5.5: Exponentes racionales

Objetivos de aprendizaje

• Escribir expresiones con exponentes racionales en forma radical.
• Escribir expresiones radicales con exponentes racionales.
• Realizar operaciones y simplificar expresiones con exponentes racionales.
• Realizar operaciones sobre radicales con diferentes índices.

Hasta el momento, los exponentes se han limitado a enteros. En esta sección, definiremos qué significan los exponentes racionales (o fraccionarios) y cómo trabajar con ellos. Aplican todas las reglas para exponentes desarrolladas hasta este punto. En particular, recordar la regla del producto para exponentes. Dados los números racionales$m$ y$n$, tenemos

$x ^ { m } \cdot x ^ { n } = x ^ { m + n }$

Por ejemplo, si tenemos un exponente de$1/2$, entonces la regla del producto para exponentes implica lo siguiente:

$5 ^ { 1 / 2 } \cdot 5 ^ { 1 / 2 } = 5 ^ { 1 / 2 + 1 / 2 } = 5 ^ { 1 } = 5$

Aquí$5^{1/2}$ está uno de dos factores iguales de$5$; de ahí que sea una raíz cuadrada de$5$, y podemos escribir

$5 ^ { 1 / 2 } = \sqrt { 5 }$

Además, podemos ver que$2^{1/3}$ es uno de los tres factores iguales de$2$.

$2 ^ { 1 / 3 } \cdot 2 ^ { 1 / 3 } \cdot 2 ^ { 1 / 3 } = 2 ^ { 1/3 + 1 / 3 + 1 / 3 } = 2 ^ { 3 / 3 } = 2 ^ { 1 } = 2$

Por lo tanto,$2 ^ { 1 /3 }$ es una raíz cubo de$2$, y podemos escribir

$2 ^ { 1 / 3 } = \sqrt [ 3 ] { 2 }$

Esto es cierto en general, dado cualquier número real distinto de cero$a$ y entero$n \geq 2$,

$a ^ { 1 / n } = \sqrt [ n ] { a }$

En otras palabras, el denominador de un exponente fraccionario determina el índice de una raíz$n$ th.

Ejemplo$\PageIndex{1}$:

Reescribir como radical.

1. $6 ^ { 1 / 2 }$
2. $6 ^ { 1 / 3 }$

Solución

1. $6 ^ { 1 / 2 } = \sqrt [ 2 ] { 6 } = \sqrt { 6 }$
2. $6 ^ { 1 / 3 } = \sqrt [ 3 ] { 6 }$

Ejemplo$\PageIndex{2}$:

Reescribe como radical y luego simplifica.

1. $16^{1/2}$
2. $16^{1/4}$

Solución

1. $16 ^ { 1 / 2 } = \sqrt { 16 } = \sqrt { 4 ^ { 2 } } = 4$
2. $16 ^ { 1 / 4 } = \sqrt [ 4 ] { 16 } = \sqrt [ 4 ] { 2 ^ { 4 } } = 2$

Ejemplo$\PageIndex{3}$:

Reescribe como radical y luego simplifica.

1. $\left( 64 x ^ { 3 } \right) ^ { 1 / 3 }$
2. $\left( - 32 x ^ { 5 } y ^ { 10 } \right) ^ { 1 / 5 }$

Solución

1.

$\begin{aligned} \left( 64 x ^ { 3 } \right) ^ { 1 / 3 } & = \sqrt [ 3 ] { 64 x ^ { 3 } } \\ & = \sqrt [ 3 ] { 4 ^ { 3 } x ^ { 3 } } \\ & = 4 x \end{aligned}$

2.

$\begin{aligned} \left( - 32 x ^ { 5 } y ^ { 10 } \right) ^ { 1 / 5 } & = \sqrt [ 5 ] { - 32 x ^ { 5 } y ^ { 10 } } \\ & = \sqrt [ 5 ] { ( - 2 ) ^ { 5 } x ^ { 5 } \left( y ^ { 2 } \right) ^ { 5 } } \\ & = - 2 x y ^ { 2 } \end{aligned}$

A continuación, considere exponentes fraccionarios donde el numerador es un entero distinto de$1$. Por ejemplo, considere lo siguiente:

$5 ^ { 2 / 3 } \cdot 5 ^ { 2 / 3 } \cdot 5 ^ { 2 / 3 } = 5 ^ { 2 / 3 + 2 / 3 + 2 / 3 } = 5 ^ { 6 / 3 } = 5 ^ { 2 }$

Esto demuestra que$5^{2/3}$ es uno de los tres factores iguales de$5^{2}$. En otras palabras,$5^{2/3}$ es una raíz cubo de$5^{2}$ y podemos escribir:

$5 ^ { 2 / 3 } = \sqrt [ 3 ] { 5 ^ { 2 } }$

En general, dado cualquier número real distinto de cero$a$ donde$m$ y$n$ son enteros positivos$( n \geq 2 )$,

$a ^ { m / n } = \sqrt [ n ] { a ^ { m } }$

Una expresión con un exponente racional ²⁰ es equivalente a un radical donde el denominador es el índice y el numerador es el exponente. Cualquier expresión radical puede escribirse con un exponente racional, al que llamamos forma exponencial ²¹.

$\color{Cerulean} { Radical\:form \quad Exponential\: form } \\ \sqrt [ 5 ] { x ^ { 2 } } \quad\quad\quad=\quad\quad x ^ { 2 / 5 }$

Ejemplo$\PageIndex{4}$:

Reescribir como radical.

1. $6^{2/5}$
2. $3^{3/4}$

Solución

1. $6 ^ { 2 / 5 } = \sqrt [ 5 ] { 6 ^ { 2 } } = \sqrt [ 5 ] { 36 }$
2. $3 ^ { 3 / 4 } = \sqrt [ 4 ] { 3 ^ { 3 } } = \sqrt [ 4 ] { 27 }$

Ejemplo$\PageIndex{5}$:

Reescribe como radical y luego simplifica.

1. $27^{2/3}$
2. $( 12 ) ^ { 5 / 3 }$

Solución

A menudo podemos evitar enteros muy grandes trabajando con su factorización prima.

1.

$\begin{aligned} 27 ^ { 2 / 3 } & = \sqrt [ 3 ] { 27 ^ { 2 } } \\ & = \sqrt [ 3 ] { \left( 3 ^ { 3 } \right) ^ { 2 } }\quad\color{Cerulean}{Replace \:27\:with\: 3^{3}} \\ & = \sqrt [ 3 ] { 3 ^ { 6 } }\quad\:\quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = 3 ^ { 2 } \\ & = 9 \end{aligned}$

2.

$\begin{aligned} ( 12 ) ^ { 5 / 3 } & = \sqrt [ 3 ] { ( 12 ) ^ { 5 } } \quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Replace\:12\:with\: 2^{2}\cdot3.} \\ & = \sqrt [ 3 ] { \left( 2 ^ { 2 } \cdot 3 \right) ^ { 5 } } \quad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Apply\:the\:rules\:for\:exponents.} \\ &= \sqrt[3]{2^{10}\cdot3^{5}} \quad\quad\quad\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 9 } \cdot 2 \cdot 3 ^ { 3 } \cdot 3 ^ { 2 } } \\ & = 2 ^ { 3 } \cdot 3 \cdot \sqrt [ 3 ] { 2 \cdot 3 ^ { 2 } } \\ & = 24 \sqrt [ 3 ] { 18 } \end{aligned}$

Dada una expresión radical, podríamos querer encontrar el equivalente en forma exponencial. Supongamos que todas las variables son positivas.

Ejemplo$\PageIndex{6}$:

Reescribir usando exponentes racionales:$\sqrt [ 5 ] { x ^ { 3 } }$.

Solución

Aquí está el índice$5$ y el poder es$3$. Podemos escribir

$\sqrt [ 5 ] { x ^ { 3 } } = x ^ { 3 / 5 }$

Respuesta:

$x ^ { 3 / 5 }$

Ejemplo$\PageIndex{7}$:

Reescribir usando exponentes racionales:$\sqrt [ 6 ] { y ^ { 3 } }$.

Solución

Aquí está el índice$6$ y el poder es$3$. Podemos escribir

$\begin{aligned} \sqrt [ 6 ] { y ^ { 3 } } & = y ^ { 3 / 6 } \\ & = y ^ { 1 / 2 } \end{aligned}$

Respuesta:

$y^{1/2}$

Es importante señalar que los siguientes son equivalentes.

$a ^ { n / n } = \sqrt [ n ] { a ^ { m } } = ( \sqrt [ n ] { a } ) ^ { m }$

Es decir, no importa si aplicamos primero el poder o primero la raíz. Por ejemplo, podemos aplicar el poder antes de la raíz$n$ th:

$27 ^ { 2 / 3 } = \sqrt [ 3 ] { 27 ^ { 2 } } = \sqrt [ 3 ] { \left( 3 ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } = \sqrt [ 3 ] { 3 ^ { 6 } } = 3 ^ { 2 } = 9$

O podemos aplicar la raíz$n$ th antes del poder:

$27 ^ { 2 / 3 } = ( \sqrt [ 3 ] { 27 } ) ^ { 2 } = \left( \sqrt [ 3 ] { 3 ^ { 3 } } \right) ^ { 2 } = ( 3 ) ^ { 2 } = 9$

Los resultados son los mismos.

Ejemplo$\PageIndex{8}$:

Reescribir como radical y luego simplificar:$( - 8 ) ^ { 2 / 3 }$.

Solución

Aquí está el índice$3$ y el poder es$2$. Podemos escribir

$( - 8 ) ^ { 2 / 3 } = ( \sqrt [ 3 ] { - 8 } ) ^ { 2 } = ( - 2 ) ^ { 2 } = 4$

Respuesta:

$4$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Reescribir como radical y luego simplificar:$100 ^ { 3 / 2 }$.

Contestar

$1,000$

www.youtube.com/v/39imssbfd5o

Algunas calculadoras tienen un botón de intercalación$^$ que se utiliza para ingresar exponentes. Si es así, podemos calcular aproximaciones para radicales usándolo y exponentes racionales. Por ejemplo, para calcular$\sqrt { 2 } = 2 ^ { 1 / 2 } = 2 {\wedge} ( 1 / 2 ) \approx 1.414$ hacemos uso de los botones de paréntesis y escriba

Figura$\PageIndex{1}$

Para calcular$\sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } } = 2 ^ { 2 / 3 } = 2 \wedge ( 2 / 3 ) \approx 1.587$, escribiríamos

Figura$\PageIndex{2}$

Operaciones usando las reglas de los exponentes

En esta sección, revisamos todas las reglas de exponentes, las cuales se extienden para incluir exponentes racionales. Si se le dan algunos números racionales$m$ y$n$, entonces tenemos

Mesa$\PageIndex{1}$

Regla del producto para exponentes:	$x ^ { m } \cdot x ^ { n } = x ^ { m + n }$
Regla de cociente para exponentes:	$\frac { x ^ { m } } { x ^ { n } } = x ^ { m - n } , x \neq 0$
Regla de potencia para exponentes:	$\left( x ^ { m } \right) ^ { n } = x ^ { m \cdot n }$
Regla de potencia para un producto:	$( x y ) ^ { n } = x ^ { n } y ^ { n }$
Regla de poder para un cociente:	$\left( \frac { x } { y } \right) ^ { n } = \frac { x ^ { n } } { y ^ { n } } , y \neq 0$
Exponentes negativos:	$x ^ { - n } = \frac { 1 } { x ^ { n } }$
Cero exponente:	$x ^ { 0 } = 1 , x \neq 0$

Estas reglas nos permiten realizar operaciones con exponentes racionales.

Ejemplo$\PageIndex{9}$:

Simplificar:$7 ^ { 1 / 3 } \cdot 7 ^ { 4 / 9 }$.

Solución

$\begin{aligned} 7 ^ { 1 / 3 } \cdot 7 ^ { 49 } & = 7 ^ { 1 / 3 + 49 } \quad\color{Cerulean}{Apply \:the\:product\:rule\:x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}.}\\ & = 7 ^ { 3/9 + 4/9 } \\ & = 7 ^ { 7 / 9 } \end{aligned}$

Respuesta:

$7^{7/9}$

Ejemplo$\PageIndex{10}$:

Simplificar:$\frac { x ^ { 3 / 2 } } { x ^ { 2 / 3 } }$.

Solución

$\begin{aligned} \frac { x ^ { 3 / 2 } } { x ^ { 2 / 3 } } & = x ^ { 3 / 2 - 2 / 3 } \quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\: \frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}.}\\ & = x ^ { 9 / 6 - 4 / 6 } \\ & = x ^ { 5 / 6 } \end{aligned}$

Ejemplo$\PageIndex{11}$:

Simplificar:$\left( y ^ { 3 / 4 } \right) ^ { 2 / 3 }$.

Solución

$\begin{aligned} \left( y ^ { 3 / 4 } \right) ^ { 2 / 3 } & = y ^ { ( 3 / 4 ) ( 2 / 3 ) }\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:(x^{m})^{n} = x^{m\cdot n}.} \\ & = y ^ { 6 / 12 }\quad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Multiply\:the\:exponents\:and\:reduce.} \\ & = y ^ { 1 / 2 } \end{aligned}$

Respuesta:

$y ^ { 1 / 2 }$

Ejemplo$\PageIndex{12}$:

Simplificar:$\left( 81 a ^ { 8 } b ^ { 12 } \right) ^ { 3 / 4 }$.

Solución

$\begin{aligned} \left( 81 a ^ { 8 } b ^ { 12 } \right) ^ { 3 / 4 } & = \left( 3 ^ { 4 } a ^ { 8 } b ^ { 12 } \right) ^ { 3 / 4 }\quad\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Rewrite\:81\:as\:3^{4}.} \\ & = \left( 3 ^ { 4 } \right) ^ { 3 / 4 } \left( a ^ { 8 } \right) ^ { 3 / 4 } \left( b ^ { 12 } \right) ^ { 3 / 4 } \:\:\:\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:for\:a\:product.} \\ & = 3 ^ { 4 ( 3 / 4 ) } a ^ { 8 ( 3 / 4 ) } b ^ { 12 ( 3 / 4 ) } \quad\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:to\:each\:factor.}\\ & = 3 ^ { 3 } a ^ { 6 } b ^ { 9 } \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = 27 a ^ { 6 } b ^ { 9 } \end{aligned}$

Respuesta:

$27 a ^ { 6 } b ^ { 9 }$

Ejemplo$\PageIndex{13}$:

Simplificar:$\left( 9 x ^ { 4 } \right) ^ { - 3 / 2 }$.

Solución

$\begin{aligned} \left( 9 x ^ { 4 } \right) ^ { - 3 / 2 } & = \frac { 1 } { \left( 9 x ^ { 4 } \right) ^ { 3 / 2 } } \quad\quad\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:definition\:of\:negative\:exponents\:x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}.} \\ & = \frac { 1 } { \left( 3 ^ { 2 } x ^ { 4 } \right) ^ { 3 / 2 } } \quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Write\:9\:as\:3^{2}\:and\:apply\:the\:rules\:of\:exponents.} \\ & = \frac { 1 } { 3 ^ { 2 ( 3 / 2 ) } x ^ { 4 ( 3 / 2 ) } } \\ & = \frac { 1 } { 3^{3}\cdot x ^ { 6 } } \\ & = \frac { 1 } { 27 x ^ { 6 } } \end{aligned}$

Respuesta:

$\frac { 1 } { 27 x ^ { 6 } }$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Simplificar:$\frac { \left( 125 a ^ { 1 / 4 } b ^ { 6 } \right) ^ { 2 / 3 } } { a ^ { 1 / 6 } }$.

Contestar

$25 b ^ { 4 }$

www.youtube.com/V/LeqKfwyomuc

Expresiones radicales con diferentes índices

Para aplicar la regla del producto o cociente para los radicales, los índices de los radicales involucrados deben ser los mismos. Si los índices son diferentes, entonces primero reescribe los radicales en forma exponencial y luego aplica las reglas para los exponentes.

Ejemplo$\PageIndex{14}$:

Multiplicar:$\sqrt { 2 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 2 }$.

Solución

En este ejemplo, el índice de cada factor radical es diferente. De ahí que no se aplique la regla del producto para radicales. Comience por convertir los radicales en una forma equivalente usando exponentes racionales. Después aplique la regla del producto para exponentes.

$\begin{aligned} \sqrt { 2 } \cdot \sqrt [ 3 ] { 2 } & = 2 ^ { 1 / 2 } \cdot 2 ^ { 1 / 3 }\quad\color{Cerulean}{Equivalents\:using\:rational\:exponents.} \\ & = 2 ^ { 1 / 2 + 1 / 3 } \quad\:\:\color{Cerulean}{Apply\:the\:product\:rule\:for\:exponents.} \\ & = 2 ^ { 5 / 6 } \\ & = \sqrt [ 6 ] { 2 ^ { 5 } } \end{aligned}$

Respuesta:

$\sqrt [ 6 ] { 2 ^ { 5 } }$

Ejemplo$\PageIndex{15}$:

Dividir:$\frac { \sqrt [3]{ 4 } } { \sqrt [5]{ 2 } }$.

Solución

En este ejemplo, el índice del radical en el numerador es diferente del índice del radical en el denominador. De ahí que no se aplique la regla del cociente para los radicales. Comience convirtiendo los radicales en una forma equivalente usando exponentes racionales y luego aplique la regla de cociente para exponentes.

$\begin{aligned} \frac { \sqrt [ 3 ] { 4 } } { \sqrt [ 5 ] { 2 } } & = \frac { \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } } } { \sqrt [ 5 ] { 2 } } \\ & = \frac { 2 ^ { 2 / 3 } } { 2 ^ { 1 / 5 } } \quad\quad\color{Cerulean}{Equivalents\:using\:rational\:exponents.}\\ & = 2 ^ { 2 / 3 - 1 / 5 } \:\:\:\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:for\:exponents.}\\ & = 2 ^ { 7 / 15 } \\ & = \sqrt [ 15 ] { 2 ^ { 7 } } \end{aligned}$

Respuesta:

$\sqrt [ 15 ] { 2 ^ { 7 } }$

Ejemplo$\PageIndex{16}$:

Simplificar:$\sqrt { \sqrt [ 3 ] { 4 } }$.

Solución

Aquí el radicando de la raíz cuadrada es una raíz cubo. Después de reescribir esta expresión usando exponentes racionales, veremos que se aplica la regla de potencia para exponentes.

$\begin{aligned} \sqrt { \sqrt [ 3 ] { 4 } } & = \sqrt { \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } } } \\ & = \left( 2 ^ { 2 / 3 } \right) ^ { 1 / 2 } \quad\color{Cerulean}{Equivalents\:using\:rational\:exponents.} \\ & = 2 ^ { ( 2 / 3 ) ( 1 / 2 ) } \quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:for\:exponents.}\\ & = 2 ^ { 1 / 3 } \\ & = \sqrt [ 3 ] { 2 } \end{aligned}$

Respuesta:

$\sqrt [ 3 ] { 2 }$

Claves para llevar

• Cualquier expresión radical se puede escribir en forma exponencial:$\sqrt [ n ] { a ^ { m } } = a ^ { m / n }$.
• Los exponentes fraccionarios indican radicales. Usa el numerador como potencia y el denominador como índice del radical.
• Todas las reglas de los exponentes se aplican a expresiones con exponentes racionales.
• Si se van a aplicar operaciones a radicales con diferentes índices, primero reescriba los radicales en forma exponencial y luego aplique las reglas para exponentes.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Expresar usando exponentes racionales.

1. $\sqrt{10}$
2. $\sqrt{6}$
3. $\sqrt [ 3 ] { 3 }$
4. $\sqrt [ 4 ] { 5 }$
5. $\sqrt [ 3 ] { 5 ^ { 2 } }$
6. $\sqrt [ 4 ] { 2 ^ { 3 } }$
7. $\sqrt [ 3 ] { 49 }$
8. $\sqrt [ 3 ] { 9 }$
9. $\sqrt [ 5 ] { x }$
10. $\sqrt [ 6 ] { x }$
11. $\sqrt [ 6 ] { x ^ { 7 } }$
12. $\sqrt [ 5 ] { x ^ { 4 } }$
13. $\frac { 1 } { \sqrt { x } }$
14. $\frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } }$

Contestar

1. $10 ^ { 1 / 2 }$

3. $3 ^ { 1 / 3 }$

5. $5 ^ { 2 / 3 }$

7. $7 ^ { 2 / 3 }$

9. $x ^ { 1 / 5 }$

11. $x ^ { 7 / 6 }$

13. $x ^ { - 1 / 2 }$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Expreso en forma radical.

1. $10 ^ { 1 / 2 }$
2. $11 ^ { 1 / 3 }$
3. $7 ^ { 2 / 3 }$
4. $2 ^ { 3 / 5 }$
5. $x ^ { 3 / 4 }$
6. $x ^ { 5 / 6 }$
7. $x ^ { - 1 / 2 }$
8. $x ^ { - 3 / 4 }$
9. $\left( \frac { 1 } { x } \right) ^ { - 1 / 3 }$
10. $\left( \frac { 1 } { x } \right) ^ { - 3 / 5 }$
11. $( 2 x + 1 ) ^ { 2 / 3 }$
12. $( 5 x - 1 ) ^ { 1 / 2 }$

Contestar

1. $\sqrt { 10 }$

3. $\sqrt [ 3 ] { 49 }$

5. $\sqrt [ 4 ] { x ^ { 3 } }$

7. $\frac { 1 } { \sqrt { x } }$

9. $\sqrt [ 3 ] { x }$

11. $\sqrt [ 3 ] { ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } }$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Escribe como radical y luego simplifica.

1. $64 ^ { 1 / 2 }$
2. $49 ^ { 1 / 2 }$
3. $\left( \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { 1 / 2 }$
4. $\left( \frac { 4 } { 9 } \right) ^ { 1 / 2 }$
5. $4 ^ { - 1 / 2 }$
6. $9 ^ { - 1 / 2 }$
7. $\left( \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { - 1 / 2 }$
8. $\left( \frac { 1 } { 16 } \right) ^ { - 1 / 2 }$
9. $8 ^ { 1 / 3 }$
10. $125 ^ { 1 / 3 }$
11. $\left( \frac { 1 } { 27 } \right) ^ { 1 / 3 }$
12. $\left( \frac { 8 } { 125 } \right) ^ { 1 / 3 }$
13. $( - 27 ) ^ { 1 / 3 }$
14. $( - 64 ) ^ { 1 / 3 }$
15. $16 ^ { 1 / 4 }$
16. $625 ^ { 1 / 4 }$
17. $81 ^ { - 1 / 4 }$
18. $16 ^ { - 1 / 4 }$
19. $100,000 ^ { 1 / 5 }$
20. $( - 32 ) ^ { 1 / 5 }$
21. $\left( \frac { 1 } { 32 } \right) ^ { 1 / 5 }$
22. $\left( \frac { 1 } { 243 } \right) ^ { 1 / 5 }$
23. $9 ^ { 3 / 2 }$
24. $4 ^ { 3 / 2 }$
25. $8 ^ { 5 / 3 }$
26. $27 ^ { 2 / 3 }$
27. $16 ^ { 3 / 2 }$
28. $32 ^ { 2 / 5 }$
29. $\left( \frac { 1 } { 16 } \right) ^ { 3 / 4 }$
30. $\left( \frac { 1 } { 81 } \right) ^ { 3 / 4 }$
31. $( - 27 ) ^ { 2 / 3 }$
32. $( - 27 ) ^ { 4 / 3 }$
33. $( - 32 ) ^ { 3 / 5 }$
34. $( - 32 ) ^ { 4 / 5 }$

Contestar

1. $8$

3. $\frac{1}{2}$

5. $\frac{1}{2}$

7. $2$

9. $2$

11. $frac{1}{3}$

13. $-3$

15. $2$

17. $\frac{1}{3}$

19. $10$

21. $\frac{1}{2}$

23. $27$

25. $32$

27. $64$

29. $\frac{1}{8}$

31. $9$

33. $-8$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Usa una calculadora para aproximar una respuesta redondeada a la centésima más cercana.

1. $2 ^ { 1 / 2 }$
2. $2 ^ { 1 / 3 }$
3. $2 ^ { 3 / 4 }$
4. $3 ^ { 2 / 3 }$
5. $5 ^ { 1 / 5 }$
6. $7 ^ { 1 / 7 }$
7. $( - 9 ) ^ { 3 / 2 }$
8. $- 9 ^ { 3 / 2 }$
9. Explique por qué$( - 4 ) ^ { \wedge } ( 3 / 2 )$ da un error en una calculadora y$- 4 ^ { \wedge } ( 3 / 2 )$ da una respuesta de$−8$.
10. Marcy recibió un mensaje de texto de Mark preguntando su edad. En respuesta, Marcy envió un mensaje de texto “$125 ^ { \wedge } ( 2 / 3 )$años”. Ayuda a Mark a determinar la edad de Marcy.

Contestar

1. $1.41$

3. $1.68$

5. $1.38$

7. No es un número real

9. La respuesta puede variar

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Realizar las operaciones y simplificar. Dejar las respuestas en forma exponencial.

1. $5 ^ { 3 / 2 } \cdot 5 ^ { 1 / 2 }$
2. $3 ^ { 2 / 3 } \cdot 3 ^ { 7 / 3 }$
3. $5 ^ { 1 / 2 } \cdot 5 ^ { 1 / 3 }$
4. $2 ^ { 1 / 6 } \cdot 2 ^ { 3 / 4 }$
5. $y ^ { 1 / 4 } \cdot y ^ { 2 / 5 }$
6. $x ^ { 1 / 2 } \cdot x ^ { 1 / 4 }$
7. $\frac { 5 ^ { 11 / 3 } } { 5 ^ { 2 / 3 } }$
8. $\frac { 2 ^ { 9 / 2 } } { 2 ^ { 1 / 2 } }$
9. $\frac { 2 a ^ { 2 / 3 } } { a ^ { 1 / 6 } }$
10. $\frac { 3 b ^ { 1 / 2 } } { b ^ { 1 / 3 } }$
11. $\left( 8 ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 2 / 3 }$
12. $\left( 3 ^ { 6 } \right) ^ { 2 / 3 }$
13. $\left( x ^ { 2 / 3 } \right) ^ { 1 / 2 }$
14. $\left( y ^ { 3 / 4 } \right) ^ { 4 / 5 }$
15. $\left( y ^ { 8 } \right) ^ { - 1 / 2 }$
16. $\left( y ^ { 6 } \right) ^ { - 2 / 3 }$
17. $\left( 4 x ^ { 2 } y ^ { 4 } \right) ^ { 1 / 2 }$
18. $\left( 9 x ^ { 6 } y ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 }$
19. $\left( 2 x ^ { 1 / 3 } y ^ { 2 / 3 } \right) ^ { 3 }$
20. $\left( 8 x ^ { 3 / 2 } y ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 2 }$
21. $\left( 36 x ^ { 4 } y ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 }$
22. $\left( 8 x ^ { 3 } y ^ { 6 } z ^ { - 3 } \right) ^ { - 1 / 3 }$
23. $\left( \frac { a ^ { 3 / 4 } } { a ^ { 1 / 2 } } \right) ^ { 4 / 3 }$
24. $\left( \frac { b ^ { 4 / 5 } } { b ^ { 1 / 10 } } \right) ^ { 10 / 3 }$
25. $\left( \frac { 4 x ^ { 2 / 3 } } { y ^ { 4 } } \right) ^ { 1 / 2 }$
26. $\left( \frac { 27 x ^ { 3 / 4 } } { y ^ { 9 } } \right) ^ { 1 / 3 }$
27. $\frac { y ^ { 1 / 2 } y ^ { 2 / 3 } } { y ^ { 1 / 6 } }$
28. $\frac { x ^ { 2 / 5 } x ^ { 1 / 2 } } { x ^ { 1 / 10 } }$
29. $\frac { x y } { x ^ { 1 / 2 } y ^ { 1 / 3 } }$
30. $\frac { x ^ { 5 / 4 } y } { x y ^ { 2 / 5 } }$
31. $\frac { 49 a ^ {5/7 } b ^ { 3 / 2 } } { 7 a ^ { 3 /7 } b ^ { 1 / 4 } }$
32. $\frac { 16 a ^ { 5 / 6 } b ^ { 5 / 4 } } { 8 a ^ { 1 / 2 } b ^ { 2 / 3 } }$
33. $\frac { \left( 9 x ^ { 2 / 3 } y ^ { 6 } \right) ^ { 3 / 2 } } { x ^ { 1 / 2 } y }$
34. $\frac { \left( 125 x ^ { 3 } y ^ { 3 / 5 } \right) ^ { 2 / 3 } } { x y ^ { 1 / 3 } }$
35. $\frac { \left( 27 a ^ { 1 / 4 } b ^ { 3 / 2 } \right) ^ { 2 / 3 } } { a ^ { 1 / 6 } b ^ { 1 / 2 } }$
36. $\frac { \left( 25 a ^ { 2 / 3 } b ^ { 4 / 3 } \right) ^ { 3 / 2 } } { a ^ { 1 / 6 } b ^ { 1 / 3 } }$
37. $\left( 16 x ^ { 2 } y ^ { - 1 / 3 } z ^ { 2 / 3 } \right) ^ { - 3 / 2 }$
38. $\left( 81 x ^ { 8 } y ^ { - 4 / 3 } z ^ { - 4 } \right) ^ { - 3 / 4 }$
39. $\left( 100 a ^ { - 2 / 3 } b ^ { 4 } c ^ { - 3 / 2 } \right) ^ { - 1 / 2 }$
40. $\left( 125 a ^ { 9 } b ^ { - 3 / 4 } c ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 / 3 }$

Contestar

1. $25$

3. $5 ^ { 5 / 6 }$

5. $y ^ { 13 / 20 }$

7. $125$

9. $2 a ^ { 1 / 2 }$

11. $2$

13. $x ^ { 1 / 3 }$

15. $\frac { 1 } { y ^ { 4 } }$

17. $2 x y ^ { 2 }$

19. $8 x y ^ { 2 }$

21. $\frac { 1 } { 6 x ^ { 2 } y }$

23. $a ^ { 1 / 3 }$

25. $\frac { 2 x ^ { 1 / 3 } } { y ^ { 2 } }$

27. $y$

29. $x ^ { 1 / 2 } y ^ { 2 / 3 }$

31. $7 a ^ { 2/7 } b ^ { 5 / 4 }$

33. $27 x ^ { 1 / 2 } y ^ { 8 }$

35. $9 b ^ { 1 / 2 }$

37. $\frac { y ^ { 1 / 2 } } { 64 x ^ { 3 } z }$

39. $\frac { a ^ { 1 / 3 } b ^ { 3 / 4 } } { 10 b ^ { 2 } }$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Realizar las operaciones.

1. $\sqrt [ 3 ] { 9 } \cdot \sqrt [ 5 ] { 3 }$
2. $\sqrt { 5 } \cdot \sqrt [ 5 ] { 25 }$
3. $\sqrt { x } \cdot \sqrt [ 3 ] { x }$
4. $\sqrt { y } \cdot \sqrt [ 4 ] { y }$
5. $\sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } \cdot \sqrt [ 4 ] { x }$
6. $\sqrt [ 5 ] { x ^ { 3 } } \cdot \sqrt [ 3 ] { x }$
7. $\frac { \sqrt [ 3 ] { 100 } } { \sqrt { 10 } }$
8. $\frac { \sqrt [ 5 ] { 16 } } { \sqrt [ 3 ] { 4 } }$
9. $\frac { \sqrt [ 3 ] { a ^ { 2 } } } { \sqrt { a } }$
10. $\frac { \sqrt [ 5 ] { b ^ { 4 } } } { \sqrt [ 3 ] { b } }$
11. $\frac { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } { \sqrt [ 5 ] { x ^ { 3 } } }$
12. $\frac { \sqrt [ 4 ] { x ^ { 3 } } } { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } }$
13. $\sqrt { \sqrt [ 5 ] { 16 } }$
14. $\sqrt { \sqrt [ 3 ] { 9 } }$
15. $\sqrt [ 3 ] { \sqrt [ 5 ] { 2 } }$
16. $\sqrt [ 3 ] { \sqrt [ 5 ] { 5 } }$
17. $\sqrt [ 3 ] { \sqrt { 7 } }$
18. $\sqrt [ 3 ] { \sqrt { 3 } }$

Contestar

1. $\sqrt [ 15 ] { 3 ^ { 13 } }$

3. $\sqrt [ 6 ] { x ^ { 5 } }$

5. $\sqrt [ 12 ] { x ^ { 11 } }$

7. $\sqrt [ 6 ] { 10 }$

9. $\sqrt [ 6 ] { a }$

11. $\sqrt [ 15 ] { x }$

13. $\sqrt [ 5 ] { 4 }$

15. $\sqrt [ 15 ] { 2 }$

17. $\sqrt [ 6 ] { 7 }$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

1. ¿A quién se le atribuye idear la notación que permita exponentes racionales? ¿Cuáles son algunos de sus otros logros?
2. Cuando se usa texto, lo mejor es comunicar las$n$ raíces usando exponentes racionales. Dé un ejemplo.

Contestar

1. La respuesta puede variar

Notas al pie

²⁰ El exponente fraccionario$m/n$ que indica un radical con índice$n$ y exponente$m$:$a ^ {m / n } = \sqrt [ n ] { a ^ { m } }$.

²¹ Una expresión equivalente escrita usando un exponente racional.