2.3: Borrar fracciones y decimales
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En esta sección introducimos técnicas que despejan fracciones y decimales a partir de ecuaciones, haciendo que la ecuación resultante sea mucho más fácil de resolver. Al borrar fracciones de una ecuación, necesitará simplificar productos como los que se plantean en los siguientes ejemplos.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Simplificar:\(12\left(\dfrac{2}{3} x\right)\).
Solución
Cuando multiplicamos tres números, como\(12\),\(2/3\), y\(x\), la propiedad asociativa de la multiplicación nos dice que no importa qué dos números multipliquemos primero. Utilizamos la propiedad asociativa para reagruparnos, luego multiplicamos numeradores y denominadores y simplificamos el resultado.
\[\begin{aligned} 12\left(\dfrac{2}{3} x\right) &=\left(12 \cdot \dfrac{2}{3}\right) x \quad \color{Red} \text{Associative property of multiplication.}\\ &=\dfrac{24}{3} x \quad \color{Red} \text { Multiply: } 12 \cdot 2=24 \\ &=8 x \quad \color{Red} \text { Divide: } 24 / 3=8 \end{aligned} \nonumber \]
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Simplificar:\(15\left(\dfrac{3}{5} x\right)\).
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\(9x\)
Ejemplo\(\PageIndex{1}\) muestra todos los pasos involucrados para llegar a la respuesta. No obstante, el objetivo en esta sección es realizar este cálculo mentalmente. Así que simplemente “\(2\)Multiplicar\(12\) y para obtener\(24\), luego dividir\(24\) por\(3\) para conseguir”\(8\). Este enfoque nos permite anotar la respuesta sin hacer ningún trabajo.
\[12\left(\dfrac{2}{3} x\right)=8 x \nonumber \]
Deberías practicar este cálculo mental hasta que puedas anotar la respuesta sin anotar ningún paso.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Simplificar:\(18 \left(\dfrac{2}{9} x\right)\).
Solución
Esta vez realizamos los cálculos mentalmente. \(2\)Multiplicar\(18\) y para obtener\(36\), luego dividir\(36\) por\(9\) para obtener\(4\).
\[18\left(\dfrac{2}{9} x\right)=4 x \nonumber \]
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Simplificar:\(14 \left(\dfrac{3}{7} x\right)\).
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\(6x\)
Cuando los números se hacen más grandes, los cálculos mentales se vuelven más difíciles. Por ejemplo, considere\[72\left(\dfrac{8}{9} x\right) \nonumber \]
En este caso, la obra “\(8\)multiplicar\(72\) y conseguir\(576\), luego dividir\(576\) por\(9\) para conseguir\(64\)” es un poco difícil de llevar en la cabeza. Sin embargo, esto es cuando la calculadora viene al rescate.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Usa tu calculadora para ayudar a simplificar\(72 \left(\dfrac{8}{9} x\right)\).
Solución
Usa tu calculadora para multiplicar\(72\) y\(8\), luego dividir por\(9\). Ingrese 72*8/9 y presione la tecla INTRO.
Así,\(72\left(\dfrac{8}{9} x\right)=64 x\).
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
Usa tu calculadora para simplificar:\(81 \left(\frac{5}{9} x\right)\).
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\(45x\)
La cancelación es más eficiente
En Ejemplos\(\PageIndex{1}\),\(\PageIndex{2}\), y\(\PageIndex{3}\), multiplicamos numeradores, luego divididos por el único denominador. También vimos que es un poco difícil llevar el trabajo en nuestra cabeza a medida que los números crecen. En el Capítulo 1, Sección 3, vimos que cancelar reduce el tamaño de los números y simplifica la obra.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Simplificar:\(72 \left(\dfrac{8}{9} x\right)\).
Solución
En Ejemplo\(\PageIndex{3}\), usamos nuestra calculadora para multiplicar\(72\) y\(8\) para obtener\(576\), luego dividimos\(576\) por\(9\) para obtener\(64\). En esta solución,\(9\) dividimos en\(72\) para obtener\(8\), luego multiplicamos\(8\) por\(8\) para obtener\(64\). Obtenemos la misma respuesta, pero debido a que los números intermedios son mucho más pequeños, los cálculos son mucho más fáciles de hacer mentalmente.
\[\begin{aligned} 72\left(\dfrac{8}{9} x\right) &=\left(72 \cdot \dfrac{8}{9}\right) x \quad \color{Red} \text{Associative property of multiplication}\\ &=(8 \cdot 8) x \quad \color{Red} \text { Divide: } 72 / 9=8 \\ &=64 x \quad \color{Red} \text { Multiply: } 8 \cdot 8=64 \end{aligned} \nonumber \]
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
Simplificar:\(64 \left(\dfrac{5}{8} x\right)\).
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\(40x\)
Ejemplo\(\PageIndex{4}\) muestra todos los pasos involucrados para llegar a la respuesta. Nuevamente, el objetivo en esta sección es realizar este cálculo mentalmente, así que simplemente “\(9\)Dividimos en\(72\) para obtener\(8\), luego multiplicar\(8\) por\(8\) para obtener”\(644\).
\[72\left(\frac{8}{9} x\right)=64 x \nonumber \]
Este enfoque no sólo nos permite anotar la respuesta sin hacer ningún trabajo, los cálculos numéricos involucran números más pequeños. Deberías practicar este cálculo mental hasta que puedas anotar la respuesta sin anotar ningún paso.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Simplificar:\(27\left(\dfrac{5}{9} x\right)\).
Solución
\(9\)Dividir en\(27\) para obtener\(3\), luego multiplicar\(3\) por\(5\) para obtener\(15\). \[27\left(\dfrac{5}{9} x\right)=15 x \nonumber \]
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Simplificar:\(18\left(\dfrac{3}{2} x\right)\).
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\(27x\)
Nota
La técnica que se muestra en Ejemplos\(\PageIndex{4}\) y\(\PageIndex{5}\) es la técnica que utilizaremos en el resto de esta sección. Dividir (cancelar) primero es mucho más eficiente, los números más pequeños nos permiten realizar el cálculo mentalmente.
Borrar fracciones de una ecuación
Ahora que hemos hecho el trabajo de fracción requerido, ahora podemos concentrarnos en eliminar fracciones de una ecuación. Una vez que se eliminan las fracciones de la ecuación, la ecuación equivalente resultante es mucho más fácil de resolver que la original.
Borrar fracciones de una ecuación
Para borrar fracciones de una ecuación, multiplique ambos lados de la ecuación por el mínimo denominador común.
Ejemplo\(\PageIndex{6}\)
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Solución
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Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
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