9.2: Secuencias aritméticas y series

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Objetivos de aprendizaje

Identificar la diferencia común de una secuencia aritmética.
Encuentra una fórmula para el término general de una secuencia aritmética.
Calcular la$n$ ésima suma parcial de una secuencia aritmética.

Secuencias Aritméticas

Una secuencia aritmética ¹², o progresión aritmética ¹³, es una secuencia de números donde cada número sucesivo es la suma del número anterior y alguna constante$d$.

$a_{n}=a_{n-1}+d \quad\color{Cerulean}{Arithmetic\:sequence}$

Y porque$a_{n}-a_{n-1}=d$, a la constante$d$ se le llama la diferencia común ¹⁴. Por ejemplo, la secuencia de enteros impares positivos es una secuencia aritmética,

$1,3,5,7,9, \ldots$

Aquí$a_{1} = 1$ y la diferencia entre dos términos sucesivos cualesquiera es$2$. Podemos construir el término general$a_{n}=a_{n-1}+2$ donde,

$a_{1}=1$
$a_{2}=a_{1}+2=1+2=3$
$a_{3}=a_{2}+2=3+2=5$
$a_{4}=a_{3}+2=5+2=7$
$a_{5}=a_{4}+2=7+2=9$
$\vdots$

En general, dado el primer término$a_{1}$ de una secuencia aritmética y su diferencia común$d$, podemos escribir lo siguiente:

$\begin{array}{l}{a_{2}=a_{1}+d} \\ {a_{3}=a_{2}+d=\left(a_{1}+d\right)+d=a_{1}+2 d} \\ {a_{4}=a_{3}+d=\left(a_{1}+2 d\right)+d=a_{1}+3 d} \\ {a_{5}=a_{4}+d=\left(a_{1}+3 d\right)+d=a_{1}+4 d} \\ {\quad\:\:\vdots}\end{array}$

De esto vemos que cualquier secuencia aritmética puede escribirse en términos de su primer elemento, diferencia común e índice de la siguiente manera:

$a_{n}=a_{1}+(n-1) d \quad\color{Cerulean}{Arithmetic\:Sequence}$

De hecho, cualquier término general que sea lineal en$n$ define una secuencia aritmética.

Ejemplo$\PageIndex{1}$:

Encuentre una ecuación para el término general de la secuencia aritmética dada y úsela para calcular su$100^{th}$ término:$7, 10, 13, 16, 19, …$

Solución

Comience por encontrar la diferencia común,

$d=10-7=3$

Tenga en cuenta que la diferencia entre dos términos sucesivos cualesquiera es$3$. La secuencia es de hecho una progresión aritmética donde$a_{1} = 7$ y$d = 3$.

$\begin{aligned} a_{n} &=a_{1}+(n-1) d \\ &=7+(n-1) \cdot 3 \\ &=7+3 n-3 \\ &=3 n+4 \end{aligned}$

Por lo tanto, podemos escribir el término general$a_{n} = 3n + 4$. Tómese un minuto para verificar que esta ecuación describe la secuencia dada. Usa esta ecuación para encontrar el$100^{th}$ término:

$a_{100}=3(100)+4=304$

Respuesta:

$a_{n}=3 n+4 ; a_{100}=304$

La diferencia común de una secuencia aritmética puede ser negativa.

Ejemplo$\PageIndex{2}$:

Encuentre una ecuación para el término general de la secuencia aritmética dada y úsela para calcular su$75^{th}$ término:$6, 4, 2, 0, −2, …$

Solución

Comience por encontrar la diferencia común,

$d=4-6=-2$

A continuación encuentra la fórmula para el término general, aquí$a_{1} = 6$ y$d = −2$.

$\begin{aligned} a_{n} &=a_{1}+(n-1) d \\ &=6+(n-1) \cdot(-2) \\ &=6-2 n+2 \\ &=8-2 n \end{aligned}$

Por lo tanto,$a_{n} = 8 − 2n$ y el$75^{th}$ término se puede calcular de la siguiente manera:

$\begin{aligned} a_{75} &=8-2(75) \\ &=8-150 \\ &=-142 \end{aligned}$

Respuesta:

$a_{n}=8-2 n ; a_{100}=-142$

Los términos entre términos dados de una secuencia aritmética se denominan medias aritméticas ¹⁵.

Ejemplo$\PageIndex{3}$:

Encuentra todos los términos intermedios$a_{1}=-8$ y$a_{7} = 10$ de una secuencia aritmética. En otras palabras, encontrar todas las medias aritméticas entre los$7^{th}$ términos$1^{st}$ y.

Solución

Comience por encontrar la diferencia común$d$. En este caso, se nos da el primer y séptimo término:

$\begin{array}{l}{a_{n}=a_{1}+(n-1) d\quad \color{Cerulean} { Use \: n=7.}} \\ {a_{7}=a_{1}+(7-1) d} \\ {a_{7}=a_{1}+6 d}\end{array}$

Sustituir$a_{1} = −8$ y$a_{7} = 10$ en la ecuación anterior y luego resolver la diferencia común$d$.

$\begin{aligned} 10 &=-8+6 d \\ 18 &=6 d \\ 3 &=d \end{aligned}$

A continuación, utilice el primer término$a_{1} = −8$ y la diferencia común$d = 3$ para encontrar una ecuación para el término$n$ th de la secuencia.

$\begin{aligned} a_{n} &=-8+(n-1) \cdot 3 \\ &=-8+3 n-3 \\ &=-11+3 n \end{aligned}$

Con$a_{n} = 3n − 11$, donde$n$ es un entero positivo, encuentra los términos que faltan.

$ \left. \begin{aligned} a_{1}&=3(1)-11=3-11=-8\\ a_{2} &=3(2)-11=6-11=-5 \\ a_{3} &=3(3)-11=9-11=-2 \\ a_{4} &=3(4)-11=12-11=1 \\ a_{5} &=3(5)-11=15-11=4 \\ a_{6} &=3(6)-11=18-11=7 \\ a_{7}&=3(7)-11=21-111=10 \end{aligned} \right\} \color{Cerulean}{arithmetic\:means}$

Respuesta:

$-5,-2,1,4,7$

En algunos casos, es posible que no se dé el primer término de una secuencia aritmética.

Ejemplo$\PageIndex{4}$:

Encuentra el término general de una secuencia aritmética donde$a_{3} = −1$ y$a_{10} = 48$.

Solución

Para determinar una fórmula para el término general necesitamos$a_{1}$ y$d$. Se puede formar un sistema lineal con estas variables utilizando la información dada y$a_{n}=a_{1}+(n-1) d$:

$\left\{\begin{array}{c}{a_{3}=a_{1}+(3-1) d} \\ {a_{10}=a_{1}+(10-1) d}\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{-1=a_{1}+2 d \quad\color{Cerulean}{Use \:a_{3}=-1.}} \\ {48=a_{1}+9 d\quad\:\color{Cerulean}{Use\: a_{10}=48.}}\end{array}\right.$

Elimine$a_{1}$ multiplicando la primera ecuación por$−1$ y agregue el resultado a la segunda ecuación.

$\left\{\begin{array}{l}{-1=a_{1}+2 d} \\ {48=a_{1}+9 d}\end{array}\right. \quad\stackrel{\color{Cerulean}{x(-1)}}{\Longrightarrow} \color{black}{+} \left\{\begin{array}{l} {1=-a_{1}-2d} \\ {48=a_{1}+9d} \end{array}\right. \\ $

$\begin{aligned} 49 &=7 d \\ 7 &=d \end{aligned}$

Sustituir$d = 7$ en$−1 = a_{1} + 2d$ para encontrar$a_{1}$.

$-1=a_{1}+2(7)$
$-1=a_{1}+14$
$-15=a_{1}$

A continuación, utilice el primer término$a_{1} = −15$ y la diferencia común$d = 7$ para encontrar una fórmula para el término general.

$\begin{aligned} a_{n} &=a_{1}+(n-1) d \\ &=-15+(n-1) \cdot 7 \\ &=-15+7 n-7 \\ &=-22+7 n \end{aligned}$

Respuesta:

$a_{n}=7 n-22$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Encuentre una ecuación para el término general de la secuencia aritmética dada y úsela para calcular su$100^{th}$ término:$\frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, \dots$

Contestar

$a_{n}=\frac{1}{2} n+1; a_{100}=51$

www.youtube.com/V/_Ovjvvktkpq

Serie Aritmética

Una serie aritmética ¹⁶ es la suma de los términos de una secuencia aritmética. Por ejemplo, la suma de los primeros$5$ términos de la secuencia definida por$a_{n} = 2n − 1$ lo siguiente:

$\begin{aligned} S_{5} &=\sum_{n=1}^{5}(2 n-1) \\ &=[2(\color{Cerulean}{1}\color{black}{)}-1]+[2(\color{Cerulean}{2}\color{black}{)}-1]+[2(\color{Cerulean}{3}\color{black}{)}-1]+[2(\color{Cerulean}{4}\color{black}{)}-1]+[2(\color{Cerulean}{5}\color{black}{)}-1] \\ &=1+3+5+7+9 \\ &=25 \end{aligned}$

Sumando enteros impares$5$ positivos, como hemos hecho anteriormente, es manejable. Sin embargo, considere agregar los primeros enteros impares$100$ positivos. Esto sería muy tedioso. Por lo tanto, a continuación desarrollamos una fórmula que se puede utilizar para calcular la suma de los primeros$n$ términos, denotados$S_{n}$, de cualquier secuencia aritmética. En general,

$S_{n}=a_{1}+\left(a_{1}+d\right)+\left(a_{1}+2 d\right)+\ldots+a_{n}$

Escribiendo esta serie a la inversa tenemos,

$S_{n}=a_{n}+\left(a_{n}-d\right)+\left(a_{n}-2 d\right)+\ldots+a_{1}$

Y sumando estas dos ecuaciones juntas, los términos que implican$d$ sumar a cero y obtenemos$n$ factores de$a_{1} + a_{n}$:

$2 S_{n}=\left(a_{1}+a_{n}\right)+\left(a_{1}+a_{n}\right)+\ldots+\left(a_{n}+a_{1}\right)$
$2 S_{n}=n\left(a_{1}+a_{n}\right)$

Dividir ambos lados por nos$2$ lleva a la fórmula para la$n$ ésima suma parcial de una secuencia aritmética ¹⁷:

$S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}$

Utilice esta fórmula para calcular la suma de los primeros$100$ términos de la secuencia definida por$a_{n} = 2n − 1$. Aquí$a_{1} = 1$ y$a_{100} = 199$.

$\begin{aligned} S_{100} &=\frac{100\left(a_{1}+a_{100}\right)}{2} \\ &=\frac{100(1+199)}{2} \\ &=10,000 \end{aligned}$

Ejemplo$\PageIndex{5}$:

Encuentra la suma de los primeros$50$ términos de la secuencia dada:$4,9,14,19,24, \dots$

Solución

Determinar si existe o no una diferencia común entre los términos dados.

$d=9-4=5$

Tenga en cuenta que la diferencia entre dos términos sucesivos cualesquiera es$5$. La secuencia es de hecho una progresión aritmética y podemos escribir

$\begin{aligned} a_{n} &=a_{1}+(n-1) d \\ &=4+(n-1) \cdot 5 \\ &=4+5 n-5 \\ &=5 n-1 \end{aligned}$

Por lo tanto, el término general es$a_{n} = 5n − 1$. Para calcular la suma$50^{th}$ parcial de esta secuencia necesitamos los$1^{st}$ y los$50^{th}$ términos:

$\begin{aligned} a_{1} &=4 \\ a_{50} &=5(50)-1=249 \end{aligned}$

A continuación usa la fórmula para determinar la suma$50^{th}$ parcial de la secuencia aritmética dada.

$\begin{aligned} S_{n} &=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2} \\ S_{50} &=\frac{50 \cdot\left(a_{1}+a_{50}\right)}{2} \\ &=\frac{50(4+249)}{2} \\ &=25(253) \\ &=6,325 \end{aligned}$

Respuesta:

$S_{50}=6,325$

Ejemplo$\PageIndex{6}$:

Evaluar:$\sum_{n=1}^{35}(10-4 n)$.

Solución

En este caso, se nos pide encontrar la suma de los primeros$35$ términos de una secuencia aritmética con término general$a_{n} = 10 − 4n$. Use esto para determinar el$1^{st}$ y el$35^{th}$ término.

$a_{1}=10-4(1)=6$
$a_{35}=10-4(35)=-130$

A continuación usa la fórmula para determinar la suma$35^{th}$ parcial.

$\begin{aligned} S_{n} &=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2} \\ S_{35} &=\frac{35 \cdot\left(a_{1}+a_{35}\right)}{2} \\ &=\frac{35[6+(-130)]}{2} \\ &=\frac{35(-124)}{2} \\ &=-2,170 \end{aligned}$

Respuesta:

$-2,170$

Ejemplo$\PageIndex{7}$:

La primera fila de asientos en un anfiteatro al aire libre contiene$26$ asientos, la segunda fila contiene$28$ asientos, la tercera fila contiene$30$ asientos, y así sucesivamente. Si hay$18$ filas, ¿cuál es la capacidad total de asientos del teatro?

Solución

Comience por encontrar una fórmula que dé el número de asientos en cualquier fila. Aquí el número de asientos en cada fila forma una secuencia:

$26,28,30, \dots$

Tenga en cuenta que la diferencia entre dos términos sucesivos cualesquiera es$2$. La secuencia es una progresión aritmética donde$a_{1} = 26$ y$d = 2$.

$\begin{aligned} a_{n} &=a_{1}+(n-1) d \\ &=26+(n-1) \cdot 2 \\ &=26+2 n-2 \\ &=2 n+24 \end{aligned}$

Por lo tanto, el número de asientos en cada fila viene dado por$a_{n} = 2n + 24$. Para calcular la capacidad total de asientos de las$18$ filas necesitamos calcular la suma$18^{th}$ parcial. Para ello necesitamos los$1^{st}$ y los$18^{th}$ términos:

$\begin{aligned} a_{1} &=26 \\ a_{18} &=2(18)+24=60 \end{aligned}$

Use esto para calcular la suma$18^{th}$ parcial de la siguiente manera:

$\begin{aligned} S_{n} &=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2} \\ S_{18} &=\frac{18 \cdot\left(a_{1}+a_{18}\right)}{2} \\ &=\frac{18(26+60)}{2} \\ &=9(86) \\ &=774 \end{aligned}$

Respuesta:

Hay$774$ asientos totales.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Encuentra la suma de los primeros$60$ términos de la secuencia dada:$5, 0, −5, −10, −15, …$

Contestar

$S_{60}=-8,550$

www.youtube.com/V/bayq2a_Kbko

Claves para llevar

Una secuencia aritmética es una secuencia donde la diferencia$d$ entre términos sucesivos es constante.
El término general de una secuencia aritmética se puede escribir en términos de su primer término$a_{1}$, diferencia común$d$, e índice de la$n$ siguiente manera:$a_{n} = a_{1} + (n − 1) d$.
Una serie aritmética es la suma de los términos de una secuencia aritmética.
La$n$ ésima suma parcial de una secuencia aritmética se puede calcular utilizando los términos primero y último de la siguiente manera:$S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}$.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Escribir los primeros$5$ términos de la secuencia aritmética dado su primer término y diferencia común. Encuentra una fórmula para su término general.

$a_{1}=5 ; d=3$
$a_{1}=12 ; d=2$
$a_{1}=15 ; d=-5$
$a_{1}=7 ; d=-4$
$a_{1}=\frac{1}{2} ; d=1$
$a_{1}=\frac{2}{3} ; d=\frac{1}{3}$
$a_{1}=1 ; d=-\frac{1}{2}$
$a_{1}=-\frac{5}{4} ; d=\frac{1}{4}$
$a_{1}=1.8 ; d=0.6$
$a_{1}=-4.3 ; d=2.1$

Contestar

1. $5,8,11,14,17 ; a_{n}=3 n+2$

3. $15,10,5,0,-5 ; a_{n}=20-5 n$

5. $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \frac{9}{2} ; a_{n}=n-\frac{1}{2}$

7. $1, \frac{1}{2}, 0,-\frac{1}{2},-1 ; a_{n}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2} n$

9. $1.8,2.4,3,3.6,4.2 ; a_{n}=0.6 n+1.2$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Dada la secuencia aritmética, encontrar una fórmula para el término general y utilizarla para determinar el$100^{th}$ término.

$3, 9, 15, 21, 27,…$
$3, 8, 13, 18, 23,…$
$−3, −7, −11, −15, −19,…$
$−6, −14, −22, −30, −38,…$
$−5, −10, −15, −20, −25,…$
$2, 4, 6, 8, 10,…$
$\frac{1}{2}, \frac{5}{2}, \frac{9}{2}, \frac{13}{2}, \frac{17}{2}, \ldots$
$-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{5}{3}, \frac{8}{3}, \frac{11}{3}, \ldots$
$\frac{1}{3}, 0,-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-1, \ldots$
$\frac{1}{4},-\frac{1}{2},-\frac{5}{4},-2,-\frac{11}{4}, \ldots$
$0.8, 2, 3.2, 4.4, 5.6,…$
$4.4, 7.5, 10.6, 13.7, 16.8,…$
Encuentra el entero impar$50^{th}$ positivo.
Encuentra el entero par$50^{th}$ positivo.
Encuentra el$40^{th}$ término en la secuencia que consiste en cualquier otro entero impar positivo:$1, 5, 9, 13,…$
Encuentra el$40^{th}$ término en la secuencia que consiste en cualquier otro entero par positivo:$2, 6, 10, 14,…$
¿Qué número es el término$355$ en la secuencia aritmética$−15, −5, 5, 15, 25,…$?
¿Qué número es el término$−172$ en la secuencia aritmética$4, −4, −12, −20, −28,…$?
Dada la secuencia aritmética definida por la relación de recurrencia$a_{n}=a_{n-1}+5 $ donde$a_{1} = 2$ y$n > 1$, encontrar una ecuación que dé el término general en términos de$a_{1}$ y la diferencia común$d$.
Dada la secuencia aritmética definida por la relación de recurrencia$a_{n}=a_{n-1}-9$ donde$a_{1} = 4$ y$n > 1$, encontrar una ecuación que dé el término general en términos de$a_{1}$ y la diferencia común$d$.

Contestar

1. $a_{n}=6 n-3 ; a_{100}=597$

3. $a_{n}=1-4 n ; a_{100}=-399$

5. $a_{n}=-5 n ; a_{100}=-500$

7. $a_{n}=2 n-\frac{3}{2} ; a_{100}=\frac{397}{2}$

9. $a_{n}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3} n; a_{100}=-\frac{98}{3}$

11. $a_{n}=1.2 n-0.4 ; a_{100}=119.6$

13. $99$

15. $157$

17. $38$

19. $a_{n}=5 n-3$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Dados los términos de una secuencia aritmética, encontrar una fórmula para el término general.

$a_{1}=6$y$a_{7}=42$
$a_{1}=-\frac{1}{2}$y$a_{12}=-6$
$a_{1}=-19$y$a_{26}=56$
$a_{1}=-9$y$a_{31}=141$
$a_{1}=\frac{1}{6}$y$a_{10}=\frac{37}{6}$
$a_{1}=\frac{5}{4}$y$a_{11}=\frac{65}{4}$
$a_{3}=6$y$a_{26}=-40$
$a_{3}=16$y$a_{15}=76$
$a_{4}=-8$y$a_{23}=30$
$a_{5}=-7$y$a_{37}=-135$
$a_{4}=-\frac{23}{10}$y$a_{21}=-\frac{25}{2}$
$a_{3}=\frac{1}{8}$y$a_{12}=-\frac{11}{2}$
$a_{5}=13.2$y$a_{26}=61.5$
$a_{4}=-1.2$y$a_{13}=12.3$

Contestar

1. $a_{n}=6 n$

3. $a_{n}=3 n-22$

5. $a_{n}=\frac{2}{3} n-\frac{1}{2}$

7. $a_{n}=12-2 n$

9. $a_{n}=2 n-16$

11. $a_{n}=\frac{1}{10}-\frac{3}{5} n$

13. $a_{n}=2.3 n+1.7$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Encuentra todas las medias aritméticas entre los términos dados.

$a_{1}=-3$y$a_{6}=17$
$a_{1}=5$y$a_{5}=-7$
$a_{2}=4$y$a_{8}=7$
$a_{5}=\frac{1}{2}$y$a_{9}=-\frac{7}{2}$
$a_{5}=15$y$a_{7}=21$
$a_{6}=4$y$a_{11}=-1$

Contestar

1. $1, 5, 9, 13$

3. $\frac{9}{2}, 5, \frac{11}{2}, 6, \frac{13}{2}$

5. $18$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Calcular la suma indicada dada la fórmula para el término general.

$a_{n}=3 n+5 ; S_{100}$
$a_{n}=5 n-11 ; S_{100}$
$a_{n}=\frac{1}{2}-n, S_{70}$
$a_{n}=1-\frac{3}{2} n; S_{120}$
$a_{n}=\frac{1}{2} n-\frac{3}{4}; S_{20}$
$a_{n}=n-\frac{3}{5}; S_{150}$
$a_{n}=45-5 n ; S_{65}$
$a_{n}=2 n-48 ; S_{95}$
$a_{n}=4.4-1.6 n ; S_{75}$
$a_{n}=6.5 n-3.3 ; S_{67}$

Contestar

1. $15,650$

3. $−2,450$

5. $90$

7. $−7,800$

9. $−4,230$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Evaluar.

$\sum_{n=1}^{160}(3 n)$
$\sum_{n=1}^{121}(-2 n)$
$\sum_{n=1}^{250}(4 n-3)$
$\sum_{n=1}^{120}(2 n+12)$
$\sum_{n=1}^{70}(19-8 n)$
$\sum_{n=1}^{220}(5-n)$
$\sum_{n=1}^{60}\left(\frac{5}{2}-\frac{1}{2} n\right)$
$\sum_{n=1}^{51}\left(\frac{3}{8} n+\frac{1}{4}\right)$
$\sum_{n=1}^{120}(1.5 n-2.6)$
$\sum_{n=1}^{175}(-0.2 n-1.6)$
Encuentra la suma de los primeros enteros$200$ positivos.
Encuentra la suma de los primeros enteros$400$ positivos.

Contestar

1. $38,640$

3. $124,750$

5. $−18,550$

7. $−765$

9. $10,578$

11. $20,100$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

El término general para la secuencia de enteros impares positivos viene dado por$a_{n} = 2n − 1$ y el término general para la secuencia de enteros pares positivos viene dado por$a_{n} = 2n$. Encuentra lo siguiente.

La suma de los primeros enteros impares$50$ positivos.
La suma de los primeros enteros impares$200$ positivos.
La suma de los primeros enteros pares$50$ positivos.
La suma de los primeros enteros pares$200$ positivos.
La suma de los primeros enteros impares$k$ positivos.
La suma de los primeros enteros pares$k$ positivos.
La primera fila de asientos en un pequeño teatro consiste en$8$ asientos. Cada fila a partir de entonces consta de$3$ más asientos que la fila anterior. Si hay$12$ filas, ¿cuántos asientos totales hay en el teatro?
La primera fila de asientos en un anfiteatro al aire libre contiene$42$ asientos, la segunda fila contiene$44$ asientos, la tercera fila contiene$46$ asientos, y así sucesivamente. Si hay$22$ filas, ¿cuál es la capacidad total de asientos del teatro?
Si una pila triangular de ladrillos tiene$37$ ladrillos en la fila inferior,$34$ ladrillos en la segunda fila y así sucesivamente con un ladrillo en la parte superior. ¿Cuántos ladrillos hay en la pila?
Cada fila sucesiva de una pila triangular de ladrillos tiene un ladrillo menos hasta que solo hay un ladrillo en la parte superior. ¿Cuántas filas tiene la pila si hay ladrillos$210$ totales?
Un contrato salarial$10$ anual ofrece $$65,000$ para el primer año con un$3,200$ incremento de $ cada año adicional. Determinar la obligación salarial total a lo largo del periodo del$10$ año.
Una torre del reloj golpea su campana el número de veces que indica la hora. A la una en punto golpea una vez, a las dos en punto golpea dos veces y así sucesivamente. ¿Cuántas veces la torre del reloj toca su campana en un día?

Contestar

1. $2,500$

3. $2,550$

5. $k^{2}$

7. $294$asientos

9. $247$ladrillos

11. $$794,000$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

¿La secuencia de Fibonacci es una secuencia aritmética? Explique.
Utilice la fórmula para la$n$ suma parcial de una secuencia aritmética$S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}$ y la fórmula del término general para$a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ derivar una nueva fórmula para la enésima suma parcial$S_{n}=\frac{n}{2}\left[2 a_{1}+(n-1) d\right]$. ¿En qué circunstancias sería útil esta fórmula? Explique usando un ejemplo de su propia creación.
Discutir métodos para calcular sumas donde el índice no comienza en$1$. Por ejemplo,$\sum_{n=1}^{35}(3 n+4)=1,659$.
Una historia famosa involucra a Carl Friedrich Gauss portándose mal en la escuela. Como castigo, su maestro le asignó la tarea de sumar los primeros$100$ enteros. La leyenda es que el joven Gauss respondió correctamente en cuestión de segundos. ¿Cuál es la respuesta y cómo crees que pudo encontrar la suma tan rápido?

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1. La respuesta puede variar

3. La respuesta puede variar

Notas al pie

¹² Una secuencia de números donde cada número sucesivo es la suma del número anterior y alguna constante$d$.

¹³ Se utiliza cuando se refiere a una secuencia aritmética.

¹⁴ La constante$d$ que se obtiene de restar cualesquiera dos términos sucesivos de una secuencia aritmética;$a_{n}-a_{n-1}=d$.

¹⁵ Los términos entre términos dados de una secuencia aritmética.

¹⁶ La suma de los términos de una secuencia aritmética.

¹⁷ La suma de los primeros$n$ términos de una secuencia aritmética dada por la fórmula:$S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}$.