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LibreTexts Español

2.4: Fórmulas

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Las fórmulas de la ciencia suelen contener letras variables distintas de la variable “Fórmulas” es el plural para “fórmula”. x. En efecto, las fórmulas en la ciencia suelen utilizar varias letras. Por ejemplo, la Ley Universal de Gravitación de Isaac Newton dice que la magnitud de la fuerza de atracción entre dos cuerpos celestes viene dada por la fórmula:

F=GMmr2

dondem generalmente denota la masa del cuerpo más pequeño,M la masa del cuerpo más grande, yr es la distancia entre los dos cuerpos. La letraG representa la constante gravitacional universal, teniendo valor6.67428×1011N(m/kg)2.

Caso Variable

Obsérvese el uso de la letra mayúscula y minúscula M en la Ley de Gravitación de Newton. Al trabajar con fórmulas científicas, se debe mantener el caso de las letras dadas. No se le permite sustituir minúscula por mayúscula, o mayúscula por minúscula en su trabajo.

En la Sección 2.2, describimos la meta que debe cumplirse cuando se nos pide “resolver una ecuación para”x.

Resolver parax

Cuando se le pide que resuelva una ecuación parax, el objetivo es manipular la ecuación en la forma final

x=“Stuff”
donde “Stude” es una expresión matemática válida que puede contener otras variables, símbolos matemáticos, etc., pero no debe contener ninguna ocurrencia de la variablex.

Así, para resolver una ecuación parax, necesitamos aislar los términos que contienenx en un lado de la ecuación, y todos los términos restantes en el otro lado de la ecuación.

Ejemplo2.4.1

Resolver parax:x+a=b.

Solución

Para deshacer los efectos de sumar a, resta a de ambos lados de la ecuación.

x+a=b Original equation. x+aa=ba Subtract a from both sides. x=ba Simplify. 

Ejercicio2.4.1

Resolver parax:xc=d.

Contestar

x=c+d

En Ejemplo2.4.1, tenga en cuenta que la respuestax=ba tiene la forma requeridax=“Stuff”,, donde “Stude” es una expresión matemática válida que contiene otras variables, símbolos matemáticos, etc., pero no contiene ninguna ocurrencia de la variablex. Ahora bien, ¿y si nos pidieran resolver la misma ecuación paraa, en lugar dex?

Ejemplo2.4.2

Resolver paraa:x+a=b.

Solución

Se nos instruye para resolver la ecuaciónx+a=b paraa. Esto quiere decir que nuestra respuesta final debe tener la formaa=“Stuff”, donde “Stude” es una expresión matemática válida que contiene otras variables, símbolos matemáticos, etc., pero no contiene ninguna ocurrencia de la variablea. Esto significa que debemos aislar todos los términos que contienen la variablea en un lado de la ecuación, y todos los términos restantes en el otro lado de la ecuación. Ahora, para deshacer el efecto de sumarx, restarx de ambos lados de la ecuación.

x+a=b Original equation. x+ax=bx Subtract x from both sides. a=bx Simplify. 

Tenga en cuenta que tenemosa=“Stuff”, donde “Stude” no contiene ocurrencia dea, la variable para la que estamos resolviendo.

Ejercicio2.4.2

Resolver parax:xc=d.

Contestar

c=xd

Ejemplo2.4.3

La fórmulaF=kx, conocida como “Ley de Hooke”, predice la fuerzaF requerida para estirar unasx unidades de resorte. Resuelve la ecuación parak.

Solución

Se nos instruye para resolver la ecuaciónF=kx parak. Esto quiere decir que nuestra respuesta final debe tener la formak=“Stuff”, donde “Stude” es una expresión matemática válida que puede contener otras variables, símbolos matemáticos, etc., pero puede que no contenga ninguna ocurrencia de la variablek. Esto significa que debemos aislar todos los términos que contienen la variablek en un lado de la ecuación, y todos los términos restantes en el otro lado de la ecuación. Sin embargo, tenga en cuenta que todos los términos que contienen la variable yak están aislados en un lado de la ecuación. Los términos que no contienen la variablek se aíslan en el otro lado de la ecuación. Ahora bien, para “deshacer” el efecto de multiplicar porx, dividir ambos lados de la ecuación porx.

F=kx Original equation. Fx=kxx Divide both sides by xFx=k Simplify. 

Decir esoF/x=k equivale a decir esok=F/x. Podemos dejar nuestra respuesta en el formulario que se muestra en el último paso, pero algunos instructores insisten en que escribamos la respuesta de la siguiente manera:

k=FxFx=k is equivalent to k=Fx

Tenga en cuenta que tenemosk=“Stuff”, donde “Stude” no contiene ocurrencia dek, la variable para la que estamos resolviendo.

Ejercicio2.4.3

Resolver param:E=mc2.

Contestar

m=Ec2

Ejemplo2.4.4

La fórmulaV=RI se llama “Ley de Ohm”. Ayuda a calcular la caída de voltajeV a través de una resistenciaR en un circuito eléctrico con corrienteI. Resuelve la ecuación paraR.

Solución

Se nos instruye para resolver la ecuaciónV=RI paraR. Esto quiere decir que nuestra respuesta final debe tener la formaR=“Stuff”, donde “Stude” es una expresión matemática válida que puede contener otras variables, símbolos matemáticos, etc., pero puede que no contenga ninguna ocurrencia de la variableR. Esto significa que debemos aislar todos los términos que contienen la variableR en un lado de la ecuación, y todos los términos restantes en el otro lado de la ecuación. Sin embargo, tenga en cuenta que todos los términos que contienen la variable yaR están aislados en un lado de la ecuación. Los términos que no contienen la variable R se aíslan en el otro lado de la ecuación. Ahora bien, para “deshacer” el efecto de multiplicar porI, dividir ambos lados de la ecuación porI.

V=RI Original equation. VI=RII Divide both sides by IVI=R Simplify. 

Esto también se puede escribir en la siguiente forma:

R=VIV/I=R is equivalent to R=V/I

Tenga en cuenta que tenemosR=“Stuff”, donde “Stude” no contiene ocurrencia deR, la variable para la que estamos resolviendo.

Ejercicio2.4.4

Resolver parat:d=st.

Contestar

t=ds

Despeje de fracciones

Si las fracciones ocurren en una fórmula, limpie las fracciones de la fórmula multiplicando ambos lados de la fórmula por el denominador común.

Ejemplo2.4.5

La fórmulaK=12mv2 se utiliza para calcular la energía cinéticaK de una partícula de masa quem se mueve con velocidadv. Resuelve la ecuación param.

Solución

Se nos pide que resolvamos la ecuaciónK=(1/2)mv2 param. Primero, despejar las fracciones multiplicando ambos lados por el denominador común.

K=12mv2 Original equation. 2(K)=2(12mv2) Multiply both sides by 22K=mv2 Simplify. Cancel 2 s. 

Tenga en cuenta que todos los términos que contienenm, la variable para la que estamos resolviendo, ya están aislados en un lado de la ecuación. Solo necesitamos dividir ambas partes porv2 para completar la solución.

2Kv2=mv2v2 Divide both sides by v22Kv2=m Simplify. Cancel v2 for v2

Tenga en cuenta que la respuesta final tiene la formam=“Stuff”, donde “Stude” no contiene ninguna ocurrencia de la variablem.

Ejercicio2.4.5

Resolver parag:s=12gt2.

Contestar

g=2st2

Ejemplo2.4.6

Como se mencionó anteriormente, la Ley Universal de Gravitación de Newton se describe mediante la fórmulaF=GMmr2 Resolver esta ecuación param.

Solución

Se nos pide que resolvamos la ecuaciónF=GMm/r2 param. Primero, despejar las fracciones multiplicando ambos lados por el denominador común.

F=GMmr2 Original equation. r2(F)=r2(GMmr2) Multiply both sides by r2r2F=GMm Simplify. Cancel r2 for r2

Tenga en cuenta que todos los términos que contienenm, la variable para la que estamos resolviendo, ya están aislados en un lado de la ecuación. Solo necesitamos dividir ambas partes porGM para completar la solución.

r2FGM=GMmGM Divide both sides by GMr2FGM=m Simplify. Cancel GM for GM

Tenga en cuenta que la respuesta final tiene la formam=“Stuff”, donde “Stude” no contiene ninguna ocurrencia de la variablem.

Ejercicio2.4.6

Resolver paraq2:F=kq1q2r2.

Contestar

q2=Fr2kq1

Fórmulas geométricas

Veamos algunas fórmulas comúnmente utilizadas a partir de la geometría.

Ejemplo2.4.7

DejarW yL representar el ancho y largo de un rectángulo, respectivamente, y dejarP representar su perímetro.

fig 2.4.1a.png

El perímetro (distancia alrededor) del rectángulo se encuentra sumando sus cuatro lados, luego combinando términos similares.

P=L+W+L+W Summing the four sides. P=2W+2L Combine like terms. 

ResolverP=2W+2L paraL. Entonces, dado que el perímetro es300 pies y el ancho es50 pies, usa tu resultado para calcular la longitud.

Solución

Primero se nos pide queP=2W+2L resolvamosL. Primero, aísle todos los términos que contengan la variableL en un lado de la ecuación.

P=2W+2L Original equation. P2W=2W+2L2W Subtract 2W from both sides. P2W=2L Simplify. P2W2=2L2 Divide both sides by 2P2W2=L Simplify. 

Tenga en cuenta que el resultado final tieneL=“Stuff", donde “Stude” no contiene ninguna ocurrencia de la variableL.

La segunda parte de este ejemplo solicita que encontremos la longitud del rectángulo, dado que el perímetro esP=300 pies y el ancho esW=50 pies. Para calcular la longitud, sustituirP=300 yW=50 enL=(P2W)/2.

L=P2W2 Perimeter formula solved for LL=3002(50)2300 for P,50 for WL=3001002 Multiply: 2(50)=100L=2002 Subtract: 300100=200L=100 Divide: 200/2=100

De ahí que la longitud del rectángulo sea100 pies.

Ejercicio2.4.7

El perímetro de un rectángulo es de160 metros y su ancho es de30 metros. Encuentra su longitud.

Contestar

L=50metros

Ejemplo2.4.8

Dejarb yh representar la longitud de la base y la altura de un triángulo, respectivamente, y dejarA representar el área del triángulo.

fig 2.4.1b.png

El área del triángulo se calcula usando la fórmula: EsA=12bh decir, el área de un triángulo es “la mitad de la base por la altura”.

Resuelve la fórmulaA=12bh parah. En segundo lugar, dado que el área estáA=90 en 2 (pulgadas90 cuadradas) y la longitud de la base está15 en (15pulgadas), se encuentra la altura del triángulo.

Solución

Primero se nos pide queA=(1/2)bh resolvamosh. Debido a que la ecuación tiene fracciones, el primer paso es borrar las fracciones multiplicando ambos lados por el mínimo denominador común.

A=12bh Area of a triangle formula. 2(A)=2(12bh) Multiply both sides by 22A=bh Simplify. 

Ahora, ya tenemos todos los términos que contienen la variableh en un lado de la ecuación, por lo que podemos resolverh dividiendo ambos lados de la ecuación porb.

2Ab=bhb Divide both sides by b2Ab=h Simplify. 

Tenga en cuenta que el resultado final tieneh=“Stuff", donde “Stude” no contiene ninguna ocurrencia de la variableh.

La segunda parte de este ejemplo solicita que encontremos la altura del triángulo, dado que el área estáA=90 en2 y la longitud de la base estáb=15 en. Para calcular la altura del triángulo, sustitutoA=90 yb=15 enh=2A/b.

h=2Ab Area formula solved for hh=2(90)15Substitue 90 for A,15 for bh=18015 Multiply: 2(90)=180h=12Divide: 180/15=12

De ahí que la altura del triángulo sea12 pulgadas.

Ejercicio2.4.8

El área de un triángulo es140 cm 2 y la longitud de su base es70 cm. Encuentra la altura del triángulo.

Contestar

4cm


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