5.7: Productos especiales

Esta sección está dedicada a explicar una serie de atajos importantes para multiplicar binomios. Estos son patrones extremadamente importantes que producirán los mismos productos calculados en secciones anteriores. Es esencial que los lectores practiquen hasta que lleguen a ser proficientes utilizando cada uno de los patrones presentados en esta sección.

El método FOIL

Considera el producto de dos binomios\((x + 3)(x + 6)\). Ya sabemos cómo encontrar el producto de estos dos binomios;\(x\) multiplicamos por ambos términos de\(x + 6\), luego\(3\) multiplicamos por ambos términos de\(x + 6\).

\[(x+3)(x+6)=x^{2}+6 x+3 x+18 \nonumber \]

Normalmente combinamos términos similares, pero detenemos el proceso en este punto para introducir el patrón llamado método FOIL. Las letras de la palabra FOIL significan “Primero”, “Exterior”, “Interior” y “Último”.

Veamos cómo podemos conectar estos términos con el producto\((x+3)(x+6)\).

• Las flechas indican los términos en las posiciones “Primera” en cada binomio. Si multiplicas los términos en la posición “Primero”, obtienes\(x^2\). \[{\color {Red}\underbrace{\color {Black}(x+3)(x}_{F}}+6) \nonumber \]
• Las flechas indican los términos en las posiciones “Exteriores” en cada binomio. Si multiplicas los términos en las posiciones “Exteriores”, obtienes\(6x\). \[{\color {Red}\underbrace {\color {Black}(x+3)(x+6}_{O}}) \nonumber \]
• Las flechas indican los términos en las posiciones “internas” en cada binomio. Si multiplicas los términos en las posiciones “Interior”, obtienes\(3x\). \[(x+{\color {Red}\underbrace{\color {Black}{3)(x}}_{I}}+6) \nonumber \]
• Las flechas indican los términos en las posiciones “Últimas” en cada binomio. Si multiplicas los términos en las “Últimas” posiciones, obtienes\(18\). \[(x+{\color {Red}\underbrace{\color {Black}{3)(x+6}}_{L}}) \nonumber \]

El siguiente diagrama muestra la conexión entre “Primero”, “Exterior”, “Interior”, “Último” y la respuesta.

\[(x+3)(x+6)=\begin{array}{ccccccc} \color {Red}{F} & {} & \color {Red}{O} & {} & \color {Red}{I} & {} & \color {Red}{L}\\ x^{2}&+&6x&+&3x&+&18\end{array} \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Utilice el método FOIL para simplificar:\((x + 5)(x + 7)\)

Solución

Multiplicar las posiciones “Primeras”:\(x^2\). Multiplicar las posiciones “Exteriores”:\(7x\). Multiplicar las posiciones “internas”:\(5x\). Multiplicar las “Últimas” posiciones:\(35\).

\[(x+5)(x+7)=\begin{array}{ccccccc} \color {Red}{F} & {} & \color {Red}{O} & {} & \color {Red}{I} & {} & \color {Red}{L}\\ x^{2}&+&7x&+&5x&+&35\end{array} \nonumber \]

Combinando términos similares,\((x+5)(x+7)=x^{2}+12 x+35\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Simplificar:\((x + 2)(x + 11)\)

Contestar

\(x^{2}+13 x+22\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Utilice el método FOIL para simplificar:\((2x−7)(x−4)\)

Solución

Multiplicar las posiciones “Primeras”:\(2x^2\). Multiplicar las posiciones “Exteriores”:\(−8x\). Multiplicar las posiciones “internas”:\(−7x\). Multiplicar las “Últimas” posiciones:\(28\).

\[(2x-7)(x-4)=\begin{array}{ccccccc} \color {Red}{F} & {} & \color {Red}{O} & {} & \color {Red}{I} & {} & \color {Red}{L}\\ 2x^{2}&-&8x&-&7x&+&28\end{array} \nonumber \]

Combinando términos similares,\((2 x-7)(x-4)=2 x^{2}-15 x+28\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Simplificar:\((x−1)(4x + 5)\)

Contestar

\(4 x^{2}+x-5\)

A primera vista, el método FOIL no parece un atajo. Después de todo, si simplemente usamos la propiedad distributiva en el producto de Ejemplo\(\PageIndex{2}\), obtenemos el mismo resultado rápido.

\[\begin{aligned}(2 x-7)(x-4) &=2 x(x-4)-7(x-4) \\ &=2 x^{2}-8 x-7 x+28 \\ &=2 x^{2}-15 x+28 \end{aligned} \nonumber \]

El método FOIL se convierte en un verdadero atajo cuando agregamos los resultados “Exterior” e “Interior” en nuestra cabeza.

Atajo FOIL

Para multiplicar dos binomios, siga estos pasos:

1. Multiplicar los términos en las posiciones de “Primera”.
2. Multiplicar los términos en las posiciones “Exterior” e “Interior” y combinar los resultados mentalmente (si son como términos).
3. Multiplicar los términos en las posiciones “Últimas”.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Utilice el atajo FOIL para simplificar:\((3x + 8)(2x−1)\)

Solución

Cada uno de los siguientes pasos se realiza mentalmente.

1. Multiplicar los términos en las posiciones “Primera”:\(6x^2\)
2. Multiplique los términos en las posiciones “Exterior” e “Interior” y agregue los resultados mentalmente:\(−3x + 16x = 13x\)
3. Multiplica los términos en las “Últimas” posiciones:\(−8\)

Escribe la respuesta sin pasos intermedios:\((3 x+8)(2 x-1)=6 x^{2}+13 x-8\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Simplificar:\((2z−3)(5z−1)\)

Contestar

\(10 z^{2}-17 z+3\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Utilice el atajo FOIL para simplificar:\((4y−3)(5y + 2)\)

Solución

Cada uno de los siguientes pasos se realiza mentalmente.

1. Multiplicar los términos en las posiciones “Primera”:\(20y^2\)
2. Multiplique los términos en las posiciones “Exterior” e “Interior” y agregue los resultados mentalmente:\(8y−15y = −7y\)
3. Multiplica los términos en las “Últimas” posiciones:\(−6\)

Escribe la respuesta sin pasos intermedios:\((4 y-3)(5 y+2)=20 y^{2}-7 y-6\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Simplificar:\((7 x+2)(2 x-3)\)

Contestar

\(14 x^{2}-17 x-6\)

La Diferencia de los Cuadrados

Podemos usar el atajo FOIL para multiplicar\((a + b)(a−b)\).

1. Multiplicar los términos en las posiciones “Primera”:\(a^2\)
2. Multiplique los términos en las posiciones “Exterior” e “Interior” y agregue los resultados mentalmente:\(ab−ab =0\)
3. Multiplica los términos en las “Últimas” posiciones:\(−b^2\)

Así,\((a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\). Observe cómo el lado derecho\(a^2 −b^2\) es la diferencia de dos cuadrados. Esto lleva al siguiente atajo.

La diferencia de los cuadrados

Si tiene términos idénticos en las posiciones “Primera” y términos idénticos en las posiciones “Últimas”, pero un conjunto está separado con un signo más mientras que el otro está separado por un signo menos, luego proceda de la siguiente manera:

1. Cuadrar el término “Primer”.
2. Cuadrar el “Último” término.
3. Colocar un signo menos entre los resultados

Es decir,

\[(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} \nonumber \]

Nota

Si no tienes términos idénticos en las posiciones “Primera” y “Última”, con un conjunto separado con un signo más y el otro con un signo menos, entonces no tienes la diferencia de patrón de cuadrados y debes encontrar alguna otra forma de multiplicar. Por ejemplo,\((x+3)(x−3)\) es un ejemplo de la diferencia de patrón de cuadrados, pero no lo\((2y + 3)(2y−5)\) es.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Utilice el atajo de diferencias de cuadrados para simplificar:\((x+3)(x− 3)\)

Solución

Observe cómo los términos en la posición “Primera” son idénticos, al igual que los términos en la posición “Última”, con un conjunto separado por un signo más y el otro con un signo menos. Por lo tanto, esta es la diferencia del patrón de cuadrados y procedemos de la siguiente manera:

1. Cuadrar el término en la posición “Primera”:\(x^2\)
2. Cuadrar el término en la posición “Última”:\((−3)^2 =9\)
3. Separar los cuadrados con un signo menos.

Es decir:

\[\begin{aligned}(x+3)(x-3) &=x^{2}-(3)^{2} \\ &=x^{2}-9 \end{aligned} \nonumber \]

Nota

Deberías practicar este patrón hasta que puedas pasar directamente de la declaración del problema a la respuesta sin anotar ningún trabajo intermedio, como en\((x + 3)(x−3) = x^2 −9\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Simplificar:\((x + 5)(x−5)\)

Contestar

\(x^{2}-25\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Utilice el atajo de diferencias de cuadrados para simplificar:\((8y +7z)(8y−7z)\)

Solución

Observe cómo los términos en la posición “Primera” son idénticos, al igual que los términos en la posición “Última”, con un conjunto separado por un signo más y el otro con un signo menos. Por lo tanto, esta es la diferencia del patrón de cuadrados y procedemos de la siguiente manera:

1. Cuadrar el término en la posición “Primera”:\((8y)^2 = 64 y^2\)
2. Cuadrar el término en la posición “Última”:\((7z)^2 = 49 z^2\)
3. Separar los cuadrados con un signo menos.

Es decir:

\[\begin{aligned}(8 y+7 z)(8 y-7 z) &=(8 y)^{2}-(7 z)^{2} \\ &=64 y^{2}-49 z^{2} \end{aligned} \nonumber \]

Nota

Deberías practicar este patrón hasta que puedas pasar directamente de la declaración del problema a la respuesta sin anotar ningún trabajo intermedio, como en\((8 y+7 z)(8 y-7 z)=64 y^{2}-49 z^{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Simplificar:\((3a−6b)(3a +6b)\)

Contestar

\(9 a^{2}-36 b^{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Utilice el atajo de diferencias de cuadrados para simplificar:\(\left(x^{3}-5 y^{2}\right)\left(x^{3}+5 y^{2}\right)\)

Solución

Observe cómo los términos en la posición “Primera” son idénticos, al igual que los términos en la posición “Última”, con un conjunto separado por un signo más y el otro con un signo menos. Por lo tanto, esta es la diferencia del patrón de cuadrados y procedemos de la siguiente manera:

1. Cuadrar el término en la posición “Primera”:\((x^3)^2 = x^6\)
2. Cuadrar el término en la posición “Última”:\((5y^2)^2 = 25 y^4\)
3. Separar los cuadrados con un signo menos.

Es decir:

\[\begin{aligned}\left(x^{3}-5 y^{2}\right)\left(x^{3}+5 y^{2}\right) &=\left(x^{3}\right)^{2}-\left(5 y^{2}\right)^{2} \\ &=x^{6}-25 y^{4} \end{aligned} \nonumber \]

Nota

Deberías practicar este patrón hasta que puedas pasar directamente de la declaración del problema a la respuesta sin anotar ningún trabajo intermedio, como en\(\left(x^{3}-5 y^{2}\right)\left(x^{3}+5 y^{2}\right)=x^{6}-25 y^{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Simplificar:\(\left(2 y^{4}+z^{3}\right)\left(2 y^{4}-z^{3}\right)\)

Contestar

\(4 y^{8}-z^{6}\)

Cuadrando un Binomio

Antes de demostrar el procedimiento correcto para cuadrar un binomio, primero compartiremos uno de los errores más comunes cometidos en álgebra.

¡Advertencia! ¡Esto es incorrecto!

Uno de los errores más comunes que se cometen en álgebra es la suposición de que:

\[(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2} \nonumber \]

El hecho de que esto sea incorrecto se verifica fácilmente. Sustituto\(3\) de\(a\) y\(4\) para\(b\).

\[\begin{aligned}(3+4)^{2} &=3^{2}+4^{2} \\ 7^{2} &=3^{2}+4^{2} \\ 49 &=9+16 \end{aligned} \nonumber \]

¡Claramente esto es incorrecto!

Entonces, ¿cuál es la respuesta correcta? Primero,\((a+b)^{2}=(a+b)(a+b)\). Ahora podemos usar el atajo FOIL.

1. Multiplicar los términos en las posiciones “Primera”:\(a^2\)
2. Multiplique los términos en las posiciones “Exterior” e “Interior” y agregue los resultados mentalmente:\(ab + ab =2ab\)
3. Multiplica los términos en las “Últimas” posiciones:\(b^2\)

De ahí que la respuesta correcta sea\((a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\). Esto nos lleva al siguiente atajo para cuadrar un binomio.

Cuadrando un binomio

Para cuadrar un binomio, por ejemplo\((a + b)^2\), realice los siguientes pasos:

1. Cuadrar el término “Primer”:\(a^2\)
2. Multiplica los términos “Primero” y “Último” y duplica el resultado:\(2ab\)
3. Cuadrar el “Último” término:\(b^2\)

Es decir:

\[(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Utilice la cuadratura de un atajo binomial para expandir:\((x+5)^{2}\)

Solución

Siga estos pasos:

1. Cuadrando el primer término:\(x^2\)
2. Multiplica los términos “Primero” y “Último” y duplica el resultado:\(2(x)(5) = 10x\)
3. Cuadrar el “Último” término:\(5^2 = 25\)

Así:

\[\begin{aligned}(x+5)^{2} &=x^{2}+2(x)(5)+(5)^{2} \\ &=x^{2}+10 x+25 \end{aligned} \nonumber \]

Nota

Deberías practicar este patrón hasta que puedas pasar directamente de la declaración del problema a la respuesta sin anotar ningún trabajo intermedio, como en\((x+5)^{2}=x^{2}+10 x+25\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Simplificar:\((x+3)^{2}\)

Contestar

\(x^{2}+6 x+9\)

Comentar

Los estudiantes a menudo se niegan a aprender el atajo de “cuadrar un binomio”, señalando que pueden usar con la misma facilidad la técnica FOIL o una simple aplicación de la propiedad distributiva para llegar al mismo resultado. Desafortunadamente, no aprender el atajo de “cuadrar un binomio” perjudicará gravemente a los estudiantes, ya que este patrón es un componente importante de muchos procedimientos en futuros cursos de matemáticas.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Utilice la cuadratura de un atajo binomial para expandir:\((3 x+7 y)^{2}\)

Solución

Siga estos pasos:

1. Cuadrando el primer término:\((3x)^2 =9x^2\)
2. Multiplica los términos “Primero” y “Último” y duplica el resultado:\(2(3x)(7y)= 42xy\)
3. Cuadrar el “Último” término:\((7y)^2 = 49 y^2\)

Así:

\[\begin{aligned}(3 x+7 y)^{2} &=(3 x)^{2}+2(3 x)(7 y)+(7 y)^{2} \\ &=9 x^{2}+42 x y+49 y^{2} \end{aligned} \nonumber \]

Nota

Deberías practicar este patrón hasta que puedas pasar directamente de la declaración del problema a la respuesta sin anotar ningún trabajo intermedio, como en\((3 x+7 y)^{2}=9 x^{2}+42 x y+49 y^{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Simplificar:\((2 y+3 z)^{2}\)

Contestar

\(4 y^{2}+12 y z+9 z^{2}\)

En el siguiente ejemplo, al cuadrar un binomio con un signo menos, nos ocupamos del signo menos “sumando lo contrario”.

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Utilice la cuadratura de un atajo binomial para expandir:\(\left(4 a^{2}-5 b^{3}\right)^{2}\)

Solución

Agrega lo contrario:\((4a^2−5b^3)^2 = (4 a^2+(−5b^3))^2\). Ahora sigue estos pasos:

1. Cuadrando el primer término:\((4a^2)^2 = 16 a^4\)
2. Multiplica los términos “Primero” y “Último” y duplica el resultado:\(2(4a^2)(−5b^3)= −40a^2b^3\)
3. Cuadrar el “Último” término:\((−5b^3)^2 = 25 b^6\)

Así:

\[\begin{aligned}\left(4 a^{2}-5 b^{3}\right)^{2} &=\left(4 a^{2}+\left(-5 b^{3}\right)\right)^{2} \\ &=\left(4 a^{2}\right)^{2}+2\left(4 a^{2}\right)\left(-5 b^{3}\right)+\left(-5 b^{3}\right)^{2} \\ &=16 a^{4}-40 a^{2} b^{3}+25 b^{6} \end{aligned} \nonumber \]

Nota

Deberías practicar este patrón hasta que puedas pasar directamente de la declaración del problema a la respuesta sin anotar ningún trabajo intermedio, como en\[\left(4 a^{2}-5 b^{3}\right)^{2}=16 a^{4}-40 a^{2} b^{3}+25 b^{6} \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Simplificar:\(\left(3 x^{4}-5 z^{2}\right)^{2}\)

Contestar

\(9 x^{8}-30 x^{4} z^{2}+25 z^{4}\)

\(\PageIndex{10}\)El ejemplo nos muestra que si estamos cuadrando una diferencia, el término medio será menos. Es decir, la única diferencia entre\((a+b)^2\) y\((a−b)^2\) es el signo del término medio.

Cuadrando un binomio

Los atajos para cuadrar un binomio son:

\[(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \nonumber \]

\[(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2} \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Utilice la cuadratura de un atajo binomial para expandir:\(\left(x^{3}-y^{3}\right)^{2}\)

Solución

Usa el patrón\((a−b)^2 = a^2 −2ab+ b^2\). Cuadrar el término “Primero”, multiplicar los términos “Primero” y “Último” y duplicar el resultado, luego cuadrar el término “Último”. Debido al signo menos, el término medio será menos, pero todos los demás términos son más.

\[\begin{aligned}\left(x^{3}-y^{3}\right)^{2} &=\left(x^{3}\right)^{2}-2\left(x^{3}\right)\left(y^{3}\right)+\left(y^{3}\right)^{2} \\ &=x^{6}-2 x^{3} y^{3}+y^{6} \end{aligned} \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Simplificar:\(\left(a^{2}-3 b^{5}\right)^{2}\)

Contestar

\(a^{4}-6 a^{2} b^{5}+9 b^{10}\)

Una aplicación

En Ejemplo\(\PageIndex{7}\), encontramos el área del cuadrado exterior sumando las áreas de sus partes (ver Figura\(\PageIndex{1}\)). Recordemos que la respuesta fue\(A = x^2 + 6x + 9\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Encuentra el área de la plaza.

Ahora que tenemos la cuadratura de un atajo binomial, podemos simplificar el proceso de identificar el área del cuadrado exterior al cuadrar su lado. Es decir:

\[A=(x+3)^{2} \nonumber \]

Ahora podemos usar la técnica de cuadratura del binomio para expandirnos.

\[\begin{array}{l}{=x^{2}+2(x)(3)+(3)^{2}} \\ {=x^{2}+6 x+9}\end{array} \nonumber \]

Tenga en cuenta que esta es la misma que la respuesta que se encuentra sumando las cuatro partes del cuadrado en Ejemplo\(\PageIndex{7}\).