sqrt { 5 } + 2 } { 2 \sqrt { 5 } - \sqrt { 2 } }\)
39. \(\frac { x - y } { \sqrt { x } + \sqrt { y } }\)
40. \(\frac { x - y } { \sqrt { x } - \sqrt { y } }\)
41. \(\frac { x + \sqrt { y } } { x - \sqrt { y } }\)
42. \(\frac { x - \sqrt { y } } { x + \sqrt { y } }\)
43. \(\frac { \sqrt { a } - \sqrt { b } } { \sqrt { a } + \sqrt { b } }\)
44. \(\frac { \sqrt { a b } + \sqrt { 2 } } { \sqrt { a b } - \sqrt { 2 } }\)
45. \(\frac { \sqrt { x } } { 5 - 2 \sqrt { x } }\)
46. \(\frac { 1 } { \sqrt { x } - y }\)
47. \(\frac { \sqrt { x } + \sqrt { 2 y } } { \sqrt { 2 x } - \sqrt { y } }\)
48. \(\frac { \sqrt { 3 x } - \sqrt { y } } { \sqrt { x } + \sqrt { 3 y } }\)
49. \(\frac { \sqrt { 2 x + 1 } } { \sqrt { 2 x + 1 } - 1 }\)
50. \(\frac { \sqrt { x + 1 } } { 1 - \sqrt { x + 1 } }\)
51. \(\frac { \sqrt { x + 1 } + \sqrt { x - 1 } } { \sqrt { x + 1 } - \sqrt { x - 1 } }\)
52. \(\frac { \sqrt { 2 x + 3 } - \sqrt { 2 x - 3 } } { \sqrt { 2 x + 3 } + \sqrt { 2 x - 3 } }\)
53. El radio de la base de un cono circular derecho viene dado por\(r = \sqrt { \frac { 3 V } { \pi h } }\) donde\(V\) representa el volumen del cono y\(h\) representa su altura. Encuentra el radio de un cono circular derecho con volumen centímetros\(50\) cúbicos y centímetros de altura\(4\). Dar la respuesta exacta y la respuesta aproximada redondeada a la centésima más cercana.
54. El radio de una esfera viene dado por\(r = \sqrt [ 3 ] { \frac { 3 V } { 4 \pi } }\) donde\(V\) representa el volumen de la esfera. Encuentra el radio de una esfera con centímetros\(135\) cuadrados de volumen. Dar la respuesta exacta y la respuesta aproximada redondeada a la centésima más cercana.

Responder

1. \(\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }\)

3. \(\frac { \sqrt { 6 } } { 3 }\)

5. \(\frac { \sqrt { 10 } } { 4 }\)

7. \(\frac { 3 - \sqrt { 15 } } { 3 }\)

9. \(\frac { \sqrt { 7 x } } { 7 x }\)

11. \(\frac { \sqrt { a b } } { 5 b }\)

13. \(\frac { \sqrt [ 3 ] { 6 } } { 3 }\)

15. \(\frac { \sqrt [ 3 ] { 2 x ^ { 2 } } } { 2 x }\)

17. \(\frac { 3 \sqrt [ 3 ] { 6 x ^ { 2 } y } } { y }\)

19. \(\frac { \sqrt [ 3 ] { 9 a b } } { 2 b }\)

21. \(\frac { \sqrt [ 5 ] { 9 x ^ { 3 } y ^ { 4 } } } { x y }\)

23. \(\frac { \sqrt [ 5 ] { 27 a ^ { 2 } b ^ { 4 } } } { 3 }\)

25. \(\frac { \sqrt [ 5 ] { 12 x y ^ { 3 } z ^ { 4 } } } { 2 y z }\)

27. \(3\sqrt { 10 } + 9\)

29. \(\frac { \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } } { 2 }\)

31.\ (- 1 +\ sqrt {2}\

33. \(\frac { - 5 - 3 \sqrt { 5 } } { 2 }\)

35. \(- 4 - \sqrt { 15 }\)

37. \(\frac { 15 - 7 \sqrt { 6 } } { 23 }\)

39. \(\sqrt { x } - \sqrt { y }\)

41. \(\frac { x ^ { 2 } + 2 x \sqrt { y } + y } { x ^ { 2 } - y }\)

43. \(\frac { a - 2 \sqrt { a b + b } } { a - b }\)

45. \(\frac { 5 \sqrt { x } + 2 x } { 25 - 4 x }\)

47. \(\frac { x \sqrt { 2 } + 3 \sqrt { x y } + y \sqrt { 2 } } { 2 x - y }\)

49. \(\frac { 2 x + 1 + \sqrt { 2 x + 1 } } { 2 x }\)

51. \(x + \sqrt { x ^ { 2 } - 1 }\)

53. \(\frac { 5 \sqrt { 6 \pi } } { 2 \pi }\)centímetros;\(3.45\) centímetros

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

1. Investigar y discutir algunas de las razones por las que es una práctica común racionalizar el denominador.
2. Explica con tus propias palabras cómo racionalizar el denominador.

Responder

1. La respuesta puede variar

Notas al pie

¹⁸ Los factores\((a+b)\) y\((a-b)\) son conjugados.

¹⁹ El proceso de determinar una expresión radical equivalente con un denominador racional.