6.2: Fórmula cuadrática

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Objetivos de aprendizaje

Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática.
Utilice el determinante para determinar el número y tipo de soluciones a una fórmula cuadrática.

La fórmula cuadrática

En esta sección, desarrollaremos una fórmula que dé las soluciones a cualquier ecuación cuadrática en forma estándar. Para ello, comenzamos con una ecuación cuadrática general en forma estándar y resolvemos$x$ por completar el cuadrado. Aquí$a, b$, y$c$ están los números reales y$a ≠ 0$:

$\begin{aligned}a x^{2}+b x+c&=0\quad\quad\color{Cerulean}{Standard\:form\:of\:a\:quadratic\:equation.} \\\frac{a x^{2}+b x+c}{\color{Cerulean}{a}}&\color{black}{=}\frac{0}{\color{Cerulean}{a}}\quad\:\:\color{Cerulean}{Divde\:both\:sides\:by\:a.} \\ x^{2}+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}&=0\quad\quad\color{Cerulean}{Subtract\:\frac{c}{a}\:from\:both\:sides.}\\ x^{2}+\frac{b}{a} x&=-\frac{c}{a}\end{aligned}$

Determinar la constante que completa el cuadrado: tomar el coeficiente de$x$, dividirlo por 2, y luego cuadrarlo.

\[\left(\frac{b / a}{2}\right)^{2}=\left(\frac{b}{2 a}\right)^{2}=\frac{b^{2}}{4 a^{2}}\nonumber\]

Agregue esto a ambos lados de la ecuación para completar el cuadrado y luego factorizar.

$\begin{aligned} x^{2}+\frac{b}{a} x+\frac{b^{2}}{4 a^{2}} &=-\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4 a^{2}} \\\left(x+\frac{b}{2 a}\right)\left(x+\frac{b}{2 a}\right) &=-\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4 a^{2}} \\\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2} &=-\frac{4 a c}{4 a^{2}}+\frac{b^{2}}{4 a^{2}} \\\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2} &=\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}} \end{aligned}$

Resuelve extrayendo raíces.

$\begin{aligned}\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2} &=\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}} \\ x+\frac{b}{2 a} &=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}}} \\ x+\frac{b}{2 a} &=\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ x &=-\frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \end{aligned}$

Esta derivación nos da una fórmula que resuelve cualquier ecuación cuadrática en forma estándar. Dado$ax^{2} + bx + c = 0$, donde$a, b$, y$c$ son números reales y$a ≠ 0$, las soluciones se pueden calcular usando la fórmula cuadrática ⁵:

\[x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \label{quad}\]

Ejemplo$\PageIndex{1}$:

Resuelve usando la fórmula cuadrática:$2 x^{2}-7 x-15=0$

Solución

Comience por identificar los coeficientes de cada término:$a, b$, y$c$.

$a=2 \quad b=-7 \quad c=-15$

Sustituya estos valores en la fórmula cuadrática (Ecuación\ ref {quad}) y luego simplifique.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{-7}\color{black}{)} \pm \sqrt{(\color{OliveGreen}{-7}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)}(\color{OliveGreen}{-15}\color{black}{)}}}{2(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)}} \\ &=\frac{7 \pm \sqrt{49+120}}{4} \\ &=\frac{7 \pm \sqrt{169}}{4} \\ &=\frac{7 \pm 13}{4} \end{aligned}$

Separe el “más o menos” en dos ecuaciones y simplifique aún más.

$x=\frac{7-13}{4}$o$x=\frac{7+13}{4} $
$x=\frac{-6}{4} \quad x=\frac{20}{4} $
$x=-\frac{3}{2} \quad x=5 $

Respuesta:

Las soluciones son$-\frac{3}{2}$ y$5$.

El ejemplo anterior se puede resolver factorizando de la siguiente manera:

$2 x^{2}-7 x-15=0 $
$(2 x+3)(x-5)=0 $

$\begin{aligned} 2 x+3 &=0 \quad \text { or } x-5=0 \\ 2 x &=-3 \quad x=5 \\ x &=-\frac{3}{2} \end{aligned}$

Por supuesto, si los factores de expresión cuadrática, entonces es una mejor práctica resolver la ecuación factorizando. Sin embargo, no todos los polinomios cuadráticos factorizan tan fácilmente. La fórmula cuadrática (Ecuación\ ref {quad}) nos proporciona un medio para resolver todas las ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo$\PageIndex{2}$:

Resuelve usando la fórmula cuadrática:$3 x^{2}+6 x-2=0$.

Solución

Comience por identificar$a,b$, y$c$.

$a=3 \quad b=6 \quad c=-2$

Sustituya estos valores en la fórmula cuadrática (Ecuación\ ref {quad}).

$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{6}\color{black}{)} \pm \sqrt{(\color{OliveGreen}{6}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{3}\color{black}{)}(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}}}{2(\color{OliveGreen}{3}\color{black}{)}} \\ &=\frac{-6 \pm \sqrt{36+24}}{6} \\ &=\frac{-6 \pm \sqrt{60}}{6} \end{aligned}$

En este punto vemos que$60 = 4 \times 15$ y así la fracción se puede simplificar aún más.

$\begin{aligned} &=\frac{-6 \pm \sqrt{60}}{6} \\ &=\frac{-6 \pm \sqrt{4 \times 15}}{6} \\ &=\frac{-6 \pm 2 \sqrt{15}}{6} \\ &=\frac{\cancel{2}(-3 \pm \sqrt{15})}{\cancel{6}} \\ &=\frac{-3 \pm \sqrt{15}}{3} \end{aligned}$

Es importante señalar que aquí hay dos soluciones:

$x=\frac{-3-\sqrt{15}}{3} \quad$o$\quad x=\frac{-3+\sqrt{15}}{3}$

Podemos usar$\pm$ para escribir las dos soluciones en una forma más compacta.

Respuesta:

Las soluciones son$\frac{-3 \pm \sqrt{15}}{3}$.

A veces faltan términos. Cuando este sea el caso,$0$ utilícelo como coeficiente.

Ejemplo$\PageIndex{3}$:

Resuelve usando la fórmula cuadrática:$x^{2}-45=0$

Solución

Esta ecuación es equivalente a

$1 x^{2}+0 x-45=0$

Y podemos usar los siguientes coeficientes:

$a=1 \quad b=0 \quad c=-45$

Sustituya estos valores en la fórmula cuadrática (Ecuación\ ref {quad}).

$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)} \pm \sqrt{(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}(\color{OliveGreen}{-45}\color{black}{)}}}{2 (\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}} \\ &=\frac{0 \pm \sqrt{0+180}}{2} \\ &=\frac{\pm \sqrt{36}}{2} \\ &=\frac{\pm \sqrt{36} \sqrt{5}}{2} \\ &=\frac{\pm 6 \sqrt{5}}{2} \\ &=\pm 3 \sqrt{5} \end{aligned}$

Desde el coeficiente de$x$ era$0$, podríamos haber resuelto esta ecuación extrayendo las raíces. Como ejercicio, resolverlo usando este método y verificar que los resultados son los mismos.

Respuesta:

Las soluciones son$\pm 3 \sqrt{5}$.

Muchas veces las soluciones a las ecuaciones cuadráticas no son reales.

Ejemplo$\PageIndex{4}$:

Resuelve usando la fórmula cuadrática:$x^{2}-4 x+29=0$.

Solución

Comience por identificar$a,b$, y$c$. Aquí

$a=1 \quad b=-4 \quad c=29$

Sustituya estos valores en la fórmula cuadrática (Ecuación\ ref {quad}) y luego simplifique.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{-4}\color{black}{)} \pm \sqrt{(\color{OliveGreen}{-4}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}(\color{OliveGreen}{29}\color{black}{)}}}{2 (\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}} \\ &=\frac{4 \pm \sqrt{16-116}}{2} \\ &=\frac{4 \pm \sqrt{-100}}{2} \quad\quad\color{Cerulean}{Negative\:radicand} \\ &=\frac{4 \pm 10 i}{2} \quad\quad\quad\color{Cerulean}{Two\:complex\:solutions}\\ &=\frac{4}{2} \pm \frac{10 i}{2} \\ &=2 \pm 5 i \end{aligned}$

Compruebe estas soluciones sustituyéndolas en la ecuación original.

Mesa$\PageIndex{1}$
Cheque$x=2-5 i$	Cheque$x=2+5 i$
$\begin{aligned} x^{2}-4 x+29 &=0 \\(\color{OliveGreen}{2-5 i}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{2-5 i}\color{black}{)}+29 &=0 \\ 4-20 i+25 i^{2}-8+20 i+29 &=0 \\ 25 i^{2}+25 &=0 \\ 25(-1)+25 &=0 \\-25+25 &=0 \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}$	$\begin{aligned} x^{2}-4 x+29 &=0 \\(\color{OliveGreen}{2+5 i}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{2+5 i}\color{black}{)}+29 &=0 \\ 4+20 i+25 i^{2}-8-20 i+29 &=0 \\ 25 i^{2}+25 &=0 \\ 25(-1)+25 &=0 \\-25+25 &=0 \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}$

Respuesta:

Las soluciones son 2$\pm 5 i$.

La ecuación no se puede dar en forma estándar. Los pasos generales para usar la fórmula cuadrática se describen en el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{5}$:

Resolver:$(5 x+1)(x-1)=x(x+1)$

Solución

Paso 1: Escribe la ecuación cuadrática en forma estándar, con cero en un lado del signo igual.

$\begin{aligned}(5 x+1)(x-1) &=x(x+1) \\ 5 x^{2}-5 x+x-1 &=x^{2}+x \\ 5 x^{2}-4 x-1 &=x^{2}+x \\ 4 x^{2}-5 x-1 &=0 \end{aligned}$

Paso 2: Identificar$a, b$, y$c$ para su uso en la fórmula cuadrática (Ecuación\ ref {quad}). Aquí

$a=4 \quad b=-5 \quad c=-1$

Paso 3: Sustituir los valores apropiados en la fórmula cuadrática (Ecuación\ ref {quad}) y luego simplificar.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{-5}\color{black}{)} \pm \sqrt{(\color{OliveGreen}{-5}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{4}\color{black}{)}(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}}}{2(\color{OliveGreen}{4}\color{black}{)}} \\ &=\frac{5 \pm \sqrt{25+16}}{8} \\ &=\frac{5 \pm \sqrt{41}}{8} \end{aligned}$

Respuesta:

La solución es$\frac{5 \pm \sqrt{41}}{8}$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Resolver:$(x+3)(x-5)=-19$

Contestar

$1 \pm i \sqrt{3}$

www.youtube.com/V/R78s_Kxusoy

El discriminante

Si se le da una ecuación cuadrática en forma estándar$ax^{2} + bx + c = 0$,$a, b$, donde, y$c$ son números reales y$a ≠ 0$, entonces las soluciones se pueden calcular usando la fórmula cuadrática:

\[x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \label{discriminant}\]

Como hemos visto, las soluciones pueden ser racionales, irracionales o complejas. Podemos determinar el número y tipo de soluciones mediante el estudio del discriminante ⁶, la expresión dentro del radical,$b^{2} − 4ac$. Si el valor de esta expresión es negativo, entonces la ecuación tiene dos soluciones complejas. Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales. Y si lo es el discriminante$0$, entonces la ecuación tiene una solución real, una doble raíz.

Ejemplo$\PageIndex{6}$:

Determine el tipo y número de soluciones:$2 x^{2}+x+3=0$

Solución

Comenzamos por identificar$a, b$, y$c$. Aquí

$a=2 \quad b=1 \quad c=3$

Sustituir estos valores en el discriminante (Ecuación\ ref {discriminante}) y simplificar.

$\begin{aligned} b^{2}-4 a c &=(1)^{2}-4(2)(3) \\ &=1-24 \\ &=-23 \end{aligned}$

Dado que el discriminante es negativo, concluimos que no hay soluciones reales. Son complejos.

Respuesta:

Las soluciones complejas.

Si usamos la fórmula cuadrática en el ejemplo anterior, encontramos que un radicando negativo introduce la unidad imaginaria y nos quedan dos soluciones complejas.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)} \pm \sqrt{\color{OliveGreen}{-23}}}{\color{black}{2(2)}} \\ &=\frac{-1 \pm i \sqrt{23}}{4} \\ &=-\frac{1}{4} \pm \frac{\sqrt{23}}{4} i \quad \color{Cerulean} { Two\: complex\: solutions } \end{aligned}$

Las soluciones irracionales y complejas de ecuaciones cuadráticas siempre aparecen en pares conjugados.

Ejemplo$\PageIndex{7}$:

Determinar el tipo y número de soluciones:$6 x^{2}-5 x-1=0$.

Solución

En este ejemplo,

$a=6 \quad b=-5 \quad c=-1$

Sustituir estos valores en el discriminante (Ecuación\ ref {discriminante}) y simplificar.

$\begin{aligned} b^{2}-4 a c &=(-5)^{2}-4(6)(-1) \\ &=25+24 \\ &=49 \end{aligned}$

Dado que el discriminante es positivo, concluimos que la ecuación tiene dos soluciones reales. Además, dado que el discriminante es un cuadrado perfecto, obtenemos dos soluciones racionales.

Respuesta:

Dos soluciones racionales

Debido a que el discriminante es un cuadrado perfecto, podríamos resolver la ecuación cuadrática anterior factorizando o usando la fórmula cuadrática.

Mesa$\PageIndex{2}$
Resolver factorizando:	Resuelve usando la fórmula cuadrática:
$\begin{aligned} 6 x^{2}-5 x-1 &=0 \\(6 x+1)(x-1) &=0 \end{aligned}$ $\begin{array}{rl}{6 x+1} & {=0 \quad \text { or } x-1=0} \\ {6 x=-1} & {x=1} \\ {x=-\frac{1}{6}}\end{array}$	$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(-5) \pm \sqrt{\color{Cerulean}{49}}}{\color{black}{2(6)}} \\ &=\frac{5 \pm 7}{12} \end{aligned}$ $\begin{array}{l}{x=\frac{5-7}{12}} & {\text { or } x=\frac{5+7}{12}} \\ {x=\frac{-2}{12}} & \quad\:\:{x=\frac{12}{12}} \\ {x=-\frac{1}{6}} &\quad\:\: {x=1}\end{array}$

Dada la condición especial donde se encuentra el discriminante$0$, obtenemos una sola solución, una doble raíz.

Ejemplo$\PageIndex{8}$:

Determinar el tipo y número de soluciones:$25 x^{2}-20 x+4=0$.

Solución

Aquí$a=25, b=-20$, y$c=4$, y tenemos (vía (Ecuación\ ref {discriminante}))

$\begin{aligned} b^{2}-4 a c &=(-20)^{2}-4(25)(4) \\ &=400-400 \\ &=0 \end{aligned}$

Dado que lo discriminante es$0$, concluimos que la ecuación tiene solo una solución real, una doble raíz.

Respuesta:

Una solución racional

Dado que$0$ es un cuadrado perfecto, podemos resolver la ecuación anterior factorizando.

$25 x^{2}-20 x+4=0 $
$(5 x-2)(5 x-2)=0 $

$5 x-2=0$o$5 x-2=0 $
$5 x=2 \quad 5 x=2 $
$x=\frac{2}{5} \quad x=\frac{2}{5} $

Aquí$\frac{2}{5}$ hay una solución que ocurre dos veces; es una raíz doble.

Ejemplo$\PageIndex{9}$:

Determinar el tipo y número de soluciones:$x^{2}-2 x-4=0$.

Solución

Aquí$a=1, b=-2$, y$c=-4$, y tenemos

\[\begin{aligned} b^{2}-4 a c &=(-2)^{2}-4(1)(-4) \\ &=4+16 \\ &=20 \end{aligned}\]

Dado que el discriminante es positivo, podemos concluir que la ecuación tiene dos soluciones reales. Además, al$20$ no ser un cuadrado perfecto, ambas soluciones son irracionales.

Contestar

Dos soluciones irracionales.

Si usamos la fórmula cuadrática en el ejemplo anterior, encontramos que un radicando positivo en la fórmula cuadrática conduce a dos soluciones reales.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(-2) \pm \sqrt{\color{OliveGreen}{20}}}{\color{black}{2(1)}} \quad\quad\color{Cerulean}{Positive\:discriminant}\\ &=\frac{2 \pm \sqrt{4 \times 5}}{2} \\ &=\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2} \\ &=\frac{\cancel{2}(1\pm\sqrt{5}}{\cancel{2}} \\ &=1 \pm \sqrt{5} \quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Two\:irrational\:solutions}\end{aligned}$

Dos soluciones reales son$1-\sqrt{5}$ y$1+\sqrt{5}$. Tenga en cuenta que estas soluciones son irracionales; podemos aproximar los valores con una calculadora.

$1-\sqrt{5} \approx-1.24$y$1+\sqrt{5} \approx 3.24$

En resumen, si se le da alguna ecuación cuadrática en forma estándar$a x^{2}+b x+c=0$,$a,b$, donde, y$c$ son números reales y$a \neq 0$, entonces tenemos lo siguiente:

Discriminante positivo:$b^{2}-4 a c>0$ Dos soluciones reales
Cero discriminante:$b^{2}-4 a c=0$ Una solución real
Discriminante negativo:$b^{2}-4 a c<0$ Dos soluciones complejas

Además, si el discriminante es no negativo y un cuadrado perfecto, entonces las soluciones a la ecuación son racionales; de lo contrario, son irracionales. Como veremos, conocer el número y el tipo de soluciones con anticipación nos ayuda a determinar qué método es el mejor para resolver una ecuación cuadrática.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Determinar el número y tipo de soluciones:$2 x^{2}=x-2$.

Contestar

Dos soluciones complejas.

www.youtube.com/V/KM05JHRG-VM

Claves para llevar

Podemos usar la fórmula cuadrática para resolver cualquier ecuación cuadrática en forma estándar.
Para resolver cualquier ecuación cuadrática, primero la reescribimos en forma estándar$ax^{2} + bx + c = 0$, sustituimos los coeficientes apropiados en la fórmula cuadrática$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$, y luego simplificamos.
Podemos determinar el número y tipo de soluciones a cualquier ecuación cuadrática en forma estándar utilizando el discriminante,$b^{2} − 4ac$. Si el valor de esta expresión es negativo, entonces la ecuación tiene dos soluciones complejas. Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales. Y si lo es el discriminante$0$, entonces la ecuación tiene una solución real, una doble raíz.
Podemos clasificar aún más las soluciones reales en números racionales o irracionales. Si el discriminante es un cuadrado perfecto, las raíces son racionales y la ecuación factorizará. Si el discriminante no es un cuadrado perfecto, las raíces son irracionales.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Identificar los coeficientes$a, b$, y$c$, utilizados en la fórmula cuadrática. No resuelva.

$x^{2}-x+3=0$
$5 x^{2}-2 x-8=0$
$4 x^{2}-9=0$
$x^{2}+3 x=0$
$-x^{2}+2 x-7=0$
$-2 x^{2}-5 x+2=0$
$p x^{2}-q x-1=0$
$p^{2} x^{2}-x+2 q=0$
$(x-5)^{2}=49$
$(2 x+1)^{2}=2 x-1$

Contestar

1. $a=1 ; b=-1 ; c=3$

3. $a=4 ; b=0 ; c=-9$

5. $a=-1 ; b=2 ; c=-7$

7. $a=p, b=-q ; c=-1$

9. $a=1 ; b=-10 ; c=-24$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Resuelve factorizando y luego resolviendo usando la fórmula cuadrática. Consulta las respuestas.

$x^{2}-6 x-16=0$
$x^{2}-3 x-18=0$
$2 x^{2}+7 x-4=0$
$3 x^{2}+5 x-2=0$
$4 y^{2}-9=0$
$9 y^{2}-25=0$
$5 t^{2}-6 t=0$
$t^{2}+6 t=0$
$-x^{2}+9 x-20=0$
$-2 x^{2}-3 x+5=0$
$16 y^{2}-24 y+9=0$
$4 y^{2}-20 y+25=0$

Contestar

1. $-2,8$

3. $-4, \frac{1}{2}$

5. $\pm \frac{3}{2}$

7. $0, \frac{6}{5}$

9. $4,5$

11. $\frac{3}{4}$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Resuelve extrayendo las raíces y luego resuelve usando la fórmula cuadrática. Consulta las respuestas.

$x^{2}-18=0$
$x^{2}-12=0$
$x^{2}+12=0$
$x^{2}+20=0$
$3 x^{2}+2=0$
$5 x^{2}+3=0$
$(x+2)^{2}+9=0$
$(x-4)^{2}+1=0$
$(2 x+1)^{2}-2=0$
$(3 x+1)^{2}-5=0$

Contestar

1. $\pm 3 \sqrt{2}$

3. $\pm 2 i \sqrt{3}$

5. $\pm \frac{i \sqrt{6}}{3}$

7. $-2 \pm 3 i$

9. $\frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Resuelve usando la fórmula cuadrática.

$x^{2}-5 x+1=0$
$x^{2}-7 x+2=0$
$x^{2}+8 x+5=0$
$x^{2}-4 x+2=0$
$y^{2}-2 y+10=0$
$y^{2}-4 y+13=0$
$2 x^{2}-10 x-1=0$
$2 x^{2}-4 x-3=0$
$3 x^{2}-x+2=0$
$4 x^{2}-3 x+1=0$
$5 u^{2}-2 u+1=0$
$8 u^{2}-20 u+13=0$
$-y^{2}+16 y-62=0$
$-y^{2}+14 y-46=0$
$-2 t^{2}+4 t+3=0$
$-4 t^{2}+8 t+1=0$
$\frac{1}{2} y^{2}+5 y+\frac{3}{2}=0$
$3 y^{2}+\frac{1}{2} y-\frac{1}{3}=0$
$2 x^{2}-\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=0$
$3 x^{2}-\frac{2}{3} x+\frac{1}{3}=0$
$1.2 x^{2}-0.5 x-3.2=0$
$0.4 x^{2}+2.3 x+1.1=0$
$2.5 x^{2}-x+3.6=0$
$-0.8 x^{2}+2.2 x-6.1=0$
$-2 y^{2}=3(y-1)$
$3 y^{2}=5(2 y-1)$
$(t+1)^{2}=2 t+7$
$(2 t-1)^{2}=73-4 t$
$(x+5)(x-1)=2 x+1$
$(x+7)(x-2)=3(x+1)$
$2 x(x-1)=-1$
$x(2 x+5)=3 x-5$
$3 t(t-2)+4=0$
$5 t(t-1)=t-4$
$(2 x+3)^{2}=16 x+4$
$(2 y+5)^{2}-12(y+1)=0$

Contestar

1. $\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$

3. $-4 \pm \sqrt{11}$

5. $1\pm 3 i$

7. $\frac{5 \pm 3 \sqrt{3}}{2}$

9. $\frac{1}{6} \pm \frac{\sqrt{23}}{6} i$

11. $\frac{1}{5} \pm \frac{2}{5} i$

13. $8\pm \sqrt{2}$

15. $\frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$

17. $-5 \pm \sqrt{22}$

19. $\frac{1}{8} \pm \frac{\sqrt{7}}{8} i$

21. $x \approx-1.4$o$x \approx 1.9$

23. $x \approx 0.2 \pm 1.2 i$

25. $\frac{-3 \pm \sqrt{33}}{4}$

27. $\pm \sqrt{6}$

29. $-1 \pm \sqrt{7}$

31. $\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} i$

33. $1\pm \frac{\sqrt{3}}{3} i$

35. $\frac{1}{2} \pm i$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Supongamos$p$ y$q$ son enteros distintos de cero y usa la fórmula cuadrática para resolver$x$.

$p x^{2}+x+1=0$
$x^{2}+p x+1=0$
$x^{2}+x-p=0$
$x^{2}+p x+q=0$
$p^{2} x^{2}+2 p x+1=0$
$x^{2}-2 q x+q^{2}=0$

Contestar

1. $x=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4 p}}{2 p}$

3. $x=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4 p}}{2}$

5. $x=-\frac{1}{p}$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Resuelve usando álgebra.

La altura en pies que alcanza un beisbol arrojado hacia arriba a una velocidad de$48$ pies por segundo desde el suelo viene dada por$\(h(t)=-16 t^{2}+48 t$\), donde$t$ representa el tiempo en segundos después de que se lanza la pelota. ¿A qué hora llega el beisbol a$24$ los pies? (Redondear a la décima de segundo más cercana.)
La altura en pies de un proyectil lanzado hacia arriba a una velocidad de$32$ pies por segundo desde una altura de$64$ pies viene dada por$\(h(t)=-16 t^{2}+32 t+64$\). ¿A qué hora después del lanzamiento el proyectil choca contra el suelo? (Redondear a la décima de segundo más cercana.)
El beneficio en dólares de ejecutar una línea de montaje que produce uniformes personalizados cada día viene dado por$\(P(t)=-40 t^{2}+960 t-4,000$\) donde$t$ representa el número de horas que la línea está en operación. Determinar el número de horas que debe funcionar la línea de montaje para obtener una ganancia de $$1,760$ por día.
Una empresa manufacturera ha determinado que el ingreso diario R en miles de dólares viene dado por$\(R(n)=12 n-0.6 n^{2}$\) donde$n$ representa el número de tarimas de producto vendido. Determinar el número de tarimas que deben venderse para mantener los ingresos en$60$ mil dólares diarios.
El área de un rectángulo es de pulgadas$10$ cuadradas. Si el largo es$3$ pulgadas más del doble de ancho, entonces encuentra las dimensiones del rectángulo. (Redondear a la centésima de pulgada más cercana.)
El área de un triángulo es de metros$2$ cuadrados. Si la base es$2$ metros menor que la altura, entonces encuentra la base y la altura. (Redondear a la centésima de metro más cercana.)
Para usar una escalera de manera segura, la base debe colocarse aproximadamente$\frac{1}{4}$ de la longitud de la escalera lejos de la pared. Si una escalera$32$ de pie se usa de manera segura, entonces ¿qué tan alto contra un edificio alcanza la parte superior de la escalera? (Redondear a la décima de pie más cercana.)
La longitud de un rectángulo es el doble de su ancho. Si la diagonal del rectángulo mide$10$ centímetros, entonces encuentra las dimensiones del rectángulo. (Redondear a la décima de centímetro más cercana.)
Suponiendo condiciones de carretera seca y tiempos de reacción promedio, la distancia de parada segura en pies de cierto automóvil viene dada por$d(x)=\frac{1}{20} x^{2}+x$ donde$x$ representa la velocidad del automóvil en millas por hora. Determine la velocidad segura del automóvil si espera detenerse en$50$ pies. (Redondear a la milla por hora más cercana.)
El ancho de un sólido rectangular es$2.2$ centímetros menor que su longitud y la profundidad mide$10$ centímetros.

Determinar el largo y ancho si el volumen total del sólido es de centímetros$268.8$ cúbicos.

11. Un ejecutivo viajó$25$ millas en un automóvil y luego otras$30$ millas en un helicóptero. Si el helicóptero era$10$ millas por hora menos del doble de rápido que el auto y el viaje total tardaba$1$ hora, entonces ¿cuál era la velocidad promedio del auto? (Redondear a la milla por hora más cercana.)

12. Joe puede pintar una habitación típica en$1.5$ horas menos tiempo que James. Si Joe y James pueden pintar$2$ habitaciones trabajando juntos en un turno$8$ de una hora, entonces ¿cuánto tiempo le toma a James pintar una habitación individual? (Redondear a la décima de hora más cercana.)

Contestar

1. $0.6$segundos y$2.4$ segundos

3. $12$horas

5. Largo:$6.22$ pulgadas; ancho;$1.61$ pulgadas

7. $31.0$pies

9. $23$millas por hora

11. $42$millas por hora

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Calcular el discriminante y utilizarlo para determinar el número y tipo de soluciones. No resuelva.

$x^{2}-x+1=0$
$x^{2}+2 x+3=0$
$x^{2}-2 x-3=0$
$x^{2}-5 x-5=0$
$3 x^{2}-1 x-2=0$
$3 x^{2}-1 x+2=0$
$9 y^{2}+2=0$
$9 y^{2}-2=0$
$2 x^{2}+3 x=0$
$4 x^{2}-5 x=0$
$\frac{1}{2} x^{2}-2 x+\frac{5}{2}=0$
$\frac{1}{2} x^{2}-x-\frac{1}{2}=0$
$-x^{2}-3 x+4=0$
$-x^{2}-5 x+3=0$
$25 t^{2}+30 t+9=0$
$9 t^{2}-12 t+4=0$

Contestar

1. $-3$; dos soluciones complejas

3. $16$; dos soluciones racionales

5. $25$; dos soluciones racionales

7. $−72$; dos soluciones complejas

9. $9$; dos soluciones racionales

11. $−1$; dos soluciones complejas

13. $25$; dos soluciones racionales

15. $0$; una solución racional

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Encuentra un entero distinto de cero$p$ para que las siguientes ecuaciones tengan una solución real. (Pista: Si el discriminante es cero, entonces habrá una solución real).

$p x^{2}-4 x-1=0$
$x^{2}-8 x+p=0$
$x^{2}+p x+25=0$
$x^{2}-2 x+p^{2}=0$

Contestar

1. $p=-4$

3. $p=\pm 10$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Cuando se habla de una ecuación cuadrática en forma estándar$ax^{2} + bx + c = 0$, ¿por qué es necesario afirmar eso$a ≠ 0$? ¿Qué pasaría si a es igual a cero?
Investigar y discutir la historia de la fórmula cuadrática y soluciones a ecuaciones cuadráticas.
Resuelve$mx^{2} + nx + p = 0$$x$ por completando la plaza.

Contestar

1. La respuesta puede variar

3. La respuesta puede variar

Notas al pie

⁵ La fórmula$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$, que da las soluciones a cualquier ecuación cuadrática en la forma estándar$ax^{2} + bx + c = 0$, donde$a, b$, y$c$ son números reales y$a ≠ 0$.

⁶ La expresión dentro del radical de la fórmula cuadrática,$b^{2} − 4ac$.

Cheque\(x=2-5 i\)	Cheque\(x=2+5 i\)
\(\begin{aligned} x^{2}-4 x+29 &=0 \\(\color{OliveGreen}{2-5 i}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{2-5 i}\color{black}{)}+29 &=0 \\ 4-20 i+25 i^{2}-8+20 i+29 &=0 \\ 25 i^{2}+25 &=0 \\ 25(-1)+25 &=0 \\-25+25 &=0 \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} x^{2}-4 x+29 &=0 \\(\color{OliveGreen}{2+5 i}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{2+5 i}\color{black}{)}+29 &=0 \\ 4+20 i+25 i^{2}-8-20 i+29 &=0 \\ 25 i^{2}+25 &=0 \\ 25(-1)+25 &=0 \\-25+25 &=0 \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

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