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6.E: Resolviendo Ecuaciones y Desigualdades (Ejercicios)

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    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Resuelve extrayendo las raíces.

    1. \(x^{2}-81=0\)
    2. \(y^{2}-\frac{1}{4}=0\)
    3. \(9 x^{2}-8=0\)
    4. \(5 x^{2}-12=0\)
    5. \(2 y^{2}-7=0\)
    6. \(3 y^{2}-6=0\)
    7. \((2 x-3)^{2}-16=0\)
    8. \(4(x-1)^{2}-5=0\)
    9. \(9(x-3)^{2}+4=0\)
    10. \(5(2 x+1)^{2}+1=0\)
    11. \(2 x^{2}+10=0\)
    12. \(x^{2}+64=0\)
    13. La altura en pies de un objeto caído desde una escalera de\(20\) tijera -foot viene dada por\(h (t) = −16t^{2} + 20\) donde\(t\) representa el tiempo en segundos después de que el objeto ha sido caído. ¿Cuánto tiempo tarda el objeto en chocar contra el suelo después de que se le ha caído? Redondear a la décima de segundo más cercana.
    14. Una escalera\(20\) de pie, apoyada contra un edificio, alcanza una altura de\(19\) pies. ¿A qué distancia está la base de la escalera de la pared? Redondear a la décima de pie más cercana.
    Contestar

    1. \(\pm 9\)

    3. \(\pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}\)

    5. \(\pm \frac{\sqrt{14}}{2}\)

    7. \(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\)

    9. \(3\pm \frac{2}{3} i\)

    11. \(\pm i \sqrt{5}\)

    13. \(1.1\)segundos

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Resuelve completando la plaza.

    1. \(x^{2}+4 x-5=0\)
    2. \(x^{2}+2 x-17=0\)
    3. \(x^{2}-4 x+1=0\)
    4. \(x^{2}-6 x-2=0\)
    5. \(x^{2}-3 x-1=0\)
    6. \(x^{2}+5 x-6=0\)
    7. \(x^{2}+x-2=0\)
    8. \(x^{2}-x-4=0\)
    9. \(5 x^{2}-10 x+1=0\)
    10. \(4 x^{2}+8 x-3=0\)
    11. \(2 x^{2}-6 x+1=0\)
    12. \(3 x^{2}+10 x+6=0\)
    13. \(x^{2}-x+3=0\)
    14. \(2 x^{2}+6 x+5=0\)
    15. \(x(x+9)+10=5 x+2\)
    16. \((2 x+5)(x+2)=8 x+7\)
    Contestar

    1. \(-5,1\)

    3. \(2\pm \sqrt{3}\)

    5. \(\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\)

    7. \(-2,1\)

    9. \(\frac{5 \pm 2 \sqrt{5}}{5}\)

    11. \(\frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}\)

    13. \(\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{11}}{2} i\)

    15. \(-2 \pm 2 i\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Resuelve usando la fórmula cuadrática.

    1. \(2 x^{2}-x-6=0\)
    2. \(3 x^{2}+x-4=0\)
    3. \(9 x^{2}+12 x+2=0\)
    4. \(25 x^{2}-10 x-1=0\)
    5. \(-x^{2}+8 x-2=0\)
    6. \(-x^{2}-x+1=0\)
    7. \(5-2 x-x^{2}=0\)
    8. \(2+4 x-3 x^{2}=0\)
    9. \(3 x^{2}-2 x+4=0\)
    10. \(7 x^{2}-x+1=0\)
    11. \(-x^{2}+2 x-6=0\)
    12. \(-3 x^{2}+4 x-2=0\)
    13. \(36 x^{2}+60 x+25=0\)
    14. \(72 x^{2}+54 x-35=0\)
    15. \(1.3 x^{2}-2.8 x-4.2=0\)
    16. \(5.5 x^{2}-4.1 x+2.2=0\)
    17. \((x+2)^{2}-3 x=4\)
    18. \((3 x+1)^{2}-6=6 x-3\)
    19. La altura en pies de una pelota de béisbol lanzada hacia arriba a una velocidad de\(48\) pies por segundo desde el suelo viene dada por la función\(h (t) = −16t^{2} + 48t\), donde\(t\) representa el tiempo en segundos después de que se lanza la pelota. ¿A qué hora llega el beisbol a una altura de\(18\) pies? Redondear a la centésima de segundo más cercana.
    20. La altura en pies que alcanza un cohete modelo lanzado desde una plataforma de\(3\) -pie viene dada por la función\(h(t) = −16t^{2} + 256t + 3\) donde\(t\) representa el tiempo en segundos después del lanzamiento. ¿A qué horas llegará el cohete a\(1,000\) los pies? Redondear a la décima de segundo más cercana.
    Contestar

    1. \(-\frac{3}{2}, 2\)

    3. \(\frac{-2 \pm \sqrt{2}}{3}\)

    5. \(4\pm \sqrt{14}\)

    7. \(-1 \pm \sqrt{6}\)

    9. \(\frac{1}{3} \pm \frac{\sqrt{11}}{3} i\)

    11. \(1\pm i \sqrt{5}\)

    13. \(-\frac{5}{6}\)

    15. \(x \approx-1.0, x \approx 3.2\)

    17. \(-1,0\)

    19. El balón llegará a\(18\) pies a los\(0.44\) segundos y nuevamente a los\(2.56\) segundos.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Utilizar el discriminante para determinar el número y tipo de soluciones.

    1. \(-x^{2}+6 x+1=0\)
    2. \(-x^{2}+x-3=0\)
    3. \(4 x^{2}-4 x+1=0\)
    4. \(16 x^{2}-9=0\)
    Contestar

    1. Dos soluciones irracionales

    3. Una solución racional

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Resuelve usando cualquier método.

    1. \(x^{2}-4 x-96=0\)
    2. \(25 x^{2}+x=0\)
    3. \(25 t^{2}-1=0\)
    4. \(t^{2}+25=0\)
    5. \(y^{2}-y-7=0\)
    6. \(5 y^{2}-25 y=0\)
    7. \(2 x^{2}-9=0\)
    8. \(25 x^{2}-10 x+1=0\)
    9. \((2 x+5)^{2}-9=0\)
    10. \((x-2)(x-5)=5\)
    11. La longitud de un rectángulo es\(3\) pulgadas menos que dos veces el ancho. Si el área del rectángulo mide pulgadas\(30\) cuadradas, entonces encuentra las dimensiones del rectángulo. Redondear a la centésima de pulgada más cercana.
    12. El valor en dólares de un auto nuevo es modelado por la función\(V (t) = 125t^{2} − 2,500t + 18,000\) donde\(t\) representa el número de años desde que fue comprado. Determinar la antigüedad del automóvil cuando su valor es $\(18,000\).
    Contestar

    1. \(-8,12\)

    3. \(\pm \frac{1}{5}\)

    5. \(\frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}\)

    7. \(\pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}\)

    9. \(-4,-1\)

    11. Largo:\(6.38\) pulgadas; ancho:\(4.69\) pulgadas

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Encuentra todas las soluciones.

    1. \(x^{4}-16 x^{2}+48=0\)
    2. \(x^{2 / 3}-x^{1 / 3}-20=0\)
    3. \(x^{-2}-5 x^{-1}-50=0\)
    4. \(\left(\frac{t+3}{t}\right)^{2}+11\left(\frac{t+3}{t}\right)-12=0\)
    5. \(x+2 \sqrt{x}-24=0\)
    6. \(2 x^{1 / 2}-3 x^{1 / 4}+1=0\)
    7. \(4\left(\frac{1}{x+1}\right)^{2}-4\left(\frac{1}{x+1}\right)-3=0\)
    8. \(5 t^{-2}-27 t^{-1}-18=0\)
    9. \(3 x^{2 / 3}-5 x^{1 / 3}+2=0\)
    10. \(4 x+4 \sqrt{x}+1=0\)
    11. \(16 y^{4}-25=0\)
    12. \(x^{-2}-64=0\)
    Contestar

    1. \(\pm 2, \pm 2 \sqrt{3}\)

    3. \(-\frac{1}{5}, \frac{1}{10}\)

    5. \(16\)

    7. \(-3,-\frac{1}{3}\)

    9. \(1, \frac{8}{27}\)

    11. \(\pm \frac{\sqrt{5}}{2}, \pm \frac{\sqrt{5}}{2} i\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Encuentra el conjunto de todas las raíces.

    1. \(f(x)=x^{2}-50\)
    2. \(f(x)=x^{3}-64\)
    3. \(f(x)=x^{4}-81\)
    4. \(f(x)=x^{4}+8 x\)
    Contestar

    1. \(\{\pm 5 \sqrt{2}\}\)

    3. \(\{\pm 3, \pm 3 i\}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Encuentra una ecuación cuadrática con coeficientes enteros y el conjunto dado de soluciones.

    1. \(\left\{\frac{4}{3},-\frac{1}{2}\right\}\)
    2. \(\{\pm \sqrt{5}\}\)
    3. \(\{\pm 4 \sqrt{2}\}\)
    4. \(\{\pm 6 i\}\)
    5. \(\{2 \pm i\}\)
    6. \(\{3 \pm \sqrt{5}\}\)
    Contestar

    1. \(6 x^{2}-5 x-4=0\)

    3. \(x^{2}-32=0\)

    5. \(x^{2}-4 x+5=0\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Determinar las\(x\) - y\(y\) -intercepciones.

    1. \(y=2 x^{2}+5 x-12\)
    2. \(y=x^{2}-18\)
    3. \(y=x^{2}+4 x+7\)
    4. \(y=-9 x^{2}+12 x-4\)
    Contestar

    1. \(x\)-intercepta:\((−4, 0), ( \frac{3}{2} , 0)\);\(y\) -interceptar:\((0, −12)\)

    3. \(x\)-intercepta: ninguno;\(y\) -interceptar:\((0, 7)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Encuentra el vértice y la línea de simetría.

    1. \(y=x^{2}-4 x-12\)
    2. \(y=-x^{2}+8 x-1\)
    3. \(y=x^{2}+3 x-1\)
    4. \(y=4 x^{2}-1\)
    Contestar

    1. Vértice:\((2, −16)\); línea de simetría:\(x = 2\)

    3. Vértice:\((−\frac{3}{2} , −\frac{13}{4} )\); línea de simetría:\(x = −\frac{3}{2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Gráfica. Encuentra el vértice y la\(y\) -intercepción. Además, encuentra los\(x\) -interceptos si existen.

    1. \(y=x^{2}+8 x+12\)
    2. \(y=-x^{2}-6 x+7\)
    3. \(y=-2 x^{2}-4\)
    4. \(y=x^{2}+4 x\)
    5. \(y=4 x^{2}-4 x+1\)
    6. \(y=-2 x^{2}\)
    7. \(y=-2 x^{2}+8 x-7\)
    8. \(y=3 x^{2}-1\)
    Contestar

    1.

    Figura 6.E.1

    3.

    Figura 6.E.2

    5.

    Figura 6.E.3

    7.

    Figura 6.E.4

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Determinar el\(y\) valor máximo o mínimo.

    1. \(y=x^{2}-10 x+1\)
    2. \(y=-x^{2}+10 x-1\)
    3. \(y=-3 x^{2}+2 x-1\)
    4. \(y=2 x^{2}-x+2\)
    Contestar

    1. Mínimo:\(y = −24\)

    3. Máximo:\(y = −\frac{2}{3}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Reescribe en forma de vértice\(y = a(x − h)^{2} + k\) y determina el vértice.

    1. \(y=x^{2}-6 x+13\)
    2. \(y=x^{2}+10 x+24\)
    3. \(y=2 x^{2}-4 x-1\)
    4. \(y=-x^{2}-8 x-11\)
    Contestar

    1. \(y=(x-3)^{2}+4\); vértice:\((3,4)\)

    3. \(y=2(x-1)^{2}-3\); vértice:\((1,-3)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Gráfica. Encuentra el vértice y la\(y\) -intercepción. Además, encuentra los\(x\) -interceptos si existen.

    1. \(f(x)=(x-4)^{2}-2\)
    2. \(f(x)=-(x+6)^{2}+4\)
    3. \(f(x)=-x^{2}+10\)
    4. \(f(x)=(x+10)^{2}-20\)
    5. \(f(x)=2(x-1)^{2}-3\)
    6. \(f(x)=-3(x+1)^{2}-2\)
    7. El valor en dólares de un auto nuevo se modela por\(V (t) = 125t^{2} − 3,000t + 22,000\) donde\(t\) representa el número de años desde que fue comprado. Determinar la antigüedad del automóvil cuando su valor esté en un mínimo.
    8. La altura en pies de una pelota de béisbol lanzada hacia arriba a una velocidad de\(48\) pies por segundo desde el suelo viene dada por la función\(h (t) = −16t^{2} + 32t\), donde\(t\) representa el tiempo en segundos después de que se lanza. ¿Cuál es la altura máxima del beisbol?
    9. El área rectangular en pies cuadrados que se puede encerrar con\(200\) pies de cercado viene dada por\(A (w) = w (100 − w)\) donde\(w\) representa el ancho del área rectangular en pies. ¿Qué dimensiones maximizarán el área que se puede encerrar?
    10. Una empresa manufacturera ha encontrado que los costos de producción en miles de dólares están modelados por\(C (x) = 0.4x^{2} − 72x + 8,050\) donde\(x\) representa el número de empleados. Determinar el número de empleados que minimizarán los costos de producción.
    Contestar

    1.

    Figura 6.E.5

    3.

    Figura 6.E.6

    5.

    Figura 6.E.7

    7. El auto tendrá valor mínimo\(12\) years after it is purchased.

    9. Largo:\(50\) feet; width: \(50\) feet

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    Resolver. Presentar respuestas usando notación de intervalos.

    1. \(-2(x-1)(x+3)<0\)
    2. \(x^{2}+2 x-35<0\)
    3. \(x^{2}-6 x-16 \leq 0\)
    4. \(x^{2}+14 x+40 \geq 0\)
    5. \(x^{2}-10 x-24>0\)
    6. \(36-x^{2}>0\)
    7. \(1-9 x^{2}<0\)
    8. \(8 x-12 x^{2} \leq 0\)
    9. \(5 x^{2}+3 \leq 0\)
    10. \(x^{2}-28 \geq 0\)
    11. \(9 x^{2}-30 x+25 \leq 0\)
    12. \(x^{2}-8 x+18>0\)
    13. \(x^{2}-2 x-4<0\)
    14. \(-x^{2}+3 x+18>0\)
    Contestar

    1. \((-\infty,-3) \cup(1, \infty)\)

    3. \([-2,8]\)

    5. \((-\infty,-2) \cup(12, \infty)\)

    7. \(\left(-\infty,-\frac{1}{3}\right) \cup\left(\frac{1}{3}, \infty\right)\)

    9. \(\varnothing\)

    11. \(\frac{5}{3}\)

    13. \((1-\sqrt{5}, 1+\sqrt{5})\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    Encuentra el dominio de la función.

    1. \(f(x)=\sqrt{x^{2}-100}\)
    2. \(f(x)=\sqrt{3 x-6 x^{2}}\)
    3. \(g(x)=\sqrt{3 x^{2}+9}\)
    4. \(g(x)=\sqrt{8+2 x-x^{2}}\)
    Contestar

    1. \((-\infty,-10] \cup[10, \infty)\)

    3. \((-\infty, \infty)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    Resolver. Presentar respuestas usando notación de intervalos.

    1. \(x(x-5)(x+2)>0\)
    2. \((x+4)^{2}(x-3)<0\)
    3. \(x^{2}(x+3) \geq 0\)
    4. \(x(x-1)^{2} \leq 0\)
    5. \(x^{3}+4 x^{2}-9 x-36>0\)
    6. \(2 x(4 x-1) \geq 3\)
    7. \(4 x^{3}-12 x^{2}+9 x<0\)
    8. \(x^{3}-9 x^{2}+20 x \geq 0\)
    9. \(x^{3}-2 x^{2}-x+2<0\)
    10. \(6 x(x+1)+5 x \leq 35\)
    11. \(\frac{(x-2)(2 x+1)}{x(x-1)} \leq 0\)
    12. \(\frac{x(x-3)^{2}}{x-4} \leq 0\)
    13. \(\frac{x^{2}+4 x+4}{4 x^{2}-1}<0\)
    14. \(\frac{x^{2}-10 x+24}{x^{2}+10 x+25}>0\)
    15. \(\frac{1}{x-2}+\frac{3}{x} \geq 0\)
    16. \(\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1} \leq 0\)
    17. \(\frac{3(x+1)}{x^{2}+2 x-3} \leq \frac{2}{x-1}\)
    18. \(\frac{x-4}{x+5} \geq \frac{x-2}{x-5}\)
    Contestar

    1. \((-2,0) \cup(5, \infty)\)

    3. \([-3, \infty)\)

    5. \((-4,-3) \cup(3, \infty)\)

    7. \((-\infty, 0)\)

    9. \((-\infty,-1) \cup(1,2)\)

    11. \(\left[-\frac{1}{2}, 0\right) \cup(1,2]\)

    13. \(\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\)

    15. \(\left(0, \frac{3}{2}\right] \cup(2, \infty)\)

    17. \((-\infty,-3) \cup(1,3]\)

    Examen de muestra

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    1. Resuelve extrayendo las raíces:\(2 x^{2}-5=0\).
    2. Resuelve completando la plaza:\(x^{2}-16 x+1=0\).
    Contestar

    1. \(\pm \frac{\sqrt{10}}{2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    Resuelve usando la fórmula cuadrática.

    1. \(x^{2}+x+1=0\)
    2. \(2 x^{2}-x-4=0\)
    3. \(-4 x^{2}+2 x-1=0\)
    4. \((x-4)(x-2)=6\)
    Contestar

    1. \(-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i\)

    3. \(\frac{1}{4} \pm \frac{\sqrt{3}}{4} i\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    1. Encuentra una ecuación cuadrática con coeficientes enteros y soluciones\(\{\pm \sqrt{5}\}\).
    2. El área de un rectángulo es de centímetros\(22\) cuadrados. Si la longitud es\(5\) centímetros menor que el doble del ancho, entonces encuentra las dimensiones del rectángulo. Redondear a la décima de centímetro más cercana.
    3. Suponiendo condiciones de carretera seca y tiempos de reacción promedio, la distancia de parada segura en pies de cierto automóvil viene dada por\(d(x)=\frac{1}{20} x^{2}+x\) donde\(x\) representa la velocidad del automóvil en millas por hora. Determine la velocidad segura del automóvil si espera detenerse en\(100\) pies. Redondear a la milla por hora más cercana.
    Contestar

    1. \(x^{2}-5=0\)

    9. \(36\)millas por hora

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    Encuentra todas las soluciones.

    1. \(x^{4}+x^{2}-12=0\)
    2. \(3 x^{-2}-5 x^{-1}-2=0\)
    3. \(2 x^{2 / 3}+3 x^{1 / 3}-2=0\)
    4. \(x-3 \sqrt{x}-4=0\)
    5. \(\left(\frac{t}{t+1}\right)^{2}+4\left(\frac{t}{t+1}\right)-12=0\)
    Contestar

    2. \(-3, \frac{1}{2}\)

    4. \(16\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    Gráfica. Encuentra el vértice y la\(y\) -intercepción. Además, encuentra los\(x\) -interceptos si existen.

    1. \(f(x)=x^{2}+4 x-12\)
    2. \(f(x)=-x^{2}+2 x+3\)
    Contestar

    1.

    Figura 6.E.8

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    1. Dada la función definida por\(y = 3x^{2} − 6x − 5\):
      1. ¿La función tiene un mínimo o máximo? Explique.
      2. Encuentra el\(y\) valor mínimo o máximo.
    2. La altura en pies de un cohete de agua lanzado desde el suelo viene dada por la función\(h (t) = −16t^{2} + 96t\) donde\(t\) representa el número de segundos después del lanzamiento. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el cohete?
    Contestar

    1. (1) Mínimo (2)\(y=-8\)

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

    Esboce la gráfica y utilízala para resolver la desigualdad dada.

    1. Grafica\(f(x)=(x+1)^{2}-4\) y encuentra\(x\) dónde\(f(x) \geq 0\).
    2. Grafica\(f(x)=-x^{2}+4\) y encuentra\(x\) dónde\(f(x) \geq 0\).
    Contestar

    1. \((-\infty,-3] \cup[1, \infty)\)

    Figura 6.E.9

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    Resolver. Presentar respuestas usando notación de intervalos.

    1. \(x^{2}-2 x-15<0\)
    2. \(x(2 x-1)>10\)
    3. \(x(x+3)(x-2)^{2} \leq 0\)
    4. \(\frac{x^{2}-10 x+25}{x+1} \geq 0\)
    5. \(\frac{x^{2}-5 x+4}{x^{2}+x} \leq 0\)
    Contestar

    1. \((-3,5)\)

    3. \([-3,0] \cup\{2\}\)

    5. \((-1,0) \cup[1,4]\)

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